备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：3 三角函数求值题型举例 Word版含解析

I ．题源探究·黄金母题 【例1】化简：()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭．【解析】原式()()()()()()sin cos sin cos 52cos sin sin sin 42παααπαπαπαπαπα⎡⎤⎛⎫---+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡⎤⎛⎫---+++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()()2sin cos cos 2cos sin sin sin 2sin tan .cos παααπααααααα⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎛⎫---+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭=-=- 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第27页例4． 【母题评析】本题考查了本题考查了诱导公式．【思路方法】利用口诀熟记诱导公式：符号看象限，奇变偶不变．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考上海理数】设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为 ． 【答案】4 【解析】 试题分析：()2sin 3s 2,3in ,3x a bx a b c π⎛⎫-=+∴ ⎪⎝⎭=±=±．当,a b 确定时，c 唯一． 若2a =，3b =，则5π3c =；若2a =，3b =-，则4π3c =； 若2a =-，3b =-，则π3c =；若2a =-，3b =，则【命题意图】本题主要考查三角函数的诱导公式；三角函数的图象和性质．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．【难点中心】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到,a b 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解．本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等．2π3c =； 故有4种组合．【例3】【2015新课标全国I 卷】sin20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=（ ） A．2-B．2 C ．12- D ．12【答案】D ． 【解析】 原()sin 20cos10cos20sin10sin 2010=︒︒+︒︒=︒+︒=．【命题意图】本题考查三角函数诱导公式、两角和与差的三角函数公式．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较小，考查考生的基础知识的识记、基本计算能力．【难点中心】解决问题的关键是观察20︒与160︒之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角． III ．理论基础·解题原理 三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：符号看象限，函数名称不变．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭；()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：符号看象限，正弦与余弦互换． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解． 【技能方法】（1）必须牢记特殊角的三角函数值，做到“见角知值，见值知角”；（2）求解三角函数值的关键是先观察角，后看函数名．一般顺序：负化正，大化小，小化锐角再计算． 【易错指导】（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号——脱周期——化锐角．特别注意函数名称和符号的确定． （2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． （3）注意求值与化简后的结果尽可能有理化、整式化．V ．举一反三·触类旁通考向1 利用诱导公式化简、求值【例4】【2016届湖北省黄冈中学高三5月一模理科数】设,(0,)2παβ∈，且1t a n t a n c o s αββ-=，则（ ） A ．32παβ+= B ．22παβ+=C ．32παβ-=D ．22παβ-=【答案】D【例5】【2015-2016学年甘省天水一中高一下期末理科数学】已知3tan()4απ-=，且3(,)22ππα∈，则s i2πα+=（ ） A 、45 B 、45- C 、35 D 、35-【答案】A【解析】因为3tan()4απ-=，所以3sin tan 4cos ααα== ，又由22sin cos 1αα+= 可得4cos 5α=±，又因为3(,)22ππα∈，所以4cos 5α=-，sin()2πα+=4cos 5α-=故选A ．【例6】【2015-2016学年湖南衡阳一中高一下期末数学】已知sin 2cos θθ=，则s i n ()c o s ()2s i n ()s i n ()2πθπθπθπθ+-+=---（ ）A ．2B ．2-C ．0D ． 23【答案】B【解析】因sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ+-+=---cos cos 2cos 2cos sin cos 2cos θθθθθθθ+==--- ，故应选B ． 【例7】【2016届河北省衡水中学高三下六调文科数学】已知cos ,,,2k k R πααπ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，则()sin πα+=（ ）A．C． D ．k - 【答案】A 【解析】由于cos ,,,2k k R πααπ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，因此()sin πα+=221cos 1sin k --=--=-αα，应选A ．【例8】【2016届安徽省淮南市高三下学期二模文科数学】已知sin()2sin()2ππαα-=-+，则tan α的值为（ ） A ．12 B ． 2 C ．12- D ．-2 【答案】D【解析】由题意得，sin()2sin()sin 2cos 2ππαααα-=-+⇒=-，所以tan 2α=-，故选D ．【例9】【2016届湖北省龙泉中学等校高三9月联考文科数学】若sin()cos(2)1sin cos()2πθθπθπθ-+-=++，则t θ=（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3- 【答案】D【解析】利用三角函数的诱导公式可知21cos sin cos sin )cos(sin )2cos()sin(=-+=++-+-θθθθθπθπθθπ，显然0cos ≠θ，所以有211tan 1tan =-+θθ，可求得3tan -=θ，故正确选项为D ．【例10】已知sin()4πα-=-，sin 20α>，则tan α=________．【解析】sin()sin παα-==，sin 22sin 0,cos 0cos αααα=><，3cos 4α==-，sin tan cos 3ααα==． 【例11】若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则3cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值等于________． 【答案】552±【解析】 点)sin ,(cos ααP 在直线x y 2-=上，ααc o s 2s i n -=∴，又απαs i n )23c o s (=+∴，当点P 在第二象限时，1cos sin 22=+αα，即1s i n 41s i n 22=+αα，得552s in =α；当点P 在第四象限时，1c os sin 22=+αα，即1sin 41sin 22=+αα，得552sin -=α；故答案为552±．【例12】【2016届浙江省杭州高中高三上学期月考三理科数学】已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，则2015cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为 ．【答案】45-【例13】【2016届辽宁省实验中学分校高三上学期期中文科数学】已知(,)62ππα∈，且1sin()63πα-=，则=αsin _____，cos()3πα+=_____． 【答案】6223+，31-【解析】根据(,)62ππα∈，可以求得cos()6πα-=，从而有sin sin[()]sin()cos cos()sin666666ππππππαααα=-+=-+-1132==； 1cos()cos[()]sin()36263ππππααα+=-+=--=-．【例14】若3sin()25πθ+=，则cos2θ＝________．【答案】725-【解析】因为3sin()cos 25πθθ+==，所以27cos 22cos 125θθ=-=-．【例15】【2016届北京市海淀区高三上学期期中考试文科数学】若点)sin ,(cos ααP 在直线x y 2-=上，则)232cos(πα+的值等于 ．【答案】54-【解析】由题意得：tan 2α=-，)232cos(πα+2222sin cos 2tan 44sin 2.sin cos tan 1415ααααααα-=====+++ 【例16】若角α的终边过点（1，-2），则cos()2πα+=_____．【答案】5【解析】角α的终边过点(1,2)-，由三角函数的定义得sin α=，由诱导公式得cos()sin 2παα+=-=． 考向2 诱导公式的综合应用【例17】【2016届陕西省西安市铁一中学高三下学期开学考试文科数学】若3sin()5πα+=，α是第三象限的角，则si n c o s 22sin cos22παπαπαπα++-=--- （ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 【答案】B【解析】()33sin ,sin 55παα+=∴=-，又α是第三象限角，4cos 5α∴==-，则si n c 22sin cos22παπαπαπα++----c o s s22cos sin 22αααα+=-222cos sin 1sin 22cos cos sin 22αααααα⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==- 3115425-==--，故选B ． 【例18】【2016高考上海文科】设a ÎR ，[0,2π]b Î．若对任意实数x 都有πsin(3)=sin()3x ax b -+，则满足 条件的有序实数对(),a b 的对数为 （ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】B【解析】5sin(3)sin(32)sin(3)333πππx x πx -=-+=+，5(,)(3,)3πa b =，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333πππx πx x -=--=-+，4(,)(3,)3πa b =-，注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ．【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值．本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等．【例19】【2016届河南省豫北重点中学高三下第二次联考文科数学】已知,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且 cos 2sin 2παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan 2α等于______．【答案】3-【解析】因为cos 2sin 2παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以，22coscos 10αα+-=，解得1cos 2α=，而,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得3πα=-，故tan tan 26απ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故答案为3-．【例20】【2016届黑龙江省牡丹江市一中高三上学期期末文科数学】函数)23sin()2(sin 223)2sin()2(sin 2cos 2)(223x x x x x x f --++-++-+=ππππ，则)3(πf = ．【答案】41-【解析】()x x x x x x f cos cos 223cos sin 2cos 2223++-++=，413432121223212322123223-=-=+⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf 【例21】已知3110,tan 4tan 3παπαα<<+=-． （1）求tan α的值； （2）求)sin(4)2sin()2cos(4)sin()(ααπαπαπα----++=g 的值．【答案】（1）1tan 3α=-；（2）13-．【例22】已知sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπααππα---+=-----．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且31cos()25πα-=，求()f α的值． 【答案】（1）αcos -；（2）562． 【解析】 试题分析：（1）()fα利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，即可得到结果；（2）已知等式左边利用诱导公式化简求出αsin 的值，再利用同角三角函数基本关系求出αcos 的值，即可确定出()αf 的值．试题解析：（1）sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπααππα---+=-----()ααααααcos sin tan tan cos sin -=⋅-⋅=；（2））∵α为第三象限角，且31cos()25πα-=，∴51s i n -=α，∴562s i n 1c o s 2-=--=αα，则()562cos =-=ααf ．【例23】已知)3tan()2cos()2sin()cos()2cos()sin()(απαπαπαππααπα++++--=f（1）化简()f α．（2）若α是第三象限角， 且31)sin(=+απ，求()f α的值． 【答案】（1）()cos f αα=（2）3-【解析】试题分析：（1）由三角函数诱导公式可求解()f α；（2）由1sin()3πα+=可得sin α，进而求得cos α得到()fα的值试题解析：（1）ααααααααcos tan )sin (cos )cos (sin sin )(=--=f ．（2）由31)sin(=+απ得31sin -=α，又已知α是第三象限角，.322)31(1cos )(2-=--==∴ααf【例24】已知()()()3cos cos 2sin 223sin sin 2f αααααα⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭πππππ． （1）化简()fα；（2）若α是第三象限角，且31cos 25α⎛⎫-=⎪⎝⎭π，求()f α的值． 【答案】（1）()cos f αα=-；（2）． 【解析】试题分析：（1）由题为三角函数的化简问题，可运用诱导公式进行变形化简；注意口诀（奇变偶不变，符号看象限）的准确运用；（2）由（1）化简已得，化简条件可得：运用诱导公式的正弦，求余弦可运用同角三角函数的平方关系，注意角的终边所在的象限决定角的正负．试题解析：（1）()()()3cos cos 2sin sin cos cos 22cos 3sin cos sin sin 2f αααααααααααα⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅-+ ⎪ ⎪-⋅⋅-⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫--+ ⎪⎝⎭πππ（）ππ； （2）31cos 25α⎛⎫-=⎪⎝⎭π得：1s i n 5α=-，又若α是第三象限角，则：cos α==， 所 以()cos f αα=-= 【例25】化简： （1）sin 260cos800+．()sin80cos80sin cos tan 22a a a ππ-+-⋅-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）+()13sin cos tan 22a a a πππ⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）1-；（2）1-．【解析】（1）利用诱导公式化简已知条件，求解即可；（2）利用二倍角公式以及以下条件诱导公式化简求解即可． 试题解析：（1）原式=sin80cos80-+sin80cos80-+====﹣1．（2）∵tan （﹣α）=﹣tan α，sin （﹣α）=cos α，cos （α﹣π）=cos （π﹣α）=﹣sin α，tan（π+α）=tan α，∴原式=+()1cos sin tan a a a⋅-⋅=+==﹣=﹣1．。

