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数列求和与求通项公式方法总结数列是数学中的一种重要概念，它是由一列按照一定规律排列的数字所组成的序列。
在数列中，求和与求通项公式是两个重要的问题，本文将对这两个问题的方法进行总结。
首先，我们来讨论数列的求和问题。
数列的求和是指对一个给定的数列中的所有元素进行求和的操作。
数列求和的方法主要有以下几种。
1.等差数列求和公式：对于一个等差数列，其通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列求和的公式为Sn=[(a1+an)n]/2，其中an为末项。
这个公式适用于等差数列的求和问题，可以更快地求得数列的和。
2.等差数列求和差法：对于一个等差数列，当项数为n时，可以通过求和的差法Sn=(a1+an)(n/2)来求得数列的和。
这个方法适用于项数较多且公差较小的等差数列。
3.等比数列求和公式：对于一个等比数列，其通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列求和的公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中r不等于1、这个公式适用于等比数列的求和问题，可以轻松地求得数列的和。
4.等比数列求和减法：对于一个等比数列，当公比r满足，r，<1时，可以通过求和的减法Sn=a1/(1-r)来求得数列的和。
这个方法适用于公比绝对值小于1的等比数列。
其次，我们来讨论数列的求通项公式问题。
数列的通项公式是指能够根据数列的位置n来快速计算出数列中相应位置上的数值的公式。
数列求通项公式的方法主要有以下几种。
1.等差数列通项公式：对于一个等差数列，其通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
通过这个公式，我们可以直接根据位置n来计算出数列中第n项的数值。
2.等比数列通项公式：对于一个等比数列，其通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
通过这个公式，我们可以直接根据位置n来计算出数列中第n项的数值。
数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n nna a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn[例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0∴该数列是首项为1，公比为x 2的等比数列而且有n+3项 当x 2＝1 即x ＝±1时 和为n+3评注：(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论．(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项． 对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1222-⋯+n ），……的前顶和为ns，则ns的值。
错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。
需要我们的学生认真掌握好这种方法。
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
[例] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S （1≠x ）………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 注意、1 要考虑 当公比x 为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。
求数列通项公式与数列求和的几种方法数列是由一定规律形成的数的序列，通常可以用数学公式表示。
数列的通项公式是指能够表示数列中任意一项的公式。
数列的求和是指将数列中所有项相加的过程。
在数学中，有多种方法可以求解数列的通项公式和数列的求和问题。
下面将介绍一些常见的方法。
一、通过递推关系求解通项公式与求和递推关系是指数列中相邻项之间的数学关系。
通过观察数列中的规律，可以找到数列的递推关系，从而求解通项公式和数列的求和。
1.1等差数列等差数列是指数列中相邻项之间的差是一个常数。
设数列的第一项为a1，公差为d，则等差数列的递推关系可以表示为：an = a1 + (n-1)d。
通过该递推关系，可以求解等差数列的通项公式和求和。
1.2等比数列等比数列是指数列中相邻项之间的比是一个常数。
设数列的第一项为a1，公比为r，则等比数列的递推关系可以表示为：an = a1 * r^(n-1)。
通过该递推关系，可以求解等比数列的通项公式和求和。
1.3斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和。
设数列的第一项为a1，第二项为a2，则斐波那契数列的递推关系可以表示为：an = an-1 + an-2、通过该递推关系，可以求解斐波那契数列的通项公式和求和。
二、通过数学工具求解通项公式与求和2.1代数方法对于一些特定的数列，可以使用代数方法求解通项公式和求和。
例如，对于等差数列和等比数列，可以使用代数方法推导出通项公式和求和公式。
2.2比较系数法比较系数法是一种常用的方法，适用于具体的数列。
通过对比数列中的系数和常数，可以列方程组求解通项公式和求和。
2.3拆分合并法对于一些数列，可以通过拆分合并法求解通项公式和求和。
该方法将数列分为不同的部分进行拆分和合并，从而得到整个数列的通项公式和求和。
三、通过数学工具和技巧求解通项公式与求和3.1差分法差分法是一种常见的求解通项公式和求和的方法。
对于一些特殊的数列，可以通过数列和数列之间的差值来推导出数列的特征，进而求解通项公式和求和。
数列求通项公式及求和的方法数列是指按照一定规律排列的一组数。
解决数列问题，首先需要找到数列的通项公式，然后可以利用通项公式求出数列的各项，再利用求和公式求出数列的和。
找到数列的通项公式的方法有多种，常见的方法包括等差数列的通项公式和等比数列的通项公式。
一、等差数列的通项公式及求和方法等差数列是指数列中的每一项与它前一项的差值相等的数列。
我们可以通过数列中的两项之间的关系来求出等差数列的通项公式。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d。
