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数列的通项公式与部分和公式数列的通项公式是指能够表示数列中第n个数与n的关系的公式，而部分和公式则是指数列的前n项和能够表示成与n的关系的公式。
本文将分别介绍数列的通项公式和部分和公式，以及应用举例。
一、数列的通项公式数列是指按照一定规律排列的一组数，通项公式是能够表示数列中第n个数与n的关系的公式。
1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则该等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d其中，an表示数列的第n个数。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，……，其首项a₁为1，公差d为3，根据通项公式可得：an = 1 + (n-1)3 = 3n - 2因此，该等差数列的通项公式为3n - 2。
2. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则该等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)其中，an表示数列的第n个数。
例如，对于等比数列2，6，18，54，……，其首项a₁为2，公比q 为3，根据通项公式可得：an = 2 * 3^(n-1)因此，该等比数列的通项公式为2 * 3^(n-1)。
二、数列的部分和公式数列的部分和是指数列前n个数的和，部分和公式是能够表示数列前n项和与n的关系的公式。
1. 等差数列的部分和公式对于等差数列，前n项和（部分和）Sn可以表示为：Sn = (a₁ + an) * n / 2其中，a₁表示数列的首项，an表示数列的第n个数。
以等差数列1，4，7，10，13，……为例，根据通项公式3n - 2，部分和公式可表示为：Sn = (1 + (3n - 2)) * n / 2 = (3n + 1) * n / 22. 等比数列的部分和公式对于等比数列，前n项和（部分和）Sn可以表示为：Sn = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)其中，a₁表示数列的首项，q表示数列的公比。
数列：通项公式的求法一 、公式法(定义法)：适用于等差或等比数列等差数列的通项公式： 1(1)n a a n d =+-；等比数列的通项公式： 11n n a a q -= 等差数列的定义： 1n n a a d --=；变式：112n n n a a a +-=+，1n n a a d -=+； 等比数列的定义：1n n a q a -=；变式：211n n n a a a +-=，1n n a qa -=； 二 、利用n S 求n a （知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n ； 利用n S 求n a 一般为三步：（1）当n=1时利用S 1＝a 1求出a 1 （2）当2n ≥时，利用1n n n S S a --=求出n a ； （3）检验a 1的值合不合由第二步求出的n a 的表达式； 例一：数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若S n ＝2a n －1， ((1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n解：（1）当n=1时，有S 1＝2a 1－1即a 1＝2a 1－1求得a 1=1；（2）当2n ≥时，S n ＝2a n －1① S n-1＝2a n-1－1②； ①—②有a n ＝2a n —2a n-1 得1122n n n n a a a a --=⇒=，所以{a n }为一以2为公比1为首项的等比数列，所以11122n n n a --=⨯= （3）经检验，11a =也合12n n a -=，所以数列{a n }的通项公式为12n n a -=。
练习1、数列{a n }的各项为正数， 11a =且有2211230n n n n a a a a ++--=，则{a n }的通项公式是__________．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n ＋n ，则数列的通项公式a n ＝________.3、各项都为正数的数列{a n }中，有11a =且331log 3log n n a a --=，则通项公式a n ＝________.4、数列{a n }中，11a =，且当1n >时有13n n a a -=，求数列的通项公式a n ________.5、数列{a n }中，11a =且点1(,)n n a a +在直线2y x =-上，通{a n }的通项公式为________.6、数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若2S n ＝3a n —3，(1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n三、形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例3. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a解：取倒数：⇔+=-2111n n a a 2111=--n n a a 1113(1)222n n n a a ∴=+-⋅=- 2.43n a n ∴=- 练习1。
数列的通项和求和公式推导数学中的数列是由一系列按照规律排列的数所组成的序列。
对于给定的数列，我们通常希望能够找到一个通项公式来表示数列的第n项，同时也希望能够求解数列的前n项和。
在本文中，我们将讨论如何推导数列的通项公式和求和公式。
一、等差等差数列是最常见的数列之一，它的特点是每一项与前一项之间的差值都相等。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an。
1. 推导通项公式我们可以观察到，等差数列每一项与首项之间存在一个公差的倍数关系，即：an = a1 + (n-1)d这个等式可以通过数学归纳法推导得出。
假设等式对于n=k成立，即：ak = a1 + (k-1)d那么对于n=k+1，我们有：ak+1 = a1 + kd通过对上述两个等式进行代换，得到：ak+1 = (a1 + (k-1)d) + d = a1 + kd由此可见，当等式对于n=k成立时，等式对于n=k+1也成立。
因此，等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d2. 推导求和公式为了推导等差数列的求和公式，我们可以考虑将数列按照首项与末项、次首项与次末项等进行配对求和。
我们可以观察到这些配对的和都相等，都等于等差数列的中间项和。
设等差数列的首项为a1，末项为an，共有n项。
那么有：a1 + an = a1 + (a1 + (n-1)d) = 2a1 + (n-1)da2 + an-1 = (a1 + d) + (a1 + (n-2)d) = 2a1 + (n-1)d...ak + an-k+1 = (a1 + (k-1)d) + (a1 + (n-k)d) = 2a1 + (n-1)d将上述k个等式相加，得到：2(a1 + a2 + ... + an-k+1) + (n-k)(d + d + ... + d) = k(2a1 + (n-1)d)化简后可得：2S + (n-k)kd = k(2a1 + (n-1)d)其中，S表示等差数列的前n项和。
数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型 一、n S 是数列{}n a 的前n 项的和11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【方法】： “1n n S S --”代入消元消n a。
【注意】漏检验n 的值 (如1n =的情况【例1】.（1）已知正数数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且对任意的正整数n 满足1n a =+，求数列{}n a 的通项公式。
