函数的奇偶性ppt课件.ppt

二、奇函数定义：
一般地，设函数()的定义域为 ,如果∀ ∈ ,
都有− ∈ ,且(−) = −(),那么函数()就叫做
奇函数。
定义理解： 1.定义域关于原点对称。
2.图象关于原点对称。
例析
例.判断下列函数的奇偶性.
(1)() = 4 ;
(3)() = +
(2)() = 5 ;
(2)再判断f (-x)=-f (x)或f (-x)=f (x)是否恒成立；
(3)根据定义下结论．
三、达标检测
1．下列函数是偶函数的是(
A．f(x)＝x
)
B．f(x)＝2x2－3
C．f(x)＝ x
C
D．f(x)＝x2，x∈(－1,1]
3. 若函数y = f x , x ∈ −1, a a > −1 是奇函数，则 = （
答：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值()也是一对相反数.
推理证明
例如，对于函数f(x) = x，有
(−3) = −(3)
(−2) = −(2)
(−1) = −(1)
实际上，∀x ∈ R, 都有 f −x = −x = −f(x)
这时称函数() = x为奇函数.
新课讲解——奇函数
3.2函数的基本性质
➢3.2.2 奇偶性
一、观察探究：
画出并观察函数f x = x 2 和g x = 2 − x 的图象，你能发现这两个函
数图象有什么共同特征吗？
两个函数图象都关于y轴对称
一、观察探究
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：
相反数
发现：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
. > −3 > (−2)

(3) f (x) x x2 非奇非偶函数
关于原点对称
f (x) 1x2
1 x2
既是奇函数又是偶函数
f (x)
f (x)为偶函数
七、回顾总结——提纲挈领
知识
函数
奇偶性
方法
数学思想
偶函数 类比的方法 奇函数
分析 函数
表格中数字的特 点猜想出一般的 结论
特殊到 一般
奇偶函数
奇偶函数
的定义 数形结合 图象性质
四、判断偶函数的方法
方法一：定义法
是 否
方法二：图象法
五、自主探究——概念形成（奇函数）
偶函数 类比的方法 奇函数
分析 f (x) x f (x) x2 表格中数字的特点猜
想出一般的结论
特殊到 一般
偶函数 数形结 偶函数 定义 合 图象性质
判断偶函 数的方法
五、自主探究——概念形成（奇函数）
判断奇偶函数的 方法
• 奇函数定义：
设函数 y f ( x) 的定义域为D，
如果对定义域D内的任意一个 x，都有 x D
且 f (x) f (x) ，则这个函数叫做奇函数.
• 奇函数
图象 关于原点对称
• 判断奇函数的方法: 定义法 图象法
六、学以致用——概念强化
1、已知f (x)是偶函数，且x 3, a,求a的值。
f (x) x … 3 2 1 0 1 2 3 … f (x) x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
特 f (1) ＝f (1)
例 f (2) ＝ f (2)
f (3) ＝f (3)
f (a)＝ f (a)
一般 规律： f(-x)＝ f(x)
结论：当自变量x在定义域内任取一对相反数时，

∴f(x)为非奇非偶函数
思考3：
在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？
有。例如：函数 f(x)=0
是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。
x
y
0
1
f(x)=0
-1
奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数
01
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a
解: 定义域为R ∵f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数
函数的奇偶性
点此播放讲课视频
在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。
03
而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像。
除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图： 它关于什么对称？
04
点此播放讲课视频
观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
x
y
O
1
-1
f(x)=x2（1）Fra bibliotek（2）y
x
O
x0
-x0
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x)
-x
结论:当自变量x任取定义域 中的一对相反数时,对应的 函数值相等，即f(-x)=f(x)

特点
奇函数的图像关于原点对称，即对于任意一个x ，都有$f(-x)=-f(x)$。
3
示例
常见的奇函数包括正弦函数、余弦函数等。
偶函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内 任意一个x，都有f(-x)=f(x)， 那么函数f(x)就称为偶函数。
特点ห้องสมุดไป่ตู้
偶函数的图像关于y轴对称，即对 于任意一个x，都有$f(-x)=f(x)$ 。
奇函数与偶函数的图像特点
奇函数图像特点
奇函数的图像关于原点对称，即以原点为中心，在左右两侧扩展。
偶函数图像特点
偶函数的图像关于y轴对称，即以y轴为中心，在上下两侧扩展。
如何由函数奇偶性判断函数图像
判断函数表达式
根据函数表达式可以初步判断其奇偶性，从而推断其图像的大致特点。
判断定义域
对于具有奇偶性的函数，其定义域通常是关于原点对称的，因此可以根据定义域 的对称性进一步判断。
对称中心
有些函数在其定义域内具有对称中心，可以根据对称中心，利用奇偶性进行 函数值的求法。
利用奇偶性和周期性求函数值
周期性
有些函数在其定义域内具有周期性，可以根据函数的周期，利用奇偶性进行函数 值的求法。
半周期
对于具有周期性的函数，其半周期内的函数值也可以利用奇偶性进行求法。
06
利用奇偶性进行函数最值求解
利用奇偶性和周期性求解函数最值
奇偶性+周期性
对于具有奇偶性和周期性的函数，可以充分利用周期性和奇偶性来求解函数的最值。例如，对于一个以2π为 周期的周期函数，其在一个周期内的图像关于原点对称，可以利用这个性质和函数的周期性来找到函数的最小 值和最大值。
奇偶性+周期性+复合函数