求等差数列的和，我们可以利用求和公式。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，共有n项，其中首项为a₁，末项为aₙ，求和公式为：Sn=n/2*(a₁+aₙ)。
二、等比数列的通项公式及求和方法等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比值相等的数列。
我们可以通过数列中的两项之间的关系来求出等比数列的通项公式。
设等比数列的第一项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式为：aₙ=a₁*q^(n-1)。
求等比数列的和，我们可以利用求和公式。
设等比数列的第一项为a₁，公比为q，共有n项，其中首项为a₁，末项为aₙ，求和公式为：Sn=a₁(q^n-1)/(q-1)。
除了等差数列和等比数列之外，还有其他种类的数列，如等差数列与等比数列交替出现的数列、斐波那契数列等。
这些数列有着特定的规律，可以通过观察数列中的数字之间的关系来确定其通项公式和求和公式。
在实际应用中，数列的求通项公式和求和公式可以帮助我们计算数列的任意项和总和，进而解决与数列相关的问题。
在数学、物理、经济等领域中，数列经常被运用到，掌握数列的通项公式和求和公式对于解决实际问题非常重要。
总结起来，数列问题的解决方法主要包括找到数列的通项公式和求和公式。
通过运用这些公式，我们可以计算数列的任意项和总和，进而解决与数列相关的问题。
而在确定通项公式和求和公式时，我们可以通过观察数列中的数字之间的关系来推导，常见的数列类型包括等差数列、等比数列等。
数列求和的基本方法和技巧数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn自然数方幂和公式：3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0∴该数列是首项为1，公比为x 2的等比数列而且有n+3项当x 2＝1 即x ＝±1时 和为n+3评注：(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论．(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项． 对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1222-⋯+n ），……的前顶和为ns，则ns的值。
二、错位相减法求和错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。
需要我们的学生认真掌握好这种方法。
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
[例] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S （1≠x ）………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 注意、1 要考虑 当公比x 为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。
数列通项公式及数列求和的常用方法邓 飞一．通项公式求法1. 迭乘法：1()n n a a f n += 型例1 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+= ，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为112(1)53n n n a n a a +=+= ，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故132112211221(1)1(1)(2)2112[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n --------+-+++-=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ 所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯2. 迭加法：1()n n a a f n +=+ 型例2 在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n , 则,211112-+=a a 312123-+=a a ，413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=. 3. 待定系数法：1n n a pa q +=+ 型――转化为1()n n a x p a x ++=+ 型。
（等比型）例3 已知数列{}n a 满足11236n n a a a +=+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设12()n n a x a x ++=+ 比较系数得3,x = 所以 132(3)n n a a ++=+ 又13639a +=+=，则数列{3}n a +是以9为首项，2为公比的等比数列， 则1392n n a -+= ，故1923n n a -=- 。
一、数列通项公式的求法（1）已知数列的前n 项和n S ,求通项n a ； （2）数学归纳法：先猜后证;（3）叠加法(迭加法)：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L ；叠乘法(迭乘法)：1223322111a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅=-----ΛΛ. 【叠加法主要应用于数列{}n a 满足1()n n a a f n +=+，其中()f n 是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成1()n n a a f n +-=，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出n a ，从而求出n s 】（4）构造法(待定系数法):形如1n n a ka b -=+、1nn n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列；【用构造法求数列的通项或前n 项和：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的通项或前n 项和.】 （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】 ①1+1=,()n n a a a a f n =+型，其中()f n 是可以和数列，用累加法求通项公式，即1思路（叠加法）1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n n i a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑例题1：已知11a =，1n n a a n -=+，求n a解：∵1n n a a n -=+ ∴1n n a a n --=，依次类推有：122321122n n n n a a n a a n a a -----=--=--=、、…∴将各式叠加并整理得12n n i a a n =-=∑，121(1)2n nn i i n n a a n n ==+=+==∑∑ 思路（转化法）1(1)n n a pa f n -=+-，递推式两边同时除以np 得11(1)n n n n na a f n p p p ---=+，我们令n n n a b p =，那么问题就可以转化为类型一进行求解了.例题： 已知12a =，1142n n n a a ++=+，求n a解：∵1142n n n a a ++=+ ∴142nn n a a -=+，则111442nn n nn a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵令4n n na b =，则112nn n b b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，依此类推有11212n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、22312n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、…、22112b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴各式叠加得1212nnn i b b =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，即122111*********n n n n n n n n i i i b b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ∴1441422n nnn n n n a b ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦②1+1=,()n n a a a a f n =⋅型，其中()f n 是可以求积数列，用累乘法求通项公式，即1(2)(1)f f a思路（叠乘法）：1(1)n n a f n a -=-，依次类推有：12(2)n n a f n a --=-、23(3)n n a f n a --=-、…、21(1)af a =， 将各式叠乘并整理得1(1)(2)(3)na f f f a =⋅⋅⋅…(2)(1)f n f n ⋅-⋅-，即(1)(2)(3)n a f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅例题：已知11a =，111n n n a a n --=+，求n a . 解：∵111n n n a a n --=+ ∴111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、3224a a =、2113a a = ∵11a =∴将各式叠乘并整理得112311n a n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+-…2143⋅⋅，即12311n n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+- (212)43(1)n n ⋅⋅=+ ③1+1=,n n a a a pa q =+型（其中p q 、是常数），可以采用待定系数法、换元法求通项公式，即1()11n n q q a p a p p +-=---，设1n n qba p=--，则1n n b pb +=.利用②的方法求出n b 进而求出n a 当1p =时，数列{}n a 是等差数列；当0,0p q ≠=时，数列{}n a 是等比数列； 当0p ≠且1,0p q ≠≠时，可以将递推关系转化为111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭,则数列1nq a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11qa p +-为首项，p 为公比的等比数列.思路（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1qp μ=-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1111n n q q a a p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，即1111n nq qa a p p p -⎛⎫=++ ⎪--⎝⎭ 例题：已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式 解：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=∵11a =∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列∴113422n n n a -++=⋅=，即123n n a +=-④1+1=,n n n a a a pa q =+型,其中p q 、是常数且0,1q q ≠≠，111n n n n a a p q q q q ++=⋅+,设n n n a b q =，则11n np b b q q+=⋅+思路（构造法）：11n n n a pa rq --=+，设11n n n n a a q q μλμ--⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()11n n q p q rq λμλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而解得p q r p q λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩那么n na r qp q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以1a r q p q +-为首项，p q 为公比的等比数列 例题：已知11a =，112n n n a a --=-+，求n a 。