（2）数列{}na 中，11a =对所有的正整数n 都有2123na a a a n ⋅⋅⋅⋅=L ，求数列{}n a 的通项公式【作业一】1－1.数列{}n a 满足21*123333()3n n n a a a a n N -++++=∈L ，求数列{}n a 的通项公式．（二）.累加、累乘 型如1()n n a a f n --=,1()nn a f n a -=1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法）【方法】1()n n a a f n --=，12(1)n n a a f n ---=-，……，21(2)a a f -=2n ≥，从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-++L ，检验1n =的情况1()n f n -=，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法）【方法】2n ≥，12121()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅L L 即1()(1)(2)na f n f n f a =⋅-⋅⋅L ，检验1n =的情况【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）.【例2】. (1) 已知211=a ，)2(1121≥-+=-n n a a n n，求n a .（2）已知数列{}n a 满足12n n n a a n +=+，且321=a ，求n a . 【例3】.（2009广东高考文数）在数列{}n a 中，11111,(1)2n n n n a a a n ++==++.设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式（三）.待定系数法?1n n a ca p +=+ （,1,1c,p c p ≠≠为非零常数）【方法】构造1()n n a x c a x ++=+，即1(1)n n a ca c x +=+-，故(1)c x p -=， 即{}1n pa c +-为等比数列 【例4】. 11a =，123n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式。
数列的通项公式与求和公式的应用数学中的数列是有规律的一系列数字的集合，我们常常需要找到数列中的通项公式和求和公式来解决各种实际问题。
在本文中，我们将探讨数列的通项公式和求和公式的应用。
一、数列的通项公式数列的通项公式是指能够表示数列中第n个数（数列的一般项）与n之间关系的公式。
通过找到数列的通项公式，我们可以轻松地计算出任意位置的数。
例如，我们考虑一个等差数列：1, 4, 7, 10, 13, ...我们观察到，每个数与前一个数之间的差都是3。
根据这个规律，我们可以列出通项公式为an = 1 + 3(n - 1)，其中an表示等差数列中的第n个数。
这样，我们便可以轻松地计算出该等差数列中任意位置的数。
同样地，对于等比数列和其他类型的数列，我们也可以通过观察数列中数字之间的关系，得到相应的通项公式。
二、数列的求和公式数列的求和公式是指能够计算数列中一定范围内的数之和的公式。
通过找到数列的求和公式，我们可以快速计算出数列的和，从而解决各类实际问题。
考虑一个等差数列：2, 5, 8, 11, 14, ...我们可以观察到每个数与前一个数之间的差是3。
根据这个规律，我们可以列出求和公式为Sn = n(2a1 + (n-1)d) / 2，其中Sn表示等差数列前n项的和，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。
通过这个求和公式，我们可以计算出等差数列的前n项和，进一步推广到其他类型的数列。
三、数列的应用数列的通项公式与求和公式在各个领域中都有广泛的应用。
下面我们来看一些具体的例子。
1. 金融领域：复利的计算在金融领域中，我们常常需要计算复利。
复利是指求取一笔钱在多个周期中不断积累产生的利息。
假设我们有一笔本金P，年利率为r%，每年复利一次，求n年后的总金额A。
我们可以将这个问题转化为求和问题。
每一年的利息是本金的一部分，根据复利的计算公式，第k年的利息为P * (1 + r/100)^k - P。
因此，我们可以得到总金额A的计算公式为：A = P + P * (1 + r/100) + P * (1 + r/100)^2 + ... + P * (1 + r/100)^n利用等比数列的求和公式，我们可以简化这个计算过程，从而得到一个更简洁的计算公式。
数列通项公式及数列求和的常用方法邓 飞一．通项公式求法1. 迭乘法：1()n n a a f n += 型例1 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+= ，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为112(1)53n n n a n a a +=+= ，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故132112211221(1)1(1)(2)2112[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n --------+-+++-=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ 所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯2. 迭加法：1()n n a a f n +=+ 型例2 在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n , 则,211112-+=a a 312123-+=a a ，413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=. 3. 待定系数法：1n n a pa q +=+ 型――转化为1()n n a x p a x ++=+ 型。
（等比型）例3 已知数列{}n a 满足11236n n a a a +=+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设12()n n a x a x ++=+ 比较系数得3,x = 所以 132(3)n n a a ++=+ 又13639a +=+=，则数列{3}n a +是以9为首项，2为公比的等比数列， 则1392n n a -+= ，故1923n n a -=- 。
最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。
而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。
本文给出了求数列通项公式的常用方法。
一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） ,17164,1093,542,211 （3） ,52,21,32,1 （4） ,54,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=nn a（2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+⋅-=+n na n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系例10：设数列}{n c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n解：设1)1(-+-+=n n bqd n a c 132211121237242-+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=+∴n n n c a b d q bq d a bq d a bq d a b a 例11. 已知数列{}n c 中，b b c +=11，bb c b c n n ++⋅=-11， 其中b 是与n 无关的常数，且1±≠b 。
求出用n 和b 表示的a n 的关系式。
解析：递推公式一定可表示为)(1λλ-=--n n c b c 的形式。
由待定系数法知：bbb ++=1λλ )1(1,1,12122b bc b b b c b b b n n --=--∴-=∴≠-λ 故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21b b c n 是首项为112221-=--b b b b c ，公比为b 的等比数列，故111121211222--=∴-=-=--++-b b b c b b b b b b b c n n n n n 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{n a 为等差数列：则c bn a n +=，cn bn s n +=2（b 、ｃ为常数），若数列}{n a 为等比数列，则1-=n n Aq a ，)1,0(≠≠-=q Aq A Aq s n n 。
