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第四节 数的开方与二次根式了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算，1．二次根式定义：形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式．其中a 叫被开方数． 2．二次根式的性质：(1) a （a ≥0）具有双重非负性，一是a ≥0，二是a ≥0．(2)2)()0(a a a =≥(3)2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩3．二次根式的有关概念(1)最简二次根式：满足下列两个“不含”条件的二次根式是最简二次根式．①被开方数中不含分母 ，分母中也不含二次根式：②被开方数中不含能 开得尽方的因数或因式．(2)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同 ，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．4．二次根式的运算：(1)加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是 合并同类二次根式 ． (2)乘除运算：0,0)0)((a aab a ab b a o b b=≥≥=≥>；，b ，(3)运算顺序：先算乘方 ，再算 乘除 ，最后算加减 ，如果有 括号 ，就先算 括号 里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．考点一 根式的性质【例1】(1)（2019滨州）如果式子26x +有意义，那么x 的取值范围在数轴上表示出来，正确的是 ( )2·1·c ·n ·j ·y【答案】C(2)已知2(3)20x y x y -+++=，则x+y 的值为 （ ）A ．0B ．-1C ．1D ．5解题点拨：本题考查的知识点为：二次根式有意义则二次根式的被开方数是非负数． 【答案】C考点二 根式的运算【例2】(1)（2019龙岩）与5-是同类二次根式的是 （ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．25 【答案】C(2)（2019南充）下列计算正确的是 ( ) A ．1223= B ．3322= C ．2x x x -=- D ．2x x = 【答案】Ａ(3)下列运算中，错误的有 ( )个 ①2551114412=，②93=±，③822÷=，④1111916254520+=+=. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C (4)（2019泰州）1112(32)23-+ 解题点拨：先化简成最简根式，再合并，【答案】解：原式=3(32)3322-+=--=- 考点三 根式的化简【例3】(1)当l<x<4时，化简22(4)(1).x x ---(2)a 、b 、c 在数轴上对应点如图，化简22().a a b c -++-解题点拨：利用二次根式的非负性这一性质去进行根式的化简时，注意符号运算． 【答案】解：(1) ∵1<x<4,∴x-4<0，x-1>0, ∴22(4)(1)4125x x x x x ---=--+=-+． (2)由数轴可知，0<a<1，c<b<-1， ∴-a<0，a+b<0，c<0∴22()a a b c a b c b a c =--+=+--++-.A 组 基础训练1．（2019白贡）若代数式1.x x-有意义，则x 的取值范围是 ( ) A ．x ≥l B ．x ≤1且x ≠0 C ．x ≠1 D ．x ≠0 【答案】A2．（2019巴中）下列二次根式中，与 3.是同类二次根式的是 ( )A. 18B. 13C ．24D ．0.3 【答案】B3．若4422x x y -+-=-则()yx y += .【答案】144．计算：(1)，1112327-+． 【答案】解：原式1639=． (2) 22232()()323-- 【答案】解：原式=0．(3) 2(2332)-．【答案】解：原式= 30126-(4)22(77)(77)+--【答案】解：原式=287．一、选择题1．下列运算中错误的是 ( ) A ． 235+= B ． 236⨯= C ． 822÷= D ．2 (3)3-=【答案】A2．化简：341()(1)32a a a a -+---的结果等于 ( ) A ．a-2 B ．a+2 C ．2 3a a -- D ．32a a --【答案】B 3．已知5151,22x y -+==，则22x xy y ++的值为( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．7【答案】B4．（2019孝感）已知23x =-，则代数式2(743)(23)3x x ++++的值是 ( )A ．0B ．石C ．2+再D ．2 -万 【答案】C 二、填空题 5．在函数12x y x -=+中，x 的取值范围是 ． 【答案】x>-26．（2019日照）若2(3) 3x x -=-，则x 的取值范围是 【答案】3x ≤7．已知1232,32x x =+=-，则2212x x += ．【答案】10 三、解答题8．计算：(1)0116-(-)-23603sin π°．【答案】解：原式=341232--⨯= 4-1-3 =0． (2) (321)(321)+--+． 【答案】解：原式=22[3(21)][3(21)](3)(21)3(2221)3222122+---=--=--+=-+-=(3)011231(21)()3--+-- 【答案】解：原式=231133-+-=9．（2019桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式一海伦公式()()()s p p a p b p c =---（其中a ，b ，c 是三角形的三边长，2a b cp ++=，s 为三角形的面积） 例如：在△ABC 中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算： ∵a=3,b=4,c=5. ∴ 2a b cp ++==6 ∴()()()63216s p p a p b p c =---=⨯⨯⨯=．如图，在△ABC 中，BC=5，AC=6，AB=9， (1)用海伦公式求△ABC 的面积； (2)求△ABC 的内切圆半径r ．【答案】解：(1) ∵BC=5，AC=6，AB=9， ∴5691022BC AC AB p ++++===∴()()()10541102s p p a p b p c =---=⨯⨯⨯=故△ABC 的面积102： (2) ∵1()2s r AC BC AB =++,∴()11025692r =++， 解得：2r =，故△ABC 的内切圆半径2r =．B 组提高训练10．(2019乐山)在数轴上表示实数a 的点如图所示，化简2(5)2a a -+-的结果为 ( ) A ．-7 B ．-3 C ．7 D ．3（提示：由圈可知2<a<5，原式=-(n-5)+a-2=3．） 【答案】D11．当a<1时，化简3(1)a a --的结果是 ． （提示：∵a<1, ∴a<0，原式=(1)(1)a a a a a a --=--．）【答案】(1)a a a -- 12．观察下列运算11212=-++，12323=-++，13434=-++，…，12013201420132014=-++利用上面的规律计算 1111()(12014)12233420132014⋯+++++++++.【答案】解∵11212=-++，12323=-++，13434=-++，…，12013201420132014=-++∴原式(122334201320142014-+-+-++2…-）＝（）-1＝20132019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1，3)，将点A 绕原点O 顺时针旋转90°得到点A′，则点A′的坐标是( ) A.(﹣3，1) B.(3，﹣1) C.(﹣1，3)D.(1，﹣3)2．如图，已知平行四边形的对角线交于点.2cm BD =，将AOB 绕其对称中心旋转180︒.则点所转过的路径长为( )km.A ．B ．C ．D ．3．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（ ） A ．360° B ．540°C ．180°或360°D ．540°或360°或180°4．式子﹣3ax -（a ＞0）化简的结果是（ ） A ．x ax -B ．﹣x ax -C ．x axD ．﹣x ax5．在直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别减去正数a （a ＞1），那么所得的图案与原图案相比（ ）A ．形状不变，大小扩大到原来的a 倍B ．图案向右平移了a 个单位长度C ．图案向左平移了a 个单位长度，并且向下平移了a 个单位长度D ．图案向右平移了a 个单位长度，并且向上平移了a 个单位长度6．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a+b ＝0；③a ﹣b+c ＝0；④5a ＜b ．其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个7．点G 为△ABC 的重心（△ABC 三条中线的交点），以点G 为圆心作⊙G 与边AB ，AC 相切，与边BC 相交于点H ，K ，若AB ＝4，BC ＝6，则HK 的长为（ ）A ．353B ．2133C ．352D ．1328．分式方程13125xx -=-+的解是（ ）A ．6x =-B ．6x =C ．65x =-D ．65x =9．下面的统计图表示某体校射击队甲、乙两名队员射击比赛的成绩，根据统计图中的信息，下列结论正确的是（ ）A ．甲队员成绩的平均数比乙队员的大B ．乙队员成绩的平均数比甲队员的大C ．甲队员成绩的中位数比乙队员的大D ．甲队员成绩的方差比乙队员的大10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC ＝20°，则∠ADC 的度数是( )A ．90°B ．100°C ．110°D ．130°11．已知在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 是边BC 的中点，BC 的延长线上的点N 满足AM ⊥AN ．△ABC 的内切圆与边AB 、AC 的切点分别为E 、F ，延长EF 分别与AN 、BC 的延长线交于P 、Q ，则PNQN＝（ ） A ．1 B ．0.5C ．2D ．1.512．分式方程22111x x x -=--，解的情况是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝2C ．x ＝﹣1D ．无解二、填空题13．一组按规律排列的式子：2a ，25a -，310a ，417a -，526a，…，其中第7个式子是_____，第n 个式子是_____(用含的n 式子表示，n 为正整数)．14．已知方程x 2－mx －3m ＝0的两根是x 1、x 2，若x 1＋x 2＝1，则 x 1x 2＝_______．15．计算：2cos60°﹣（3+1）0＝_____．16．如图，点C 在⊙O 上，将圆心角∠AOB 绕点O 按逆时针方向旋转到∠A′OB′，旋转角为α（0°＜α＜180°），若∠AOB=30°，∠BCA′=20°，且⊙O 的半径为6，则AB'的弧长为______．（结果保留π）．17．若关于x 的一元二次方程240x x a ++=有两个相等的实数根，则a 的值是______． 18．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，若∠BCD ＝24°，则∠ABD 的度数为___度．三、解答题19．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O ，交AC 于点D .过点D 作O 的切线DE ，交BC 于点E .（1）求证：EB EC =.（2）填空：①当BAC ∠=_________︒时，CDE ∆为等边三角形； ②连接OD ，当BAC ∠=_________︒时，四边形OBED 是菱形.20．随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次统计共抽查了 名学生，在扇形统计图中“QQ”的扇形圆心角的度数为 ； （2）将条形统计图补充完整；（3）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．21．某校为了了解学生的安全意识，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查一共抽取了名学生，将条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中，“较强”层次所占圆心角的大小为°；（3）若该校有1800名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，请你估计全校需要强化安全教育的学生人数．22．为了解八年级学生双休日的课外阅读情况，学校随机调查了该年级25名学生，得到了一组样本数据，其统计表如下：八年级25名学生双休日课外阅读时间统计表阅读时间1小时2小时3小时4小时5小时6小时人数 3 4 6 3 2（1）请求出阅读时间为4小时的人数所占百分比；（2）试确定这个样本的众数和平均数．