数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。
求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。
一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。
例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。
1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。
二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。
例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。
2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。
例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。
3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。
4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。
已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。
数列通项公式的十种求法｛a n ｝的通项公式。
二、累加法例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2n 1， 3(n 1)(n 2n、公式法 例1已知数列｛a n ｝满足a n 1 2a n 3 2n， a i 2，求数列｛a n ｝的通项公式。
解：a n 1 2a n 3 2n 两边除以2n 1，得開a n 3 a n 1 a n 3 2^ 2，人」2门1歹 2， 得鱼 2n 以岂 2 1为首项，以-为公差的等差数列，由等差数列的通项公式, 21 2 2 故数列｛》｝是1(n丐，3 1 所以数列｛a n ｝的通项公式为a n ( n -)2n 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n1 2a n 2n 转化为開是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出a n1)3，进而求出数列-，说明数列2解：由a n 1a n 2n 1 得 a n 1a n2n 1则a n (an[2(n 2[(n 2^an 1) (an1) 1) 1)n 2 1 an 2)1] [2(n 2) (n 2)1] I 2 1] @3 a 2)L (2 2 1) 1 (a 2 a 1)41) (2 1 1) 1(n (n 1) 所以数列｛a n ｝的通项公式为a n评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n 1a n 2n 1转化为a n 1 a n 2n 1，进而求 出(a n a n 1) (a n 1 a n 2) L (a 3a 2) (a ?印)a 1，即得数列｛a n ｝的通项公式。
求数列｛a n ｝的通项公式。
1) 1进而求出 a n(a n a n 1) (a n 1 a n 2) L(a 3 a 2) (a 2 a 1) a 1，即得数列｛a n ｝的通项公式。
已知数列｛a n ｝满足a n 1 3a n 2 3n 1，a 1解：a n 1 3a n 2 3 1两边除以3 1，得—— 孑33 3 3则a n例3已知数列｛a n｝满足a n 1 a n 2 3n1, a “ 3，求数列｛為｝的通项公式。
na n 2 31 得 a n 1 a n 231a n (a n a n 1) (a n 1 a n 2) L(a 3 a ?) (a 2 a 1) a 1 (2 3n 1 1) (2 3n 2 1) L (2 32 1) (2 31 1) 32(3n 1 3n 2 L 32 31) (n 1) 323(1 3n1) (n 1) 3解 由 a n 1 3n 3 n 1 3 n 3 n 1 所以 a n 3n n 1.评注：本题解题的关键是把递推关系式nna n 1a n 2 3 1 转化为 a n 1 a n 2 31，3n a n 2 3n3 1 1 n 1 ， a n 3n an 2)1 (— (a n 2(尹I) La 1 3尹）六） 2(n 1) 3n 3n 1 3n2L2(n 1)33n 1) 2n 33nQ n3，求数列｛a n ｝的通项公式。
评注：本题解题的关键是把递推关系式ani 3a n 2 31转化为罷3的通项公式，最后再求数列 ｛a n ｝的通项公式。
三、累乘法解: 因为a n 12(n 1)5n a n , 31 3，所以a n，则也 2(n 1)5n ，故a nanan 11 a3a2a nLa 1a n 1 a n 2a 2 a[2(n 11)511 ][2(n 2 1)5n2] L [2(21) 52][2(1 1) 51] 32n1[ n(n 1)L3 2](n 1) (n52) L 2 13n(n 1)3 2n1 5 2n!n(n 1)所以数列｛a n ｝的通项公式为a n3 2n 1 n!.r a n a “ 1a 3 a 2出 亠 4 L 32a 1，即得数列｛a n ｝的通项公式。
a n 1 a n 2a 2 a 1例6( 2004年全国I 第15题，原题是填空题)已知数列 ｛a n ｝满足 a 1 1，a n a 12a ? 3a 3 L (n 1总 dn 2)，求｛a n ｝的通项公式。
解：因为 a n a-i 2a 2 3a 3 L (n 1)a n "n 2)①所以 a n 1 a 1 2a 2 3a 3 L (n 1)a n 1 na *②用②式—①式得a n 1 a n na n .则 a n 1 (n 1)a n (n 2)a n 1、 ,a n 1a n 2、,a n 2an 3 .,进而求出(-33n1)(3n1(3n2尹)L译3i )彳，即得数列a n 3n例5已知数列｛令｝满足a n 12(n 1)5na n ,印3，求数列｛a n｝的通项公式。