一、数列通项公式的求法（1）已知数列的前n 项和n S ,求通项n a ； （2）数学归纳法：先猜后证;（3）叠加法(迭加法)：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L ；叠乘法(迭乘法)：1223322111a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅=-----ΛΛ. 【叠加法主要应用于数列{}n a 满足1()n n a a f n +=+，其中()f n 是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成1()n n a a f n +-=，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出n a ，从而求出n s 】（4）构造法(待定系数法):形如1n n a ka b -=+、1nn n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列；【用构造法求数列的通项或前n 项和：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的通项或前n 项和.】 （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】 ①1+1=,()n n a a a a f n =+型，其中()f n 是可以和数列，用累加法求通项公式，即1思路（叠加法）1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n n i a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑例题1：已知11a =，1n n a a n -=+，求n a解：∵1n n a a n -=+ ∴1n n a a n --=，依次类推有：122321122n n n n a a n a a n a a -----=--=--=、、…∴将各式叠加并整理得12n n i a a n =-=∑，121(1)2n nn i i n n a a n n ==+=+==∑∑ 思路（转化法）1(1)n n a pa f n -=+-，递推式两边同时除以np 得11(1)n n n n na a f n p p p ---=+，我们令n n n a b p =，那么问题就可以转化为类型一进行求解了.例题： 已知12a =，1142n n n a a ++=+，求n a解：∵1142n n n a a ++=+ ∴142nn n a a -=+，则111442nn n nn a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵令4n n na b =，则112nn n b b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，依此类推有11212n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、22312n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、…、22112b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴各式叠加得1212nnn i b b =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，即122111*********n n n n n n n n i i i b b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ∴1441422n nnn n n n a b ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦②1+1=,()n n a a a a f n =⋅型，其中()f n 是可以求积数列，用累乘法求通项公式，即1(2)(1)f f a思路（叠乘法）：1(1)n n a f n a -=-，依次类推有：12(2)n n a f n a --=-、23(3)n n a f n a --=-、…、21(1)af a =， 将各式叠乘并整理得1(1)(2)(3)na f f f a =⋅⋅⋅…(2)(1)f n f n ⋅-⋅-，即(1)(2)(3)n a f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅例题：已知11a =，111n n n a a n --=+，求n a . 解：∵111n n n a a n --=+ ∴111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、3224a a =、2113a a = ∵11a =∴将各式叠乘并整理得112311n a n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+-…2143⋅⋅，即12311n n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+- (212)43(1)n n ⋅⋅=+ ③1+1=,n n a a a pa q =+型（其中p q 、是常数），可以采用待定系数法、换元法求通项公式，即1()11n n q q a p a p p +-=---，设1n n qba p=--，则1n n b pb +=.利用②的方法求出n b 进而求出n a 当1p =时，数列{}n a 是等差数列；当0,0p q ≠=时，数列{}n a 是等比数列； 当0p ≠且1,0p q ≠≠时，可以将递推关系转化为111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭,则数列1nq a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11qa p +-为首项，p 为公比的等比数列.思路（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1qp μ=-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1111n n q q a a p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，即1111n nq qa a p p p -⎛⎫=++ ⎪--⎝⎭ 例题：已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式 解：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=∵11a =∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列∴113422n n n a -++=⋅=，即123n n a +=-④1+1=,n n n a a a pa q =+型,其中p q 、是常数且0,1q q ≠≠，111n n n n a a p q q q q ++=⋅+,设n n n a b q =，则11n np b b q q+=⋅+思路（构造法）：11n n n a pa rq --=+，设11n n n n a a q q μλμ--⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()11n n q p q rq λμλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而解得p q r p q λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩那么n na r qp q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以1a r q p q +-为首项，p q 为公比的等比数列 例题：已知11a =，112n n n a a --=-+，求n a 。
第2节 数列的通项公式与求和题型74 数列通项公式的求解1.(2013安徽文19）设数列{}n a 满足12428aa a =+=，，且对任意*n ∈N ，函数()()122cos 2sin n n n n x f x a a a x a x a x ++-+=-++--，满足π02n f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求数列{}x a 的通项公式；； （2）若122xn b a xn ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和nx S .1. 分析 （1）求导，代入0f π⎛⎫'= ⎪2⎝⎭，并对所得式子进行变形，从而证明数列是等差数列，再由题目条件求基本量，得通项公式.（2）将na 代入化简，利用分组求和法，结合等差、等比数列的前n 项和公式计算. 解析 （1）由题设可得()1212sin cos nn n n n f x a a a a x a x ++++'=-+--.对任意*n ∈N ，1210nn n n f a a a a +++π⎛⎫'=-+-= ⎪2⎝⎭，即121n nn n a a aa +++-=-，故{}na 为等差数列.由12a =，248a a +=，可得数列{}na 的公差1d =，所以()2111nan n =+⋅-=+.（2）由122nnnb a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭111212222n nn n +⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭知，12nnS b b b =+++ ()11122122212nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪+⎝⎭⎣⎦=+⋅+-21312nn n =++-. 2.（2013广东文19）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为nS，满足21441n n S a n +=--，*n ∈N ,且2514,,a a a 构成等比数列． (1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n ，有122311111.2n n a a a a a a -++⋅⋅⋅+<2.