23．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB=12，BC=4，求⊙O的半径．24．4cos60°+（﹣1）2019﹣|﹣3+2|25．某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x 天生产的帽子数量为y 顶，y 与x 满足如下关系式：y ＝20(05)10100(520)x x x x ⎧⎨+<⎩剟…（1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？（2）如图，设第x 天每顶帽子的成本是P 元，P 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小华第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？ （3）设（2）小题中第m 天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m 天的利润至少多49元，则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D D A C B A B D C A D二、填空题13．750a 211 (1)n n n a++-⋅ 14．－3 15．0 16．103π 17． 18．66 三、解答题19．（1）详见解析；（2）45BAC ∠=︒ 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质，证1C ∠=∠，得DE CE =，EB EC =.（2）根据等边三角形性质可推出；根据菱形性质进行分析即可.【详解】证明：（1）如图，连接OD .∵BE 是O 的切线，DE 是O 的切线，∴DE BE =，90B ODE ∠=∠=︒，∴90C A ∠+∠=︒，1290∠+∠=︒.∵OA OD =，∴2A ∠=∠，∴190A ∠+∠=︒，∴1C ∠=∠，∴DE CE =，∴EB EC =.（2）①若CDE ∆是等边三角形，∴60C ∠=°，∵90B ∠=︒，∴30BAC ∠=︒.②若四边形OBED 是菱形，∵90ODE B ∠=∠=︒，∴90AOD ∠=︒.∵AO OD =，∴45BAC ∠=︒.【点睛】考核知识点：切线的性质，多边形性质.掌握圆的基本性质是关键.20．（1）100，108°；（2）补图见解析；（3）13 【解析】【分析】（1）由20÷20%可得这次统计共抽查人数，根据圆心角公式可得结果；（2）先求喜欢用短信的人数，再画图；（3）用树状图方法求概率.【详解】解：（1）20÷20%＝100；所以这次统计共抽查了100名学生； 在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数＝360°×30100＝108°； （2）喜欢用短信的人数为：100×5%＝5人，补充图形，如图所示：（3）画树状图为：共有9种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为3，所以恰好选用“微信”联系的概率＝39＝13．【点睛】考核知识点：从统计图表获取信息，求概率.21．（1）200；（2）108；（3）450.【解析】【分析】（1）由安全意识为“很强”的学生数除以占的百分比得到抽取学生总数，再用总人数分别减去安全意识“淡薄”、“一般”、“很强”的人数，得出安全意识为“较强”的学生数，补全条形统计图即可；（2）用360°乘以安全意识为“较强”的学生占的百分比即可；（3）由安全意识为“淡薄”、“一般”的学生占的百分比的和，乘以1800即可得到结果．【详解】（1）调查的总人数是：90÷45%＝200（人）．安全意识为“很强”的学生数是：200﹣20﹣30﹣90＝60（人）．条形图补充如下：故答案为：200；（2）“较强”层次所占圆心角的大小为：360°×60200＝108°．故答案为108；（3）根据题意得：1800×2030200+＝450（人），则估计全校需要强化安全教育的学生人数为450人【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．22．（1）28%；（2）众数4小时；平均数3.36小时【解析】【分析】（1）先求得阅读时间为4小时的人数，然后除以被调查的人数即可求得其所占的百分比；（2）利用众数及加权平均数的定义确定答案即可．【详解】（1）阅读量为4小时的有25﹣3﹣4﹣6﹣3﹣2=7，所以阅读时间为4小时的人数所占百分比为725⨯100%=28%；（2）阅读量为4小时的人数最多，所以众数为4小时，平均数为（1×3+2×4+3×6+4×7+5×3+6×2）÷25=3.36（小时）．【点睛】本题考查了确定一组数据的加权平均数和众数的能力，比较简单．23．（1）直线CE与⊙O相切，理由详见解析；（2）35 4【解析】【分析】（1）连接OE，由四边形ABCD是矩形，得到∠3=∠1，∠2+∠5=90°，而OA=OE，∠1=∠2，所以∠3=∠4，∠4=∠2，故∠4+∠5=90°得到∠OEC=90°，根据切线的判定定理即得到CE是⊙O的切线；（2）作OG⊥AE交线段AE于G点，根据tan∠ACB=12先求出AB的长度和DE的长度，然后分别求出AG和OG的长度，利用勾股定理求出OA的长度即可解答. 【详解】（1）直线CE与⊙O相切．证明：如图，连接OE，∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴∠1=∠3．又∠1=∠2， ∴ ∠2=∠3．则∠3=∠4．∴ ∠2=∠4．∵ ∠2+∠5=90°， ∴ ∠4+∠5=90°．∴ ∠OEC=90°，即OE ⊥CE ， ∴ 直线CE 与⊙O 相切．（2）解：∵ tan ∠ACB=AB BC =12， BC=4． ∴ AB=BC·tan ∠ACB=2．又 ∠1=∠2．∴ DE=DC·tan ∠DCE= DC·tan ∠ACB= 1．过点O 作OG ⊥AE 于点G ，则 AG=12AE=32． ∵ OG=AG·tan∠DAC= AG·tan∠ACB =32×12=34， ∴ OA=22OG AG +=223342⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=354． 【点睛】本题考查了解直角三角形和圆与直线的位置关系，准确识图是解题的关键.24．0【解析】【分析】本题涉及绝对值、特殊角的三角函数值2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】 解：原式＝4×12﹣1﹣|﹣1|＝2﹣1﹣1＝0． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．（1）小华第12天生产的帽子数量为220顶；（2）当x ＝14时，w 有最大值，最大值为576元；（3）第15天每顶帽子至少应提价0.2元．【解析】【分析】（1）把220y =代入10100y x =+，解方程即可求得；（2）根据图象求得成本p 与x 之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W 与x 的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；（3）根据（2）得出115m +=，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a 与利润w 的关系式，再根据题意列出不等式求解即可【详解】解：（1）若20220x =，则11x =，与05x ≤≤不符，∴10100220x +=，解得:12x =，故第12天生产了220顶帽子；（2）由图象得，当010x ≤≤时， 5.2P =；当1020x ≤＜时，设0p kx b k =+≠（），把105.2206.2（，）,(，）代入上式，得 10 5.220 6.2k b k b +=⎧⎨+=⎩ ， 解得，0.14.2k b =⎧⎨=⎩， ∴0.1 4.2p x =+①05x ≤≤时，(8)20(8 5.2)56w y p x x =-=-=当5x =时，w 有最大值为280w =（元）②510x ≤＜时，(8)1010085.2)28280w y p x x =-=+⨯=+（）（﹣，当10x =时，w 有最大值，最大值为560（元）；③1020x ≤＜时，2(8)1010080.1 4.2[]28380w y p x x x x =-=+=--+++（）（） 当14x =时，w 有最大值，最大值为576（元）．综上，当14x =时，w 有最大值，最大值为576元．（3）由（2）小题可知，14115m m =+=，，设第15天提价a 元，由题意得 (8)1010080.1 4.22502.[]3w y a p x a x a ==+-=++-++（）（）（）∴2502.3)57649a +-≥（ ∴0.2a ≥答：第15天每顶帽子至少应提价0.2元．【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列运算正确的是（ ）A.a 5﹣a 3＝a 2B.6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝2xy 2C.2212a 2a -= D.（﹣2a ）3＝﹣8a 3 2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△ABC ，M 是BC 的中点，P 是A’B’的中点，连接PM ．若BC ＝4，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．53．在一个不透明的袋子中放有a 个球，其中有6个白球，这些球除颜色外完全相同，若每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则a 的值约为（ ）A.10B.15C.20D.24 4．不等式组20215x x -⎧⎨-⎩＞＜ 的解是（ ） A ．x ＞2 B ．x ＜3 C ．2＜x ＜3 D ．2＜x ＜65．如图，用四个直角边分别是6和8的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，随机往大正方形区域内投针一次，则针扎在小正方形EFGH 内的概率是（）A ．14B ．16C ．124D ．1256．如图，射线BM 与O 相切于点B ，若150MBA =∠，则cos ACB ∠的值为（ ）A ．12B ．22C ．32D ．33 7．若2230x px q -+=的两根分别是3-与5，则多项式2246x px q -+可以分解为（ ）A ．()()35x x +-B ．()()35x x -+C ．()()235x x +-D ．()()235x x -+8．如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B ，点 B 的坐标为 (3,0)-，M 是圆上一点，∠BMO=120°．⊙C 的圆心C 的坐标是( )A ．31(,)22B ．31(,)22-C ．31(,)22-D ．31(,)22-- 9．已知坐标平面内一点A(2，1)，O 为原点，B 是x 轴上一个动点，如果以点B ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点B 的个数为( )A.2个B.3个C.4个D.5个10．如图，在长方形ABCD 中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC 折叠，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）A.12B.10C.8D.611．如图，在矩形ABCD 中，AD=4AB -+4AB -+8，点M 在边AD 上，连接BM ，BD 平分∠MBC ，则AM MD的值为（ ）A.12B.2C.53D.3512．如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO ．若∠DAC ＝26°，则∠OBC 的度数为( )A．54°B．64°C．74°D．26°二、填空题13．某校校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图）．学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点A绕三棱柱侧面一周到顶点'A安装灯带，已知此三棱柱的高为5m，底面边长为2m，则灯带的长度至少为____m．14．抛物线y=（2x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是_____．x 有意义，则字母x的取值范围是．15．若516．如图，在反比例函数图象中，△AOB是等边三角形，点A在双曲线的一支上，将△AOB绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜360° ），使点A仍在双曲线上，则α＝_____．17．如图，四边形ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为点D′，若CD′垂直于菱形ABCD的边时，则DE的长为_____．18．2017年无锡市国内生产总值(GDP)达到10500亿元，成为全国第14个突破万亿元的城市，数据10500亿元用科学记数法可表示为_____亿元．三、解答题19．在一块直角三角形的废料上，要裁下一个半圆形的材料，并且要半圆的直径在斜边AB上，且充分利用原三角形废料．