I ．题源探究·黄金母题【例1】已知1tan 3α=-，计算：（1）sin 2cos 5cos sin αααα+-；（2）212sin cos cos ααα+．【解析】（1）1tan ,cos 0,3αα=-∴≠原式分子分母都除以cos α，得原式12tan 25315tan 1653αα-++===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （2）原式222sin cos 2sin cos cos ααααα+=+，分子分母都除以2cos α，得原式2211tan 110312tan 13213αα⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭===+⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第71页B 组习题第4题．【母题评析】本题主要考查关于sin ,cos αα齐次式的应用．【思路方法】应用“1”的代换及商关系实现弦化切．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考新课标3理数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B)4825 (C)1(D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或【命题意图】本题主要考查关于sin ,cos αα齐次式的应用，考查考生基本计算能力及转化与化归能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，中等偏易．【难点中心】解答此类问题的关键是利用“1”的代换及商关系实现弦化切．34sin ,cos 55αα=-=-，2161264cos 2sin 24252525αα∴+=+⨯=，故选A ．III ．理论基础·解题原理（1）商数关系：sin tan cos ααα=；（2）平方关系：22sin cos 1αα+=． （2）利用22sin cos 1αα+=可以实现角α的正弦、余弦的互化；利用sin tan cos ααα=可以实现角α的弦切互化．（3）注意公式逆用及变形应用：2222221sin cos ,sin 1cos ,cos 1sin αααααα=+=-=-．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解，公式的活用．【技能方法】若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类典型题．【易错指导】这类题经常使用“1”的代换，即221sin cos αα=+，在使用时要注意根据问题的实际情况灵活处理，防止错误的代换． V ．举一反三·触类旁通 考向1 “弦化切”的运用【例3】【2016届宁夏银川二中高三5月适应性训练理科数学】已知α是第四象限角，且3tan α4=-，则sin α=（ ）（A ）35- （B ）35 （C ）45 （D ）45-【答案】A【解析】222222sin tan 9sin sin cos tan 125αααααα===++，因为α为第四象限角，故3sin 5α=-． 【例4】【2015-2016学年湖南衡阳一中高一下期末数学】已知sin 2cos θθ=，则s i n ()c o s ()2s i n ()s i n ()2πθπθπθπθ+-+=---（ ）A ．2B ．2-C ．0D ． 23【答案】B【解析】因sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ+-+=---cos cos 2cos 2cos sin cos 2cos θθθθθθθ+==--- ，故应选B ． 【例5】【2015-2016学年河北冀州中学高一下期末理科数学】若()3sin 5πα+=，α是第三象限的角，则sincos22sin cos22παπαπαπα++-=---（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2【答案】B【解析】因为()3sin 5πα+=，α是第三象限的角， 34sin ,cos 55αα∴=-=-， ∴22231sin cos cos sin (cos sin )1sin 152222224cos 2sin cos cos sin cos sin 2222225παπααααααπαπαααααα++--+++=====------．故选B ．【例6】已知tan 3α=，则sin cos αα的值是 ． 【答案】310． 【解析】222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 19110αααααααα====+++．【例7】【2016届宁夏银川二中高三三模拟理科数学试卷】已知1cos 21sin cos ααα-=，则tan α的值为 ． 【答案】12． 【解析】21cos 22sin 2tan 1sin cos sin cos ααααααα-===，1tan 2α=． 【例8】【2016届宁夏六盘山高级中学高三第一次模拟考试文科数学】已知tan 2α=，则sin cos sin cos αααα+=-_________．【答案】3【解析】对ααααcos sin cos sin -+的分子分母同时除以αcos ，可将正余弦化简为正切，sin cos sin cos αααα+=-31-2121-tan 1tan =+=+αα．【例9】【2015-2016福建师大附中高一下期中考数学】已知角α的的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin cos sin cos αααα+-的值等于 ．【答案】3【解析】由题设可知2tan =α，故sin cos sin cos αααα+-312121tan 1tan =-+=-+=αα．故应填3．【例10】【2016届宁夏银川二中高三三模拟理科数学】已知1cos 21sin cos ααα-=，则tan α的值为 ． 【答案】12【解析】21cos 22sin 2tan 1sin cos sin cos ααααααα-===，1tan 2α=． 【例11】【2016届四川省南充高中高三4月模拟三理科数学】已知3tan 2α=-，α为第二象限角．（1）求3sin()cos()tan()22tan()sin()παπαπααππα--+-----的值； （2+【答案】(1)13132；(2)2．考向2 “‘1’的代换”的运用【例12】【2015-2016福建师大附中高一下期中考】已知s i n 3c o s53c o s s i nαααα+=-，则2sin sin cos ααα-的值是（ ）A ．25 B ．2-5C ．-2D ．2 【答案】A 【解析】由已知sin 3cos 53cos sin αααα+=-可得2t a n =α，故2si ns i n c o sααα-52t a n 1t a n ta n 22=+-=ααα．应选A ． 【例13】【2016届安徽省淮北一中高三最后一卷理科数学】已知()1sin cos ,0,2αααπ+=∈，则1tan 1tan αα-=+（ ）A． BCD． 【答案】A ．【解析】21(sin cos )4αα+=，3sin cos 8αα=-，所以cos 0,sin 0αα<>，27(cos sin )12sin cos 4αααα-=-=，cos sin αα-=，1tan cos sin 211tan cos sin 2αααααα--∴===++A ． 【例14】【2015-2016学年河北省武邑中学高二4月月考理科数学】若1tan 4tan θθ+=，则sin 2θ=（ ）A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】由1tan 4tan θθ+=有sin cos 4cos sin θθθθ+=，左边通分有22sin cos 4sin cos θθθθ+=，141sin 22θ=，所以1sin 22θ=，故选D ． 【例15】【2016届四川省南充高中高三4月模拟三理科数学】已知tan 3α=，则3sin sin 2παα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是 ．【答案】310-． 【解析】3sin sin 2παα⎛⎫-⎪⎝⎭222sin cos tan sin cos sin cos 1tan αααααααα=-=-=-++310=-． 【例16】【2016届陕西省西北工大附中高三第四次考试文科数学】若tan 2α=，则sin cos αα=________．【答案】25． 【解析】22222222sin cos sin cos tan 22cos sin cos sin cos sin cos tan 1215cos αααααααααααααα=====++++． 【例17】【2015-2016学年山东省济宁一中高一下期中数学】若tan 3θ=，则2c o s s i nc o s θθθ+= _________．【答案】25． 【解析】t θ=，2222cos sin cos cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+∴+=+221tan 132tan 1315θθ++===++． 【例18】【2015-2016学年江西省南昌市八一中学等高一上学期期末联考】已知A ，B ，C 三点的坐标分别是)23,2(),sin ,(cos ),3,0(),0,3(ππααα∈C B A ，若1A C B C⋅=-，则ααα2s i n s i n 2t a n12++=__________． 【答案】 59-【例19】已知tan 3α=，则3sin sin 2παα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是 ． 【答案】310-【解析】3sin sin 2παα⎛⎫-⎪⎝⎭222sin cos tan sin cos sin cos 1tan αααααααα=-=-=-++310=-． 【例20】【2015-2016学年山西大学附中高一下学期3月模块诊断】已知角α的终边经过点)1,1(-P ，（1）求sin 2cos()5sin()sin()2απαπαπα--+++的值；（2）求212sin cos cos ααα+的值． 【答案】（1）61；（2）2-【解析】试题分析：（1）本题可由任意角三角函数定义直接求得αtan 值，然后利用诱导公式把原式化简，分式上下每一项都除以αcos ，代入αtan 值即可；（2）利用平方关系将分子中的“1”化为αα22cos sin+，这样原式就化为了一个齐次分式，然后分式上下每一项都除以αcos ，代入αtan 值即可．试题解析：（1）∵角α的终边经过点()1,1P -∴1tan -=α， ∴sin 2cos()5sin()sin()2απαπαπα--+++=61tan 52tan sin cos 5cos 2sin =-+=-+αααααα；（2）212sin cos cos ααα+= 21tan 21tan cos cos sin 2cos sin 2222-=++=++ααααααα．。

【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。

要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。

在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一 求三角函数的单调区间使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步 先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数的正负；,A ω第二步 利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间；第三步 运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.例1 函数的单调递增区间是（ ）cos(2)4y x π=-A ．kπ＋，kπ＋π] B ．kπ－π，kπ＋]8π85838πC ．2kπ＋，2kπ＋π]D ．2kπ－π，2kπ＋]（以上k∈Z）8π85838π【答案】B.考点：三角函数单调性.【点评】本题解题的关键是将作为一个整体，利用余弦函数的图像将函数24x π-的单调递增区间转化为在区间上递减的.cos(2)4y x π=-24x πθ=-[]2,2k k πππ-+【变式演练1】已知函数直线是图像的),062sin()(>+=ωπωx x f 21,x x x x ==)(x f y =任意两条对称轴，且的最小值为．求函数的单调增区间；21x x -2π)(x f 【答案】.Z k k k ∈++-],6,3[ππππ【解析】试题分析：根据两条对称轴之间的最小距离求周期，根据周期求，根据公式求此函数的单ω调递增区间.试题解析：由题意得则由,π=T 1,()sin(2).6f x x πω=∴=+解得故的单调增区间222,262k x k πππππ-+≤+≤+.,63Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ)(x f 是.Z k k k ∈++-],6,3[ππππ考点：1．的单调性；()ϕω+=x A y sin 【变式演练2】已知函数的一系列对应值()sin()+(00 )2f x A x B A πωϕωϕ=+>><，，如下表：6π-3π56π43π116π73π176πy2-2-（1）根据表格提供的数据求函数的解析式；()f x （2）求函数的单调递增区间和对称中心；()f x 【答案】（1）（2）()3sin 13f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭52 2()66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，.+1(3k k ππ∈Z)（，）（2）当，即时，函22()232k x k k πππππ-≤-≤+∈Z 52 ()266x k k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦∈Z ，数单调递增．令，得，所以函数的对称中()f x =(3x k k ππ-∈Z)=+(3x k k ππ∈Z)()f x 心为．+1(3k k ππ∈Z)（，）考点：1．三角函数解析式及基本性质；2．数形结合法类型二 由的图象求其函数式sin()y A x ωϕ=+使用情景：一般函数求其函数式sin()y A x ωϕ=+解题模板：第一步 观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与轴交点坐标等；第二步 利用特殊点代入函数解析式计算得出参数中一个或两个或三个；,,A ωϕ第三步 要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数；第四步 得出结论.例2 已知函数 的图象如图所示，sin()y A x ωϕ=+),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=则该函数的解析式是（ ）（A ） （B ）)48sin(4π-π-=x y )48sin(4π-π=x y （C ）（D ）)48sin(4π+π=x y 48sin(4π+π-=x y 【答案】D考点：的图像()ϕω+=x A y sin 【点评】本题的解题步骤是：首先根据已知图像与轴的交点坐标可得其周期为，进而可得T 的大小；然后观察图像知其振幅的大小；最后将图像与轴的交点坐标代入函数的解析式ωA 即可得到的大小.【变式演练3】已知函数（其中）的部分图象如()()sin f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ>><图所示，则的解析式为（ ）()f xA ．B ．()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．D ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2sin 46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】考点：由的部分图像确定解析式。

纵观2012到2016年全国的高考试题，对三角函数与解三角形部分的考查基本上集中在以下几个热点问题上：热点一、三角函数的求值问题三角函数的求值问题仍是客观题命题的热点。

求值问题的基本思路主要是运用三角函数的定义，诱导公式或三角函数公式进行恒等变形,完成求值。

需注意角的范围。

从命题形式上看以选择、填空为主.例如以下问题；1.【2014全国大纲高考】已知角a的终边经过点(－4，3），则cos a＝（）A。

错误! B.错误!C．－错误!D．－4 5【答案】D【名师点睛】三角函数的定义和基本关系式是解决三角函数求值问题的基本思路.2。

【2016全国高考课标2】若cos(4π−α）=53，则sin 2α=（ ）A 。

725B.15C.−15D 。

−725【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525αα⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ααα⎡π⎤π⎛⎫⎡⎤-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦,故选D.【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：(1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差． (2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系"或“互余、互补”关系． 3。