分析 （1）把1n =代入递推式21441n n S a n +=--，可以得到1a和2a 的关系式，变形可得2a =（2）鉴于递推式21441n n S a n +=--含有1,n n S a +的特点，常用公式11,1,,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥进行化异为同，得到1n a +和n a 的递推式，构造等差数列，进而求出 数列的通项.（3）要证的不等式的左边是一个新数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，因此要求和、 化简，因为11n n a a +是一个分式，常常通过裂项相消法逐项相消，然后再通过放缩，得出结论.解析 （1）证明：由21441nn S a n +=--，得212441S a =--，即212441a a =--，所以22145a a =+.因为0n a >，所以2a =（2）因为21441nn S a n +=-- ①所以当2n ≥时，()214411n n S a n -=--- ②由①-②得22144nn n a a a +=--，即()()22214422n n n n a a a a n +=++=+≥.因为0n a >，所以12n n a a +=+，即()122n n a a n +-=≥.因为2514,,a a a 成等比数列，所以25214a a a =，即()()222232122a a a +⨯=+⨯，解得23a =.又由（1）知2a =11a =，所以212a a -=.综上知()12*n n a a n +-=∈N ，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列.所以()12121na n n =+-=-.所以数列{}n a 的通项公式为()21*n a n n =-∈N .（3）证明：由（2）知()()1112121n n a a n n +=-+11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，所以12231111n n a a a a a a ++++ 111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭1111112212422n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭.3.（2013江西文16）正项数列{}n a 满足：2(21)20n n a n a n ---=.(1) 求数列{}n a 的通项公式n a ； (2) 令221(2)nnn b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ．3.分析 （1）根据已知的n a 和n 的关系式进行因式分解，通过0n a >得到数列{}n a 的通项公式；（2）把数列{}n a 的通项公式代入n b 的表达式，利用裂项法求出数列{}n b 的前n 项和.解析 （1）由()22120nn a n a n ---=，得()()210n n a n a -+=.由于{}n a 是正项数列，所以2n a n =.（2）由()12,1n n na nb n a ==+，则()11112121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 111111*********n T n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭ ()1112121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 4. (2013重庆文16）设数列{}n a 满足：1113n n aa a n ++==∈N ，，.（1）求{}n a 的通项公式及前n 项和nS ；（2）已知{}n b 是等差数列，nT为其前n 项和，且123123b a b a a a ==++，，求20T .4.分析 根据等比、等差数列的通项公式及前n 项和公式直接运算求解. 解析 （1）由题设知{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，所以()11313,31132n n nn n a S --===--.（2）123313,13913,102b a b b b d ===++=-==，所以公差5d =， 故202019203510102T ⨯=⨯+⨯=. 5.(2013湖南文19）设n S 为数列{}n a 的前项和，已知01≠a，2112n n a a S S -=⋅，n *∈Ν.（1）求1a ，2a ，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和.5.分析 根据()12n n n a S S n -=-≥消去n S 得到关于n a 的关系式，求其通项；利用错位相减法求前n 项和.解析 （1）令1n =，得21112a a a -=，即211a a =.因为10a≠，所以11a =.令2n =，得222211a S a -==+，解得22a =.当2n ≥时，由122n n n a a a --=，即12n n a a -=.于是数列{}n a 是首项为1.公比为2的等比数列.因此，12n n a -=.所以{}n a 的通项公式为12n n a -=.（2）由（1）知，12n n na n -=⋅.记数列{}12n n -⋅的前n 项和为nB，于是21122322n nB n -=+⨯+⨯++⨯ ， ①2321222322n n B n =⨯+⨯+⨯++⨯ . ②①-②，得2112222212n n n n n B n n --=++++-⋅=--⋅ .从而()112n nB n =+-⋅.6.（2014陕西文4）根据如图所示框图，对大于2的整数n ，输出的数列的通项公式是（ ）. A.2na n = B.()21n a n =- C.2nn a = D.12n na -=7.（2014新课标Ⅱ文16）数列{}n a 满足111n na a +=-，82a =，则1a =8.（2014江西文17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和232n n nS n -=∈，*N . 1∙∙∙,a Na 2,开始结束输入NS=1,i=1输出a 1,S是（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：对任意1>n ，都有m ∈*N ，使得m n a a a ，，1成等比数列. 9.（2014大纲文17）（本小题满分10分） 数列{}n a 满足12211222n n n a a a a a ++===-+，，.（1）设1nn n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式.10.（2014广东文19）（本小题满分14分） 设各项均为正数的数列{}n a 的前n项和为nS ，且nS 满足()()222*330,n n S n n S n n n -+--+=∈N .(1)求1a 的值； (2)求数列{}n a 的通项公式；(3)求证：对一切正整数n ，有()()()112211111113n n a a a a a a +++<+++ .11.（2014湖南文16）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS n +=∈，*N . (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()n na na b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.12.（2015陕西文16）观察下列等式：11122-= 11111123434-+-=+11111111123456456-+-+-=++……据此规律，第n 个等式可为______________________.12.解析 观察等式知，第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是111122n n n+++++ . 故答案为()*111111111234212122n n n n n n-+-++-=+++∈-++N . 13.（2015江苏卷11）设数列{}n a 满足11a=，且11n n a a n +-=+()*n ∈N ，则数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和为．13.解析 解法一：可以考虑算出前10项，但运算化简较繁琐．解法二：由题意得212a a -=，323a a -=，…，1n n a a n --=()*2,n n ∈N …故累加得1234n a a n -=++++…，从而1+234n a n=++++…()12n n +=，当1n =时，满足通项．故()1211211n a n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪++⎝⎭()*n ∈N ， 则有123101111a a a a ++++...1111121+2231011⎛⎫=⨯--++- ⎪⎝⎭ (120211111)⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭． 14.