浙江省宁波市2015年高考数学模拟试卷(文科)(4月份)
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2015年浙江省宁波市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=x﹣1 B．y=ln（x+1）C．y=（）x D．y=x+2．设a∈R，则“a=﹣”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+a（a+1）y+4=0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．将一个长方体截掉一个小长方体，所得几何体的俯视图与侧视图如图所示，则该几何体的正视图为（）A．B．C．D．4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n B．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β5．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．6．设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x﹣4y ﹣9=0对称，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值等于（）A．2 B．4 C．D．7．若等差数列{a n}满足a12+a32=2，则a3+a4+a5的最大值为（）A．B． 3 C．D．8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆x2﹣4x+y2=0（2≤x≤4）上的一个动点，点C 在线段OA的延长线上．当时，点C的轨迹为（）A．线段B．圆弧C．抛物线一段D．椭圆一部分二、填空题：本大题共7小题．前4题每空3分，后3题每空4分，共36分．9．已知集合A={x|（x﹣2）（x+5）＜0}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0}，全集U=R，则A∩B=，A∪（∁U B）=．10．若角α终边所在的直线经过P（cos，sin），O为坐标原点，则|OP|=，sinα=．11．已知f（x）=则f（3）=；当1≤x≤2时，f（x）=．12．已知实数a，b，c满足a+b=2c，则直线l：ax﹣by+c=0恒过定点，该直线被圆x2+y2=9所截得弦长的取值范围为．13．已知点A（4，0），B（0，3），OC⊥AB于点C，O为坐标原点，则=．14．设P为双曲线=1（a＞0，b＞0）在第一象限的一个动点，过点P向两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，若A，B始终在第一或第二象限内，则该双曲线离心率e的取值范围为．15．若对任意α∈R，直线l：xcosα+ysinα=2sin（α+）+4与圆C：（x﹣m）2+（y﹣m）2=1均无公共点，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（Ⅱ）设在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且c=2，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．17．设数列{a n}是公比小于1的正项等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3=14，且a1+13，4a2，a3+9成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n•（n+2﹣λ），且数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．18．如图，正四棱锥S﹣ABCD中，SA=SB=2，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点．设P为线段FG上任意一点．（Ⅰ）求证：EP⊥AC；（Ⅱ）当P为线段FG的中点时，求直线BP与平面EFG所成角的余弦值．19．如图，已知F为抛物线y2=4x的焦点，点A，B，C在该抛物线上，其中A，C关于x 轴对称（A在第一象限），且直线BC经过点F．（Ⅰ）若△ABC的重心为G（），求直线AB的方程；（Ⅱ）设S△ABO=S1，S△CFO=S2，其中O为坐标原点，求S12+S22的最小值．20．设函数f（x）=x|x﹣a|+b，a，b∈R（Ⅰ）当a＞0时，讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）若对于给定的实数a（a≥2），存在实数b，对于任意实数x∈[1，2]，都有不等式|f（x）|≤恒成立，求实数a的取值范围．2015年浙江省宁波市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=x﹣1 B．y=ln（x+1）C．y=（）x D．y=x+考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：求出每个函数的导函数，然后判断它们的导数在区间（0，+∞）上的符号，从确定单调性．解答：解：对于A，因为恒成立，所以y=x﹣1在（0，+∞）上递减，故A错；对于B，，当x＞0时，显然y′＞0，所以该函数在（0，+∞）上递增，故B正确；对于C，恒成立，所以该函数在区间（0，+∞）上递减，故C错误；对于D，，当0＜x＜1时，y′＜0；x＞1时，y′＞0，所以原函数在（0，1）上递减，在[1，+∞）递增，故D错误．故选B．点评：本题也可以借助幂函数、指数函数、对数函数的图象判断求解，属于基础题．2．