大学物理 动量与角动量

动量 冲量
F P mv t I t12 Fdt
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5.当外力<<内力 且作用时间极短时 （如碰撞），
§3.3 变质量系统、火箭飞行原理
低速（v << c）情况下的两类变质量问题：
▲ 粘附 ▲ 抛射
— 主体的质量增加（如滚雪球）
— 主体的质量减少（如火箭发射） 还有另一类变质量问题是在高速（v c） 情况下， 这时即使没有粘附和抛射，质量也可
末态：喷出燃料后 喷出燃料的质量：dm = - dM， 喷出燃料速度(对地)： v - u
u
初态：系统质量 M，速度v (对地)，动量 M v
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火箭壳体 +尚存燃料的质量： M - dm 火箭壳体 +尚存燃料的速度(对地)：v + d v 系统动量： ( M- dm)(v + d v) + - dM(v - u) 由动量守恒，有 M v = - dM(v - u) +( M- dm)(v + d v ) 经整理得：
以随速度改变 — m = m(v)，这是相对论情形， 不在本节讨论之列。 下面以火箭飞行为例，讨论变质量问题。
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一. 火箭不受外力情形（在自由空间飞行） 1.火箭的速度
v
系统： 火箭壳体 + 尚存燃料 条件：燃料相对箭体以恒速u喷出
总体过程：i (点火) f (燃料烧尽)
先分析一微过程： t t +dt
动员尽管在翻转，但 其质心仍做抛物线运动
▲ 爆炸的焰火弹虽然碎片四散，
但其质心仍在做抛物线运动
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二 . 动量守恒与质心的运动
质点系动量守恒
则 若合外力为零，
ac 0 vc 常矢量
质点系分动量守恒
则 若合外力分量为0，
如： Fix 0
i
相应的质心分速度不变
vcx 常量
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质点系动量守恒和质心匀速运动等价！
2.质心系的基本特征
m v (m )v
i i i
C
0
质心系是零动量参考系。 m1v1 m1v10
· ·
两质点系统在其 m2v20 总是具有 质心系中， 等值、反向的动量。
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m2v2
质心系中看两粒子碰撞
3.6 质点的角动量和角动量定理
一、角动量 力矩
L
O
mv

质量为m 的质点相对O点运 动。在某时刻对O的矢径 r 与质点的动量 mv 的矢积 定义为该时刻质点相对于O 点的角动量，用 L 表示。
三. 质心（参考）系 （frame of center of mass） 1. 质心系 质心系是固结在质心上的平动参考系。
质心系不一定是惯性系。
讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系
质点系的复杂运动通常可分解为： 质点系整体随质心的运动； 各质点相对于质心的运动 ——
在质心系中考察质点系的运动。
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（theorem of momentum of particle system） pi 为质点 i 受的合外力， F i i fij 为质点 i 受质点 j 的内力， Fi fi j j fj i p 为质点 i 的动量。
质点系
· · ·· · ···
i
对质点 i ： （Fi
i
dt d p f）
即L＝r mv 常矢量
如果对固定参考点，质点所受的合力矩为零，则质 点对该固定点的角动量为一恒矢量。 质点的角动量守恒定律
注意：
1. 这也是自然界普遍适用的一条基本规律。
2. M＝0，可以是 r = 0,也可以是F = 0,还可能是 r 与 F 同向或反向，例如有心力情况。
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力
●
均质圆盘 O″ C
y
令 为质量的面密度，则
质心坐标为：
R
r xCO
·
d
O′
r
x
挖空
d
0 （ d r ） xC 2 2 R r d 2 R / r 1
2
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§3.5 质心运动定理
一. 质心运动定理 z
C×
c
c i
（theorem of motion of center of mass）
或
Lrp
角动量
力矩
dL r F M dt
dL M dt
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dL M dt
dP F＝ dt
质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点 所受的合力对该点的力矩。
表示成积分形式：
t2

