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流体力学 第三章 一元流体动力学基础(第三次)

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第三章 一元流体动力学理论基础

第三章 一元流体动力学理论基础

第三章 一元流体动力学理论基础
第一章 绪论 第一节 描述液体运动的两种方法 第二节 流体运动的若干基本概念 第三节 连续性方程 第四节 恒定总流的能量方程 第五节 恒定总流的动量方程
明德至诚 博学远志
第一节 描述液体运动的两种方法
流场：充满运动流体的空间称为流场。
1. 拉格朗日(Lagrange)法（随体法） 拉格朗日法着眼于流场中每一个运动着的流体质
1.恒定流与非恒定流
1)恒定流
水面保持恒定
流体质点的流体参数（速度、加速度、压强和密
度恒2)非）定恒皆流定不的流随当时地间加变速化度为的零液。流水面。不断下uuu降rrr！xzy
= = =
uuurrrzxy(((xxx,,,
y, z)⎫
y, z)⎪⎬
y,
z)
⎪ ⎭
各点流速和各运动要素 随时间变化而变化的液流。
⎪ ⎪ ⎭
环境与资源学院环境科学与工程系 Environment Science & Engineering
1
2. 欧拉法（Euler）--当地法
研究流场中各个固定点上质点运动要素随 时间的变化情况，以获得整个液体运动场 的变化规律。
用Euler法描述液体运动时，运动要素是空 间坐标x,y,z与时间坐标t的连续可微函数， 变量x,y,z,t统称为Euler变量。
有压流：边界全部为固体（若为液体则没有自由表 面）的流体运动。如：给水管道、输油管道中的
无压流：边界部分为固体，部分为大气，具有自由 表面的液体运动。如：河渠、排水管道中的
射流：流体从空口、管嘴或缝隙中连续射出一股具 有一定尺寸的流速，射到足够大的空间去继续扩散 的流动称为射流。
zx,y,z—分别为X,Y,Z方向上的空间坐标函数值；

流体力学泵与风机-第3章 一元流体动力学基础

流体力学泵与风机-第3章 一元流体动力学基础

hl12
总流：
( z1
p1
u12 )dQ
2g
(z2
p2
u22 2g
hl12 )dQ
A2
A1
缓变流截面
z p
g
常数
(z p )dQ (z p )Q
g
A
u2 dQ u3 dA v3 dA v2 Q
2g
2g
2g
2g
A
A
A
1
v3 A
u3dA 1
A
hl12dQ hl12Q
缓变流：流线近于平行的流动 急变流：流向变化显著的流动
缓变流
急变流
缓变流 缓变流
急变流
急变流
二、速度沿流线主法线方向的变化
分析流线主法线方向所受的力：
端面压力： pA ( p p)A
p+p
重力分量： W cos 法线方向的加速度： u2 / r
A M
z
r
牛顿第二定律
p W
rA u2 ( p p)A pA W cos
(z p ) 0
r g
z1
p1
g
z2
p2
g
z
r
p2
2 p1 1
流线
水平面内的直线流动： p 0 r
在均匀流动条件下，沿垂直于 流线方向（即过流断面）的压 强分布服从于静力学基本方程 式。
忽略重力影响的直线流动，沿垂 直于流线方向的压强梯度为零， 即没有压强差。
四、均匀流动时压强沿流线主法线方向（过流断面）的变化
v Q A Q vA v f (s) 简化为一元问题！
§3.5 连续性方程
问题：v(s)沿流向如何变化（规律）？