（1）试画出你的设计（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）（2）若AC=4，BC=3，试计算出该半圆形材料的半径．20．某网店经营一种品牌水果，其进价为10元/千克，保鲜期为25天，每天销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)之间的函数关系如图所示.(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当该品牌水果定价为多少元时，每天销售所获得的利润最大？(3)若该网店一次性购进该品牌水果3000千克，根据(2)中每天获得最大利润的方式进行销售，发现在保鲜期内不能及时销售完毕，于是决定在保鲜期的最后5天一次性降价销售，求最后5天每千克至少降价多少元才能全部售完？21．如图，正方形ABCD 中，AB ＝25，O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE ＝2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE ，CF（1）如图1，求证：AE ＝CF ；（2）如图2，若A ，E ，O 三点共线，求点F 到直线BC 的距离．22．（1） 解方程: 2（x ﹣3）=3x （x ﹣3）（2）解不等式组475(1)2332x x x x -<-⎧⎪-⎨-⎪⎩… 23．在如图菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点．求证：OE ＝OF ．24．已知等腰ABC ∆中，AB AC =，EDF ∠的顶点D 在线段BC 上，不与,B C 重合.（1）如图①，若,DE AC DF AB ∥∥且点D 在BC 中点时，四边形AEDF 是什么四边形并证明？（2）将EDF ∠绕点D 旋转至如图②所示位置，若,,B C EDF BD m CD n α∠=∠=∠===，设BDE ∆的面积为1S ；CDF ∆的面积为2S ，求12S S ⋅的值（用含有,,m n α的代数式表示）.图① 图②25．如图，一次函数y ＝k 1x+b 的图象经过A （0，﹣2），B （1，0）两点，与反比例函数2k y x=的图象在第一象限内的交点为M ，若△OBM 的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x 轴上是否存在点P ，使AM ⊥MP ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【参考答案】***一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B D C D C C C C BD B 二、填空题13．6114．-1615．x≥﹣5．16．30°、180°、210°17．233或23或23﹣2或23+2． 18．05×104三、解答题19．（1）答案见解析;(2)127. 【解析】【分析】 （1）作∠ACB 的角平分线交AB 于O ，过O 作OE ⊥AC 于E ，以O 为圆心，OE 为半径作圆交AB 于D 、F ．图中半圆即为所求．（2）作OH ⊥BC 于H ．首先证明OE=OH ，设OE=OH=r ，利用面积法构建方程求出r 即可．【详解】解：（1）作∠ACB 的角平分线交AB 于O ，过O 作OE ⊥AC 于E ，以O 为圆心，OE 为半径作圆交AB 于D 、F ．（2）∵OC 平分∠ACB ，OE ⊥AC ，OH ⊥BC ，∴OE=OH ，设OE=OH=r ，∵S △ABC =12•AC•BC=12•AC•r+12•BC•r， ∴r=127． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会利用面积法构建方程解决问题．20．（1）10300y x =-+；（2）该品牌水果定价为20元时，每天销售所获得的利润最大；（3）最后5天每千克至少降价10元才能全部售完.【解析】【分析】（1）依据题意利用待定系数法可得出每天的销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间函数关系：y=-10x+300，（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），列出平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式进行求解即可；（3）根据题意列出不等式[]20100510(20)3003000m ⨯+--+≥进行求解即可.【详解】 （1）设y kx b =+，将10,200（）和15,150（）代入y kx b =+得：20010,15015,k b k b =+⎧⎨=+⎩解得10,300k b =-⎧⎨=⎩，∴10300y x =-+；（2）设每天销售所获得的利润为W ,则(10)(10300)W x x =--+2104003000x x =-+-21020)1000x =--+（，∵10＜x ≤30，∴当20x =时，W 取最大值1000，答：该品牌水果定价为20元时，每天销售所获得的利润最大.（3）将20x =代入10300y x =-+，得100y =，设最后5天每千克一次性降价m 元，依题意得：[]20100510(20)3003000m ⨯+--+≥，解得10m ≥，所以最后5天每千克至少降价10元才能全部售完.【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）21．（1）详见解析；（2）点F 到直线BC 的距离为355． 【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得∠EDF ＝90°，DE ＝DF ，由正方形的性质可得∠ADC ＝90°，DE ＝DF ，可得∠ADE ＝∠CDF ，由“SAS”可证△ADE ≌△CDF ，可得AE ＝CF ；（2）由勾股定理可求AO 的长，可得AE ＝CF ＝3，通过证明△ABO ∽△CPF ，可得CF PF AO BO=，即可求PF 的长，即可求点F 到直线BC 的距离．【详解】证明：（1）∵将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，∴∠EDF ＝90°，DE ＝DF.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC ＝90°，DE ＝DF ，∴∠ADC ＝∠EDF ，∴∠ADE ＝∠CDF ，且DE ＝DF ，AD ＝CD ，∴△ADE ≌△CDF （SAS ），∴AE ＝CF ，（2）解：如图2，过点F 作FP ⊥BC 交BC 延长线于点P ，则线段FP 的长度就是点F 到直线BC 的距离．∵点O是BC中点，且AB＝BC＝25，∴BO＝5，∴AO＝22AB BO+＝5，∵OE＝2，∴AE＝AO﹣OE＝3.∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF＝3，∠DAO＝∠DCF，∴∠BAO＝∠FCP，且∠ABO＝∠FPC＝90°，∴△ABO∽△CPF，∴CF PF AO BO=，∴355PF =，∴PF＝355，∴点F到直线BC的距离为355.【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明△ABO ∽△CPF是本题的关键．22．（1）x1=3或x2=23;（2）﹣2＜x≤245【解析】【分析】（1）把等号右边的式子移至等号左边，然后分解因式后利用因式分解法求解即可；（2）分别求出两个不等式的解集，然后求出公共部分即可．【详解】（1）解：原方程可化为：2(x-3)-3x(x-3)=0(x-3)(2-3x)=0∴x-3=0或2-3x=0解得：x1=3或x2=23；（2）解：475(1)2332x x x x -<-⎧⎪⎨--⎪⎩①②…， 解不等式①，得x ＞﹣2，解不等式②，得x≤245， 不等式组的解集是﹣2＜x≤245． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和解一元一次不等式组，根据方程的特点选择恰当的方法是解一元二次方程的关键，正确的求出两个不等式的解集是解一元一次不等式组的关键．23．证明见解析【解析】【分析】根据菱形ABCD ，可得AC ⊥BD ，所以可得△AOB 、△BOC 为直角三角形，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明OE ＝OF ．【详解】解：∵AC ⊥BD ，∴△AOB 、△BOC 为直角三角形，∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴OE ＝12AB ，OF ＝12BC ， ∵AB ＝BC ，∴OE ＝OF ．【点睛】本题主要考查菱形的性质，应当熟练掌握，这是重点知识.24．（1）菱形；（2）2221sin 4n m α. 【解析】【分析】（1）根据菱形的判定方法进行证明即可；（2）首先证明△EBD ∽△DCF ，设BE=x ，CF=y ，可得xy=mn ，由S 1=12•mx•sin α，S 2=12nysin α，可得S 1•S 2=14（mn ）2sin 2α;【详解】（1）菱形，∵点D 为BC 的中点，且,DE AC DF AB ∥∥∴,DE DF 为三角形中位线， ∴11,,22DE AC DF AB ==∵,AB AC =∴DE=DF∵,DE AF DF AE ,∴AEDF 是平行四边形，∴AEDF 是菱形.（2）设BE=x ，CF=y ．∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BEF ，∠MDN=∠B ，∴∠BED=∠FDC ，∵∠B=∠C ，∴△BED ∽△CDF ， ∴BE BD CD CF=， ∴x m n y=， ∴xy mn =∵S 1=12•BD•BE•sin α=12mxsin α，S 2=12CD•CF•sin α=12ysin α， ∴1211sin sin 22S S mx ny αα⋅=⋅=2221sin 4n m α 【点睛】 本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式．锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.25．（1）12y x =；（2）是，P 的坐标为（11，0）. 【解析】【分析】（1）根据一次函数y= k 1x+b 的图象经过A （0，-2），B （1，0）可得到关于b 、k1的方程组，进而可得到一次函数的解析式，设M （m ，n ）作MD ⊥x 轴于点D ，由△OBM 的面积为2可求出n 的值，将M （m ，4）代入y=2x-2求出m 的值，由M （3，4）在双曲线y=2k x上即可求出k 2的值，进而求出其反比例函数的解析式；（2）过点M （3，4）作MP ⊥AM 交x 轴于点P ，由MD ⊥BP 可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO ，再由锐角三角函数的定义可得出OP 的值，进而可得出结论．【详解】解：（1）∵直线y ＝k 1x+b 过A （0，﹣2），B （1，0）两点∴12+0b k b =-⎧⎨=⎩， ∴122b k =-⎧⎨=⎩ ∴一次函数的表达式为y ＝2x ﹣2．∴设M （m ，n ），作MD ⊥x 轴于点D∵S △OBM ＝2， ∴122OB MD ⋅= ， ∴122n =∴n ＝4∴将M （m ，4）代入y ＝2x ﹣2得4＝2m ﹣2，∴m ＝3∵M （3，4）在双曲线2k y x=上， ∴24=3k ， ∴k 2＝12 ∴反比例函数的表达式为12y x= （2）过点M （3，4）作MP ⊥AM 交x 轴于点P ，∵MD ⊥BP ，∴∠PMD ＝∠MBD ＝∠ABO∴tan ∠PMD ＝tan ∠MBD ＝tan ∠ABO ＝221OA OB == ＝2 ∴在Rt △PDM 中，2PD MD = ， ∴PD ＝2MD ＝8，∴OP ＝OD+PD ＝11∴在x 轴上存在点P ，使PM ⊥AM ，此时点P 的坐标为（11，0）【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于将已知点代入解析式。