情境创设
情境创设
问题1：它们的图像有什么共 同特征？
问题2：它们的解析 式又会有什么特征？
概念形成
问题3：结合函数f(x)=x2的解析式，从“数”中 观察有什么特征？从这个表格中发现了什么规律？
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 9…
y x2
f(-3)=f(3) f(-2)=f(2)
注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是 否关于y轴对称或者关于原点对称。
1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，
①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数；
②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。
2图象性质: 奇函数的图象关于原点对称;
偶函数的图象关于y轴对称. 3.对定义的理解：
问题6：如何证明你的猜想？
概念形成
偶函数的概念
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
偶函数的特征: ①解析式的基本特征： f (-x)=f (x) ②图像特征:关于y轴对称.
概念形成
问题7：观察下列函数的图象及表格y ，发现了 什么规律？
问题9：若函数满 足奇偶性，定义域 需要满足什么条件？
2.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性 的 前提条件
判断函数的奇偶性
例2：判断下列函数的奇偶性
(1)
f
(x)
x
1 x
(2)
f(x)=2x4+3x2
判断函数的奇偶性
例3：判断f (x) 1 x x 1的奇偶性
变式1：f (x) 1 x2 x2 1
f(-1)=f(1) f(-x)=f(x)

∴f(x)是偶函数.
解:(1)∵由
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
当堂检测
+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
课前篇
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
当堂检测
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;

(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！

f(x)
g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x)
偶函数 偶函数 偶函数
f(x)g(x
)
f[g(x)]
注
意:f[g(x)]
偶函数 偶函数 偶函数 中,g(x)的
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 值域是f(x)
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 的定义域
奇函数 奇函数 奇函数
活动二：新知探究
偶函数的定义：
一般地，设函数 f（x）的定义域为 I ，如果∀x∈I,都
有-x∈I,且f(-x)=f(x), 那么函数 f（x）就叫做偶函数.
活动二：新知探究
偶函数的几点说明：
（1）偶函数的定义域必关于原点对称，即若 x 是定义域内的
一个值，则 –x 也一定在定义域内.
（2）“函数 f（x）为偶函数”是“函数 f（x）图象关于y轴对
奇函数 偶函数 奇函数 的子集.
活动二：新知探究
类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象
关于y轴对称”这一特征吗？
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
f(x)=x²
···
9
4
1
0
1
4
9
···
g(x)=2-|x|
···
-1
0
1
2
1
0
-1
···
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
称”的充要条件.
活动二：新知探究
1

探究：观察函数 f(x)=x和g(x)= 的图象，你能发现这两个函数

附录
奇函数举例
偶函数举例
数学符号标记
一些常见的奇函数示例及其图像。 一些常见的偶函数示例及其图像。 一些相关的数学符号和标记。
函数的奇偶性(数学教学 课件)ppt课件
本次课程将深入讲解函数的奇偶性概念及其应用。通过丰富的实例和图像， 我们将带您领略数学中的奥秘。
奇偶函数的定义
定义式
奇函数的定义和性质以及其与偶函数的关系。
函数图像
奇函数和偶函数的图像有什么特点，如何自行对称。
奇偶函数的性质
1
合成
如何通过奇函数和偶函数的合成得到一个新的函数。
奇阳偶阴
如何快速判断一个函数在正数和负数轴上的取值。
经典例题
1
解析式判断
看到一个函数的解析式，如何快速判断其是奇函数还是偶函数。
2
化简函数
如何通过奇偶性来化简给定函数。
总结
定义和性质
奇偶函数的基本概念和数学 性质。
判断方法
如何快速、有效地判断一个 函数的奇偶性。
应用场景
奇偶函数在数学和工数，偶数次幂的函数是偶函数。
3
积分
在奇函数或偶函数的范围内进行积分，得到什么样的结果。
如何判断函数的奇偶性
函数公式
如何看出一个函数的公式是奇函数还是偶函数。
图像判断
如何通过图像的对称性判断一个函数的奇偶性。
奇偶函数的应用
加减乘
如何通过奇函数和偶函数的性质来化简函数的加减 和乘积。