设a∈R，则“a=﹣”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+a（a+1）y+4=0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：集合．分析：通过讨论a的范围，求出两直线垂直的充分必要条件，从而得到答案．解答：解：①a=0时，l1：y=，l2：x=﹣4，两直线垂直；②a=﹣1时，l1：y=x+，l2：x=﹣4，两直线不垂直；③a≠1且a≠﹣1时，l1：y=﹣x+，l2：y=﹣x﹣，若两直线垂直，则﹣•[﹣]=﹣1，解得：a=﹣，综上，直线l1和l2垂直的充要条件是a=0或a=﹣，故“a=﹣”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+a（a+1）y+4=0垂直”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查直线垂直的性质，是一道基础题．3．将一个长方体截掉一个小长方体，所得几何体的俯视图与侧视图如图所示，则该几何体的正视图为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：作图题；空间位置关系与距离．分析：从俯视图与侧视图分析，得出去掉的长方体的位置应该在的方位，即可得出结论．解答：解：由俯视图与侧视图可知去掉的长方体在原长方体的内侧与右上方，故几何体的正视图为：C故选：C．点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n B．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．解答：解：对于A，m⊥α，n⊥β，且α⊥β，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线n'与β垂直，又n⊥β，得到n∥n'，又m⊥α，得到m⊥n'，所以m⊥n；故A正确；对于B，m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n位置关系不确定，可能相交、平行或者异面；故B错误；对于C，m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α与β可能平行；故C错误；对于D，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选：A．点评：本题考查了线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；关键是由已知条件，正确运用定理的条件进行判断．5．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的最小值．解答：解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，可得函数y=2sin[2（x﹣φ）+]=2sin（2x+﹣2φ）的图象；再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=2sin（4x+﹣2φ）的图象；再根据所得图象关于直线x=对称，可得π+﹣2φ=kπ+（k∈z），即φ=﹣k∈z，∴φ的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6．设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x﹣4y﹣9=0对称，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值等于（）A．2 B． 4 C．D．考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由题意作出可行域，数形结合得到的平面区域是Ω1内到直线3x﹣4y﹣9=0距离最小的点，由点到直线的距离公式求得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，可行域Ω1内的点A（1，1）到直线3x﹣4y﹣9=0的距离最小，则Ω2中的点B与Ω1内的点A的距离的最小值为A到直线3x﹣4y﹣9=0的距离的2倍．|AB|的最小值等于．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．若等差数列{a n}满足a12+a32=2，则a3+a4+a5的最大值为（）A．B． 3 C．D．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：把已知等式用a4和公差d表示，化为关于d的一元二次方程后由判别式大于等于求得a4的最大值，结合等差数列的性质得答案．解答：解：由a12+a32=2，得，化为：，由判别式△≥0，得：16﹣20（﹣1）≥0，即，﹣≤，∴a 3+a4+a5的最大值为．故选：D．点评：本题考查了等差数列的性质，训练了利用二次方程的判别式求最值，是中档题．8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆x2﹣4x+y2=0（2≤x≤4）上的一个动点，点C 在线段OA的延长线上．当时，点C的轨迹为（）A．线段B．圆弧C．抛物线一段D．椭圆一部分考点：轨迹方程．专题：综合题；平面向量及应用．分析：设出C点坐标，把A的坐标用α表示，得到|OA|，结合中结论求出C 的横坐标为定值5，进一步求出C的纵坐标的范围，则点C的轨迹可求．解答：解：设C（x，y），A（2+2cosα，sinα），其中﹣≤α≤，则∠xOC=．∵|OA|2=（2+2cosα）2+（2sinα）2=8（1+cosα）=16，∴|OA|=4cos．由得：|OC|cos=5，∴x=|OC|cos=5．从而y=|OC|sin=5tan∈[﹣5，5]．故点C的轨迹是一条线段，其两个短点的坐标分别为A（5，5），B（5，﹣5）．故选：A．