（2015安徽理18）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a+=，238a a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n ab S S++=，求数列{}n b 的前n 项和nT.14.解析 （1）因为{}n a 是等比数列，且238a a=，所以148a a =.联立141498a a a a +=⎧⎨=⎩ ，又{}n a 为递增的等比数列，即41a a >.解得1418a a =⎧⎨=⎩或1481a a =⎧⎨=⎩（舍），可得3418a q a ==，得2q =. 所以()11*12n n n a a q n --==∈N . （2）由（1）可知()111221112n nn n a q S q--===---， 所以()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以1111111113377152121n n n T +=-+-+-++-=-- 11112212121n n n +++--=--. 故()1*12221n n n T n ++-=∈-N . 15.（2015北京文16）已知等差数列{}n a 满足1210a a+=，432a a -=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足23ba =，37b a =；问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？15.解析（1）依题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，121210a a a d +=+=① 432a a d -==②得2d =，14a =. 数列{}n a 的通项公式为()()()*1142122naa n d n n n =+-=+-=+∈N .（2）等比数列{}n b 中238ba ==，3716b a ==，设等比数列的公比为322b q b ==， ()221*2822n n n n b b q n --+=⋅=⨯=∈N .76212822b n ===+，得63n =，则6b 与数列{}n a 的第63项相等.16.（2015福建文17）在等差数列{}n a 中，24a=，4715a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n a nb n -=+，求12310bb b b ++++ 的值．16.分析（1）利用基本量法可求得1a ，d ，进而求{}n a 的通项公式；（2）求数列前n 项和， 首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题2n n b n =+，故可采取分组求和法求其前10项和． 解析 （1）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()()*112n a a n d n n =+-=+∈N ．（2）由（1）可得2n nb n =+，所以()()()()231012310212223210b b b b ++++=++++++++=()()2310222212310+++++++++=()()()1011112121101022552532101122-+⨯+=-+=+=-.17.（2015广东文19）设数列{}n a 的前n 项和为nS，*n ∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n …时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值； （2）求证：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式．17.解析（1）当2n =时，4231458S S S S +=+， 即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得478a =. （2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n …）， 所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n …）， 即2144n n n a a a +++=（2n …），亦即()2114222n n n na a a a n +++-=-…，则()2111112222n n n n a a a a n +++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭…. 当1n =时，3221111222a a a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，满足上式. 故数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列.（3）由（2）可得111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1141122n n n na a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，4为公差的等差数列， 所以()2144212nna n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭，即()11214222nn n n a n --⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()*1212nn n an --=∈N . 18.（2015湖北文19）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为nS，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，10100S =. (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式;(2)当1d >时，记nnna cb =，求数列的前n 项和. 18.解析 (1)由题意有，1110451002a d a d +=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩.解得112a d =⎧⎨=⎩，或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩.故1212nn n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎩. (2)由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=， 于是2341357921122222n n n T --=++++++ ，①2345113579212222222n n n T -=++++++ . ② 式①-式②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=- .故12362n n n T -+=-.19.（2015山东文19）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为21nn +. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)2n a nn b a =+⋅，求数列{}nb 的前n 项和nT.19.解析（1）设数列{}n a 的公差为d ，令1n =，得12113a a =，即123a a =. ①令2n =，得12231125a a a a +=，即2315a a =.② 联立①②，解得11a =，2d =.所以()*21n a n n =-∈N .（2）由（1）知21224n n n b n n -== ，得到()1211424144n n nT n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯ ，③ 从而()23141424144n n nT n n +=⨯+⨯++-+⨯ ，④-③④得12134444n n nT n +-=+++-=()11414134441433n n n n n ++---=⨯-- ， 所以()1143143144999n n n n n T +++--=⨯+= .19.（2015四川文16）设数列{}n a （1,2,3,n = ）的前n 项和nS满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列.（1）求数列的通项公式； （2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T . 19.解析（1）由已知12n n S a a =-，可得()*11222,n n n n n a S S a a n n --=-=-∈N …， 即()*122,n n a a n n -=∈N ….则212a a =，32124a a a ==.又因为1a ，21a +，3a 成等差数列，即()13221a a a +=+.所以()1114221a a a +=+，解得12a =.