第三章 一元流体动学基础

第三章 一元流体动学基础
三、两者的不同
在恒定流动中，迹线和流线完全重合。 在非恒定流动中，两线不重合。
第四节
一元模型流动
一元流动模型的建立，首先要建立几个概念，这些概念是由流线进一步发展 而来的。 1、流管：在流场中，取任意非流线的封闭曲线 、流管 这些流线组成的管状流面，就是流管。
l
，经此曲线上全部点作流线，
2、流束：流管所包围的流体称流束。围成流束的 、流束 流面由流线构成，因为流线是互不相交的，所以流 面构成一个封闭的面，外部的流体不能流入，内部 的流体不能流出。 3、过流断面：与流束中的流线处处垂直的断面称为 、过流断面：
2、控制体：是指流场中某一确定的空间。这一空间的边界称为控制面。 、控制体：
与系统不同，控制体一经选定，它在坐标系中的位置和形状都不再变化。如果这 个坐标是固定的就称为固定控制体，如果是运动坐标系，则称为运动控制体。
系统是对应拉格朗日法对研究对象的划分； 系统是对应拉格朗日法对研究对象的划分； 控制体是对应欧拉法对研究对象的划分。 控制体是对应欧拉法对研究对象的划分。 利用控制体可以推导出流体所具有的某种物理量（如质量、动量、动 量矩）随时间的变化率，由此可得出流体力学中若干个重要方程，如 总流连续性方程、动量方程和动量矩方程。
§3-1 描述流体运动的两种方法
二、欧拉描述法
基本思想：在任意指定的时刻逐点描述当地的运动特征量（如速度、加速度） 基本思想 及其它物理分布（如压力，密度）的方法。这种通过描述物理量在空间的分布 来研究流体运动的方法称为欧拉法 欧拉法。 欧拉法 欧拉法中时空坐标 ( x, y , z , t ) 是自变量，任一点速度可表示为：
r r s = s (a, b, c, t)
它在
x, y, z方向的分量为：

流体力学 第三章 流体动力学

流体力学 第三章 流体动力学
按周界性质： ①总流四周全部被固体边界限制——有压流。如 自来水管、矿井排水管、液压管道。 ②总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接 触——无压流。如河流、明渠。 ③总流四周不与固体接触——射流。如孔口、管 嘴出流。
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点

三章一元流体动力学基础

三章一元流体动力学基础
例如：水从管中以怎样旳速度流出，风经过门窗等等，只 要懂得一定地点（水龙头处）一定断面（门窗洞口断面）， 而不需要了解某一质点， 或某一流体集团旳全部流动过程
第三节、流线与迹线
1、迹线(path line)：运动中旳某一流体质点，在连续时间
内所占据空间点旳连线，即质点运动旳轨迹 例如：在流动旳水面上洒上某些木屑，木屑随水流漂流旳途径
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 旳流动情况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
▪在流场中，因为辨认空间比辨认某一种质点轻易。所
以，欧拉法在流体力学中被广泛采用。
▪在流动旳流体中有无数个流体质点，要用拉格朗日法描述
每个质点旳运动是很困难甚至不可能,极难实现，在流体力 学中不常采用。一般在稀薄气体动力学和数值计算中用得 较多。
三元流动旳连续性方程
利用质量守恒定律还能够导出空间流动旳连续性方 程，其体现式为
ux uy uz 0 x y z
该方程合用于不可压缩流体，对于恒定流和非恒定流均合用。
例题：P56
第六节 理想流体旳运动微分方程
（Euler’s Equation of Motion)
一、推导过程
在某一给定旳瞬间，从流动旳不可压缩性理想流体中任取一微
图3--6 连续性方程推导
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
（质量守恒）
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
u dA (udA (u) ds dA u (dA) ds (u) ds (dA) ds) 0
而合速度u与三个座标轴上旳分速度之间旳关系是：

一元流体动力学

一元流体动力学
2
6 8
2
u V cos 3 x y
x x2 y2
3x
V sin 3 y
u u u ax u 0 3x 3 3 y 0 9 x 9 8 72 t x y ay u 0 3x 0 3 y 3 9 y 9 6 54 t x y
3 a 1 ， e
＝＞
x 3e t 1 t 1 y 4e t 1 t 1
4 b 1 e
（3）将u、v 代入流线微分方程 ，得
dx dy xt yt
积分，得
或
ln(x t ) ln(y t ) ln C
x t C( y t)
速度增量为
P P x ut , y t , z wt , t t x, y, z, t