评注：本题解题的关键是把递推关系a n 1 2(n 1)5na n 转化为a n 1a n2(n 1)5n ，进而求n 1(n 2)所以a na na n 1 a n 1 La n 2a3a2a2n〔[n(n 1) L 4 3]a2a2.2由a n a1 2a2 3a3 L (n 1)a n 1(n 2),取n 2得a? a1 2a2，则a2 a1,又知a1 1，则a2 1，代入③得a n n! 2所以，｛a n｝的通项公式为a nn!评注：本题解题的关键是把递推关系式a n 1a n 1 (n 1)a n(n 2)转化为——n 1(n 2)，a n进而求出电旦」L色a2，从而可得当n 2时，a.的表达式，最后再求出数列｛%｝的a n 1 a n 2 a2 通项公式。
四、待定系数法例7已知数列｛a n｝满足a n 1 2a n 3 5n，a1 6，求数列a n的通项公式。
解：设a n 1 x 5n 1 2(a n x 5n) ④将a n 1 2a n 3 5n代入④式，得2a“ 3 5n x 5n 1 2a“ 2x 5n，等式两边消去2a n，得3 5n x 5n 1 2x 5n，两边除以5n，得3 5x 2x,则x 1,代入④式得a n 1 5n 1 2(a n 5n) ⑤1 a 5n 1由a1 51 6 5 1 0及⑤式得a n 5n 0，则加—2，则数列®5n｝是以a n 5a1 51 1为首项，以2为公比的等比数列，则a n 5n 2n 1，故务2n 1 5n。
评注：本题解题的关键是把递推关系式a n 1 2a n 3 5n转化为am 5n 1 2@ 5n)，从而可知数列｛a n 5n｝是等比数列，进而求出数列｛a n 5n｝的通项公式，最后再求出数列｛a n ｝的通项公式。
a n 1 5 2n 1 2 3(a n 5 2n 2)，从而可知数列佝5 2n 2｝是等比数列，进而求出数列｛a n 5 2n 2｝的通项公式，最后再求数列｛a n ｝的通项公式。
例8已知数列｛a n ｝满足a n 1 3a n 52n 4, a i 1,求数列｛a n ｝的通项公式。
解：设a n 1 x2n1ny 3(a n x 2 y)将 a n 1 3a n 52n 4代入⑥式，得3a n 5 2n 42n1y 3(a n x2n y)整理得(5 2x) 2nny 3x 2 3y 。
2x 3x，则y 3y5，代入⑥式得2a n 12n13(% 5 2n 2)由a-i211 12 13 0及⑦式,得a n2n0，则a n1 5 2n1 a n 5 2n故数列｛a n 5 2n 2｝是以a 1 5 21 1 1213为首项，以3为公比的等比数列,因此 a n 5 2n 2 13 3n 1，则 a n13 3n 1 5 2n 2。
评注：本题解题的关键是把递推关系式a n 13a n 5 2n 4转化为例9已知数列｛a n ｝满足a n 1 2a n3n 2 4n 5,a 1 1，求数列｛a n ｝的通项公式。
解：设 a n 1 x(n 1)2 y(n 1) z 2(a n xn 2yn z) ⑧3 x 2x x 3解方程组 2x y 4 2y ，则y 10，代入⑧式，得x y z 5 2z z 182 2a n 1 3(n 1)10( n 1) 18 2(a n 3n 10n 18)⑨2 2由 a 1 3 1 10 1 18 1 31 32 0及⑨式，得 a n 3n 10n 18 0则413(n1) I 0©2^? 2，故数列｛a n 3n 2 10n 18｝为以a n 3n 2 10n 182a 1 3 1 10 1 18 1 31 32为首项，以2为公比的等比数列，因此 2n 1 n 4 2a n 3n 10n 1832 2 ，则 a n 2 3n 10n 18。
评注：本题解题的关键是把递推关系式a n1 2a n 3n 2 4n 5转化为2 2a n 1 3(n 1) 10(n 1) 18 2(a . 3n 10n 18)，从而可知数列2 2｛a n 3n 10n 18｝是等比数列，进而求出数列｛a . 3n 10n18｝的通项公式，最后再求出数列｛a n ｝的通项公式。
五、对数变换法n5例10已知数列｛a n ｝满足a n 1 2 3 a .，印 7，求数列｛a n ｝的通项公式。
2 22a n 3n 4n 5 x(n 1)2y(n 1) z 2( a n xnyn z)，则22a n (3 x)n (2x y24)n (x y z 5) 2a n 2xn 2yn 2z 等式两边消去2a n ，得(3 x)n 2(2x y 4)n (x y z 5)2xn 2 2yn 2z ,解：因为a n 12 3n a ；, &7，所以务n 50, a n 1 0。
在a n 1 2 3 a n 式两边取常用对数得lg a n 1 5lg a n n lg3 Ig 2 ⑩设lga n 1 x(n 1) y 5(lg a. xn y)①将⑩式代入 (11式，得5lg a nn Ig3 Ig 2 x(n 1) y 5(lg a n xn y)，两边消去Ig3 x 5x，故 x y Ig2 5y5lg a n 并整理，得(Ig3 x)n x y Ig 2 5xn 5y ，则代入⑪式，得Ig a n 1 Ig3 4 (n 1) Ig3 16 Ig2 4 5(Ig a n 4 16 4 )由 igai Ig3 1 4Ig3 16 Ig2 4 ig7Ig34 lg3 lg2 160及⑫式,得 Iga n Ig3 76 Ig24Ig a n 则 - Ig3 16 Ig2 4 Iga n也必所以数列｛Ig a n 里n 4Ig3 16 g ]是以Ig 7 Ig3 4 Ig3 16 Ig2为首项，以5为公比的等4 Ig3 n 4 Ig3 16 晋(Ig7 4 Ig3 4 Ig316 ^)5n 1，因此416 4 Ig a n (Ig 7 Ig3 Ig3 Ig2 n1 Ig 3nIg3 Ig2 4 16 44 641 1 1n1(Ig7 Ig 34 Ig36Ig24)5[11Ig34Ig 316 Ig21 11n11[Ig(7 34 316 24)]5n1Ig(3 4 316 24 )1 11n1 1Ig(7 34 316 24)5n 1Ig(34 316 24)5n1n5n 11 5n 11Ig(75 n1 3 43 162 4)5n 4n 15n 1 1Ig(75 n 13 162 4)比数列，则|ga n 5n 4n 15n 1 1则 a n75"1 3 162丁评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式a n 1 2 3n a ：转化为Ig3~4Ig3 76 Ig24lg a n 1{lg a n 里(n 4 lg3 n 4 1) lg3 76 lg3 lg 2 5(lg a n — n 里―)，从而可知数列 4 16 4 lg3 lg3 lg2 进而求出数列 {lg a n n }的通项416416 4爭是等比数列, 公式，最后再求出数列 ｛a n ｝的通项公式。