第四节 数的开方与二次根式了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算，1．二次根式定义：形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式．其中a 叫被开方数． 2．二次根式的性质： (1) a （a ≥0）具有双重非负性，一是a ≥0，二是a ≥0．(2)2)()0(a a a =≥(3)2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩3．二次根式的有关概念(1)最简二次根式：满足下列两个“不含”条件的二次根式是最简二次根式．①被开方数中不含分母 ，分母中也不含二次根式：②被开方数中不含能 开得尽方的因数或因式．(2)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同 ，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．4．二次根式的运算：(1)加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是 合并同类二次根式 ．(2)乘除运算：0,0)0)((a a a b a ab b a o b b=≥≥=≥>g ；，b ， (3)运算顺序：先算乘方 ，再算 乘除 ，最后算加减 ，如果有 括号 ，就先算 括号 里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．考点一 根式的性质【例1】(1)（2019滨州）如果式子26x +有意义，那么x 的取值范围在数轴上表示出来，正确的是( )2·1·c ·n ·j ·y【答案】C(2)已知2(3)20x y x y -+++=，则x+y 的值为 （ ）A ．0B ．-1C ．1D ．5解题点拨：本题考查的知识点为：二次根式有意义则二次根式的被开方数是非负数．【答案】C考点二 根式的运算【例2】(1)（2019龙岩）与5-是同类二次根式的是 （ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．25【答案】C(2)（2019南充）下列计算正确的是 ( )A ．1223=B ．3322= C ．2x x x -=- D ．2x x = 【答案】Ａ(3)下列运算中，错误的有 ( )个①2551114412=，②93=±，③822÷=，④1111916254520+=+=. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C(4)（2019泰州）1112(32)23-+ 解题点拨：先化简成最简根式，再合并，【答案】解：原式=3(32)3322-+=--=-考点三 根式的化简【例3】(1)当l<x<4时，化简22(4)(1).x x ---(2)a 、b 、c 在数轴上对应点如图，化简22().a a b c -++-解题点拨：利用二次根式的非负性这一性质去进行根式的化简时，注意符号运算．【答案】解：(1) ∵1<x<4,∴x-4<0，x-1>0,∴22 (4)(1)4125x x x x x ---=--+=-+．(2)由数轴可知，0<a<1，c<b<-1，∴-a<0，a+b<0，c<0∴22()a a b c a b c b a c =--+=+--++-.A 组 基础训练1．（2019白贡）若代数式1.x x-有意义，则x 的取值范围是 ( ) A ．x ≥l B ．x ≤1且x ≠0 C ．x ≠1 D ．x ≠0【答案】A2．（2019巴中）下列二次根式中，与 3.是同类二次根式的是 ( )A. 18B.13C ．24D ．0.3 【答案】B3．若4422x x y -+-=-则()y x y += .【答案】144．计算：(1)，1112327-+． 【答案】解：原式1639=． (2) 22232()()323--【答案】解：原式=0． (3) 2(2332)-．【答案】解：原式= 30126- (4)22(77)(77)+--【答案】解：原式= 287．一、选择题1．下列运算中错误的是 ( )A ． 235+=B ． 236⨯=C ． 822÷=D ．2 (3)3-=【答案】A2．化简：341()(1)32a a a a -+---的结果等于 ( )A ．a-2B ．a+2C ．2 3a a --D ．32a a --【答案】B3．已知5151,22x y -+==，则22x xy y ++的值为( )A ．2B ．4C ．5D ．7【答案】B4．（2019孝感）已知23x =-，则代数式2(743)(23)3x x ++++的值是( )A ．0B ．石C ．2+再D ．2 -万【答案】C二、填空题5．在函数12x y x -=+中，x 的取值范围是 ．【答案】x>-26．（2019日照）若2(3) 3x x -=-，则x 的取值范围是 【答案】3x ≤ 7．已知1232,32x x =+=-，则2212x x += ．【答案】10三、解答题8．计算：(1)0116-(-)-23603sin π°． 【答案】解：原式=3 41232--⨯= 4-1-3 =0． (2) (321)(321)+--+．【答案】解：原式=22[3(21)][3(21)](3)(21)3(2221)3222122+---=--=--+=-+-=(3)011231(21)()3--+-- 【答案】解：原式=231133-+-=9．（2019桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式一海伦公式()()()s p p a p b p c =---（其中a ，b ，c 是三角形的三边长，2a b c p ++=，s 为三角形的面积） 例如：在△ABC 中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算： ∵a=3,b=4,c=5. ∴ 2a b c p ++==6 ∴()()()63216s p p a p b p c =---=⨯⨯⨯=．如图，在△ABC 中，BC=5，AC=6，AB=9，(1)用海伦公式求△ABC 的面积；(2)求△ABC 的内切圆半径r ．【答案】解：(1) ∵BC=5，AC=6，AB=9，∴5691022BC AC AB p ++++=== ∴()()()10541102s p p a p b p c =---=⨯⨯⨯=故△ABC 的面积102：(2) ∵1()2s r AC BC AB =++,∴()11025692r =++， 解得：2r =， 故△ABC 的内切圆半径2r =．B 组提高训练 10．(2019乐山)在数轴上表示实数a 的点如图所示，化简2(5)2a a -+-的结果为 ( )A ．-7B ．-3C ．7D ．3（提示：由圈可知2<a<5，原式=-(n-5)+a-2=3．）【答案】D11．当a<1时，化简3(1)a a --的结果是 ．（提示：∵a<1, ∴a<0，原式=(1)(1)aa a a a a --=--．） 【答案】(1)a a a --12．观察下列运算11212=-++，12323=-++，13434=-++， …，12013201420132014=-++ 利用上面的规律计算 1111()(12014)12233420132014⋯+++++++++. 【答案】解∵11212=-++，12323=-++，13434=-++， …，12013201420132014=-++ ∴原式(122334201320142014-+-+-++2…-）＝（）-1＝20132019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ） A ．1a ≥ B ．1a >且5a ≠ C ．1a ≥且5a ≠ D ．5a ≠2．若x+y ＝3且xy ＝1，则代数式（1+x ）（1+y ）的值等于（ ）A.5B.﹣5C.3D.﹣33．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x 元，则可列方程为（ ） A.10000x ﹣90005x -=100 B.90005x -﹣10000x =100 C.100005x -﹣9000x =100 D.9000x ﹣100005x -=100 4．如图，为了测得高中部教学楼风华楼AB 的高度，小李在风华楼正前方的升旗广场点F 处测得AB 的顶端A 的仰角为22°，接着他往前走30米到达点E ，沿着坡度为3：4的台阶DE 走了10米到达坡顶D 处，继续朝高楼AB 的方向前行18米到C 处，在C 处测得A 的仰角为60°，A 、B 、C 、D 、E 、F 在同一平面内，则高楼AB 的高度为（ ）米.（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A ．10.3B ．12.3C ．20.5D ．21.35．设点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）是反比例函数y ＝图象上的两个点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则一次函数y ＝﹣2x+k 的图象不经过的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．欧几里得的《原本》记载，形如22x ax b +=的方程的图解法是：画Rt ABC ∆，使90ACB ∠=o ，2a BC =，ACb =，再在斜边AB 上截取2a BD =.则该方程的一个正根是（ ）A.AC 的长B.AD 的长C.BC 的长D.CD 的长7．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为8的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上接BD ，AE ，则四边形FGCH 的面积为（ ）A ．433B ．833C ．1433D ．1633 8．下列四个命题中：①若，则；②反比例函数，当时，y 随x 的增大而增大；③垂直于弦的直径平分这条弦； ④平行四边形的对角线互相平分，真命题的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个9．如图，将一副直角三角板按图中所示的位置摆放，两条斜边互相平行，则∠1=（ ）A ．75oB ．70oC ．65oD ．60o10．下列几道题目是小明同学在黑板上完成的作业，他做错的题目有（ ）①a 3÷a ﹣1＝a 2②（2a 3）2＝4a 5③（12ab 2）3＝16a 3b 6④2﹣5＝132⑤（a+b ）2＝a 2+b 2 A ．2道 B ．3道 C ．4道 D ．5道11．袋中装有大小相同的6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“从袋中任意摸出一个球，恰是黑球的概率为34”则袋中白球大约有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个12．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为12x =-.下列结论:①0abc >②0a b +=③20b c +＞④42a c b +<.其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 13．一个圆锥的底面半径为3cm ，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是_____cm 2．14．在半径为10cm 的⊙O 中，弦AB 的长为16cm ，则点O 到弦AB 的距离是_____cm ．15．如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边的中点，随机地向△ABC 中内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是_____．16．如图，□ABCD 中，AE 、CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的角平分线根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是_______（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）17．比较大小：32______23. 18．若关于x 的不等式(2)2a x a ->-的解集为1x <，化简3a -=______.三、解答题19．阅读材料，解决问题：如图，为了求平面直角坐标系中任意两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）之间的距离，可以AB 为斜边作Rt △ABC ，则点C 的坐标为C （x 2，y 1），于是AC ＝|x 1﹣x 2|，BC ＝|y 1﹣y 2|，根据勾股定理可得AB ＝221212()()x x y y -+-，反之，可以将代数式221212()()x x y y -+-的值看做平面内点（x 1，y 1）到点（x 2，y 2）的距离．例如∵222610x x y y ++-+=22(21)(69)x x y y +++-+ =22(1)(3)x y ++-，可将代数式222610x x y y ++-+看作平面内点（x ，y ）到点（﹣1，3）的距离根据以上材料解决下列问题（1）求平面内点M （2，﹣3）与点N （﹣1，3）之间的距离；（2）求代数式2222682510429x y x y x y x y +--++++-+的最小值．20．已知反比例函数()0m y m =≠x与一次函数y ＝kx+b （k≠0）交于点A （﹣1，6）、B （n ，2）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点A 关于y 轴的对称点为A′，连接AA′，BA′，求△AA′B 的面积．21．观察猜想：（1）如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝3，点D 与点A 重合，点E 在边BC 上，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接BF ，BE 与BF 的位置关系是 ，BE+BF ＝ ；探究证明：（2）在（1）中，如果将点D 沿AB 方向移动，使AD ＝1，其余条件不变，如图②，判断BE 与BF 的位置关系，并求BE+BF 的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸：（3）如图③，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝a ，点D 在边BA 的延长线上，BD ＝n ，连接DE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转，旋转角∠EDF ＝a ，连接BF ，则BE+BF 的值是多少？请用含有n ，a 的式子直接写出结论．22．计算：（﹣12）2+12﹣（21-）0+|1﹣2| 23．先化简，再求值：111()a a a ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，其中a=12 ． 24．图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB 的顶点都在格点上.（1）利用图①以AB 为边画一个面积最大的平行四边形，且这个平行四边形的其他两个顶点在格点上；（2）利用图②以AB 为边画一个面积为4的平行四边形，且这个平行四边形的其他两个顶点在格点上；（3）利用图③以AB 为边画一个面积为4的菱形，且这个菱形的其他两个顶点在格点上。