【2016全国高考课标3】若3tan 4α=,则2cos 2sin 2αα+=（ )A 。

6425B 。

4825C 。

1D 1625【答案】A【名师点睛】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．【命题的趋势与预测】全国高考三角函数求值问题试题的难度逐步降低，主要体现在对三角恒等变形的要求有所降低.预计2017年高考仍会有三角函数的求值问题，考查考生灵活的公式运用能力，变形能力，联想和计算能力.热点二、三角函数的图像与性质作为高考的必考点，三角函数的图像与性质,主要体现考察点为图像变换，运用三角恒等变形考察y＝A sin（ωx＋φ)型函数的性质。

I ．题源探究·黄金母题【例1】海中一小岛，周围mile n 8.3内有暗礁，海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东70°，航行mile n 8以后，望见这岛在北偏东60°，如果这艘轮船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？【解析】根据题意作出如图所示，其中设C 为岛所在位置，B A ,是该轮船航行前后的位置，过C 作AB CD ⊥于D ，根据题意知，在△ABC 中，8=AB ，︒=∠20CAB ，︒=∠150ABC ，∴CAB ABC ACB ∠-∠-︒=∠180=10°，∠CBD=30°， 由正弦定理得，ACBABCAB BC ∠=∠sin sin ， ∴ACB CAB AB BC ∠∠=sin sin =︒︒10sin 20sin 8≈15.7560，∴=∠=CBD BC CD sin ≈7.878＞3.8， ∴没有触礁的危险. 答：没有触礁的危险．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修5第24页复习参考题A 组第2题．【母题评析】本题考查利用正余弦定理解与三角形有关的综合问题，是常考题型． 【思路方法】根据题意画出图形，C 为岛所在位置，B A ,是该轮船航行前后的位置，过C 作AB CD ⊥于D ，根据题意知，在△ABC 中，8=AB ，︒=∠20CAB ，︒=∠150ABC ，要判断是否触礁，即需要计算C 点到直线AB 的距离CD ，在△ABC 中利用正弦定理计算出BC,在通过解直角三角形即可求出CD ．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2015高考湖南，理17】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围.（2）由（1）知，()C A B π=-+(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-=sin cos2A A + =22192sin sin 12(sin )48A A A -++=--+，∵04A π<<，∴0sin 2A <<，因此21992(sin )2488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是9(]28. 【例3】【2014重庆高考理第10题】已知ABC ∆的内角C B A ,,满足)sin(2sin C B A A +-+ =21)sin(+--B A C ，面积S 满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ）A.8)(>+c b bcB.()ac a b +>126≤≤abc D.1224abc ≤≤【答案】A【解析】由题设得：()()1sin 2+sin 2sin 22A B C ππ-=-+1sin 2+sin2B+sin 22A C ⇒= ⇒ ()()1sin 222+sin2B+sin 22BC C π-+=()1sin2B+sin 2sin 222C B C ⇒-+= ⇒()()1sin 21cos 2sin 21-cos2B 2B C C -+=()14sin sin sin cos cos sin 2B C B C B C ⇒+= 1sin sin sin 8A B C ⇒=……………………（1） 由三角形面积公式1sin 2s ab C =及正弦定理得：214sin sin sin 2s R A B C =⨯ 所以24s R =,又为12s ≤≤，所以248R ≤≤,所以因()338sin sin sin b c b cbc b c abc R A B C R a a+++=⨯=⨯>恒成立，所以()8bc b c +>【例4】【2016高考山东理数】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值.()∏由()I 知2a bc +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为12. 【例5】【2014全国1高考理第16题】已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________．【解析】由2=a ，且()C b c B A b s i n )()s i n (s i n 2-=-+，故(ab)(s i n A +-=-，又根据正弦定理，得(a b)()(c b)a b c +-=-，化简得，222b c a bc +-=，故222b c a 1cosA 2bc 2+-==，所以0A 60=， 又22b c 4bc bc +-=≥，故1S bcsinA 2BAC ∆=≤． 【例6】【2016年高考北京理数】在∆ABC中，222+=+a c b .（1）求B ∠ 的大小；（2cos cos A C + 的最大值.【命题意图】本题主要考查利用正余弦定理和三角公式求与三角形有关的三角式的范围问题，考查运算求解能力，是中档题．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等，考查学生利用正余弦定理及相关知识解决与三角形有关的综合问题．【难点中心】解答此类问题的关键是熟练学三角恒等变形能力，形成解题的模式和套路 III ．理论基础·解题原理 考点一 三角形中的不等关系1.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；2.任一角都大于00而小于1800,任意两角之和也是大于00而小于1800;3 3..设角A 是一三角形的内角,则1sin 0≤<A ;4.在锐角三角形中, 任意两角之和也是大于900而小于1800; 5.在同一三角形中大边对大角,大角对大边 考点二 与三角形有关的综合问题类型常以三角形中的不等和最值问题为载体，考查运用三角变换、正余弦定理、基本不等式、平面向量等知识和方法求取值范围或值域或求值，要求学生有较强的逻辑思维能力、三角恒等变形能力以及准确的计算能力。