所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列.故2n na =.（2）由（1）可得112n n a =，所以211122111111222212nn n nT ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++==-- .20.（2015天津文18）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332b b a +=，5237a b -=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设*,nn n c a b n =∈N ,求数列{}n c 的前n 项和.20.分析（1）列出关于q 与d 的方程组，通过解方程组求出q ，d 即可确定通项；（2）用错位相减法求和.解析 （1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，由题意0q >，由已知，有24232310q d q d ⎧-=⎨-=⎩， 消去d 得42280q q --=，解得22q d ==，，所以{}n a 的通项公式为12n n a n -*=∈N ，，{}n b 的通项公式为21n b n n *=-∈N ，.（2）由（1）有()1212n n c n -=-，设{}n c 的前n 项和为n S ，则()0121123252212n nS n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ，()1232123252212n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，两式相减得()()2312222122323n n n n S n n -=++++--⨯=--⨯- ，所以()2323n nS n =-+.21.（2015浙江文17）已知数列{}n a 和{}n b 满足，*111212()n n a b a a n +===∈N ，，，*12311111()23n n b b b b b n n+++++=-∈N . (1)求{}n a 与{}n b ;(2)记数列{}n n a b 的前n 项和为nT，求n T .21.解析 (1)由题意知{}n a 是等比数列，12a =，2q =，所以2n n a =.当2n …时，()*231111111231n n b b b b n b n -++++=-∈-N ，所以11n n n b b b n +=-，所以11n n n b b n ++=，所以12112n n b b b n n +====+ ，又11b =，所以n b n =. （或采用累乘法） (2)212222n nT n =⨯+⨯++⋅ ，所以()21212122n n n T n n +=⨯++-⨯+⋅ ，所以()()()2111212122222212212n n n n n n T n n n +++--=+++-⋅=-=--- ，所以()1122n nT n +=-+.22.（2015重庆文16）已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T .22.解析（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得122a d +=，1329322a d ⨯+=， 化简得122a d+=，132a d +=，解得11a =，12d =， 故通项公式112n n a -=+，()*12n n a n +=∈N ． （2）由（1）得11b =，41515182b a +===. 设{}n b 的公比为q ，则3418b q b ==，从而2q =， 故{}n b 的前n 项和()*1(1)1(12)21112n n n n b q T n q -⨯-===-∈--N . 23.（2016浙江文17）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知24S =，121n n a S +=+，*n ∈N.（1）求通项公式n a； （2）求数列{}2nan --的前n 项和.23.解析 （1）由题意得，则.因为，，所以，得. 又知，所以数列的通项公式为，.（2）对于，，，当时，有.设，，，，当时，有. 设数列的前项和为，则，.当时，，时也满足此式，所以. 24.（2017全国3文17）设数列{}n a 满足()123212n a a n a n +++-= .（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.24.解析（1）令，则有，即.当2n …时，2nb S n =①()121n b S n -=-②-①②得，即，得()*22,21n a n n n =∈-N …. 当1n =时，12b =也符合，所以()*221n a n n =∈-N . 21221421S a a a a ⎧=+=⎨=+⎩1213a a =⎧⎨=⎩121n n a S +=+121n n a S -=+()2n …()()1121212n n n n n a a S S a +--=+-+=13n n a a +=()2n ≥213a a ={}n a 13n n a -=*n ∈N 132n n c n -=--12c =-21c =-3n …0n c >n n b c =*n ∈N 12b =21b =3n …n n b c ={}n b n T 12T =23T =3n …()()2135351161322nnnn n n n T -+--+=+-=-2n =2*2,13511,2,2n n n T n n n n =⎧⎪=⎨--+∈⎪⎩N …（2）令()()()*221121212121212121n na n c n n n n n n n -====-∈++-+-+N ， 所以1231nc n n S c c c c c -=+++++=111111111111335572321212121n n n n n -+-+-++-+-=-=---++ ()*21122121n nn n n +-=∈++N . 评注 本题具有一定的难度，第一问要求学生具备一定的转化与化归的思想，将不熟悉的表达形式转化为常规数列求通项问题才能迎刃而解.第二问属于常规裂项相消问题，没有难度，如果学生第一问求解时出现困难的话，可以用找规律的方法求出其通项，这样可以拿到第二问的分数，不失为一种灵活变通的处理方法. 25.（2017山东文19）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且126a a +=，123a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）{}n b 为各项非零的等差数列，其前n 项和n S ，已知211n n n S b b ++=，求数列nn ba⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25.解析 （1）设数列{}n a 的公比为q ，由题意知，1(1)6a q +=，2211a q a q =. 又0na >，解得12a =，2q =，所以2n n a =.（2）由题意知，121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+.又211n n n S b b ++=，10n b +≠，所以21n b n =+.令n nn b c a =，则212n n n c +=， 因此12231357212122222n n n nn n T c c c --+=+++=+++++ ， 又234113572121222222n nn n n T +-+=+++++ ， 两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ ，所以2552n nn T +=-.题型75 数列的求和1.（2015湖南文5）执行如图所示的程序框图，如果输入3n =， 则输出的S =（ ）.A.67B.37C.89D.491.解析 由题意，输出的S 为数列()()12121n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前3项和，即()()333111111212122121i i S i i i i ==⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∑∑1131277⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.故选B .2.（2015安徽理18）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a+=，238a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .2.解析 （1）因为{}n a 是等比数列，且238a a=，所以148a a =.联立141498a a a a +=⎧⎨=⎩ ，又{}n a 为递增的等比数列，即41a a >.解得1418a a =⎧⎨=⎩或1481a a =⎧⎨=⎩（舍），可得3418a q a ==，得2q =. 