第四节 数的开方与二次根式了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算，1．二次根式定义：形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式．其中a 叫被开方数．2．二次根式的性质： (1) a （a ≥0）具有双重非负性，一是a ≥0，二是a ≥0． (2)2)()0(a a a =≥ (3)2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩3．二次根式的有关概念(1)最简二次根式：满足下列两个“不含”条件的二次根式是最简二次根式．①被开方数中不含分母 ，分母中也不含二次根式：②被开方数中不含能 开得尽方的因数或因式．(2)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同 ，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．4．二次根式的运算：(1)加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是 合并同类二次根式 ．(2)乘除运算：0,0)0)((a a a b a ab b a o b b =≥≥=≥>；，b ， (3)运算顺序：先算乘方 ，再算 乘除 ，最后算加减 ，如果有 括号 ，就先算 括号 里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．考点一 根式的性质【例1】(1)（2019滨州）如果式子26x +有意义，那么x 的取值范围在数轴上表示出来，正确的是 ( )2·1·c ·n ·j ·y【答案】C(2)已知2(3)20x y x y -+++=，则x+y 的值为 （ ）A ．0B ．-1C ．1D ．5解题点拨：本题考查的知识点为：二次根式有意义则二次根式的被开方数是非负数．【答案】C考点二 根式的运算【例2】(1)（2019龙岩）与5-是同类二次根式的是 （ ）A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】C(2)（2019南充）下列计算正确的是 ( )A ．1223=B ．3322= C ．2x x x -=- D ．2x x = 【答案】Ａ(3)下列运算中，错误的有 ( )个①2551114412=，②93=±，③822÷=，④1111916254520+=+=. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C(4)（2019泰州）1112(32)23-+ 解题点拨：先化简成最简根式，再合并，【答案】解：原式=3(32)3322-+=--=-考点三 根式的化简【例3】(1)当l<x<4时，化简22(4)(1).x x ---(2)a 、b 、c 在数轴上对应点如图，化简22().a a b c -++-解题点拨：利用二次根式的非负性这一性质去进行根式的化简时，注意符号运算．【答案】解：(1) ∵1<x<4,∴x-4<0，x-1>0, ∴22 (4)(1)4125x x x x x ---=--+=-+．(2)由数轴可知，0<a<1，c<b<-1，∴-a<0，a+b<0，c<0∴22()a a b c a b c b a c =--+=+--++-.A 组 基础训练1．（2019白贡）若代数式1.x x-有意义，则x 的取值范围是 ( ) A ．x ≥l B ．x ≤1且x ≠0 C ．x ≠1 D ．x ≠0【答案】A2．（2019巴中）下列二次根式中，与 3.是同类二次根式的是 ( ) A. 18 B.13C ．24D ．0.3 【答案】B3．若4422x xy -+-=-则()y x y += . 【答案】144．计算：(1)，1112327-+． 【答案】解：原式1639=． (2) 22232()()323--【答案】解：原式=0． (3) 2(2332)-．【答案】解：原式= 30126- (4)22(77)(77)+--【答案】解：原式= 287．一、选择题1．下列运算中错误的是 ( )A ． 235+=B ． 236⨯=C ． 822÷=D ．2 (3)3-=【答案】A2．化简：341()(1)32a a a a -+---的结果等于 ( )A ．a-2B ．a+2C ．2 3a a --D ．32a a --【答案】B3．已知5151,22x y -+==，则22x xy y ++的值为( )A ．2B ．4C ．5D ．7【答案】B4．（2019孝感）已知23x =-，则代数式2(743)(23)3x x ++++的值是( )A ．0B ．石C ．2+再D ．2 -万【答案】C二、填空题5．在函数12x y x -=+中，x 的取值范围是 ．【答案】x>-26．（2019日照）若2(3) 3x x -=-，则x 的取值范围是【答案】3x ≤7．已知1232,32x x =+=-，则2212x x += ．【答案】10三、解答题8．计算：(1)0116-(-)-23603sin π°． 【答案】解：原式=3 41232--⨯= 4-1-3 =0． (2) (321)(321)+--+．【答案】解：原式=22[3(21)][3(21)](3)(21)3(2221)3222122+---=--=--+=-+-= (3)011231(21)()3--+-- 【答案】解：原式=231133-+-=9．（2019桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式一海伦公式()()()s p p a p b p c =---（其中a ，b ，c 是三角形的三边长，2a b c p ++=，s 为三角形的面积） 例如：在△ABC 中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算： ∵a=3,b=4,c=5. ∴ 2a b c p ++==6 ∴()()()63216s p p a p b p c =---=⨯⨯⨯=．如图，在△ABC 中，BC=5，AC=6，AB=9，(1)用海伦公式求△ABC 的面积；(2)求△ABC 的内切圆半径r ．【答案】解：(1) ∵BC=5，AC=6，AB=9， ∴5691022BC AC AB p ++++=== ∴()()()10541102s p p a p b p c =---=⨯⨯⨯=故△ABC 的面积102：(2) ∵1()2s r AC BC AB =++,∴()11025692r =++， 解得：2r =，故△ABC 的内切圆半径2r =．B 组提高训练 10．(2019乐山)在数轴上表示实数a 的点如图所示，化简2(5)2a a -+-的结果为 ( )A ．-7B ．-3C ．7D ．3（提示：由圈可知2<a<5，原式=-(n-5)+a-2=3．）【答案】D11．当a<1时，化简3(1)a a --的结果是 ．（提示：∵a<1, ∴a<0，原式=(1)(1)aa a a a a --=--．） 【答案】(1)a a a --12．观察下列运算 11212=-++，12323=-++，13434=-++， …，12013201420132014=-++ 利用上面的规律计算 1111()(12014)12233420132014⋯+++++++++. 【答案】解∵11212=-++，12323=-++，13434=-++， …，12013201420132014=-++ ∴原式(122334201320142014-+-+-++2…-）＝（）-1＝20132019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是（ ）A.20元B.18元C.15元D.10元2．学校环保小组的同学随机调查了某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，5，7，10，6，9,利用学过的统计知识，根据上述数据估计该小区200户家庭一周内共需要环保方便袋约（ ）A ．200只；B ．1400只；C ．9800只；D ．14000只．3．已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为60πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则sin θ的值为（ ）A.313B.513C.512D.12134．如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB ＝120°，半径OA 为9m ，那么花圃的面积为（ ）A ．54πm 2B ．27πm 2C ．18πm 2D ．9πm 2 5．若方程4x 2+（a 2﹣3a ﹣10）x+4a ＝0的两根互为相反数，则a 的值是（ ）A ．5或﹣2B ．5C ．﹣2D ．非以上答案 6．已知2x =，则代数式21x x --的值为（ ） A ．2- B ．2C ．32D ．42 7．如图，一次函数y ＝kx+b 与y ＝x+2的图象相交于点P （m ，4），则关于x ，y 的二元一次方程组2kx y b y x -=-⎧⎨-=⎩的解是（ ）A ．34x y =⎧⎨=⎩B ． 1.84x y =⎧⎨=⎩C ．24x y =⎧⎨=⎩D ． 2.44x y =⎧⎨=⎩8．如图图中，不能用来证明勾股定理的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．反比例函数y=-3x -1的图象上有P 1（x 1,-2），P 2（x 2,-3）两点,则x 1与x 2的大小关系是（ ）A ．x 1＜x 2B ．x 1=x 2C ．x 1＞x 2D ．不确定 10．在平面直角坐标系中，点(2，3)所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11．如图，在△ABC 中，BC ＞AB ＞AC ，D 是边BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），将△ABC 沿AD 折叠，点B 落在点B'处，连接BB'，B'C ，若△BCB'是等腰三角形，则符合条件的点D 的个数是A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个12．我们用[a]表示不大于a 的最大整数，例如：[2.5]=2，[3]=3，[-2.5]=-3；已知,x y 满足方程组[][][][]329,30,x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩则[]2x y +可能的值有 ( ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5 个 二、填空题13．已知112a b +=，求535a ab b a ab b++=-+_____． 14．如图，AD ∥BC ，AB ⊥BC 于点B ，AD ＝4，将CD 绕点D 逆时针旋转90°至DE ，连接AE 、CE ，若△ADE 的面积为6，则BC ＝_____．15．如图，直线y=k 1x+b 与双曲线y=2k x 交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＜2k x+b 的解集是_____．16．如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1．点M 从A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线AM 交x 轴于点N （n ，0），设点M 转过的路程为m （0＜m ＜1）．（1）当m=14时，n=_____； （2）随着点M 的转动，当m 从13变化到23时，点N 相应移动的路径长为_____．17．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C 长度的最小值是______．18．点P （2，4）与点Q （－3，4）之间的距离是____.三、解答题19．计算：（π﹣2）0﹣5|﹣3|+（12）﹣1 20．如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB ，A （0，﹣3），B （﹣2，0）．将△OAB 先绕点B 逆时针旋转90°得到△BO 1A 1，再把所得三角形向上平移2个单位得到△B 1A 2O 2；（1）在图中画出上述变换的图形，并涂黑；（2）求△OAB 在上述变换过程所扫过的面积．