I ．题源探究·黄金母题【例1】已知()22sin cos 2cos y x x x =++．①求它的递减区间；②求它的最大值和最小值． 【解析】()22sin cos 2cos 12sin cos 1cos22sin 2cos2224y x x x x x x x x x π=++=+++⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭①令πππππk x k 2234222+≤+≤+，解得ππππk x k +≤≤+858，即函数的单调区间为 )(85,8Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ． ②由题意得22max +=y ，22min +-=y ． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第147页第9题．【母题评析】本题综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质，是历年来高考的一个常考点．【思路方法】灵活选择三角公式化为形式()sin y A x Bωϕ=++或()cos y A x B ωϕ=++，再讨论相关性质． II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为[ ]（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B【解析】4x π=- 为()f x 的零点，4x π=为()f x 图象的对 称轴，()444TkT ππ∴--=+，即 41412244k k T ππω++==⋅，41(*)k k N ω∴=+∈，又【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性、对称性、单调性、零点等． 【考试方向】这类试题可以是以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等． 【难点中心】注意本题解法中用到的两个结 论: ①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期；②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图象关于直线0x x = 对称，则()f x 在5,1836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调，5236181222T ππππω∴-=≤=，即12ω≤，由此ω的最大值为9．故选B ．()0f x A = 或 ()0f x A =-．【例3】【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B ．【命题意图】本题考查三角函数的图象变换与对称性． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易．【难点中心】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于x ω加减多少值． III ．理论基础·解题原理1．正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：R2．可以用整体思想解决()()()si n ,c o s ,t y A xB y A x B y ωϕωϕωϕ=++=++=+单调性、对称性等性质．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题可以是以选择题或填空题的形式来考查，难度中等，也可以是解答题的形式来考查，难度较大，考查学生的分析问题解决问题、转化与化归等综合能力． 【技能方法】求解此类问题的关键是：首先，过好参数关，参数是数学中的活泼“元素”，特别是一个数学问题中条件与结论涉及的因素较多，转换过程较长时，参数的处理尤为突出，合理定位参数，并处理好参数与常数及变数的联系与转换，在求解过程中起着十分关键的作用．因此，解题中要充分利用图形特征，将各个参数具体化，从而求出函数解析式．其次，熟记特殊角的三角函数值，便于加快求解此类问题的速度． 【易错指导】正弦函数、余弦函数的两个相邻的对称中心和两条相邻的对称轴之间的距离并不是函数的一个周期，而是半个周期，在解题是要充分考虑到这一点． V ．举一反三·触类旁通考向1 三角函数的图象与性质的综合应用【例4】【2016山东学易大联考三】已知函数π()sin(2)3f x x =-，则下列结论错误的是[ ] A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 C ．函数()f x 的图象可由()sin 2g x x =的图象向右平移π6个单位得到 D ． 函数()f x 在区间π[0,]4上是增函数【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查数形结合的能力． 【答案】B【例5】【2016新课标II 学易大联考一】已知函数2()2sin ()4f x x π=+，则下列结论正确的是[ ]A ． ()f x 是奇函数B ． x =4π-是()f x 一条对称轴C ． ()f x 的最小正周期为2πD ． [4π-，0]是()f x 的一条对称轴【命题意图】本题主要考查二倍角公式、诱导公式、三角函数性质，是容易题． 【答案】B【解析】∵()f x =1cos(2)2x π-+=1sin 2x +，∴()f x 是周期为最小正周期为π的非奇非偶函数，令2,2x k k Z ππ=+∈，解得,24k x k Z ππ=+∈，当1k =-时，4x π=-，是()f x 一条对称轴，故选B ．【例6】【2016高考江苏卷】定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 ▲ ． 【答案】7【解析】由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =⇒==或，因为[0,3x π∈，所以3551317,,,,,,,2226666x πππππππ=共7个 考点：三角函数图象【名师点睛】求函数图象交点个数，可选用两个角度：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解，二是数形结合，分别画出函数图象，数交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其明确增长幅度．【例7】【2016高考天津理数】已知函数f[x]=4tanxsin[2x π-]cos[3x π-[Ⅰ]求f [x ]的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f[x]在区间上的单调性． 【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减． 【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23f x x π-，再根据正弦函数性质求定义域、周期()II 根据（1）的结论，研究三角函数在区间上单调性 试题解析：()I ()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭． ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 22x x x x x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭)()=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π=-．所以， ()f x 的最小正周期2.2T ππ== ()II 解：令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+，得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ ．所以， 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减．【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换．角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证． 对于三角函数来说，常常是先化为y ＝Asin[ωx ＋φ]＋k 的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．【例8】【2015-2016福建师大附中高一下期中考数学（实验班）试卷】已知函数()sin()f x x ωϕ=+（其中0ω>，||2πϕ<）图象相邻对称轴的距离为2π，一个对称中心为(,0)6π-，为了得到()cos g x x ω=的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向左平移12π个单位 【答案】D【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先借助对称轴之间的距离为2π确定2=ω，再借助对称中心是)0,6(π建立方程)3s i n (=+-ϕπ求出3πϕ=来．最后求出)6(2sin )32sin()(ππ+=+=x x x f ，再x x g 2c os)(=化为()g x x =s in(2)si n 2(24x x ππ=+=+，由于将即1264πππ=-，要想得到x x g 2cos )(=，只要将函数)(x f y =的图象向左平移12π个单位即可．【例9】【2016届河南省豫北重点中学高三下第二次联考文科数学】已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象的相邻两对称轴间的距离为2π，则当[,0]2x π∈-时，()f x 的最大值和单调区间分别为（ ）A ．1，[,]26ππ-- B ．1，[,]212ππ-- C [,0]6π- D [,0]12π-【答案】D【思路点晴】函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象的相邻两对称轴间的距离为2π，也就是半个周期为2π，周期为π，由此求得2ω=．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的增区间的求法就是代入222232k x k πππππ-≤-≤+，解出51212k x k ππππ-≤≤+，令0k =可知增区间为,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，同时可求得减区间为,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故当2x π=-时，()f x 【例10】【2016届河北省邯郸市高三下第二次模拟考试】已知函数()2sin sin(3)f x x x ϕ=+是奇函数，其中(0,)2πϕ∈，则函数()cos(2)g x x ϕ=-的图像（ ）A ．关于点(,0)12π对称B ．可由函数()f x 的图像向右平移3π个单位得到 C ．可由函数()f x 的图像向左平移6π个单位得到D ．可由函数()f x 的图像向左平移3π个单位得到【答案】C【解析】由已知可得函数()f x 为奇函数，则由(0,)2πϕ∈得6πϕ=，然后代入)(),(x g y x f y ==得到)62cos()(),22cos(2sin )(ππ-=-==x x g x x x f ，进而可知函数)(x f 的图象向左平移6π个单位可得函数)(x g 的图象，故应选C ．考点：三角函数的图象和性质．【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先待定函数解析式中的参数ϕ，再验证题设中所提供的四个选择支中正确的答案．解答时先借助函数()2sin sin(3)f x x x ϕ=+是奇函数，可得)3sin(ϕ+=x y 是偶函数，所以13sin ±=ϕ，得到23ππϕ+=k ，63ππϕ+=k ，求出6πϕ=，然后代入)(),(x g y x f y ==得到)62cos()(),22cos(2sin )(ππ-=-==x x g x x x f ，进而可知函数)(x f 的图象向左平移6π个单位可得函数)(x g 的图象，故应选C ．【例11】对函数1()2sin()1()26f x x x R π=+-∈，有下列说法：①()f x 的周期为4π，值域为[3,1]-； ②()f x 的图象关于直线23x π=对称； ③()f x 的图象关于点(,0)3π-对称；④()f x 在2(,)3ππ-上单调递增； ⑤将()f x 的图象向左平移3π个单位，即得到函数12cos 12y x =-的图象． 其中正确的是_________．（填上所有正确说法的序号）． 【答案】①②④【解析】对函数()()12sin 126f x x x R π⎛⎫=+-∈⎪⎝⎭的周期为2=412ππ，值域为[]3,1-故①正确；当23x π=时，()1f x =，为最大值，故()f x 的图象关于直线23x π=对称，故②正确；当3x π=-时，()1f x =-，(,0)3π-不在函数()f x 的图象上，()f x 的图象不关于(,0)3π-对称，故③错误；在2,3x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，1,,2632x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭故()12sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，故()f x 在2,3ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，故④正确；将()f x 的图象向左平移3π个单位，即可得到函数112sin 12sin 123623y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故⑤错误，故答案为①②④． 【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考查三角函数图象、三角函数的性质以及数学化归思想，属于难题．该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次需先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题． 【例12】【2015-2016学年甘省天水一中高一下期末】已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= ．【答案】54-【解析】因为函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，所以1x =时，函数取得最大值或最小值，又因为()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<可化为()x πϕθ++，所以()()sin 2cos 2cos sin πϕπϕϕϕ+-+=-=()212sin cos 0,tan 2ϕϕϕ+==-，sin 2ϕ=22tan 41tan 5ϕϕ=-+，故答案为54-． 【例13】【2015-2016学年山西临汾一中高一下学期期末】已知函数22()cos sin 2cos f x x x x x =--，x R ∈．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）函数()y f x =的图象向右移动12π个单位长度后得到以()y g x =的图象，求()y g x =在[0,]2π上的最大值和最小值．【答案】（1）T π=，单调递减区间为5k ,,36k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）min 3()2g x =-，ax 1()2m g x =-．【解析】试题分析：（1）首先利用倍角公式与两角差的正弦公式化简已知条件等式，从而求得最小正周期，然后利用正弦函数的图象与性质求出单调递减区间；（2）首先根据三角形函数图象的平移变换法则求出函数()g x 的解析式，然后根据三角形函数的图象与性质求解即可．试题解析：[1）23)62sin(22cos 112sin 23)(--=+--=πx x x x f ，π=∴T ．πππππk x k 2236222+≤-≤+，Z k x k ∈+≤≤+k 653，即：ππππ，Z k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∴,65,k 3ππππ单调递减区间是 [2]23)32sin()(--=πx x g ．20π≤≤x ，32323πππ≤-≤-∴x ，233)(0332x min +-==-=-∴x g x 时，即当ππ，21)(125232x ax -===-m x g x 时，即当πππ． 【例14】【2015-2016学年辽宁庄河市高级中学高一下期末】函数)(x f )sin(φω+=x A （)2,0πφω<>满足：（1）)3()6()32(πππf f f ==-， （2）在区间]6,32[ππ-内有最大值无最小值， （3）在区间]3,6[ππ内有最小值无最大值， [4]经过)3,6(-πM ．[1]求)(x f 的解析式； [2]若56)6(=+πx f ，求)26sin(x -π值； [3]不等式12)()(2+≥+m x f x f 的解集不为空集，求实数m 的范围． 【答案】[1]()x x f 2sin 2-=；（2）54±；（3）25≤m ． 【解析】试题分析：[1]根据函数的对称性，可得函数的对称轴是42632πππ-=+-=x ，以及4236πππ=+=x ，再根据条件（2）（3）可得)(x f 在4π-=x 处取得最大值，在4π=x 处取得最小值，这样可知道函数的周期π=T 根据五点法求ϕ，根据条件（4）求A ；[2]代入可求得53)32sin(-=+πx ，因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3222-6πππx x ，这样⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-32cos 26sin ππx x ，根据同角基本关系求解；（3）将问题转化为t t m +≤+212（其中]2,2[2sin 2-∈-=x t ），()m in 212t t m +≤+，即可解得m 的取值范围．试题解析：（1）由条件（1）（2）（3）可知，4π-=x 和4π=x 为相邻对称轴，且)(x f 在4π-=x 处取得 最大值，在4π=x 处取得最小值．所以22π=T 得2=ω；由)(x f 在4π-=x 处取得最大值得0=φ且0<A ．经过)3,6(-πM ，所以3)62s i n (-=⨯πA ，解得2-=A ，所以)(x f )2s i n (2x -=．（2）因为56)32sin(2)6(=+-=+ππx x f ，所以53)32sin(-=+πx ； 54)32(sin 1)32cos())32(2sin()26sin(2±=+-±=+=+-=-πππππx x x x（3）t t m +≤+212（其中]2,2[2sin 2-∈-=x t ），t t +241)21(2-+=t ]6,41[-∈，所以12+m 6≤，解得：25≤m ． 【例15】【2015-2016福建师大附中高一下期中考数学（实验班）】已知函数()sin()f x x b ωϕ=+-(0,0)ωϕπ><<的图像两相邻对称轴之间的距离是2π，若将()f x的图像先向右平移6π()g x 为奇函数． （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的对称轴及单调区间；（3）若对任意0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2()(2)()20f x m f x m -+++≤恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】[1]()sin(2)3f x x π=+-[2]增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；[3]⎛-∞ ⎝⎦．（2）对称轴：122k x ππ=+，k Z ∈，增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦． （3）由于0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()1f x ≤≤-1()1f x -≤-≤ 2()(2)()20f x m f x m -+++≤恒成立，整理可得1()1()1m f x f x ≤+--．由1()1f x --≤1()1()1f x f x ≤+-≤-，故m ≤即m取值范围是1,2⎛---∞ ⎝⎦． 【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先借助题设条件求出函数解析表达式中的参数b ,,ϕω，这是解答本题的关键和突破口，只有求出参数b ,,ϕω的值，才能再去解决题设中提供的其它几个问题．求解时先利用两个对称轴之间的距离是2π，确定函数()sin()f x x b ωϕ=+-的最小正周期π=T ，进而求出22==ππω；再运用题设条件可得()sin[2()]6g x x b πϕ=-+-由)(x g y =是奇函数，并借助奇函数的定义可得⎪⎩⎪⎨⎧==-30)3sin(b ϕπ，即⎪⎩⎪⎨⎧==33b πϕ，所以求得()sin(2)3f x x π=+【例16】【2015-2016学年福建师大附中高一下学期期末】已知函数xc x b a x f sin cos )(++=的图像经过点)1,0(A 及)1,2(πB ．[1]已知)2,0(π∈x 时，2|)(|≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围；[2]当a 取上述范围内的最大整数．．．．值时，若有实数φ,,n m ，使得1)()(=-+φx nf x mf 对于 R x ∈恒成立，求φ,,n m 的值．【答案】（1）[]234,2-+；（2）161=m ，161=n ，Z k k ∈+=,2ππφ． 【解析】试题分析：（1）首先根据条件可得a c b -==1，将函数转化为()()a x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=4sin 12π，根据条件可得⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πx 的范围，最终讨论a -1的取值范围后，得到函数的值域，根据条件()2≤x f 得到a 的取值范围；（2）由（1）的结论可得8=a ，代入()()1=-+ϕx nf x mf ，要使上式对R x ∈∀恒成立，则需满足()⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0sin 0cos 18φφn n m n m ，得到参数的取值范围． 试题解析：由12,1)0(=⎪⎭⎫⎝⎛=πf f ，可得，1,1=+=+c a b a ，所以a c b -==1，所以 ()()a x a a x x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++-=4sin 12)cos )(sin 1(π，（1）设t x =⎪⎭⎫⎝⎛+4sin π，()a t a y +-=12，因为⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+πππ43,44x ，即⎥⎦⎤⎝⎛∈1,22t ， ① 当01>-a 时，()()(]a a x f +-∈12,1，此时()2≤x f 恒成立，只需()212≤+-a a ，可得[)1,2-∈a ，②当0-1=a 时，()1=x f ，此时满足条件， ③当0-1<a 时，()()[)1,12a a x f +-∈，此时()2≤x f 恒成立，只需()212-≥+-a a ，可得(]234,1+∈a综上，a 的取值范围是[]234,2-+． （2）可得8=a ，则()⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 278πx x f ．由()()1=-+φx nf x mf ，可得 ()14sin 274sin 278=⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+φππx x m n m ，令X x =+4π得，()()1cos sin 27sin cos 278=++-+X n X n m n m φφ．要使上式对任意X 恒成立，则有()⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0sin 0cos 18φφn n m n m ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==1611cos 0sin n m φφ，所以161=m ，161=n ，Z k k ∈+=,2ππφ． 考向2 知图求式【例17】【2016江西赣中南五校一联，理5】如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=，则ω等于（ ） A ． 8 B ．8π C ． 4π D ．2π【答案】B【解析】由题意可得：2=OP ，PN PM ⊥，所以2==ON OM ；所以函数的周期为16，即8πω=故选B ．【例18】【2016云南第一次统测，理7】为得到cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】D【例4】【2016新课标I 学易大联考一】已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f ，则下面结论正确的是（ ）A ．函数)(x f 的最小正周期为2πB ．函数)(x f 是偶函数C ．函数)(x f 的图象关于直线3π=x 对称 D ．函数)(x f 在区间]4,0[π上是增函数【命题意图】本题主要考查根据)sin()(ϕω+=x A x f 的图象求解析式、)sin()(ϕω+=x A x f 的性质．考查考生的数形结合思想与运算求解能力． 【答案】D【解析】由图知，2=A ，99421ππ-=T ，∴23T π=，故A 错误；∵点)0,9(π在函数)(x f 的图象上，∴0)93sin(2=+⨯ϕπ，∵2||πϕ<，∴3πϕ-=，∴)33sin(2)(π-=x x f ．∴函数)(x f 是非奇非偶的函数．故B 错误；由)Z (233∈+=-k k x πππ得)Z (183∈-=k k x ππ，∴函数)(x f 的图象不关于直线3π=x 对称．故C 错误；由)Z (223322∈+≤-≤-k k x k πππππ，即)Z (185321832∈+≤≤-k k x k ππππ，令0=k ，则18518ππ≤≤-x ，∵]185,18[]4,0[πππ-⊆，∴选项D 正确． 【例19】【2016新课标II 学易大联考一】已知函数()()sin f x A ωx φ=+002πA ωφ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示，若将()f x 的图像上所有点向右平移12π个单位得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的单调增区间为（ ）A ． [,]36k k ππππ-+，k Z ∈ B ． 2[+,]63k k ππππ+，k Z ∈ C ． [,]1212k k ππππ-+，k Z ∈ D ． 7[,]1212k k ππππ--，k Z ∈【命题意图】本题主要考查三角函数图像与性质、图像变换，是基础题． 【答案】A【解析】容易得到A=2，12,2,4423124T πππππωωω=⋅==-=∴=把点212π⎛⎫⎪⎝⎭，代入得=3πϕ，所以()2sin 23πf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()2s i n 22s in 21236g x =x =x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππ，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，故()g x 的单调增区间为[,]36k k ππππ-+，k Z ∈，故选A ．【例20】【2016届河南省洛阳市高三毕业班三练数学（理）】已知函数()cos()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为23πB ．函数()f x 的图象可由()cos()g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到C ．函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间(,)42ππ上单调递增。