所以()11*12n n n a a q n --==∈N . （2）由（1）可知()111221112n nn n a q S q--===---， 所以()()1121121212121n n n n n n b ++==-----， 所以1111111113377152121n n n T +=-+-+-++-=-- 11112212121n n n +++--=--. 故()1*12221n n n T n ++-=∈-N . 3. （2014安徽文18）（本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n ∈N .（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）设3n nb ={}n b 的前n 项和n S .3. 解析 （I ）由已知可得111n n a a n n +=++，即111n n a a n n +-=+.所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a=为首项，1为公差的等差数列. （II ）由（I ）得()111na n n n=+-⋅=，所以2n a n =.从而3n n b n =⋅.1231323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，①()23131323133n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅ .②-①②得()()11211313123333333132n n nn n n n S n n +++⋅--⋅-=+++-⋅=-⋅=- -2.所以()121334n nn S +-⋅+=.评注本题考查等差数列定义的应用，错位相减法求数列的前项和，解题时利用题（I ）提示对递推关系进行变形是关键. 4.（2015福建文17）在等差数列{}n a 中，24a=，4715a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n a nb n -=+，求12310bb b b ++++ 的值．4.分析（1）利用基本量法可求得1a ，d ，进而求{}n a 的通项公式；（2）求数列前n 项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题2n n b n =+，故可采取分组求和法求其前10项和． 解析 （1）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()()*112n a a n d n n =+-=+∈N ．（2）由（1）可得2n nb n =+，所以()()()()231012310212223210b b b b ++++=++++++++=()()2310222212310+++++++++=()()()1011112121101022552532101122-+⨯+=-+=+=-.5.（2015湖北文19）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为nS，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，10100S =.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式(2)当1d >时，记nnna cb =，求数列的前n 项和. 5.解析 (1)由题意有，1110451002a d a d +=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩.解得112a d =⎧⎨=⎩，或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩.故1212nn n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎩. (2)由1d >，知21n a n =-，12n n b -=， 故1212n n n c --=，于是2341357921122222nn n T --=++++++ ，① 2345113579212222222n n n T -=++++++ . ② 式①-式②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=- .故12362n n n T -+=-.6.（2015湖南文19）设数列{}n a 的前n 项和为nS，已知11a =，22a =，且()*1133,n n n a S S n +-=-+∈N .（1）证明：23n n a a +=；（2）求n S .6.解析（1）由条件，对任意*n ∈N ，有2133n n n a S S ++=-+， 因而对任意*,2n n ∈N …，有1133n n n a S S +-=-+，两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-，即()*232,n n a a n n +=∈N …，又121,2a a ==，所以()3121121333333a S S a a a a =-+=-++==，故对一切*n ∈N ，23n n a a +=. （2）由（1）知，0n a ≠，所以23n na a +=，于是数列{}21n a -是首项11a =，公比为3的等 比数列，数列{}2n a 是首项22a=，公比为3的等比数列，所以112123,23n n n n a a ---==⨯，（于是()()21221321242.........nn n n S a a a a a a a a a -=+++=+++++++=()()()()11133113...3213...3313 (32)n n n n ----+++++++=+++=，从而2122n n n S S a -=-()1331232n n --=-⨯()235312n -=⨯-， 综上所述，()()*3*22353121,2312,2n n nn k k S n k k -⎧⎛⎫⨯-=+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-=∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N .7.（2015山东文19）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为21nn +. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)2n a nn b a =+⋅，求数列{}nb 的前n 项和nT.7.解析（1）设数列{}n a 的公差为d ，令1n =，得12113a a =，即123a a =①令2n =，得12231125a a a a +=，即2315a a =② 联立①②，解得11a =，2d =.所以()*21n a n n =-∈N .（2）由（1）知21224n n n b n n -== ，得到()1211424144n n nT n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯ ，③ 从而()23141424144n n nT n n +=⨯+⨯++-+⨯ ，④-③④得12134444n n nT n +-=+++-=()11414134441433n n n n n ++---=⨯-- ， 所以()1143143144999n n n n n T +++--=⨯+= .8.（2015四川文16）设数列{}n a （1,2,3,n = ）的前n 项和nS满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列.（1）求数列的通项公式； （2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T . 8.解析（1）由已知12n n S a a =-，可得()*11222,n n n n n a S S a a n n --=-=-∈N …， 即()*122,n n a a n n -=∈N ….则212a a =，32124a a a ==.又因为1a ，21a +，3a 成等差数列，即()13221a a a +=+.所以()1114221a a a +=+，解得12a =.所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列.故2n na =.（2）由（1）可得112n n a =，所以211122111111222212nn n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++==-- . 9.（2015天津文18）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332b b a +=，5237a b -=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设*,nn n c a b n =∈N ,求数列{}n c 的前n 项和.9.分析（1）列出关于q 与d 的方程组，通过解方程组求出q ，d 即可确定通项；（2）用错位相减法求和.