高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.3.1函数的奇偶性课件理

奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 偶函数 都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶 关于
y轴
对
称
函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇 关于
原点
对
称
函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就 称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数，那么这个 最小 正数就叫做f(x)的最小正周期.
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或 减函数 ，则称函数f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定
义域内求解.
函数的奇偶性解题方略 奇偶性的判断 (1)定义法
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可
以 用 逗 号 或 “ 和 ”] 函 数
f(x)
＝xBiblioteka ＋1 x的
单
调
递
增

(2)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2, f(1)+g(-1)=4,则g(1)= .
答案 (1)1 (2)3
1-2 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=3x+3-x;(2)f(x)=
1
2x
+
-1
1 ;(3)f(x)=
2
x2 -x
2xx,x,x00, ;(4)f(x)=x3sin
.
答案 (1)C (2)(-∞,-5)
解析 (1)由题意可得f(2x-1)≥f(1),∵函数f(x)为偶函数,∴f(|2x-1|)≥f(1), 又函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, ∴|2x-1|≤1,解得0≤x≤1.故选C. (2)由题意得f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex-x3=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,因 为f '(x)=ex+e-x+3x2>0,所以函数f(x)是定义域上的增函数,所以由f(2x+1)<-f(4-x) =f(x-4),得2x+1<x-4,所以x<-5.
对f(x)定义域内任意自变量x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)= 1 ,则T=2a(a>0).
f (x)
(3)若f(x+a)=- 1 ,则T=2a(a>0).
f (x)
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)若函数f(x),g(x)为定义域相同的奇函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. ( ✕ ) (2)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称 的. ( √ ) (3)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0或f(0)无意义.( √ ) (4)若对于任意的实数x,都有f(x)= -1 ,则2是函数f(x)的一个周期. ( ✕ )

•由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝ －f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． •∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，
•f(x)在R上是奇函数， •∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数， •∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点二 函数周期性的应用 【例 2】(1)(2014·安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函
数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝xsin1－πxx，，1＜0≤x≤x≤2，1， 则 f 249＋f 461＝________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋2)＝－f(x)，当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝________.
• 第3讲 函数的奇偶性与周期性
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 考试要求 1.函数奇偶性的含义及判断，B级 要求；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇 偶性，A级要求；3.函数的周期性、最小正周 期的含义，周期性的判断及应用，B级要求．
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• 知识梳理 • 1．函数的奇偶性
奇偶 性
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考点突破
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【训练 2】 (2014·南通模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且是以 2 为周期的周期函数．若当 x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则
f(log16)的值为________．
2
解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数．
∴f(log16)＝f
2
log1
2
法二 易知 f(x)的定义域为 R. ∵f(－x)＋f(x)＝log2[－x＋ －x2＋1]＋ log2(x＋ x2＋1)＝log21＝0，即 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 对于 g(x)，由|x－2|＞0，得 x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}． ∵g(x)的定义域关于原点不对称， ∴g(x)为非奇非偶函数． 答案 (1)① (2)奇 非奇非偶

x－4，4≤x≤6， 所以解析式为 f(x)＝x－136，6＜x≤8.
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【点拨】本题存在规律性：若 f(x＋a)·f(x) ＝b(常数)，则 2a 为 f(x)的周期(a＞0)；同理， f(x＋a)＝－f(x)或 f(x＋a)＝f（1x）或 f(x＋a)＝ －f（1x），均可推得 2a 为 f(x)的周期(a＞0)．
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【点拨】(1)判断函数奇偶性的步骤是：①求函数 定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则 既不是奇函数，也不是偶函数；②验证 f(－x)是否等 于±f(x)，或验证其等价形式 f(x)±f(－x)＝0 或f（f（－x）x） ＝±1(f(x)≠0)是否成立．(2)对于分段函数的奇偶性应 分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用 图象法来判断．(3)对于含有 x 的对数式或指数式的函 数常用“f(－x)±f(x)＝0”来判断．
T，使得当 x 取定义域内的
值时，都有
，那么函数 f(x)就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个___的正数，那么这个最小正数就叫
做 f(x)的最小正周期．
5．函数奇偶性与单调性之间的关系
(1)若函数 f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则 f(x)在[－b，－a]上
所以 f(x)＝（x＋43－）x2－3＝
4－x2 x.
所以 f(x)＝－f(－x)，所以 f(x)是奇函数．
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(4)由9x2－－x92≥≥00， 得 x＝±3. 所以 f(x)的定义域为{－3，3}，关于原点对称． 又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0. 所以 f(x)＝±f(－x)． 所以 f(x)既是奇函数，又是偶函数． (5)因为函数的定义域为 R， 又因为 f(－x)＋f(x) ＝loga[－x＋ （－x）2＋1]＋loga(x＋ x2＋1) ＝loga( x2＋1－x)＋loga( x2＋1＋x) ＝loga[( x2＋1－x)( x2＋1＋x)] ＝loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0. 即 f(－x)＝－f(x)，所以 f(x)为奇函数．