21．近些年全国各地频发雾霾天气，给人民群众的身体健康带来了危害，某商场看到商机后决定购进甲、乙两种空气净化器进行销售．若每台甲种空气净化器的进价比每台乙种空气净化器的进价少300元，且用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同．（1）求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元？（2）若该商场准备进货甲、乙两种空气净化器共30台，且进货花费不超过42000元，问最少进货甲种空气净化器多少台？22．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，将线段BC 绕点B 逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段BD ，且AD ∥BC ．（1）依题意补全图形；（2）求满足条件的α的值；（3）若AB ＝2，求AD 的长．23．4cos60°+（﹣1）2019﹣|﹣3+2|24．如图，在ABCD 中，连接AC ，ACB ∠的平分线CE 交AB 于点E ，DAC ∠的平分线AF 交CD 于点F .（1）求证：BE DF =；（2）如图，连接BD 交AC 于点O ，若2BC OC =，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与ABC ∆面积相等的三角形或四边形.（不包含ABC ∆）25．已知：如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D ，E ．（1）求证：△BEC ≌△CDA ；（2）当AD ＝3，BE ＝1时，求DE 的长．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C B C B C D C A C C 二、填空题13．1314．715．﹣5＜x＜﹣1或x＞016．-1 23 317．18．5三、解答题19．5.【解析】【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】原式＝1﹣（3﹣5）+2＝5．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（1）详见解析；（2）139 4π+【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，结合网格结构找出点A、O的对应点A1、O1，再与点B顺次连接即可得到△BO1A1；再根据平移的性质，结合网格结构找出点B 、A 1、O 1的对应点B 1、A 2、O 2，然后顺次连接即可得解；（2）结合图形不难看出，变换过程所扫过的面积为扇形BAA 1，与梯形A 1A 2O 2B 的面积的和，然后根据扇形的面积公式与梯形的面积公式列式进行计算即可求解．【详解】（1）如图所示；（2）在Rt △AOB 中，AB ＝22223213AO BO +=+=，∴扇形BAA 1的面积＝290(13)133604ππ⋅⨯=， 梯形A 1A 2O 2B 的面积＝12×（2+4）×3＝9， ∴变换过程所扫过的面积＝扇形BAA 1的面积+梯形A 1A 2O 2B 的面积＝134π+9． 【点睛】本题考查了利用旋转变换与平移变换作图，以及扇形的面积计算，熟悉网格结构找出对应点的位置是解题的关键．21．（1）每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为1200元，1500元（2）至少进货甲种空气净化器10台．【解析】【分析】(1)设每台甲种空气净化器为x 元，乙种净化器为(x+300)元，根据用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同，列出方程求解即可；(2)设甲种空气净化器为y 台，乙种净化器为(30﹣y)台，根据进货花费不超过42000元，列出不等式求解即可．【详解】(1)设每台甲种空气净化器为x 元，乙种净化器为(x+300)元，由题意得：60007500300x x =+， 解得：x ＝1200，经检验得：x ＝1200是原方程的解，则x+300＝1500，答：每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为1200元，1500元．(2)设甲种空气净化器为y 台，乙种净化器为(30﹣y)台，根据题意得：1200y+1500(30﹣y)≤42000，答：至少进货甲种空气净化器10台．【点睛】本题考查分式方程和不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系列出方程和不等式是解决问题的关键．22．（1）详见解析；（2）30°或150°（3）62【解析】【分析】（1）根据要求好像图形即可．（2）分两种情形分别求解即可．（3）解直角三角形求出BE，BF即可解决问题．【详解】解：（1）满足条件的点D和D′如图所示．（2）作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E．则四边形AFED是矩形．∴AF＝DE，∠DEB＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴AF＝12 BC，∵BC＝BD，AF＝DE，∴DE＝12 BD，∴∠DBE＝30°，∴∠D′BC＝120°+30°＝150°，∴满足条件的α的值为30°或150°．（3）由题意AB＝AC＝2，∴BC＝22，∴AF＝BF＝DE＝2，∴BE＝3DE＝6，∴AD＝6﹣2，AD′＝26﹣（6﹣2）＝6+2．【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．，属于中考常考题型．【解析】【分析】本题涉及绝对值、特殊角的三角函数值2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】 解：原式＝4×12﹣1﹣|﹣1|＝2﹣1﹣1＝0． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．（1）见解析；（2）BCD ∆，ACD ∆，ABD ∆，四边形AECF .【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，得到DAC BCA ∠=∠，AD BC =，D B ∠=∠，再证明DAF BCE ∆≅∆，可得BE DF =；（2）ABC ∆、BCD ∆，ACD ∆，ABD ∆的面积都等于ABCD 的一半，故它们的面积相等。
UNIT ONE第一单元 数与式第 4 课时 数的开方与二次根式课前双基巩固考点聚焦考点一 平方根、算术平方根与立方根平方平方立方课前双基巩固考点二 二次根式的有关概念课前双基巩固考点三 二次根式的性质≥0>0≥0课前双基巩固考点四 二次根式的运算≥0≥0>0≥0课前双基巩固考点五 二次根式的估值课前双基巩固考点六 把分母中的根号化去课前双基巩固对点演练题组一 教材题课前双基巩固课前双基巩固课前双基巩固课前双基巩固题组二 易错题【失分点】 求二次根式有意义的条件时容易忽视分式、零指数幂与负整数次幂有意义的条件;注意的区别;二次根式运算的最后结果需要化为最简二次根式.课前双基巩固课堂考点探究探究一 求平方根、算术平方根与立方根【命题角度】(1)直接求一个数的平方根、算术平方根、立方根;(2)由开平方、开立方运算求字母的值.课堂考点探究[方法模型] (1)一个正数的平方根有两个,它们互为相反数;(2)平方根等于本身的数是0,算术平方根等于本身的数是1和0,立方根等于本身的数是1,-1和0;(3)一个数的立方根与它同号;(4)注意“的平方根”与“4的平方根”的不同.课堂考点探究针对训练课堂考点探究课堂考点探究探究二 二次根式的有关概念[答案] B课堂考点探究针对训练课堂考点探究课堂考点探究探究三 二次根式的化简与计算【命题角度】(1)二次根式的性质运用正误判断及简单计算;(2)二次根式的运算及化简求值.[方法模型] 分式与二次根式综合计算与化简问题,一般先化简再代入求值;最后的结果要化为最简形式.课堂考点探究针对训练课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究探究四 二次根式的大小比较【命题角度】(1)比较二次根式与有理数的大小、比较两个二次根式的大小;(2)估计一个二次根式的值在哪两个整数之间.[方法模型] 比较两个二次根式的大小最常用的是平方法和取倒数法,还可以将根号外因式移到根号内比较.课堂考点探究针对训练课堂考点探究课堂考点探究探究五 二次根式的非负性【命题角度】(1)由几个非负数的和为0求未知字母的值;(2)由二次根式的非负性求字母的取值范围.[方法模型] (1)常见的非负数有三种形式:|a|,(a≥0),a2;(2)若几个非负数的和等于零,则这几个数都为零.课堂考点探究针对训练课堂考点探究。
第四节 数的开方与二次根式了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算，1．二次根式定义：形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式．其中a 叫被开方数．2．二次根式的性质： (1) a （a ≥0）具有双重非负性，一是a ≥0，二是a ≥0． (2)2)()0(a a a =≥ (3)2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩3．二次根式的有关概念(1)最简二次根式：满足下列两个“不含”条件的二次根式是最简二次根式．①被开方数中不含分母 ，分母中也不含二次根式：②被开方数中不含能 开得尽方的因数或因式．(2)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同 ，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．4．二次根式的运算：(1)加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是 合并同类二次根式 ．(2)乘除运算：0,0)0)((a a a b a ab b a o b b =≥≥=≥>；，b ， (3)运算顺序：先算乘方 ，再算 乘除 ，最后算加减 ，如果有 括号 ，就先算 括号 里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．考点一 根式的性质【例1】(1)（2019滨州）如果式子26x +有意义，那么x 的取值范围在数轴上表示出来，正确的是 ( )2·1·c ·n ·j ·y【答案】C(2)已知2(3)20x y x y -+++=，则x+y 的值为 （ ）A ．0B ．-1C ．1D ．5解题点拨：本题考查的知识点为：二次根式有意义则二次根式的被开方数是非负数．【答案】C考点二 根式的运算【例2】(1)（2019龙岩）与5-是同类二次根式的是 （ ）A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】C(2)（2019南充）下列计算正确的是 ( )A ．1223=B ．3322= C ．2x x x -=- D ．2x x = 【答案】Ａ(3)下列运算中，错误的有 ( )个①2551114412=，②93=±，③822÷=，④1111916254520+=+=. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C(4)（2019泰州）1112(32)23-+ 解题点拨：先化简成最简根式，再合并，【答案】解：原式=3(32)3322-+=--=-考点三 根式的化简【例3】(1)当l<x<4时，化简22(4)(1).x x ---(2)a 、b 、c 在数轴上对应点如图，化简22().a a b c -++-解题点拨：利用二次根式的非负性这一性质去进行根式的化简时，注意符号运算．【答案】解：(1) ∵1<x<4,∴x-4<0，x-1>0, ∴22 (4)(1)4125x x x x x ---=--+=-+．(2)由数轴可知，0<a<1，c<b<-1，∴-a<0，a+b<0，c<0∴22()a a b c a b c b a c =--+=+--++-.A 组 基础训练1．（2019白贡）若代数式1.x x-有意义，则x 的取值范围是 ( ) A ．x ≥l B ．x ≤1且x ≠0 C ．x ≠1 D ．x ≠0【答案】A2．（2019巴中）下列二次根式中，与 3.是同类二次根式的是 ( ) A. 18 B.13C ．24D ．0.3 【答案】B3．若4422x xy -+-=-则()y x y += . 【答案】144．计算：(1)，1112327-+． 【答案】解：原式1639=． (2) 22232()()323--【答案】解：原式=0． (3) 2(2332)-．【答案】解：原式= 30126- (4)22(77)(77)+--【答案】解：原式= 287．一、选择题1．下列运算中错误的是 ( )A ． 235+=B ． 236⨯=C ． 822÷=D ．2 (3)3-=【答案】A2．化简：341()(1)32a a a a -+---的结果等于 ( )A ．a-2B ．a+2C ．2 3a a --D ．32a a --【答案】B3．已知5151,22x y -+==，则22x xy y ++的值为( )A ．2B ．4C ．5D ．7【答案】B4．