点评：本题考查了轨迹方程，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，解答的关键是利用平面几何知识把未知长度的式子转化为已知长度的式子，是中档题．二、填空题：本大题共7小题．前4题每空3分，后3题每空4分，共36分．9．已知集合A={x|（x﹣2）（x+5）＜0}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0}，全集U=R，则A∩B={x|﹣5＜x≤﹣1}，A∪（∁U B）={x|﹣5＜x＜3}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行化简和求解即可．解答：解：A={x|（x﹣2）（x+5）＜0}={x|﹣5＜x＜2}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，则A∩B={x|﹣5＜x≤﹣1}，∁U B={x|﹣1＜x＜3}，则A∪（∁U B）={x|﹣5＜x＜3}，故答案为：{x|﹣5＜x≤﹣1}，{x|﹣5＜x＜3}点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．10．若角α终边所在的直线经过P（cos，sin），O为坐标原点，则|OP|=1，sinα=±．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：易得|OP|的值，由条件利用任意角的三角函数的定义，分类讨论求得sinα的值．解答：解：角α终边所在的直线经过P（cos，sin），即点P（﹣，），则|OP|==1．若角α终边在第二象限，则sinα=，若角α终边在第四象限，则sinα=﹣，故答案为：1；±．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．11．已知f（x）=则f（3）=3；当1≤x≤2时，f（x）=﹣3x2+10x ﹣6．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由分段函数的性质，逐个代入求值可得．解答：解：∵f（x）=，∴f（3）=f（2）+1=f（1）+1+1=f（0）+1+1+1=3；当1≤x≤2时，f（x）=f（x﹣1）+1，=﹣3（x﹣1）2+4（x﹣1）+1=﹣3x2+10x﹣6，故答案为：3；﹣3x2+10x﹣6．点评：本题考查分段函数求值，属基础题．12．已知实数a，b，c满足a+b=2c，则直线l：ax﹣by+c=0恒过定点（﹣，），该直线被圆x2+y2=9所截得弦长的取值范围为[，6]．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：由条件a+b=2c，直线l：ax﹣by+c=0，即﹣2ax+2by=2c，可得直线l：ax﹣by+c=0恒过定点，过定点（﹣，）的最长弦为圆的直径6，最短弦与此直径垂直．解答：解：由条件a+b=2c，直线l：ax﹣by+c=0，即﹣2ax+2by=2c，所以点（﹣，）在直线﹣2ax+2by=2c上，故直线l：ax﹣by+c=0过定点（﹣，）；过定点（﹣，）的最长弦为圆的直径6，最短弦与此直径垂直，由于定点与圆心的距离为，所以最短弦长为2=，所以直线被圆x2+y2=9所截得弦长的取值范围为[，6]．故答案为：（﹣，），[，6]．点评：本题主要考查经过定点的直线，考查直线被圆x2+y2=9所截得弦长的取值范围，属于中档题．13．已知点A（4，0），B（0，3），OC⊥AB于点C，O为坐标原点，则=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先画出图象，根据射影定理求出C点的坐标，从而求出•的值．解答：解：如图示：，由OA2=AC•AB，解得：AC=，∴OC2=16×，∴OC=，设C（x，y），∴x==，y=，∴=（，），∴•=（4，0）•（，）=，故答案为：．点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查射影定理，是一道基础题．14．设P为双曲线=1（a＞0，b＞0）在第一象限的一个动点，过点P向两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，若A，B始终在第一或第二象限内，则该双曲线离心率e的取值范围为（，+∞）．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，由题意可得渐近线y=的倾斜角大于45°，即有斜率大于1，即为＞1，运用离心率公式和双曲线的离心率范围，即可得到所求范围．解答：解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由题意，A，B始终在第一或第二象限内，则有渐近线y=的倾斜角大于45°，有斜率大于1，即为＞1，双曲线离心率e====＞，又e＞1，即有e的范围为（，+∞）．故答案为：（，+∞）．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．15．若对任意α∈R，直线l：xcosα+ysinα=2sin（α+）+4与圆C：（x﹣m）2+（y﹣m）2=1均无公共点，则实数m的取值范围是﹣＜m＜．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离大于半径，结合对任意α∈R恒成立，即可求得实数m的取值范围．解答：解：由题意，圆心到直线的距离d=|mcosα+msinα﹣2sin（α+）﹣4|＞1，所以|（2m﹣2）sin（α+）﹣4|＞1，所以（2m﹣2）sin（α+）﹣4＞1或（2m﹣2）sin（α+）﹣4＜﹣1，所以﹣＜m＜．故答案为：﹣＜m＜．