利用Taylor级数展开且仅保留一阶小量，得 x y z t
x

y
流管中包含的全部流体称为流束； 断面积无穷小的流束称为元流； 当元流的断面积趋于零时，元流就蜕化为流线； 若流管的壁面是流动区域的周界（比如管道的内壁）， 则将流管内所有流体质点的集合称为总流。
与流线处处垂直的断面称为过流断面。过流断面可 以是曲面，只有当流线彼此平行时，过流断面才是 平面。 单位时间通过某一过流断面的流体体积称为体积 流量，简称流量。用符号 Q 表示，常用单位是m3/s Q u dA

z

t
ut t wt t x y z t


从而 a lim t 0 t

t
当地加速度或 局部加速度

第3章 一元流体动力学基础


伯努利方程的几何意义与物理意义
mgz z mg
p mgh h g mg
某点到基准面的位置高度，或位置水头 单位重量流体所具有的位置势能，或位能
该点的测压管高度，或压强水头； 单位重量流体所具有的压强势能，或压能
z
p g
该点测压管液面的总高度，或测压管水头 单位重量流体所具有的总势能
该点的流速高度，或流速水头 单位重量流体所具有的动能； 该点的总水头 单位重量流体所具有的机械能； 沿元流各点总水头相等，总水头线水平 沿元流机械能守恒，故又称能量方程
3.4.7 流量（flow rate/discharge） 单位时间内通过过流断面流体的体积，单位为立方米每秒（m3/s） 若以 dA 表示元流过流断面面积，u 表示该断面流速，总流流量
Q A udA
除体积流量外，还可有质量流量及重量流量等 3.4.8 断面平均流速（mean velocity） 总流过流断面上的假想速度 v
uz
u y z
uz uz uz uz az ux uy uz t x y z
3.2 恒定流和非恒定流（steady and unsteady flows）
流场中各空间点的运动要素均不随时间变化的流动为恒定流 反之为非恒定流 对于恒定流
ux ux x, y, z
或
2 u A pB pA h 2 g g g
由此可见，测速管（毕托管）与测压管之差即流速水头
使用毕托管测量点流速 对于液体
u 2 gh
pA u 2 pB g 2g g
pB pA
对于气体
u 2
2
u AB
h
U型管内
pB pA ' gh

一元流体动力学基础.


重力做功WG：
WG gdQdtz1 z2
动能增量ΔEk：
Ek
E E 22'
11'

dQd
g
t

u2 2 2

u2 1 2


dQdt
u2 2
2g

u2 1
2g

dA1 p1
Z1
dA2 p2
Z2
0
0
返回
3.6p3
第三章 第六节
WP WG E22' E11'
1
dA1
u1
A1
1 v1
返回
2
dA2
u2
A2
2 v2
3.8p2
（一）势能积分


p


Z
dQ

第三章 第八节
表示单位时间通过断面的流体势能。由于断面在渐变流段，根据上节 证明，p/γ+z在断面上保持不变，可提出积分符号外。则两断面的势能积分可写
为：


p


Z
dQ



pa

0
pb

u2 2g
得出：u 2g pa pb 2gh （3-6-6） 毕托管构造：
Δh pa/γ
pb/γ
b
a
第三章 第六节
返回
3.7p1
§3.7 过流断面的压强分布
第三章 第七节
p1
Z1
u2 1
2g

p2
Z2

u2 2
2g
h' l12

《流体力学第三章》PPT课件

第三章 流体动力学基础
本章是流体力学在工程上应用的基础。它主要利 用欧拉法的基本概念，引入了总流分析方法及 总流运动的三个基本方程式：连续性方程、能 量方程和动量方程，并且阐明了三个基本方程 在工程应用上的分析计算方法。
第一节 描述流体运动的两种方法
1.拉格朗日法 拉格朗日方法（lagrangian method）是以流场 中每一流体质点作为描述流体运动的方法，它 以流体个别质点随时间的运动为基础，通过综 合足够多的质点（即质点系）运动求得整个流 动。——质点系法
ux=x+t； uy= -y+t；uz=0,试求t =
dx xt dt
dy y t dt
求解
0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：
由迹线的微分方程：
dx dy dz dt ux uy uz
ux=x+t；uy=-y+t；uz=0 t = 0 时过
M(-1,-1)：
x C1 e t t 1 y C2 e t t 1
运动的轨迹，是与 拉格朗日观点相对 应的概念。
r r(a, b, c, t )
即为迹线的参数方程。
t 是变数，a,b,c 是参
数。
18
(2)迹线的微分方程
式中，ux,uy,uz 均为时空t,x,y,z的函数， 且t是自变量。 注意：恒定流时流线和迹线重合； 非恒定流时流线和迹线不重合；
举例
已知直角坐标系中的速度场
（3）流线的方程
根据流线的定义，可以求得流线的微分方程, 设ds为流线上A处的一微元弧长:
u为流体质点在A点的流速:
因为
所以
——流线方程
【例】
有一流场，其流速分布规律为：ux= -ky， uy = kx， uz=0， 试求其流线方程。 解: uz =0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为

