人教A版必修四任意角的三角函数课件

点 P 与原点的距离 r x2 y2 0
那么① y 叫做 的正弦，即 sin y
r
r
②
x r
叫做
的余弦，即
cos x
r
③
y x
叫做
的正切，即
tan y x 0
x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P在角的
终边上的位置无关.
练习：
1、已知角 的终边过点 P12,5 ，
求 的三个三角函数值.
学习目标
1、知识与技能 借助单位圆理解任意角的三角函数;从任意角三角 函数的定义认识其定义域，函数值的符号;已知角 α终边上一点,会求角α的各三角函数值; 记住三角 函数的定义域、值域，诱导公式一.
2、过程与方法 利用终边与单位圆的交点坐标求三角函数值 ;各 个三角函数值的象限符号；诱导公式一的熟练应 用。 3、情感、态度与价值观
2
4
4
42
（2） tan(11 ) tan( 2 ) tan 3
6
6
63
练习：求下列三角函数值。
tan 19
3
3
1 tan( 31 ) 4
四、归纳反思
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一.
2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
求角的sin, cos, tan的值.
解：由于x -15a, y 8a,
所以r 15a2 8a2 17 a a 0
1若a 0则r 17a,于是
sin 8a 8 , cos 15a 15 , tan 8a 8
17a 17
17a 17
15a 15
2若a 0则r -17a,于是
y
（3）
叫做
的正切，记作tan ，即 tan y (x 0)
x
x
y
所以，正弦，余弦，正切都
Px, y﹒
O
A1,0 x
是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数.
使比值有意义的角的集合
即为三角函数的定义域.
说明
的终边y P(x, y)
x
o
A(1,0)
o ）（
-
）x
（
-
o ）（
+
x ）
sin
cos
y
（ -）（+）
o
（ +）
（
-
x ）
tan
例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
角 为第三象限角. sin 0 ①
tan
0
②
证明：
因为①式sin 0 成立,所以 角的终边可能位于第三
或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；
又因为②式tan 0 成立，所以角 的终边可能位于
2
cos 7 3 ,
6
2
tan 7 3
63
例2 已知角 的终边经过点 P0(3,4)，求角 的正弦、余
弦和正切值 .
解:由已知可得 OP0 (3)2 (4)2 5
y
设角 的终边与单位圆交于 P(x, y) ，
分别过点 P 、P0 作 x 轴的垂线 MP、M 0P0
M0 M O
x
M0P0 4
学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的
科学精神.
教学的重点和难点
• 重点：三角函数的定义，各三角函数值在 每个象限的符号，特殊角的三角函数值.
• 难点：对三角函数的自变量的多值性的理 解，三角函数的求值中符号的确定.
一、复习引入
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
a
P sin c
c
b
a
cos
o
﹒ Mx
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
﹒ P(a,b)
O
M M
OMP ∽ OMP
sin MP
OP
M P OP
cos OM OM
x
OP OP
tan MP M P
OM OM
锐角三角函数（在单位圆中）
若OP r 1，则
以原点O为圆心，以单位 长度为半径的圆，称为单位圆.
第一或第三象限.
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.
反过来请同学们自己证明.
如果两个角的终边相同，那么这两个角的
？ 同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
c
Ob M
a
tan b
二、新知探究
在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
Ob M y
x
在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中: OM a MP b OP r a2 b2
y
﹒Pa, b
sin MP b
OP r
cos OM a
OP r
tan MP b
OM a
OM x
Px, y
OM0 3
MP y
OMP ∽ OM 0P0
P0 3,4
于是， sin y y | MP | M0P0 4 ;
1 OP
OP0
5
cos x x OM OM0 3 ;
1 OP
OP0
5
tan y sin 4 x cos 3
定义推广：
设角 是一个任意角，P(x, y) 是终边上的任意一点，
3 .体现的数学思想： 化归的思想，数形结合的思想.
五、精彩一练
1.已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos＜0,sin>0, 则a的取值范围是 -2＜a＜3 。
2.函数y= sin x cos x tan x 的值域是(B)
sin x cos x tan x
A.{-1,0,3} B.{-1,3} C.{-1,0,1,3} D.{0,1,3}
三、典例分析
例1 求 5 的正弦、余弦和正切值.
3 解：在直角坐标系中，作
AOB 5 ，易知
AOB
的终边与单位圆的交点坐标为 3 (1 , 3 )
22
，
所以 sin 5 3 cos 5 1 tan 5 3
y
，
32
32
3
思考：若把角 5 改为 7 呢?
5
3
o
﹒
A
x
﹒B
sin
7
3
1,
6
6
55
55
1
六、作业设计
1.必做题：课本P15第1、2题； 2.选做题: 课本P15第5题。
sin 8a 8 , cos 15a 15 , tan 8a 8
17a 17
17a 17
15a 15
探
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域 （弧度制）
三角函数
定义域
究
sin
R
cos
R
tan
2
k
(k
Z
)
2.确定三角函数值在各象限的符号
y
（+） +
y
（ - ）（ + ）
（
-
（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点
的横坐标，正切就是 交点的纵坐标与
横坐标的比值.
（2） 正弦、余弦总有意义.当 的终边在 y 轴上时，点P 的
横坐标等于0，tan y 无意义，此时 k (k z).
x
2
（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，
三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
解：由已知可得：r x2 y2 122 52 13
于是，sin y 5
r 13
tan y 5
x 12
cos x 12
r 13
2、已知角的终边上一点P15a,8aa R且a 0，
求角的sin, cos, tan的值.
2、已知角的终边上一点P15a,8aaR且a 0，
3、求值
cos
11
3
sin
71
6
tan
19
3
解：cos
11
3
sin
71
6
tan
19
3
cos
4
3
sin
12
6
tan
6
3
cos
sin
tan
36 3
1 1 3 1 3 22
4、已知角的终边在直线y 2x上，求角的sin, cos, tan的值.
4、已知角的终边在直线y 2x上，求角的sin, cos, tan的值.
而 48是第一象限角，所以 tan(672) 0 ；
（3）因为
4
是第四象限角，所以
sin
4
0
.
练习：确定下列三角函数值的符号。
cos16
5
sin( 4 )
3
tan(17 )
8
例5 求下列三角函数值：
（1）
cos 9
4
（2） tan( 11 )
6
解：（1）cos 9
cos(
2 )
cos
解：1当角的终边在第一象限时，
在角的终边上取点1, 2，则r= 12 22 5
sin 2 2 5 ,cos 1 5 , tan 2 2
55
55
1
2当角的终边在第三象限时，
在角的终边上取点1, 2，则r 12 22 5
sin 2 2 5 ,cos 1 5 , tan 2 2