（2019孝感）已知23x =-，则代数式2(743)(23)3x x ++++的值是( )A ．0B ．石C ．2+再D ．2 -万【答案】C二、填空题5．在函数12x y x -=+中，x 的取值范围是 ．【答案】x>-26．（2019日照）若2(3) 3x x -=-，则x 的取值范围是【答案】3x ≤7．已知1232,32x x =+=-，则2212x x += ．【答案】10三、解答题8．计算：(1)0116-(-)-23603sin π°． 【答案】解：原式=3 41232--⨯= 4-1-3 =0． (2) (321)(321)+--+．【答案】解：原式=22[3(21)][3(21)](3)(21)3(2221)3222122+---=--=--+=-+-= (3)011231(21)()3--+-- 【答案】解：原式=231133-+-=9．（2019桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式一海伦公式()()()s p p a p b p c =---（其中a ，b ，c 是三角形的三边长，2a b c p ++=，s 为三角形的面积） 例如：在△ABC 中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算： ∵a=3,b=4,c=5. ∴ 2a b c p ++==6 ∴()()()63216s p p a p b p c =---=⨯⨯⨯=．如图，在△ABC 中，BC=5，AC=6，AB=9，(1)用海伦公式求△ABC 的面积；(2)求△ABC 的内切圆半径r ．【答案】解：(1) ∵BC=5，AC=6，AB=9， ∴5691022BC AC AB p ++++=== ∴()()()10541102s p p a p b p c =---=⨯⨯⨯=故△ABC 的面积102：(2) ∵1()2s r AC BC AB =++,∴()11025692r =++， 解得：2r =，故△ABC 的内切圆半径2r =．B 组提高训练 10．(2019乐山)在数轴上表示实数a 的点如图所示，化简2(5)2a a -+-的结果为 ( )A ．-7B ．-3C ．7D ．3（提示：由圈可知2<a<5，原式=-(n-5)+a-2=3．）【答案】D11．当a<1时，化简3(1)a a --的结果是 ．（提示：∵a<1, ∴a<0，原式=(1)(1)aa a a a a --=--．） 【答案】(1)a a a --12．观察下列运算 11212=-++，12323=-++，13434=-++， …，12013201420132014=-++ 利用上面的规律计算 1111()(12014)12233420132014⋯+++++++++. 【答案】解∵11212=-++，12323=-++，13434=-++， …，12013201420132014=-++ ∴原式(122334201320142014-+-+-++2…-）＝（）-1＝20132019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x ＋c的图象可能是（）A. B. C. D.2．若数a使关于x的不等式组至少有3个整数解，且使关于y的分式方程＝2有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和是( )A.14B.15C.23D.243．在一个不透明的口袋里装有2个红球，1个黄球和1个白球，它们除颜色不同外其余都相同．从口袋中随机摸出2个球，则摸到的两个球是一白一黄的概率是（）A．12B．13C．14D．164．如图，点A、B、C在圆O的圆周上，连OA、OC，OD⊥AB于点D，若AO平分∠CAB，∠CAB＝50°，则∠OCB＝( )A.40°B.35°C.30°D.25°5．如图，半径为3的⊙O经过等边△ABO的顶点A、B，点P为半径OB上的动点，连接AP，过点P作PC ⊥AP交⊙O于点C，当∠ACP=30°时，AP的长为（）A．3 B．3或332C．1.5D．3或1.56．2018年，淮南市经济运行总体保持平稳增长，全年GDP 约为1130亿元，GDP 在全省排名第十三.将1130亿用科学记数法表示为（ ）A ．11.3×1010B ．1.13×1010C ．1.13×1011D ．1.13×10127．在ABC ∆中，E 、F 是BC 边上的三等分点，BM 是AC 边上的中线，AE 、AF 分BM 为三段的长分别是x 、y 、z ，若这三段有x y z >>，则::x y z 等于( )A ．3:2:1B ．4:2:1C ．5:2:1D ．5:3:2 8．已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论中：①abc>0，②2a+b=0，③24b ac -<0，④4a+2b+c>0,其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④9．下列各式变形中，正确的是（ ）A ．()2x =xB ．2(1)(1)1x x x ---=- C ．x x x y x y =--++ D ．22131=x+-24x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 10．如图，DE ∥MN ，Rt △ABC 的直角顶点C 在DE 上，顶点B 在MN 上，且BC 平分∠ABM ，若∠A ＝58°，则∠BCE 的度数为（ ）A ．29°B ．32°C ．58°D ．64°11．如图，点A 是直线l 外一点，在l 上取两点B 、C,分别以点A 、C 为圆心，以BC 、AB 的长为半径画弧，两弧交于点D,分别连接AD 、CD,得到的四边形ABCD 是平行四边形.根据上述作法，能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件是（ ）A ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形D ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形12．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问甲乙持钱各几何？”其大意是：今有甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有.问甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱为，乙带钱为，根据题意，可列方程组为（ ）A.B. C. D. 二、填空题13．化简﹣（﹣12）的结果是_____． 14．使式子12x-有意义的x 的值是_____. 15．若代数式11x x -+的值为0，则实数x 的值为__________. 16．如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∠A ＝66°，∠ABC ＝90°，BC ＝AD ，∠C 的度数________．17．二次函数y ＝12（x-2）2+3的顶点坐标是_____． 18．如图，在△ABC 中，∠CAB ＝75°，在同一平面内将△ABC 绕点A 旋转到△AB'C'位置，使得CC′∥AB ，则∠BAB'＝_____．三、解答题19．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，点G 在弧BD 上，连接AG ，交CD 于点K ，过点G 的直线交CD的延长线于点E，交AB的延长线于点F，且EG＝EK．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为13，CH＝12，13OHOF，求FG的长．20．结合湖州创建文明城市要求，某小区业主委员会觉定把一块长80m，宽60m的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的直角三角形)，空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m，不大于44m，预计活动区造价60元/m2，绿化区造价50元/m2，设绿化区域较长直角边为xm.(1)用含x的代数式表示出口的宽度.(2)求工程造价y与x的函数表达式，并直接写出x的取值范围.(3)如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出x为整数的方案有多少种；若不能，请说明理由.(4)业主委员会决定在(3)设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化，在完成了工作量的13后，施工方进行了技术改进，每天的绿化面积是原计划的两倍，结果提前4天完成四个区域的绿化任务.问：原计划每天绿化多少平方米？21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．22．如图，将正方形ABCD折叠，使点C与点D重合于正方形内点P处，折痕分别为AF、BE，如果正方形ABCD的边长是2，那么△EPF的面积是_____．23．解不等式组{2x 1x4x 2x 4>-+<+24．在△ABC 中，∠ABC ＝90°（1）如图1，分别过A 、C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为点M ，N ，求证：△ABM ∽△BCN ；（2）如图2，P 是BC 边上一点，∠BAP ＝∠C ，tan ∠PAC ＝255，BP ＝2cm ，求CP 的长．25．如图，在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，AC //x 轴，点B 、C 的横坐标都是3，且BC 2=，点D 在AC 上，若反比例函数k y (x 0)x =>的图象经过点B 、D ，且AO 3BC 2=.（1）求k 的值及点D 的坐标；（2）将ΔAOD 沿着OD 折叠，设顶点A 的对称点'A 的坐标是()'A m,n ，求代数式m 3n +的值．【参考答案】***一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A A D A B C D D A BD A 二、填空题13．1214．0x ≥且4x ≠15．=1x16．78°17．（2，3）18．30°三、解答题19．（1）详见解析；（2）214【解析】【分析】（1）连接OG ，首先证明∠EGK=∠EKG ，再证明∠HAK+∠KGE=90°，进而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO ⊥EF ，进而证明EF 是⊙O 的切线；（2）连接CO ，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OG ，∵弦CD ⊥AB 于点H ，∴∠AHK ＝90°，∴∠HKA+∠KAH ＝90°，∵EG ＝EK ，∴∠EGK ＝∠EKG ，∵∠HKA ＝∠GKE ，∴∠HAK+∠KGE ＝90°，∵AO ＝GO ，∴∠OAG ＝∠OGA ，∴∠OGA+∠KGE ＝90°，∴GO ⊥EF ，∴EF 是⊙O 的切线；（2）连接CO ，在Rt △OHC 中，∵CO ＝13，CH ＝12，∴HO ＝5，∴AH ＝8， ∵OH 1OF 3=， ∴OF ＝15，∴222201513214FG OF G =-=-=．【点睛】此题主要考查了切线的判定，解直角三角形，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．20．(1)80-2x ；(2)y=-20x 2+200x+288000，（18≤x≤22）；(3)能，有3种；(4)1003【解析】【分析】（1）根据图形可得结论；（2）根据面积×造价可得绿化区和活动区的费用，相加可得y 与x 的关系式，根据所有长度都是非负数列不等式组可得x 的取值范围；（3）业主委员会投资28.4万元，列不等式，结合二次函数的增减性可得结论；（4）先计算设计的方案中，最省钱的一种方案为x=20时，计算绿化面积，根据题意列分式方程可得结论，注意方程要检验．【详解】(1)由题意得BC=EF=80-2x(2) AB=CD=x-10()()y 50x x-102604800-x x-102⎡⎤=⨯+⨯⎣⎦= -20x 2+200x+288000，（18≤x≤22） (3)令y=-20x 2+200x+288000≤284000∵18≤x≤22∴20≤x≤22∵x 为整数∴能否完成全部工程，x 为整数的方案有3种(4)设原计划每天绿化a 平方米∵y=-20x 2+200x+288000∴对称轴x=50∴x=20时最省钱 12201022010220102334a a2a⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++，解得a=1003 ∴原计划每天绿化1003平方米 【点睛】 本题是有关几何图形的应用问题，考查了一元一次不等式、分式方程、二次函数的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列不等式（组）解决问题．21．（1）详见解析；（2）26.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADB ＝∠CBD ，根据角平分线定义得到∠ABD ＝∠CBD ，等量代换得到∠ADB＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据菱形的判定即可得到结论；（2）由垂直的定义得到∠BDE＝90°，等量代换得到∠CDE＝∠E，根据等腰三角形的判定得到CD＝CE＝BC，根据勾股定理得到DE＝22-＝6，于是得到结论．