I ．题源探究·黄金母题 【例1】已知角α的终边经过点()3,4P --，求角α的正弦、余弦和正切值． 【解析】由已知可得：()()220345OP x =-+-=．如图，设角α的终边与单位圆交于点(),P x y ．分别过点0,P P 作x 轴的垂线00,,MP M P 则0004,,3,M P MP y OM ==-= ,OM x OMP =-∆∽00OM P ∆，于是， 0004sin 15MP M P y y OP OP α-====-=-； 003cos 15OM OM x x OP OP α-====-=-；sin 4tan cos 3y x ααα===．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第12页例2．【母题评析】本题考查任意角终边上任意一点三角函数的定义．【思路方法】一般地，设角α的终边上任意一点P 的坐标为(),x y ，它与原点的距离为r，则()sin ,cos ,tan 0y x yx r r xααα===≠．【变式】已知角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，其中0a ≠，求sin ,cos ,tan ααα的值．（人教版A 版必修4第20页习题A 组第2题）II ．考场精彩·真题回放【例2】【2013新课标全国II 卷】设θ为第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin cos θθ+= ．【解析】11tan 11tan ,,tan ,421tan 23πθθθθθ+⎛⎫+=∴=∴=- ⎪-⎝⎭Q Q 为第二象限角，设角θ的终边上有一点()()3,0,10,P k k k r k ->∴【命题意图】本题主要考查三角函数的定义的应用，考查考生基本计算能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．【难点中心】解答此类问题的关键是正确运用三角函数的定义，注意角所在的象限．10sin ,cos ,sin cos 51010y x r r θθθθ∴====-∴+=-．III ．理论基础·解题原理 任意角αα−−−−→唯一对应的终边的位置−−−−→唯一对应终边与单位圆的交点坐标，即任意角α−−−−→唯一对应终边与单位圆的交点坐标．一、三角函数的单位圆定义法设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(),P x y ，那么：正弦sin y α=；余弦cos x α=；正切tan (0)yx xα=≠． 即：正弦、余弦、正切都是以角（实数）为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们称它们为三角函数．（单位圆定义法） 二、三角函数的终边定义法设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()220r r x y =+>，则()sin ,cos ,tan 0y x yx r r xααα===≠． 三、三角函数线如图（I ）～（IV ），设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合且与单位圆交于点A ，终边与单位圆交于点(),P x y ，过点P 作PM 垂直x 轴于点M ，过点A 作x 轴垂线与角α的终边或其延长线交于点T ，则有向线段,,MP OM AT 分别称为角α的正弦线、余弦线、正切线，即正弦线：sin MP y α==；余弦线：cos OM x α==；正切线：tan (0)yAT x xα==≠．正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，考查对基础知识的识记与理解，考查考生基本计算能力． 【技能方法】（1）已知角α的终边上一点P 的坐标求角α的三角函数值，可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的终边定义法求解；（2）已知角α的终边所在的直线方程求角α的三角函数值，则可先设出终边上一点的坐标，求出点到原点的距离，然后利用三角函数的终边定义法求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可以直接写出角α的三角函数值；（3）各象限三角函数值符号规律的口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 【易错指导】当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况讨论，机械地使用三角函数的定义会出现错误．V ．举一反三·触类旁通【例3】【2016新课标Ⅱ学易大联考三】已知函数()sin 2()f x x ＝＋ϕ（0ϕ<<π），若角ϕ的终边经过点(3,3)，则()4f π的值为（ ）A ．3B ．3C ．2D ．23 【命题意图】本题考查诱导公式、三角函数的定义等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力． 【答案】A【例4】【2016年湖北龙泉中学高三月考】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin 24πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．7210-B ．210C ．210-D ．210【答案】D【解析】由题意可知2tan =θ，))2sin 2sin 2cos 2sin cos cos 422πθθθθθθ⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭102221tan )1(tan 222)1(tan cos 222=-++=-+=θθθθ，所以本题的正确选项为D ． 【例5】【2016届湖南省四大名校高三3月联考数学（理）试卷】在直角坐标系中，P 点的坐标为34,,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭是第三象限内一点，1OQ =， 且34POQ π∠=，则Q 点的横坐标为 （ ）A ．B ．． D ．【答案】A【解析】由题设可设)sin ,(cos ),sin ,(cos ααθθP Q ，则Z k k ∈+=-==,245,54sin ,53cos ππαθαα，所以Z k k ∈++=,245παπθ，所以cos(cos =θ102754225322)45-=⨯-⨯-=+απ，故应选A ． 【例6】【2015-2016福建师大附中高一下期中考数学】若点(sin cos ,2cos )P θθθ位于第三象限，那么角θ终边落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】由题设0sin ,0cos ><θθ，故角θ的终边在第二象限．故应选B ．【例7】【2015-2016学年湖南衡阳一中高一下期末数学试卷】已知角α的终边过点(8,3)P m ，且4cos 5α=-，则m 的值为（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ． 2【答案】A【解析】由题设549648cos 2-=+=m mα可得21±=m ，经检验21-=m 成立，应选A ．【例8】【2015-2016学年西藏山南二中高一下期末数学试卷】若角600o的终边上有一点(4,)a -，则a的值是（ ）A ．．-．±．0 【答案】B【解析】由题意得tan 6004tan 604aa =-⇒=-=-oo B ． 【方法点睛】利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．【例9】【2015-2016学年黑龙江鹤岗一中高二下期末理科数学试卷】已知角α的终边过点()m m P 34，-()0m <，则ααcos sin 2+的值是（ ）A ．1B ．52C ．52- D ．－1 【答案】C【解析】因m m m r 591622-=+=，故54cos ,53sin =-=αα，所以52cos sin 2-=+αα，故选C ．【例10】【2015-2016学年西藏日喀则一中高二下期末文科数学试卷】已知角α终边与单位圆221x y +=的交点为1,2y ⎛⎫P ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．12C ．-．1【答案】A 【解析】因21cos =α，故sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭211cos 22cos 2-=-=αα，故应选A ． 【例11】【2016届吉林四平一中高三五模文科数学试卷】已知锐角α的终边上一点(1cos 40,sin 40)P +o o ，则锐角α=（ ）A ．80oB ．70oC ．20oD ．10o【答案】C【解析】sin 4040tan tan tan 20,201cos 402αα====+o o o oo．【例12】【2015-2016学年海南省国兴中学高一下第一次月考数学试卷】已知()P y 为角β的终边上的一点，且sin β=，则y的值为（ ） A ．12±B ．12C ．12- D ．2± 【答案】B 【解析】13133sin 2=+=y y β，解得21=y ，故选B ． 【例13】【2015-2016学年湖北省黄冈市蕲春县高一下期中数学试卷】已知α为锐角，且α5的终边上有一点)130cos ),50(sin(00-P ，则α的值为（ ）A ．08 B ．044 C ．026 D ．040 【答案】B【解析】利用诱导公式，可以将点P 化简为P （cos220°，sin220°），因为0°＜α＜45°， 所以5α=220°，所以α=44°．故选B【例14】【2015-2016学年湖南省株洲市十八中高一下期中理科数学试卷】若,54cos ,53sin -==αα则在角α终边上的点是（ ）A ． )3,4(-B ． )4,3(-C ． )3,4(-D ． )4,3(- 【答案】A【解析】由三角函数定义可知，角终边上的点(),x y满足3445y r xrr ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以43x y =-⎧⎨=⎩，点为)3,4(-．【例15】【2015-2016学年湖南省株洲市十八中高一下期中理科数学试卷】已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】因为点P （tan α，cos α）在第三象限，所以，tan α＜0，cos α＜0，则角α的终边在第二象限．【例16】【2015-2016学年湖南省醴陵二中、四中高一下期中数学试卷】若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[0,2)π内α的取值范围是（ ）A ．5(,)(,)424ππππU B ．35(,)(,)244ππππU C ．)23,45()2,4(ππππY D ．33(,)(,)244ππππU 【答案】A 【解析】由题意得sin cos 0tan 0ααα->⎧⎨>⎩，由[0,2)απ∈可得α的取值范围是5(,)(,)424ππππU 【例17】【2015-2016学年福建省晋江市季延中学高一下期中数学试卷】已知正角α的终边上一点的坐标为（32cos ,32sinππ），则角α的最小值为（ ） A ．65π B ．32π C ．35π D ．611π【答案】D【解析】由题点坐标为；（32cos ,32sinππ），1)2-， 则：111sin ,26y r παα==-= 【例18】【2016届湖北省襄阳五中高三5月高考模拟一文科数学试卷】在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(3,1)P --，则sin(2)2πα-=（ ） A ．3 B ．3- C ．12 D ．12- 【答案】D 【解析】因33tan =α，则67πα=，故sin(2)2πα-21-=，选D ． 【例19】【2015-2016学年吉林省松原市扶余一中高一下期中数学试卷】若角α的终边过点P （2cos120°，sin225°），则cosα=（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】【例20】【2016届河北省衡水中学高三下学期猜题理科数学试卷】若点55(sin,cos )66ππ在角α的终边上，则sin α的值为（ ） A ．3．12- C ．12 D 3【答案】A ．【解析】根据任意角的三角函数的定义，5cos 36sin 12πα==-，故选A ． 【例21】【2015-2016学年贵州花溪清华中学高一5．28周练】若角α和β的终边关于直线0x y +=对称， 且3πα=-，则β角的集合是 ．【答案】|2,6k k Z πββπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭【解析】根据象限角可得3-πα=关于0=+y x 对称的一个角是6πβ-=，那么根据终边相同的角的集合的表示为|2,6k k Z πββπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭． 【例22】【2015-2016学年江苏省连云港东海县房山高中高一下期中数学试卷】已知角的终边过点(1,2)P -，则sin α的值为 ．【答案】5【解析】由题角的终边过点(1,2)P -： 因为：sin yrα=，r ==则；sin 5α= 【例23】【2015-2016学年北京市怀柔区高一上期末数学试卷】已知角α的终边经过点1(2P ，则tan α的值为____________． 【答案】3 【解析】3tan ==xyα 【例24】【2015-2016学年福建师大附中高二下期末文科数学试卷】设0<a ，角α的终边经过点(3,4)P a a -，则αsin =__________． 【答案】45-【解析】44sin 55a a α===--． 【例25】【2015-2016学年广东仲元中学高二上期末数学试卷】在平面直角坐标系xoy 中，以x 的非负半轴为始边作两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆交于点A ，B ，已知A 的横坐标为55，B 的纵坐标为102，则=+βα2______． 【答案】43π【解析】由三角函数的定义可知：cos 5α=，sin 10β=，sin5α∴=，cos 10β=， 4sin25α∴=，23cos 212(55α=-⨯=-，472322sin(2)()55αβ∴+=⨯+-⨯=，324παβ∴+=． 【例26】【2015-2016学年内蒙古赤峰二中高一上第二次月考文数学卷】已知角α的终边上一点()3,,0P y y -≠，且2sin 4y α=，求cos ,tan αα的值． 【答案】6155.cos ,tan ,43y αα==-=-或6155,cos ,tan 43y αα=-=-=．【例27】【2015-2016学年甘肃省金昌市永昌一中高一上学期期末考】已知角α的终边在直线y=x 上，求sinα，cosα，tanα的值．【答案】sinα=﹣，cosα=﹣，ta nα=【解析】试题分析：分类讨论，取特殊点的坐标，由三角函数定义可得． 试题解析：直线y=x ，当角α的终边在第一象限时，在α的终边上取点（1，），则sinα=，cosα=，tanα=；当角α的终边在第三象限时，在α的终边上取点（﹣1，﹣），则sinα=﹣，cosα=﹣，tanα=．【例28】【2015-2016学年福建省清流县一中高一上学期期中考试数学试卷】 （1）已知角α的终边经过一点)0)(3,4(>-a a a P ，求ααcos sin 2+的值； （2）已知角α的终边在一条直线x y 3=上，求αsin ，αtan 的值．【答案】（1）25-；（2）3tan=α，当0>a时，23sin=α；当0<a时，23sin-=α．。