解析（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，由题意0q >，由已知，有24232310q d q d ⎧-=⎨-=⎩， 消去d 得42280q q --=，解得22q d ==，，所以{}n a 的通项公式为12n n a n -*=∈N ，，{}n b 的通项公式为21n b n n *=-∈N ，.（2）由（1）有()1212n n c n -=-，设{}n c 的前n 项和为n S ，则()0121123252212n nS n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ，()1232123252212n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，两式相减得()()2312222122323n n n n S n n -=++++--⨯=--⨯- ，所以()2323n nS n =-+.10.（2015浙江文17）已知数列{}n a 和{}n b 满足，*111212()n n a b a a n +===∈N ，，，*12311111()23n n b b b b b n n+++++=-∈N . (1)求{}n a 与{}n b ;(2)记数列{}n n a b 的前n 项和为nT，求n T .10.解析(1)由题意知{}n a 是等比数列，12a =，2q =，所以2n n a =.当2n …时，()*231111111231n n b b b b n b n -++++=-∈-N ，所以11n n n b b b n +=-，所以11n n n b b n ++=，所以12112n n b b b n n +====+ . 又11b =，所以n b n =（或采用累乘法）. (2)212222n nT n =⨯+⨯++⋅ ，所以()21212122n n n T n n +=⨯++-⨯+⋅ ，所以()()()2111212122222212212n n n n n n T n n n +++--=+++-⋅=-=--- ，所以()1122n nT n +=-+.11.（2015重庆文16）已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T .11.解析（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得122a d +=，1329322a d ⨯+=， 化简得122a d+=，132a d +=，解得11a =，12d =， 故通项公式112n n a -=+，()*12n n a n +=∈N ． （2）由（1）得11b =，41515182b a +===. 设{}n b 的公比为q ，则3418b q b ==，从而2q =， 故{}n b 的前n 项和()*1(1)1(12)21112n n n n b q T n q -⨯-===-∈--N . 12.（2016北京文15）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b=，39b =，11a b =，144a b =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和.12.解析（1）等比数列的公比，所以，.设等差数列的公差为.因为，， 所以，即.所以. （2）由（1）知，，.因此.从而数列的前项和{}n b 32933b q b ===211b b q ==4327b b q =={}n a d 111a b ==14427a b ==11327d +=2d =()211,2,3,n a n n =-=⋅⋅⋅21n a n =-13n n b -=1213n n n n c a b n -=+=-+{}n c n ()113521133n n S n -=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=.13.（2016山东文19）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 13.解析（1）由题意当时，， 当时，，所以.设数列的公差为，由，即，解得，所以. （2）由（1）知，又， 即， 所以，以上两式两边相减得.所以.14.（2016浙江文17）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知24S =，121n n a S +=+，*n ∈N.（1）求通项公式n a ；（2）求数列{}2n a n --的前n 项和. 14.解析 （1）由题意得：，则. ()12113213n n n +--+=-2312n n -+2n …561+=-=-n S S a n n n 1=n 1111==S a ()*65n a n n =+∈N {}n b d ⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ⎩⎨⎧+=+=db d b 3217211113,41==d b ()*31n b n n =+∈N 11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321]2)1(242322[31432+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ]2)1(242322[322543+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T 234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯+++⋅⋅⋅+-+=224(21)3[4(1)2]3221n n n n n ++-+-+=-⋅-223+⋅=n n n T 21221421S a a a a ⎧=+=⎨=+⎩1213a a =⎧⎨=⎩因为，，所以，得. 又知，所以数列的通项公式为，.（2）对于，，，当时，有.设，，，，当时，有. 设数列的前项和为，则，.当时，，时也满足此式，所以. 15.（2017全国3文17）设数列{}n a 满足()123212n a a n a n +++-= .（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.15.解析（1）令，则有，即.当2n …时，2nb S n =①()121n b S n -=-②-①②得，即，得()*22,21n a n n n =∈-N …. 当1n =时，12b =也符合，所以()*221n a n n =∈-N . （2）令()()()*221121212121212121n na n c n n n n n n n -====-∈++-+-+N ， 所以1231nc n n S c c c c c -=+++++=111111111111335572321212121n n n n n -+-+-++-+-=-=---++ 121n n a S +=+121n n a S -=+()2n …()()1121212n n n n n a a S S a +--=+-+=13n n a a +=()2n ≥213a a ={}n a 13n n a -=*n ∈N 132n n c n -=--12c =-21c =-3n …0n c >n n b c =*n ∈N 12b =21b =3n …n n b c ={}n b n T 12T =23T =3n …()()2135351161322nnnn n n n T -+--+=+-=-2n =2*2,13511,2,2n n n T n n n n =⎧⎪=⎨--+∈⎪⎩N …()*21122121n nn n n +-=∈++N . 评注 本题具有一定的难度，第一问要求学生具备一定的转化与化归的思想，将不熟悉的表达形式转化为常规数列求通项问题才能迎刃而解.第二问属于常规裂项相消问题，没有难度，如果学生第一问求解时出现困难的话，可以用找规律的方法求出其通项，这样可以拿到第二问的分数，不失为一种灵活变通的处理方法. 16.（2017山东文19）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且126a a +=，123a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）{}n b 为各项非零的等差数列，其前n 项和n S ，已知211n n n S b b ++=，求数列nn ba⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .16.解析 （1）设数列{}n a 的公比为q ，由题意知，1(1)6a q +=，2211a q a q =. 又0na >，解得12a =，2q =，所以2n n a =.（2）由题意知，121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+.又211n n n S b b ++=，10n b +≠，所以21n b n =+.令n n n b c a =，则212n nn c +=， 因此12231357212122222n n n nn n T c c c --+=+++=+++++ ， 又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ， 两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ ，所以2552n nn T +=-.。
