第三章 流体动力学积分形式的基本方程

Chapter 3 流体动力学基本方程例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）决定。

本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。

I 质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。

质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。

在此假设下，对物质体τ有0dd dtτρτ=⎰。

根据输运定理，设t 时刻该系统所占控制体为CV ，对应控制面CS ，则有0v vÒCVCSd v ds t ρτρ∂+⋅=∂⎰⎰⎰——质量守恒方程积分形式。

上式亦表明，CV 内单位时间内的质量减少=CS 上的质量通量。

由奥高公式得()v vvÒCSCVv ds v d ρρτ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，于是有()0v CV v d t ρρτ∂⎡⎤+∇⋅=⎢⎥∂⎣⎦⎰。

考虑到τ的任意性，故有()0vv t ρρ∂+∇⋅=∂，即 0vd v dtρρ+∇⋅= ——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1）dt d ρ——流体微团密度随时间的变化率；定常流动0=∂∂t ρ；不可压缩流动0=dt d ρ；均质流体的不可压缩流动.const ρ=。

2）由0=dtm d δ（m δ为微团的质量）知11d d dt dt ρδτρδτ=-（δτ为该微团t 时刻体积），从而知v ∇⋅r=流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。

3）不可压缩流体0d dt ρ=，故有 0v ∇⋅=v。

由奥高公式有v v v ÒCVCSv ds vd τ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有0v vÒCSv ds ⋅=⎰⎰。

不可压缩流动满足的0v ∇⋅=v或0v vÒCSv ds ⋅=⎰⎰是对速度场的一个约束。

例1、1）定常流场中取一段流管，则由0v vÒCSv ds ⋅=⎰⎰易知：222111S V S V ρρ=；如为均质不可压缩流动，则1122V S V S =。

Chapter 3 流体动力学积分形式的基本方程流体动力学用欧拉法研究流体运动与所受外力的关系，功能守衡关系。

§3.1 拉格朗日型基本方程（理论力学质点系基本方程）1) 连续方程：一个确定的质点系, 质量守恒。

数学表达式 0=dtdm2)动量方程：质点系动量对时间的变化率等于作用在该系统上的合外力数学表达式 F K∑=dtd ⎰⎰⎰⎰⎰+=ττρdA d A n p f3)动量矩方程：质点系对某点的动量矩对时间的变化率等于作用在系统上的所有外力对同一点的力矩代数和。

数学表达式 dtd oM ⎰⎰⎰⎰⎰⨯+⨯=ττρdA d A n p r f r4)能量方程：单位时间内由外界传给质点系的热量Q 与外力对质点系所作的功W 之和, 等于系统的总能量E 对于时间的变化率。

数学表达式 =+W Q dt dE ⎰⎰⎰+=ττρd V e dtd)2(2 因 ⎰⎰⎰+⎰⎰=τλτρd q dA q Q R A 传导热 辐射热 ⎰⎰⋅+⎰⎰⎰⋅=A n dA d W V p V f τρτ 质量力功率 表面力功率即=⎰⎰⎰+ττρd V e dt d )2(2⎰⎰⎰+⎰⎰τλτρd q dA q R A ⎰⎰⋅+⎰⎰⎰⋅+A n dA d V p V f τρτ 拉格朗日型积分形式的能量方程§3.2 欧拉型基本方程利用输运公式 ⎰⎰⎰0ττφd dt d ＝⎰⎰⎰∂∂ττφd t+dA A )(n V ⋅⎰⎰φ或⎰⎰⎰0ττφd dt d ＝⎰⎰⎰∂∂ττφd t-dA V n A 入入⎰⎰φ+dA V n A 出出⎰⎰φ和拉格朗日型的积分方程转换得到3.2.1 连续方程令输运公式中Φ＝ρ,代入拉氏型连续方程得dt dm =0⎰⎰⎰=0ττρd dt d＝⎰⎰⎰∂∂ττρd t +dA A )(n V ⋅⎰⎰ρ即 -=⎰⎰⎰∂∂ττρd t dA A )(n V ⋅⎰⎰ρ 欧拉型连续方程或 =⎰⎰⎰∂∂ττρd tdA V n A 入入⎰⎰ρdA V n A 出出⎰⎰-ρ物理意义：控制体内质量的增加速率, 等于通过控制面A 流入的质量(流入-流出)的代数和。

流体动力学基本方程
“流体动力学基本方程”是将质量、动量和能量守恒定律用于流体运动所得到的联系流体速度、压力、密度和温度等物理量的关系式。

对于系统和控制体都可以建立流体动力学基本方程。

系统是确定不变的物质的组合；而控制体是相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称为控制面。

流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体建立的。

主要有连续方程、动量方程、动量矩方程和能量方程。

1、连续方程：ρ1v1A1=ρ2v2A2，式中ρ1、v1、ρ
2、v2分别为A1和A2截面上的流体平均密度和速度。

2、动量方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制面和控制体上的外力之和，等于控制体内动量的增加。