I．题源探究·黄金母题【例1】已知，计算：（1）；（2）．【解析】（1）原式分子分母都除以，得原式．（2）原式，分子分母都除以，得原式．精彩解读【试题来源】人教版A版必修4第71页B组习题第4题．【母题评析】本题主要考查关于齐次式的应用．【思路方法】应用“1”的代换及商关系实现弦化切．II．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考新课标3理数】若，则（）(A) (B) (C)1 (D) 【答案】A【解析】由，得或，，故选A．【命题意图】本题主要考查关于齐次式的应用，考查考生基本计算能力及转化与化归能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，中等偏易．【难点中心】解答此类问题的关键是利用“1”的代换及商关系实现弦化切．III．理论基础·解题原理（1）商数关系：；（2）平方关系：．（2）利用可以实现角的正弦、余弦的互化；利用可以实现角的弦切互化．（3）注意公式逆用及变形应用：．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解，公式的活用．【技能方法】若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类典型题．【易错指导】这类题经常使用“1”的代换，即，在使用时要注意根据问题的实际情况灵活处理，防止错误的代换．V ．举一反三·触类旁通 考向1 “弦化切”的运用【例3】【2016届宁夏银川二中高三5月适应性训练理科数学】已知是第四象限角，且，则（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A【解析】，因为为第四象限角，故．【例4】【2015-2016学年湖南衡阳一中高一下期末数学】已知，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B【解析】因 ，故应选B ．【例5】【2015-2016学年河北冀州中学高一下期末理科数学】若，是第三象限的角，则（ ） A ． B ． C ．2 D ．-2 【答案】B【解析】因为，是第三象限的角， ，∴22231sincoscossin(cossin )1sin 152222224cos 2sin cos cos sin cos sin 2222225παπααααααπαπαααααα++--+++=====------．故选B ．【例6】已知，则的值是 ． 【答案】． 【解析】．【例7】【2016届宁夏银川二中高三三模拟理科数学试卷】已知，则的值为 ． 【答案】． 【解析】，．【例8】【2016届宁夏六盘山高级中学高三第一次模拟考试文科数学】已知，则 _________． 【答案】【解析】对的分子分母同时除以，可将正余弦化简为正切， ．【例9】【2015-2016福建师大附中高一下期中考数学】已知角的的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则的值等于 ．【解析】由题设可知，故．故应填．【例10】【2016届宁夏银川二中高三三模拟理科数学】已知，则的值为．【答案】【解析】，．【例11】【2016届四川省南充高中高三4月模拟三理科数学】已知，为第二象限角．（1）求的值；（2）求的值．【答案】(1)；(2)．考向2 “‘1’的代换”的运用【例12】【2015-2016福建师大附中高一下期中考】已知，则的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得，故．应选A．【例13】【2016届安徽省淮北一中高三最后一卷理科数学】已知，则（）A． B． C． D．【答案】A．【解析】，，所以，，，．故选A．【例14】【2015-2016学年河北省武邑中学高二4月月考理科数学】若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由有，左边通分有，，所以，故选D．【例15】【2016届四川省南充高中高三4月模拟三理科数学】已知，则的值是．【答案】．【例16】【2016届陕西省西北工大附中高三第四次考试文科数学】若，则=________．【答案】．【解析】222 22222sin cossin cos tan22cossin cossin cossin cos tan1215cosαααααααααααααα=====++++．【例17】【2015-2016学年山东省济宁一中高一下期中数学】若，则 _________．【答案】．【解析】，．【例18】【2015-2016学年江西省南昌市八一中学等高一上学期期末联考】已知A，B，C三点的坐标分别是，若，则=__________．【答案】【例19】已知，则的值是．【答案】【解析】．【例20】【2015-2016学年山西大学附中高一下学期3月模块诊断】已知角的终边经过点，（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）本题可由任意角三角函数定义直接求得值，然后利用诱导公式把原式化简，分式上下每一项都除以，代入值即可；（2）利用平方关系将分子中的“1”化为，这样原式就化为了一个齐次分式，然后分式上下每一项都除以，代入值即可．试题解析：（1）∵角的终边经过点∴，∴；。

I ．题源探究·黄金母题 【例1】在△ABC 中，cm c cm b cm a 15,10,9===，解三角 形.【解析】由余弦定理得：bc a c b C 2cos 222-+==109215109222⨯⨯-+=-4511=-0.2444，∴C ≈104°，∴B A ,都是锐角，由正弦定理得AB sin 9sin 10104sin 15==︒， ∴15104sin 10sin ︒=B =0.6468，∴B =40°，∴C B A --︒=180=36°． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修5第10页A 组第4题（1）．【母题评析】本题考查利用正余弦定理解三角形．【思路方法】已知三角形三边解三角形问题，先用余弦定理求出最大边所对的角，再用正弦定理解出其余两角． 【变式】 在△ABC 中，cm c cm b cm a 27,42,31===，解三角形．（人教版A 版必修5第10页习题A 组第4题（2））II ．考场精彩·真题回放【例2】【2015广东高考文，5】设C ∆A B 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos 2A =b c <，则b =（ ） AB ．2 C． D ．3【例3】【2016课标2，15】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4c os 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________.【答案】2113【解析】因为4cos 5A =，5cos 13C =且C A ,为三角形内角，3sin 5A =，12sin 13C =，所以B sin =)](sin[C A +-π=)sin(C A +=C A C A sin cos cos sin +=6563， 又因为B b A a sin sin =，所以1321sin sin ==A B a b . 【例4】【2015高考安徽，理16】在ABC ∆中，3,6,4A AB AC π===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.【解析】如图，设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得2222232cos 626cos1836(36)904a b c bc BAC π=+-∠=+-⨯⨯=+--=，所以a =又由正弦定理得sin sin 10b BAC B a ∠===. 由题设知04B π<<，所以cos B ===在ABD ∆中，由正弦定理得sin 6sin 3sin(2)2sin cos cos AB B B AD B B B Bπ⋅====-【命题意图】本类题问题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查考生运算求解能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．【难点中心】解答此类问题的关键是正余弦定理，注意确定一解还是两解． III ．理论基础·解题原理 考点一 正弦定理及其变形1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等2sin sin sin a b cR A B C===.（R 为外接圆半径） 2.变形：①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =; ②sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===; ③::sin :sin :sin a b c A B C =；④2sin sin sin sin a b c aR A B C A++==++.考点二 余弦定理1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-. 2.推论：222cos 2b c a A bc +-=;222cos 2a c b B ac+-=;222cos 2a b c C ab +-=.3.变形：2222cos bc A b c a =+-;2222cos ac B a c b =+-;2222cos ab C a b c =+-.IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，考查对基础知识的识记与理解，考查考生基本计算能力． 【技能方法】1.解三角形中正余弦定理选择（1）已知三角形中的两角和一角的对边，利用正弦定理解三角形.（2）已知三角形两边和一边的对角可以利用正弦定理解三角形也可以用余弦定理解三角形，注意判定三角（3）若已知三边或已知两边和夹角，用余弦定理解三角形. 2.形解得情况，如在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：3.注意利用三角形内角和定理：π=++C B A 沟通三个内角的关系.4.常用结论：sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；tan()tan A B C +=-sin cos 22A B C +=；2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+；【易错指导】在利用正弦定理解三角形时，注意判定三角形解得个数，常用大边对大角，判定一解还是两解，要熟记上边表格中解得个数的判定方法． V ．举一反三·触类旁通 考向1 正弦定理应用【例5】【2015-2016学年湖南省衡阳一中高二下学业水平模拟（2）】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a =5，c =10，A =30°，则B 等于（ ）A ．105°B ．60°C ．15°D ．105° 或 15° 【答案】D【方法总结】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 【跟踪训练】1.【2015-2016学年湖南师大附中高一下学期期末】已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3sinA 5=，3cosC 15=,1a =,则b ＝（ ） A.1321 B.2113C.1113D.1311【答案】B【解析】由题意得C A C A C A B C A sin cos cos sin )sin(sin ,1312sin ,54cos +=+===6313541263sin 2165,351351365sin 135a Bb A⨯=⨯+⨯=∴===，故选B. 2.【2017届广东珠海市高三9月摸底考试数学（文）】在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知 45,3,2===A b a ，则角B 大小为（ ）A ． 60B ． 120C ． 60或 120D ． 15或 75 【答案】C【解析】由正弦定理可得:B sin 345sin 20=，由此可得23sin =B ，因a b >，故=B60或 120，所以应选C .考向2 余弦定理应用【例6】【2017届河南郑州一中网校高三入学测试数学（文）】设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且12,3,cosC 3a b ===，则sin A =____．【答案】9【方法总结】对已知三角形的两边和夹角求其中一边的对角正弦问题，先用余弦定理求出已知角的对角，再用正弦定理求出所求角的正弦值.【跟踪练习】 【2016届北京通州区高三4月一模数学（文）】在ABC ∆中，已知22,,3BC AC B π==，那么ABC ∆的面积是______．【解析】由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得1=c ，故ABC ∆的面积23sin 21==∆B ac S ABC .考向3 正弦定理与余弦定理的综合应用【例7】【2015-2016学年辽宁东北育才学校高一下段考二数学】已知AD 为ABC ∆的角平分线,︒=∠==60.3,2A AB AC ，则=AD . 【答案】536 【解析】在ABC∆中，由余弦定理可得22212c o s 492372B C A B AC AB AC =+-⋅=+-⨯⨯=， BC =由正弦定理可得sin sin 14AB A C BC ⨯==，因为AD 为ABC ∆的角平分线，所以5CD =, 在ACD ∆中，由正弦定理可得sin ,2sin sin 30sin 305145AD CD CD C AD C ⋅=∴==⨯= 【方法点睛】先由余弦定理求出边BC 的长，利用角平分线性质求出CD ，利用正弦定理求出C 角，再在△ACD 中运用正弦定理求出AD.【跟踪练习】【2016届河南三门峡外高考前模拟3】在ABC 中，B =120o，AB A 的角平分线AD 则AC =_______.考向4 正余弦定理与向量交汇【例8】【2016届内蒙古赤峰市高三4月统一能力测试】在ABC ∆中，内角,,C A B 对边分别为,,a b c ，且c a <，已知2CB BA =-，tan b 3B ==． （1）求a 和c 的值； （2）求()sin B C -的值．【解析】∵2CB BA =-，∴2BA BC =，∵cos 2,tan ca B B ==，∴6ac =，∴2222cosBac 6a c b ac +=+=，∴2213a c +=，∵2,3,3,2a c a c ====，∵a c >，∴3,2a c ==（2）在ABC ∆中，sin 3B ===，sin 2224sin 339c B C b ===，a b c =>，C 为锐角．7cos9C===，()714210sin sin cos cos sin93B C B C B C-=-=-=【名师点睛】涉及到平面向量的三角形问题，利用平面向量的相关知识，将条件转化为三角形的边角条件，再利用正余弦定理求解.【跟踪练习】【2015-2016学年四川资阳中学高一下学期期中数学】三角形ABC中，21,7,53cos-=⋅==BCABaB，则角C=_________【答案】4p【解析】由题21AB BC⋅=-，则可得；3cos()7()21,55AB BC c a B c cπ⋅=⨯⨯-=⨯-=-=利用余弦定理可得；23492527532,5b b=+-⨯⨯⨯==，再由余弦定理可得；cos,24C Cπ===考向5 与三角函数交汇【例9】【2017届河北沧州一中高三上学期第一次月考数学（文）】在ABC∆中, 已知2,3,60AB AC A===.（1）求BC的长；（2）求sin2C的值.【方法总结】对涉及到三角形角三角函数式求值问题，常利用三角形内角和定理化为某个角的三角函数问题，利用三角函数公式求值.【跟踪练习】【2016-2017学年山西怀仁县一中高二上期开学考】设锐角ABC∆的三内角A、B、C所对边的边分别为a、b、c,且1,2a B A==,则b的取值范围（）A ．B ．(C ．)2 D ．()0,2【答案】A【解析】2B A =，由正弦定理得sin sin 22sin cos ,2cos 2cos B A A A b a A A ====，因为02,024A B A ππ<=<<<,又因为,3,2263A B A A ππππππ<+<<<<<，故64A ππ<<，2cos A ∈.。