t1
L2 M dt＝ dL L2 L1
第3章 动量与角动量
1
力的瞬时效应：牛顿第一、第二、第三定律 与力的累积效应（空间累积、时间累积）相关的 三个定理：动量定理、动能定理、角动量定理 特殊情况下就有：动量守恒定律、机械能守 恒定律、角动量守恒定律 守恒量：对于物体系统内发生的各种过程，如果某 物理量始终保持不变，则称其为守恒量。 表面上看，能量、动量和角动量三个定律仅是牛顿 第二定律的数学变形，但是实际上它们是更为基本 的物理量，它们的守恒定律具有更广泛、更深刻的 意义。
这就是质点系的动量守恒定律。 不随时间改变。 即
F 0 时， P 常矢量
i i i i
几点说明：
1.动量守恒定律是牛顿第二定律的必然推论。
2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。
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3. 动量若在某一惯性系中守恒， 则在其它一 切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零， 则该方向上动 尽管总动量可能并不守恒。 量守恒， 可认为动量近似守恒。 6.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本 的定律， 它在宏观和微观领域均适用。 7.用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统 和条件。
质点系动量定理 （微分形式）
—质点系动量定 t 理（积分形式） 系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。
1
F外 d t P 2 P 1
用质点系动量定理处理问题可避开内力。
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§3.2动量守恒定律 （law of conservatio时， 质点系的总动量
一. 质心的概念和质心位置的确定 为便于研究质点系总体运动，引入质心概念。 z 定义质心 C 的位矢为：
rC
mi r i
m
（m mi）
xC
mi xi
m mi yi
· · · r· · · r ·· y 0
C
× mi
c i
yC zC
m mi zi m
x 质心位置是质点位置以
动量 P： P Fdt 变化量与力在时间上的 累积作用相关 动能 Ek： Ek A F d r 变化量与力在空间上的 累积作用相关
机械运动与机械运动转换时，数量关系可以用动量 或动能来量度。 机械运动与非机械运动转换时，只能用动能来量度。
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二 质点系动量定理
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一、质点的动量定理
牛顿第二定律 F ma
d v d mv d p F m dt dt dt
微分形式
积分形式
作用于质点上的合力的冲量等于同一时间内 质点动量的增量 质点的动量定理
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方向：I 的方向与(mv ) 的方向相同

分量表示式：
t2
j i ij
j i
i
i
对质点系： ( Fi fij） d t d pi
由牛顿第三定律有： fij 0
j i
i
7
d t d pi 所以有： ( Fi）
令
则有：
F F
i i
i
外
， pi P
i
i
F外 d t d P
dP F外 dt
或
t2
L r p r mv
单位：kgm2/s
大小：L rmv sin
方向：右手螺旋定则判定
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L r mv
在圆周运动中，速度方向垂直于矢径 r ：
L rmv mr
2

O
L
mv

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力矩
设在某时刻质点 m 对定点 O 的位矢为 r ，作用在 质点上的合力为 F ，则 F 与 r 矢积定义为力 F 对定点 O 的力矩，用 M 表示：
t1 t2
Fx dt mv2 x mv1x Fy dt mv2 y mv1 y Fz dt mv2 z mv1z

t1 t2
t1
质点动量定理只适用于惯性系
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动量：与动力学有密切的关系，是动力学参量。
速度：只是从运动学角度描述物体的运动状态。 动量比速度更能反映物体的运动状态。
对 轴 的 力 矩
（2）力 F 的作用线与矢径 r 共线（即 sin = 0 ）
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二、角动量定理
M r F dL d dr dp (r p) pr dt dt dt dt mv v F
dL v mv r F dt 0
M r F
大小：M Fr sin
单位：牛· 米（N · m）
M
O
r
F
方向：右手螺旋定则判定
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M
M r F
O
r
F
力矩的分量式:
M x yFz zF y M y zFx xFz
M z xFy yFx
力矩为零的情况: （1）力 F 等于零；
F外 maC