三-一元流体动力学基础

一元流体动力学基础1.直径为150mm 的给水管道，输水量为h kN /7.980，试求断面平均流速。

解：由流量公式vA Q ρ= 注意：()vA Q s kg h kN ρ=⇒→//AQv ρ=得：s m v /57.1= 2.断面为300mm ×400mm 的矩形风道,风量为2700m 3/h,求平均流速.如风道出口处断面收缩为150mm ×400mm,求该断面的平均流速 解：由流量公式vA Q = 得：AQ v =由连续性方程知2211A v A v = 得：s m v /5.122=3.水从水箱流经直径d 1=10cm,d 2=5cm,d 3=2.5cm 的管道流入大气中. 当出口流速10m/ 时,求(1)容积流量及质量流量;(2)1d 及2d 管段的流速 解：(1)由s m A v Q /0049.0333== 质量流量s kg Q /9.4=ρ (2)由连续性方程：33223311,A v A v A v A v ==得：s m v s m v /5.2,/625.021==4.设计输水量为h kg /294210的给水管道，流速限制在9.0∽s m /4.1之间。

试确定管道直径，根据所选直径求流速。

直径应是mm 50的倍数。

解：vA Q ρ= 将9.0=v ∽s m /4.1代入得343.0=d ∽m 275.0 ∵直径是mm 50的倍数，所以取m d 3.0= 代入vA Q ρ= 得m v 18.1=5.圆形风道，流量是10000m 3/h,，流速不超过20 m/s 。

试设计直径，根据所定直径求流速。

直径规定为50 mm 的倍数。

解：vA Q = 将s m v /20≤代入得：mm d 5.420≥ 取mm d 450= 代入vA Q = 得：s m v /5.17=6.在直径为d 圆形风道断面上，用下法选定五个点，以测局部风速。

设想用和管轴同心但不同半径的圆周，将全部断面分为中间是圆，其他是圆环的五个面积相等的部分。

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（2）渐变流 渐变流是近似的均匀流，均匀流的性质可近似地 用到渐变流中，即渐变流过流断面上的压强分布满 足流体静力学规律。
渐变流没有严格的定义，流动能否按渐变流处理， 关键是看得到的结果是否满足工程精度要求。
v2 A2 v1A1 v3 A3
v1
Q1
v Q3 3
v2
Q2
v1
Q1
v2
Q2
Q3
v3
核心问题2： 恒定元流能量方程
功能原理
理想不可压缩流体恒定流动模型
Z1

p1


u12 2g


Z2

p2


u22 2g
上式为理想不可压缩流体恒定元流能量方程， 或称为恒定元流伯努利方程。
理想不可压缩流体恒定总流能量方程：
z
的自由面方程。
x
显然，自由面是过坐标原点的一
O
个倾斜面，与水平面夹角为 ， 且 tan a / g。
y
液面下任一点与自由面的铅直距离：
z
a h g x0 z0
p

pa
(
a g
x
z)

pa
h
x
h x0 z0
A(x0, y0, z0 )

a
习题3-15：一开口圆筒形容器绕其立轴等速旋转, 已知容器半 径R=150mm, 高度H=500mm, 静止时液面高度h=300mm,问当 转速n为多少转时,水面刚好到达容器的上边缘。
§3.7 过流断面的压强分布
一、问题的提出
元流方程 + 连续性方程
压强沿流线的分布
实际流体总流的能量方程：
(Z1