三角函数作为高中数学的主干知识，在相关学科中有着广泛的应用。

虽然教学内容与原来相比做了适当的删减，难度有所降低。

高考中三角试题主要以中档题出现，通过研究近几年全国高考试卷，题目设置上如果没有解答题，会有2--3个选填题；如果有解答题，为一个大题和一个小题。

分值为10—17分。

针对2012年---2016年全国高考试题中三角函数及解三角形的考查内容，笔者从考查知识、思想方法、数学能力等方面进行命题意图分析，从中找出命题的规律和特点，考查的重点和难点，试题与教材的联系，学生存在的问题等。

分类整理出近几年该部分典的高考试题供师生欣赏，供学生模拟练习，意在帮助我们掌握命题规律，提高学生的复习效率。

面对2017年的三角函数和解三角形的高考复习，为大家提出以下建议；三角函数与解三角形部分知识公式多、内容丰富、变化灵活、渗透性强．通过对这几年高考试题的分析可知，选填题是有针对性地考查本专题的重要知识点；解答题一般有三个命题方向，一是以考查三角函数的图象和性质为主，二是把解三角形与三角函数的性质、三角恒等变换交汇，三是考查解三角形或者解三角形在实际问题中的应用。

笔者认为，具体解答时，熟练掌握基本解题策略，将有助于提高我们灵活解决考查这部分知识解题的能力。

复习教学中应注意“四化”，知识理解“深化”、考试题型“类化”、通性通法“强化”、解题思维“优化”。

数学教学与高考复习内容四查：查考纲把握方向、查考题明辨重点、查课本回归基础、查学情对症下药。

数学教学与高考复习要求四通：对学生点，心有灵犀一点通；让学生悟，融会贯通；让学生做，触类旁通；让学生考，无师自通。

【考纲解读】一、考点及要求说明: A.了解 B.理解 C.掌握二、考点说明：1. 三角函数（1）任意角的概念、弧度制①了解任意角的概念。

②了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。

（2）三角函数①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

能画出y = sin x,y = cos x,y = tan x的图像，了解三角函数的周期性。

研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解.一、用三角函数定义求值例1.已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)且cos α＝36x ，求sin α＋tan α的值．例2.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos θ＝( )。

A.－45B.－35C.35D.45【解析】取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55. 点评:用定义法求三角函数值的两种情况:①已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；②已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解.二、用诱导公式求值例3.【2016高考四川文科】错误！未找到引用源。

.【解析】由三角函数诱导公式错误！未找到引用源。

.例4.已知α∈错误！未找到引用源。

，sin α＝55，则tan(π－α)＝________. 【解析】因为α∈错误！未找到引用源。

，sin α＝55， 所以cos α＝－25 5.所以tan α＝sin αcos α＝－12. 所以tan(π－α)＝－tan α＝12. 点评:诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了。

诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取.三、用同角三角函数间的关系求值例5.【2016高考新课标Ⅲ文数】若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（ ） A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】错误！未找到引用源。

．例6.已知错误！未找到引用源。

为第二象限角,错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

能用三角函数定义求解的数学问题一般有两种题型，一类是知道角α的终边上一点的坐标；另一类是与单位圆有关.利用三角函数定义可以求三角函数值、参数值、判断角的象限.一、求三角函数值例1. 已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0), 且sin α＝2m 4，求cos α， tan α的值．点评：利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 、纵坐标y 、该点到原点的距离r .若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．例2.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝____.【解析】因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.点评：在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP |＝r 一定是正值．二、求参数值例 2. 【2016学年湖南衡阳一中高一下期末】已知角α的终边过点(8,3)P m ，且4cos 5α=-，则m 的值为（ ） A ．12- B ．12C ．D ． 【解析】由题设549648cos 2-=+=m mα可得21±=m ,经检验21-=m 成立,应选A. 点评：对于三角函数的定义要牢固记忆，并且与单位圆中的要区分开，要知道只有在单位圆中点的纵坐标才是角θ的正弦．三、三角函数定义下的创新例3.(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在的图象大致为( )【解析】如图所示，当x ∈(0,)2π时，则P (cos x ，sin x )，M (cos x ，0)，作MM ′⊥OP ，M ′为垂足，则||MM ′|OM |＝sin x ，所以f （x ）cos x＝sin x ， 所以f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，则当x ＝π4时，f (x )max ＝12； 当x ∈(,)2ππ时，有f （x ）|cos x |＝sin (π－x )，f (x )＝－sin x cos x ＝－12sin 2x ， 当x ＝3π4时，f (x )max ＝12.只有B 选项的图象符合．点评：本题是三角函数与圆的结合，利用三角函数定义首先写出P 、M 坐标，结合图形用x 表示出f (x )，即可判断出结果，此类问题见证了数学中的“以静制动”．近年来高考注重了由“静态数学”向“动态数学”的引导．一般以简单几何图形的平移、滑动、滚动等形式，运用三角知识考查学生分析问题解决问题的能力．。