$f(x) = x^3$，满足$f(-x) = f(x)$，在全域上单调递增。
偶函数实例
$f(x) = x^2$，满足$f(-x) = f(x)$，在$x geq 0$时单调递增 。
单调性实例分析
单调递增函数实例
$f(x) = x$，在全域上单调递增。
单调递减函数实例
$f(x) = frac{1}{x}$，在$( - infty ,0)$和$(0, + infty)$上单调递减。
非奇非偶函数
定义
既不是奇函数也不是偶函数的函 数称为非奇非偶函数。
特性
非奇非偶函数的图像既不关于原点 对称也不关于y轴对称。
举例
$f(x)=x+1$是非奇非偶函数，因为 $f(-x)=-x+1neq -f(x)$且$f(-x)neq f(x)$。
02
CHAPTER
函数的单调性
单调增函数
定义
对于函数$f(x)$的定义域内的任意 $x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如 果$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数$f(x)$ 在其定义域内单调递增。
奇偶性与单调性的综合应用
利用奇偶性和单调性判断函数的值域
根据函数的奇偶性和单调性，可以判断函数在不同区间的值域，进而确定整个函 数的值域。
利用奇偶性和单调性判断函数的极值
根据函数的奇偶性和单调性，可以判断函数在不同区间的增减性，进而确定函数 的极值点。
04
CHAPTER
实例分析
奇偶性实例分析
奇函数实例
递减。
性质
单调减函数的图像是沿x轴方向 下降的。
举例
正比例函数$y = -kx$（$k > 0$ ）和指数函数$y =

2.4.1函数的奇偶性
北师大版（2019）必修第一册
学习目录
PARENT CONFERENCE DIRECTORY
壹
学习目标
叁
题型突破
Learning Objectives
Breakthrough in question types
贰
探索新知
肆
当堂检测
Explore new knowledge
Classroom test
PART 01
学 习 目 标
01
学习目标
01
结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义
02
掌握函数奇偶性的判断和证明方法
03
会用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题
PART 02
探 索 新 知
02
探索新知
情境导学
（1）这些图形是什么对称图形？
（2）对称轴分别在哪里？
02
探索新知
情境导学
（1）这些图形是什么对称图形？
关于原点对称，那么它是奇函数，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它是偶函数.
2.若奇函数在x＝0处有定义，则其图象一定过原点.
3.对于偶函数f(x)，我们有f(x)＝f(|x|)
02
探索新知
例2 根据定义，判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝ －2x5 ；
1
（3）h（x）＝ 2 ；

（2）g（x）＝x4＋2；
证明：根据函数关于点A(a，b)中心对称的定义，p(x，y)的对称点p′(x′，y′)有如
下等式
+′
2
= ，
+′
2
= .我们得到：x′＝2a－x，y′＝2b－y

y
则f (x) f (x) 2x
即2 f (x) 2x
2
即f (x) x
-2 o
2
x
故解集为：- 2，-1 0,1
-2
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：定义在R 上的函数 f (x), 对任意x, y R都有 f (x y) f (x) f ( y) 1, 且x 0时，f (x) 1, f (1) 2
f (x)单调递减，则f (1 m) f (m) 成立的 m 取值范围 是 ________。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
例2：定义在 3,3 上的函数 f (x), g(x)分别为偶函数、
奇函数，图像如下，则不等式 f (x) 0的解集是：
g(x)
(_2_,_1_)__(_0_,1_) __(_2,_3_) 。
(1)求证：f (x)是R上的增函数； (2)解不等式： f (3x 1) 7; (3)求证：g(x) f (x) 1是奇函数。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
课堂总结：
1：函数奇偶性的定义： “数”与“形”的特征
2：利用函数的奇偶性求值、求解析式
3：函数奇偶性与单调性的联系： “模拟图像”
题型三：奇偶性与单调性的联系：
例：已知函数 y f (x)(x 0)为奇函数，在 x 0,
上为单调增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 f (2x 1) 0 解集为__________.
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式：定义在 2,2上的偶函数 f (x)，当x 0 时，
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性

f (x)，若存在 x，使f (-x)＝－f (x)，则函数y＝×f (x)一定是奇函数．( )③
不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )④若f(x)是定义在R上的奇
函数,则f×(0)=0.( ) ×
√
题型一 ——函数奇偶性的判断
一看
二算
三判
1.判断下列函数的奇偶性
（1）f (x) x 1 （2）
图象关于y轴对称 ②f (x) = f (-x) =f (|x|)
定义域关于原点对称
（2）奇函数
①对于∀x∈I，都有-x∈I
图象关于原点对称 ②-f (x) = f (-x)
定义域关于原点对称
对于奇函数y=f(x)，若0∈I，则必有f(0)=0；
巩固概念
判断正误．①函数 f (x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．( )②对于函数y＝
（3）f
(x)
x 1，x 0 x 1，x 0
题型二 ——函数奇偶性的应用
1.若 f (x)＝ax2－bx＋1是定义域为[a，a＋1]的偶函数，则a=____,b=____
题型二 ——函数奇偶性的应用
2. 已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示。 （1）画出在区间[－5，0]上的图象； （2）写出使f (x)<0的x的取值集合．
题型二 ——函数奇偶性的应用
4. 若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x),满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则 f(x)解析式为________________
4 小结
1.函数的奇偶性的定义及图象： 2.判断函数的奇偶性的方法： 3.函数的奇偶性的应用：
函数奇偶性及其应用
1 知识点复习
1.从“形”上认识函数的奇偶性 y y=x2