p1


u12 ) dQ
2g

(Z2

p2


u22 2g
hw ) dQ
(1) 压强在过流断面上的分布问题； (2) 流速的变化问题；
二 、均匀流与非均匀流
渐变流可以近似 按均匀流处理
2g

(Z2

p2


u22 2g
hw ) dQ
核心问题3、 恒定元流能量方程中各项的物理含义
Z 表示单位重量流体所具有的势能；
p / 表示单位重量流体的压能；
u2 / 2g 表示单位重量流体所具有的动能。
势能、压能和动能之和称为机械能
伯努利方程可叙述为（物理意义）：理想不可压 缩流体在重力作用下流动时，沿同一流线上各点的 单位重量流体所具有的位能、压能和动能之和保持 不变，即机械能是一常数，但位能、压能和动能三 种能量之间可以相互转换。
穷究于理，成就与工
流体力学
作业点评
习题3-13: 运送液体的槽车以匀加速a做直线运动，槽 车静止时，车内液体的高度为H。(2) 求槽车在等加速 运动过程中的自由面方程与压力分布；(1)证明距离自 由面以下垂直距离h处的压力可表示为p=p0+ρgh（p0 为自由面的压力）。
【解】单位质量重力在各轴向的分量为：


Q vA
适用条件： 恒定、不可压缩的总流，且没有支流与
汇流。
流速之比与面积之比的关系：
11
1
v1 : v2 : : v A1 : A2 : : A
分流时有： Q1 Q2 Q3
v1A1 v2 A2 v3 A3
合流时有： Q2 Q1 Q3
p pa (ax gz)
pa

(
a g
x

z)
液面下任一点处相对压强：
p

p
pa

(
a g
x
z)
自由面绝对压强： p pa
自由面相对压强：
p

p
pa

0

(
a g
x
z)
( a x z) 0
g
z a x g
该式即为匀加速直线运动时液体
z
H h 2R2
2g
2 (H h)g
R
Hh
x
h O
h ?
R
H h 2(H h)
抛物线所围的体积等于同 高圆柱体体积的一半。

1 2
l
1 2
l
内容回顾
核心问题1： 恒定总流的连续性方程
质量守恒 连续性方程
Qv11A1
Q2 = v2 A2
(Z1

p1


u12 ) dQ
2g

(Z2

p2


u22 ) dQ
2g
实际液体恒定元流的能量方程：
Z1

p1


u12 2g

Z2

p2


u22 2g
hw
h表w示单位重量液体从断面1-1流至断面2-2所损
失的能量，称为水头损失。
实际流体恒定总流能量方程：
(Z1

p1


u12 ) dQ
流体流动
均匀流: 质点流速的大小和方向均不变
绝对
渐变流
非均匀流
相对
急变流
质点流速大小不变
流体流动 质点流速方向不变
不存在 直线惯性力 不存在 离心惯性力
均匀流受力特点
重力 压力
静止流体
粘滞阻力
均匀流
渐变流
均匀流 急变流 均匀流
三、过流断面上的压强分布 （1）均匀流 压强分布沿过流断面服从流体静力学规律。
核心问题5、 动力学三大方程
动力学三大方程
质
量
守
三
恒
大
能
守
量
恒
守 恒
定
律
动 量
守
恒
连
续
方
程
恒
定
能 量 方 程
流 三 大
方
动 量
程
方
程
第三章 一元流体动力学基础
问题1、过流断面的压强分布 问题2、恒定总流能量方程 学习要求：理解并熟记恒定总流能量方程
学习进程
静力学→[相对平衡] →动力学
恒定元流能量方程 恒定总流能量方程
代入单位质量力的合力，有： dp (adx gdz)
对上式积分得：
p (ax gz) C
积分常数 C 的求法如下：
边界条件：在坐标原点处，x = z =0，p = pa
将该边界条件代入 p (ax gz) C ，得：C pa
将C pa 回代上式，得液面以下任一点处绝对压强：
z
x
X1 0 Y1 0 Z1 g
H
a
单位质量牵引惯性力在各轴向的分量为：
X2 a Y2 0 Z2 0
质点所受质量力为重力与牵引惯性力之合，即：
X X1 X2 a
Y Y1 Y2 0 Z Z 1Z2 g
根据流体平衡微分方程的综合式：
dp (Xdx Ydy Zdz)
核心问题4、 恒定元流能量方程中各项的几何含义 Z 表示单位重量流体的位置水头；
p / 表示单位重量流体的压强水头；
u2 / 2g 表示单位重量流体的速度水头。
位置水头、压强水头和速度水头之和称为总水头
伯努利方程可叙述为（几何意义）：理想不可压缩 流体在重力作用下流动时，沿同一流线上各点的单 位重量流体所具有的位置水头、压强水头和速度水 头之和保持不变，即总水头是一常数。