I ．题源探究·黄金母题 【例1】已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>，x ∈R ，若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为 ．π【解析】()()sin cos 0f x x x ωωω=+>Q 的递增区间长度为半个周期，所以由()f x 在区间(),ωω-内单调递增， 可得π2ωω≤，π02ω<≤Q ，又()f x 的图像关于x ω=对称且()222πsin cos 2,sin 1,4f ωωωω⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭()2ππ2π42k k ω∴+=+∈Z ，由π02ω<≤2πππ,422ωω+=∴=． 精彩解读【试题来源】2015高考天津文数14．【母题评析】本题考查三角函数的单调性、对称性，考查考生的分析问题解决问题的能力． 【思路方法】结合函数的周期性、单调性、对称性解题．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期 （ ）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B【命题意图】本题主要考查降幂公式、三角函数的周期．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【难点中心】解答此类问题关键是灵活选用三角公式进行三角恒等变换化简函数()f x ，再运用三角函数相关性质【解析】 试题分析：21cos 2cos 21()sin sin sin222-=++=++=-++x x f x x b x c b x c b ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c 周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 期．故选B ．解题．【例3】【2016高考山东理数】函数f （x ）=x +cos x ）cos x –sin x ）的最小正周期是（ ）（A ）2π（B ）π （C ）23π（2π 【答案】B 【解析】()2sin 2cos 2sin 266f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛=+⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，故最小正周期22T ππ==，故选B ．【命题意图】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的周期性． 能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等偏易．【难点中心】解答此类问题的关键是能综合运用三角公式化为形式()sin y A x B ωϕ=++，再进一步讨论相关性质．III ．理论基础·解题原理 考点一 三角函数的周期性函数sin ,cos y x y x ==的最小正周期为2π，tan y x =的最小正周期为π． 考点二 三角函数的奇偶性对于函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>，当且仅当()k k Z ϕπ=∈时是奇函数，当且仅当()2k k Z πϕπ=+∈时是偶函数；对于函数()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>，当且仅当 ()2k k Z πϕπ=+∈时是奇函数，当且仅当()k k Z ϕπ=∈时是偶函数．考点三 三角函数的对称性sin y x =的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴是直线()ππ2x k k =+∈Z ，其对称中心是()()π,0k k ∈Z ；cos y x =的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴是直线()πx k k =∈Z ，其对称中心是()ππ,02k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ；tan y x =的图像不是轴对称图形，是中心对称图形，其对称中心是()π,02k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等． 【技能方法】（1）函数()()sin ,cos y A x B y A x B ωϕωϕ=++=++的最小正周期为2πω，()tan y A x B ωϕ=++的最小正周期为πω． （2）三角函数中奇函数一般可化为sin y A x ω=或tan y A x ω=，而偶函数一般可化为cos y A x B ω=+的形式．（3）()()()sin 0f x A x A ωϕω=+≠的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，()f x 图像关于直线0x x =对称的充要条件是()0f x A =±，()f x 图像关于点0(,0)x 对称的充要条件是()00f x =． 【易错指导】必须先将解析式化为()()()sin ,cos ,tan y A x B y A x B y A x B ωϕωϕωϕ=++=++=++的形式，再分别利用公式2,T T ππωω==求周期，注意ω一定要加绝对值．V ．举一反三·触类旁通 考向1 三角函数的奇偶性【例4】【2016江苏学易大联考一】已知()sin())44f x a x x =++-ππ是偶函数，则实数a 的值为_______.【命题意图】本题考查函数偶函数性质，特殊角三角函数值等基础知识，意在考查学生分析能力及基本运算能力． 【答案】 3.-【解析】因为函数()y f x =是偶函数，且定义域为R ，所以()(),44f f ππ=-即 3.a =-当3a =-时，()6cos f x x =-为偶函数．【例5】【2016江苏押题卷3】已知函数b a x b x a x f ,(cos sin )(+=为常数，且R x a ∈≠,0），若函数)4(π+=x f y 是偶函数，则)4(π-f 的值为 ．【命题意图】考查三角函数的图像和性质及数形结合的思想，以及分析问题解决问题的能力． 【答案】0．【解析】由题设可知，函数)(x f y =的图像关于直线4π=x 对称，借助对称性及演绎推理的思想可知)2()0(πf f =，即b a =．所以02222)4(=+-=-b a f π． 考向2 三角函数的周期性【例6】【2016山东学易大联考四】已知()()0,2,,0A B a ，点()P 2,1在直线AB 上，则函数sin y ax =的最小正周期为_________．【命题意图】本题主要考查平面向量的线性运算，三角函数的周期性等基础知识，意在考查学生的运算求解能力．【例7】【2015-2016学年广东省高州一中高二下期中文科】函数232cos y x x =+的最小正周期为 ． 【答案】π． 【解析】由于函数()23313111sin 2cos sin 21cos 2sin 2cos 2sin 222262y x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++=++ ⎪⎝⎭，所以=2ω，则最小正周期22T ππ==．故答案为：π． 考向3 三角函数的对称性【例8】【2016江苏高考押题卷1】将函数()3cos sin y x x x =+?¡的图像向左平移()0m m >个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是_______.【命题意图】本题考查三角函数图像与性质等基础知识，意在考查基本运算能力． 【答案】6π【解析】因为)3sin(2sin cos 3π+=+=x x x y ，所以向左平移()0m m >个单位长度后变换为)3sin(2m x y ++=π，由题意得)(23Z k k m ∈+=+πππ且0>m ，即)(6Z k k m ∈+=ππ，注意到0>m ，所以当0=k 时，m 取最小值6π=m ，因此m 的最小值是6π．【例9】【2016届湖北七市教研协作体高三4月联考文科数学】已知函数()sin cos f x a x b x =-（,a b 为常数，0a ≠，x R ∈）在4x π=处取得最大值，则函数()4y f x π=+是（ ）A ．奇函数且它的图象关于点(,0)π对称B ．偶函数且它的图象关于点3(,0)2π对称 C ．奇函数且它的图象关于点3(,0)2π对称D ．偶函数且它的图象关于点(,0)π对称 【答案】B【例10】【2016届广东省深圳市高三第二次调研考试数学（理）】已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()f x 的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．712x π= 【答案】A【解析】()g x 的图象向右平移3π个单位长度，得cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入选项，验证得6x π=是其对称轴．【例11】【2015-2016学年湖北沙市中学高一下第五次半月考】已知函数2()cos () 1 (0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=++>><的最大值为2，()f x 的图像与y 轴的交点坐标为()0,2，其相邻两条对称轴间的距离为2，则()()()()1232016f f f f +++=L ．【答案】3024【解析】已知函数2()cos () 1 (0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=++>><的最大值为2，()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得1A =，22(0)cos 12,cos 1,0f ϕϕϕ=+=∴=∴=，即213213()cos 1cos 2,22,,()cos 2224222f x x x T f x x πππωωωω=+=+==⨯∴=∴=+Q ，6423)1010(21)4()3()2()1(=⨯+++-⨯=+++f f f f ，=+⋅⋅⋅++∴)2016()2()1(f f f30246504)]4()3()2()1([504=⨯=+++⨯f f f f ．【易错点睛】由函数的最值求出A 的值，由周期求出ϕ的值，由特殊点求出ϕ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性，求得要求式子的值．本题主要考查由函数)sin(ϕω+=x A y 的部分图象解析式．本题难点在于每四项的和是一个定值，利用这个周期性，便可解决前2016的项．本题属于中档题．考向4 已知三角函数的奇偶性、对称性或周期求参数的值【例12】【2016届湖南省湘西自治州高三第二次质量检测数学（文）】已知函数()()()sin 0f x x ωωπω=->的最小正周期为π，则12f π⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ）A ．12 B ．12- C ．2 D ．2-【答案】A【解析】由题意知2,2ππωω=∴=，()()sin 22sin 2f x x x π=-=，∴1sin 1262f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故选A ．【例13】【2016届河南新乡名校学术联盟高三高考押题四文数学】已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（02πϕ<<）与y 轴的交点为()0,1，且图象上两对称轴之间的最小距离为2π，则使 ()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】A 【解析】Q2ππω=，∴2ω=，所以()02sin 1f ϕ==，∴6πϕ=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意()()0f x t f x t +--+=，得()()f x t f x t -+=+，所以()f x 关于直线x t =对称，所以26t π+=2k ππ+，k ∈Z ，∴26k t ππ=+，k ∈Z ，所以t 的最小值为6π． 【例14】【2016届山西晋城市高三下学期三模考试文数学】已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭相邻两对称中心之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位所得图象关于直线2x π=对称， 则ϕ=（ ） A ．4π- B ．6π- C ．6π D ．4π【答案】B【解析】由题意，得2T ωπ==π，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+．将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位，得()2sin[2()]2sin(2)33g x x x ϕϕπ2π=++=++．因为所得函数图象关于直线直线2x π=对称，所以32k ϕ2πππ++=+π，即()6k k z ϕ5π=π-∈．令1k =-，得6πϕ=-，故选B ．【例15】【2016届山西晋城市高三下学期三模考试理数学】已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭相邻两对称中心之间的距离为π，且()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭恒成立， 则ϕ的取值范围是（ ） A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由题意，得22T ωπ==π，解得1ω=．由()2sin 1x ωϕ+>，即()1sin 2x ωϕ+>，得2266k x k ϕπ5π+π<+<+π，即(2,2)66x k k ϕϕπ5π∈+π-+π-()k Z ∈．因为()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，所以,(,)12366ππϕϕπ5π⎛⎫-⊆-- ⎪⎝⎭，即61263πϕπϕπ⎧-≤-⎪⎪⎨5π⎪-≥⎪⎩，解得42ϕππ≤≤，故选B ． 【例16】【2015-2016学年福建师大附中高一下学期期末】已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 ．【答案】9【思路点睛】本题考查了三角函数的性质，属于中档题型，本题的难点是如何将这两个条件结合在一起，ω是与周期有关的量，对称轴与零点间的距离也与周期有关，这样根据图像得到244--4kT T +=⎪⎭⎫⎝⎛ππ，即ωππ24124122⋅+=+=k T k ，第二个条件⎪⎭⎫⎝⎛36518ππ，是单调区间的子集，所以其长度小于等于半个周期，这样就得到了ω的一个范围与形式，最后求最大值，只能通过从最大的逐个代起，找到ω的最大值．【例17】【2016学年浙江省温州中学高二下学期期末考】已知函数()2sin(5)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的一个对称中心是,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ= ，现将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的5倍(纵坐标不变)，得到函数()g x ，再将函数()g x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()h x ，若2()322h ππαα⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，则sin α的值是 ． 【答案】6πϕ=，1266--【解析】根据函数()()2sin 522()f x x ππϕϕ=+-<<的一个对称中心是(06)π，，可得56k k Z πϕπ+=∈，，则6πϕ=．现将函数()(5)2sin 6f x x π=+ 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的5倍，(纵坐标不变)，得到函数()2sin 6()g x x π=+的图象；再将函数()g x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()2sin 2sin 663()()h x x x πππ=++=+的图象．若()()22sin ?3322()h πππααα=+=--<<，1sin ,cos sin sin ()()(33333)3ππππαααα-⎛⎫∴+=-+=-=+=⎪⎝⎭． 【例18】【2016届湖北襄阳四中高三六月全真模拟一数学（理）】已知函数()sin(4)cos(4)44f x x x ππ=++-．（1）求函数()f x 的最大值；（2）若直线x m =是函数()f x 的对称轴，求实数m 的值． 【答案】（1）最大值是2；（2）416k m ππ=+()k ∈Z ． 【解析】试题分析：（1）首先利用诱导公式将cos(4)4x π-变成sin(4)4x π+，从而化简函数解析式，然后利用正弦函数的性质求出函数的最大值；（2）利用sin y x =的对称轴，列出关系式，解出x ，即可求得m 的值． 试题解析：（1）()sin(4)cos(4)sin(4)sin(4)4444f x x x x x ππππ=++-=+++2sin(4)4x π=+，所以()f x 的最大值是2．（2）令442x k πππ+=+()k ∈Z ，则416k x ππ=+()k z ∈，而直线x m=是函()y f x =的对称轴，所以416k m ππ=+()k ∈Z ． 【方法点睛】三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角形函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．。

【基础知识整合】1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sin x，x∈0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y＝cos x，x∈0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质类型一、 三角函数的定义域和值域 【典例1】 函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为【典例2】2015·天津模拟]函数f(x)=-sin(2x-4π),x ∈0,2π]的最大值是 . 【答案】2【解析】因为x ∈0,2π], 所以-4π≤2x-4π≤34π.根据正弦曲线,得当2x-4π=-4π时.sin(2x-4π)取得最小值为.故f (x)=-sin(2x-4π)【变式训练】函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最小值为．【解析】令t ＝sin x ，∵|x |≤π4， ∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴t ＝－22时，y min ＝1－22.【解题技巧与方法总结】(1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．类型二 三角函数的单调性【典例3】 【2015高考安徽】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 【答案】A|0|0.526π-，|2| 1.476π-，当1k =-时，56x π=-，此时5|2()|0.66π---，所以(2)(2)(0)f f f <-<，故选A.【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【思路点拨】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出ω，通过最值判断出ϕ，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.【典例4】 2015高考新课标1] 函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为【答案】13(2,2),44k k k Z -+∈【变式训练】2015·济南模拟]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=b(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f(x)的单调递增区间是 .【答案】6k,6k+3],k ∈Z 【解析】如图,x=3,x=6是 y=Asin(ωx+φ)的对称轴, 所以周期T=2×(6-3)=6, f(x)max =f(3)=A,f(x)min =f(0)=-A, 所以单调递增区间为6k,6k+3],k ∈Z. 【解题技巧与方法总结】三角函数的单调区间的求法 (1)代换法：所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间． (2)图像法：函数的单调性表现在图像上是：从左到右，图像上升趋势的区间为单调递增区间，图像下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图像，结合图像易求它的单调区间．提醒：求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．类型三、三角函数的对称性与周期性【典例5】2015天津卷]已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为．【典例6】【2014高考北京】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为.【答案】π 【解析】试题分析：由)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且)6()2(ππf f -=知，函数)(x f 的对称中心为)0,3(π，由)32()2(ππf f =知函数)(x f 的对称轴为直线127)322(21πππ=+=x ，设函数)(x f 的最小正周期为T ， 所以，6221ππ-≥T ，即32π≥T ，所以43127T =-ππ，解得π=T . 考点：函数)sin()(ϕω+=x A x f 的对称性、周期性，容易题.【思路点拨】本题考查三角函数图象与性质，本题属于中等难度选填题，有关三角函数图象与性质及三角函数图像变换问题常在高考题目中出现，但本题重点考查函数图像的对称轴和对称中心以及对称轴和对称中心与周期性的关系，这样的考法并不多见，事实上，函数图象有两轴、两心、或一轴一心都会联想到函数的周期性，备考模拟题经常见到，但高考题偶尔遇到，不是很多.【变式训练】已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为．【思维点拨】 由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可．【典例7】【2014高考重庆】已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求ω和ϕ的值； （II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值.【答案】（I ）2,6πωϕ==-；（II 【解析】试题分析：（I ）由函数图像上相邻两个最高点的距离为π求出周期，再利用公式2T πω=求出ω的值；由函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，可得,32k k z ππωϕπ+=+∈，然后结合22ππϕ-≤<，求出的值.（II ）由（I ）知()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛326432παπαf s i n 64πα⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭ 结合263ππα<<利用同角三角函数的基本关系可求得cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，因为66ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可由两角和与差的三角函数公式求出sin α从而用诱导公式求得⎪⎭⎫⎝⎛+23cos πα的值. 试题解析：解：（I ）因()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==. 又因()f x 的图象关于直线3π=x 对称，所以2,0,1,2,,32k k ππϕπ⋅+=+=±± 因22ππϕ-≤<得0k =所以2236πππϕ=-=-.考点：1、诱导公式；2、同角三角函数的基本关系；3、两角和与差的三角函数公式；4、三角函数的图象和性质.【思路点拨】此题考查了诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，三角函数的图象和性质，属中档题，熟练掌握各种三角公式及三角函数的图象和性质解本题的关键．【解题技巧与方法总结】1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．2．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．3．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．失误与防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．3．三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的。

专题01三角函数与解三角形1．(2017·浙江卷)已知函数． （1）求的值．（2）求的最小正周期及单调递增区间． 【答案】（1）2；（2）最小正周期为，单调递增区间为．．所以的最小正周期是．由正弦函数的性质得，解得，所以，的单调递增区间是．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简,以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质,首先应把它化为三角函数的基本形式即,然后利用三角函数的性质求解． 2．(2017·新课标Ⅰ卷理）的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，已知的面积为22s i n c s i n c o s ()()x x f x x x =-∈R 2()3f π()f x π2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ()c o s 23i n 2fx x x =--2s in (2)6x π=-+()f x π3222,262k x kk πππ+π≤+≤+π∈Z 2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ()f x 2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ()ϕω+=x A ysin ()ϕω+=x A ysin u A y sin =A B C △A B C △.（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1，a =3,求的周长。

【答案】（1)；(2）．（2）由题设及（1)得，即.所以,故.由题设得,即。

由余弦定理得，即，得.故的周长为.【名师点睛】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件，求面积或周长的值”,这类问题的通法思路是:全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可。