3、动量矩方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制体和控制面上的外力对某一参考点的动量矩之和，等于控制体内对同一点的动量矩的增加。

4、能量方程：单位时间内，流入控制体的各种能量与外力所作的功之和，等于控制体内能量的增加。

第三章流体动力学积分形式的基本方程§3-1 系统和控制体一、系统系统定质量的流体组成的定体积的物系系统：一定质量的流体组成的一定体积的物系特点：系统可以变形，但质量不变；系统与外界有能量交换，即作功和热传递。

交换即作功和热传递二、控制体控制体：被流体所流过的，相对于某个坐标系来说，固定不变的任何体积控制体表面是封闭表面，称为控制面。

特点：体积和控制面不变（血管除外），控制面上既有质量交换又有能量交换。

D 00d DDt Dt τρτ==∑∫∫∫K V F 000d d n A A τρτ =+∫∫∫∫∫f p()()000d d n A A τρτ =×+×∫∫∫∫∫r f r p●热辐射总辐射热0d R q τρτ∫∫∫2Dt 0τ⎝⎠时刻也,系统体积为，也是控制体体积0τt ()()00t =A t ττΑ= 时刻,系统体积为，t t +Δ0τ′′相应表面为。

为公共部分Α01τ0300102001ττττττ′=− , =−为与交界面010102A ττ ′02001A A A =−A ′′′为与交界面020103A ττ 02001A A =−()t ⎢⎥Δ()()020323ττ⎢⎥⎣⎦由微分中值定理由微分中值定理：()0100A d tdA τ≈Δ∫∫V n i(t ADt t ∂0()ττ——输运公式，即系统导数的欧拉表达式⎛⎞D 0D d Dtτρρτ+∇•=⎜⎟⎝⎠∫∫∫V Dt ρρ+∇•V =0若代入（ρφΦ=D D d ρ()00d Dt Dt ττφρφττ=∫∫∫∫∫∫——3∫∫∫∫∫ A t τ∂⎣⎦⎣⎦单位时间由控制面流入控制体的总能量单位时间控制体中总能量的增量例：写出理想流体作绝热定常流动，且质量力有势情况下能量方程定常流动，则连续性方程为()0A dA=d τρρτ∇=∫∫∫∫∫n V V i i ()0ρ∇=V i 理想流体n p =−p n于是，能量方程中：(dA dA)()n A AdA=pdA −∫∫∫∫i i p V n Vq =q 0=代入后⎛代入后，2A v p e U dA 02ρρ⎞+++=⎜⎟⎝⎠∫∫n V id d 00D D Dt Dt ττρτρτ=∫∫∫∫∫∫V V§3-5 欧拉型积分形式基本方程的应用一. 不可压缩流体对弯管管壁的作用力不可压缩流体流过上图所示固定弯管，设流动是定常的且质量力只有重力是定常的，且质量力只有重力。

第三章流体流动的基本概念和方程引言：流体流动的特点1、流体的变形运动2、描述流体运动的主要物理量流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律，而流体动力学则研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系l 3.1研究流体运动的两种方法连续介质模型：我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。

描述流体运动的各物理量（如速度、加速度等）均应是空间点的坐标和时间的连续函数流场（flow field ）：流体质点运动的全部空间。

流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange ）方法，另一种是欧拉（Euler ）方法。

一、拉格朗日方法1、分析方法：又称随体法，是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。

2、位置表示：这种研究方法，最基本的参数是流体质点的位移，在某一时刻t ，任一流体质点的位置可表为：（velocity ）和加速度（acceleration ）为：4、密度表示：流体的密度（density ）、压强（pressure ）和温度（temperature ) 写成a 、b 、t 的函数，即ρ= ρ( a , b , c , t ) , p = p ( a , b , c , t ) , t = t ( a , b , c , t)二、欧拉法1、分析方法：又称局部法，是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手，来研究整个流体的运动的，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。

2、表示：流体质点的流动是空间点坐标（x , y , z ）和时间t 的函数，流体质点的三个速度分量表示为：流体质点密度表示：（3——6）式（ 3 一 6 ）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间t 求导就可得流体质点沿运动轨的三个速度分量根据矢量分析的点积公式间的变化而产生的，即式（ 3 一 8 ）中等式右端的第一项tw t v t u ∂∂∂∂∂∂、、 ○2第二部分，迁移加速度（ acceleration of transport )：是某一瞬时由于流体质点速度随空间点的变化而引起的，即式（ 3 一 8 ）中等式右端的后三项z u w y u v x u u ∂∂∂∂∂∂、、等 当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度（ total acceleration ）5、流体质点的加速度的物理意义如图 3 一 1 所示，不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道，截面 2 比截面 1 小，则截面 2 的速度就要比截面 1 的速度大。