BE BD【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵BA＝BC，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，∵CB＝CD，∴∠DBC＝∠BDC，∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE＝BC，∴BE＝2BC＝10，∵BD＝8，∴DE＝22-＝6，BE BD∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝5，∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝26．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．22．7312-过P作PH⊥DC于H，交AB于G，由正方形的性质得到AD＝AB＝BC＝DC＝2；∠D＝∠C＝90°；再根据折叠的性质有PA＝PB＝2，∠FPA＝∠EPB＝90°，可判断△PAB为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠APB＝60°，332PG AB==，于是∠EPF＝120°，PH＝HG﹣PG＝2﹣3，得∠HEP＝30°，然后根据含30°的直角三角形三边可求出HE，得到EF，最后利用三角形的面积公式计算即可．【详解】解：过P作PH⊥DC于H，交AB于G，如图，则PG⊥AB，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝BC＝DC＝2；∠D＝∠C＝90°，又∵将正方形ABCD折叠，使点C与点D重合于形内点P处，∴PA＝PB＝2，∠FPA＝∠EPB＝90°，∴△PAB为等边三角形，∴∠APB＝60°，PG＝32AB＝3，∴∠EPF＝120°，PH＝HG﹣PG＝2﹣3，∴∠HEP＝30°，∴HE＝3PH＝3（2﹣3）＝23﹣3，∴EF＝2HE＝43﹣6，∴△EPF的面积＝12FE•PH＝12（2﹣3）（43﹣6）＝73﹣12．故答案为73﹣12．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了正方形和等边三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．23．13＜x＜23分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解不等式2x＞1-x，得：x＞13，解不等式4x+2＜x+4，得：x＜23，则不等式组的解集为13＜x＜23．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．24．（1）详见解析；（2）8.【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定易证△ABM∽△BCN；（2）过P作PM⊥AP，交AC于M，过M作MN⊥PC于N，先证△PMN∽△ABP，求出PN与AB的比，设PN=2t，则AB=5t，推出CN=PN=2t，再证△ABP∽△CBA，利用相似三角形对应边的比相等即可求出t的值，进一步求出CP的值．【详解】（1）证明：∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠M＝∠N＝90°∴∠MAB+∠ABM＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBN＝90°，∴∠MAB＝∠CBN，∴△ABM∽△BCN；（2）解：如图2，过P作PM⊥AP，交AC于M，过M作MN⊥PC于N，则∠APB+∠MPN＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，∴∠MPN＝∠BAP，又∵∠B＝∠N＝90°，∴△PMN∽△ABP，∴PN PI25tan PACAB AP5==∠=，设PN＝2t，则AB＝5t，∵∠BAP＝∠MPN，∠BAP＝∠C，∴∠MPC＝∠C，∴CN＝PN＝2t，∵∠B＝∠B＝90°，∠BAP＝∠C，∴△ABP∽△CBA，∴AB BP BC AB=，∴（5t）2＝2×（2+4t），解得，x1＝2，x2＝52-（舍去），∴PC＝CN+PN＝4t＝4×2＝8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质等，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．25．（1）k=3；D（1，3）；（2）m+3n=9【解析】【分析】（1）先根据AO3BC2=，BC＝2得出OA的长，再根据点B、C的横坐标都是3可知BC∥AO，故可得出B点坐标，再根据点B在反比例函数ky(x0)x=>的图象上可求出k的值，由AC∥x轴可设点D（t，3）代入反比例函数的解析式即可得出t的值，进而得出D点坐标；（2）过点A′作EF∥OA交AC于E，交x轴于F，连接OA′，根据AC∥x轴可知∠A′ED＝∠A′FO＝90°，由相似三角形的判定定理得出△DEA′∽△A′FO，设A′（m，n），可得出31m nn m-=-，再根据勾股定理可得出m2＋n2＝9，两式联立可得出m3n+的值. 【详解】解：（1）∵AO3BC2=，BC＝2，∴OA ＝3，∵点B 、C 的横坐标都是3，∴BC ∥AO ，∴B （3，1），∵点B 在反比例函数k y (x 0)x =>的图象上， ∴13k =，解得k ＝3， ∵AC ∥x 轴，∴设点D （t ，3），∴3t ＝3，解得t ＝1，∴D （1，3）；（2）过点A′作EF ∥OA 交AC 于E ，交x 轴于F ，连接OA′（如图所示），∵AC ∥x 轴，∴∠A′ED＝∠A′FO＝90°，∵∠OA′D＝90°，∴∠A′DE＝∠OA′F，∴△DEA′∽△A′FO，设A′（m ，n ）， ∴31m n n m -=-， 又∵在Rt △A′FO 中，m 2＋n 2＝9，∴m+3n=9.【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特点等知识，难度适中．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某排球队6名场上队员的身高(单位：cm)是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm 的队员换下场上身高为192cm 的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )A ．平均数变小，中位数变小B ．平均数变小，中位数变大C ．平均数变大，中位数变小D ．平均数变大，中位数变大2．解分式方程13211x x-=--，去分母得（ ） A.()1213x --=- B.1223x --=-C.()1213x --=D.1223x -+= 3．如图，长宽高分别为2，1，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面爬到顶点B ，则它爬行的最短路程是（ ）A ．10B ．5C ．22D ．34．已知反比例函数3(k y k x -=为常数),当0x <时，y 随x 的增大而减小，k 的取值范围是（） A ．k <0 B ．k 0 C ．k <3 D ．k >35．如图，这是一幅2018年俄罗斯世界杯的长方形宣传画，长为4m ，宽为2m.为测量画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宜传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4左右.由此可估计宜传画上世界杯图案的面积为( )A ．22.4mB ．23.2mC ．24.8mD ．27.2m6．函数（1）y ＝2x+1，（2）y ＝﹣3x ，（3）y ＝x 2+2x+2，y 值随x 值的增大而增大的有（ ）个． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个7．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F点.若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM 周长的最小值为( )A ．6B ．8C ．10D ．128．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点C 的坐标为（ ）A ．（-1，）B ．（-，1）C ．（-2，1）D ．（-1，2）9．如图，反比例函数y=k x的图象经过▱ABCD 对角线的交点P ，已知点A ，C ，D 在坐标轴上，BD ⊥DC ，▱ABCD 的面积为6，则k 的值为（ ）A ．6-B ．5-C ．4-D ．3-10．在下列等式中，不满足a≠0这个条件的是（ ）A ．a 0＝1B ．11a a -=C ．211()a a = D ．24()a a =11．如图，下列条件中，不能判定//AD BC 的是( )A.12∠=∠B.180BAD ADC ︒∠+∠=C.34∠=∠D.180ADC DCB ︒∠+∠=12．如图，点A ，B ，C 在一条直线上，△ABD ，△BC 均为等边三角形，连接AE 、CD ，PN 、BF 下列结论：①△ABE ≌△DBC ；②∠DFA ＝60°；③△BPN 为等边三角形；④若∠1＝∠2，则FB 平分∠AFC ．其中结论正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题 13．如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，AC 、BD 相交于点E ，若AB 1CD 4=，则AE AC=______．14．如图，线段1AC n =+(其中n 为正整数)，点B 在线段AC 上，在线段AC 同侧作正方形ABMN 及正方形BCEF ，连接AM 、ME 、EA 得到AME ∆．当1AB =时，AME ∆的面积记为1S ；当2AB =时，AME ∆的面积记为2S ；当3AB =时，AME ∆的面积记为3S ；…当AB n =时，AME ∆的面积记为n S ．当2n ≥时，1n n S S --=______．15．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，且BC=6，AB=3，AD 是∠BAC 的平分线，与BC 相交于点E ，点G 是BC 上一点，E 为线段BG 的中点，DG ⊥BC 于点G ，交AC 于点F ，则FG 的长为_____.16．不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为2x <，则k 的取值范围为_____． 17．抛掷一枚质地均匀的硬币，连续3次都是正面向上，则关于第4次抛掷结果，P （正面向上）___P （反面向上）．（填写“﹥”“﹤”或“=”）18．小明同学把一个含有45°角的直角三角板放在如图的两条平行线m ，n 上，测得∠α＝120°，则∠β的度数是_____．三、解答题19．某体育用品商店购进了足球和排球共20个，一共花了1360元，进价和售价如表：足球排球进价（元/个）80 50售价（元/个）95 60（l）购进足球和排球各多少个？（2）全部销售完后商店共获利润多少元？20．如图是某景区每日利润y1（元）与当天游客人数x（人）的函数图像．为了吸引游客，该景区决定改革，改革后每张票价减少20元，运营成本减少800元．设改革后该景区每日利润为y2（元）．（注：每日利润＝票价收入－运营成本）（1）解释点A的实际意义：______.（2）分别求出y1、y2关于x的函数表达式；（3）当游客人数为多少人时，改革前的日利润与改革后的日利润相等？21．先化简，再求值：22299(6)3a aaa a-+÷+-，其中a2﹣4a+3＝0．22．目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．（1）根据图中信息求出m=______，n=______；（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？23．计算：（﹣12）﹣2﹣（2019﹣π）0﹣2sin45°+|2﹣1| 24．先简化，再求代数式22221221x x x x x x x --÷--++的值，其中x ＝2cos30°﹣1． 25．如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的一边AB 在x 轴上,∠ABC=90°,点C(4,8)在第一象限内,AC 与y 轴交于点E,抛物线y=234x +bx+c 经过A ．B 两点,与y 轴交于点D(0,−6).(1)请直接写出抛物线的表达式；(2)求ED 的长；(3)点P 是x 轴下方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为m ，△PAC 的面积为S ，试求出S 与m 的函数关系式；(4)若点M 是x 轴上一点(不与点A 重合)，抛物线上是否存在点N ，使∠CAN=∠MAN.若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。