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查实数m的取值范围，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（Ⅱ）设在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且c=2，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）首先利用三角函数的关系式的恒等变换把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步求出函数的周期和最值．（Ⅱ）利用函数的关系式，首先根据三角形的交的他范围，进一步求出C的大小，最后利用正弦和余弦定理求出结果．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣===sin（2x﹣）﹣1所以函数的最小正周期为：，当时，即：（k∈Z）函数f（x）min=﹣2．（Ⅱ）由于f（x）=sin（2x﹣）﹣1则：=0，则：，由于：0＜C＜π，所以：，则：，解得：，由于：sinB=2sinA，所以：b=2a，利用余弦定理得：a2+b2﹣ab=12所以：，解得：，所以：b=4，a=2．点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用正弦型函数的解析式求函数的周期和最值，利用函数的定义域求函数的角的大小，正余弦定理的应用．主要考查学生的应用能力．17．设数列{a n}是公比小于1的正项等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3=14，且a1+13，4a2，a3+9成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n•（n+2﹣λ），且数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设数列的公比为q，0＜q＜1，由题意可得a1和q的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）易得b n=（n+2﹣λ）•，由数列{b n}是单调递减数列，可得（n+2﹣λ）•＞（n+3﹣λ）•，解不等式可得．解答：解：（Ⅰ）设正项等比数列{a n}的公比为q，由题意可得0＜q＜1，∵S3=14，且a1+13，4a2，a3+9成等差数列，∴a1+a2+a3=14，8a2=a1+13+a3+9，联立解得a2=4，代入a1+a2+a3=14可得+4+4q=14，解得q=，或q=2（舍去），∴a1==8，∴数列{a n}的通项公式为a n=8×=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=a n•（n+2﹣λ）=（n+2﹣λ）•，∵数列{b n}是单调递减数列，∴b n＞b n+1，即（n+2﹣λ）•＞（n+3﹣λ）•，∴（n+2﹣λ）•＞（n+3﹣λ），∴λ＜n+1，∵上式对任意正整数n都成立，∴实数λ的取值范围为λ＜2点评：本题考查等比数列的性质，涉及数列的单调性，属中档题．18．如图，正四棱锥S﹣ABCD中，SA=SB=2，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点．设P为线段FG上任意一点．（Ⅰ）求证：EP⊥AC；（Ⅱ）当P为线段FG的中点时，求直线BP与平面EFG所成角的余弦值．考点：直线与平面所成的角；棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）利用线线垂直的转换关系三角形的中位线定理，得到线线垂直和线线平行，再转化为线面垂直，最后转化为线线垂直．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的部分结论，首先找到直线与平面之间的夹角，再利用解直角三角形知识求出结果．解答：证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O，由于：S﹣ABCD是正四棱锥，则：SO⊥平面ABCD，所以：SO⊥AC，由于：AC⊥BD，所以：AC⊥平面SBD，则：AC⊥SD，由于：BD⊥AC，所以：AC⊥平面SBD，则：AC⊥SD，F，G分别为SC，CD的中点，所以：SD∥FG，所以：AC⊥GF，由于：AC⊥GE，所以：AC⊥平面GEF，又：PE⊂平面GEF，所以：EP⊥AC．（Ⅱ）过B作BH⊥GE于点H，连接PH，由于：BD⊥AC，BD∥GF，所以：BH∥AC，由（Ⅰ）知：AC⊥平面GEF，则：BH⊥平面GEF，所以：∠BPH就是直线BP与平面EFG所成的角．由于：SA=AB=2，所以在Rt△BHP中，解得：BH=，PH=，PB=，则：cos∠BPH=．点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，线面垂直与线线垂直间的转化，线面的夹角的应用，及相关的运算问题．主要考查学生的空间想象能力和运算能力．19．如图，已知F为抛物线y2=4x的焦点，点A，B，C在该抛物线上，其中A，C关于x 轴对称（A在第一象限），且直线BC经过点F．（Ⅰ）若△ABC的重心为G（），求直线AB的方程；（Ⅱ）设S△ABO=S1，S△CFO=S2，其中O为坐标原点，求S12+S22的最小值．考点：抛物线的简单性质．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），运用三角形的重心坐标公式和抛物线方程，即可求得A，B的坐标，进而得到直线方程；（Ⅱ）通过直线BC，AB的方程和抛物线方程，运用韦达定理，可得恒过定点（﹣1，0），即有S△ABO=|OE|•|y2﹣y1|=|y2﹣y1|，S△CFO=|OF|•|y1|=|y1|，y1y2=4，再由基本不等式计算即可得到最小值．解答：解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），则△ABC的重心坐标为G（，），由题意可得2x1+x2=，且y2=4，由y22=4x2，y12=4x1，可得x2=4，y2=4，和x1=，y1=1，直线AB的斜率k==，即有直线AB的方程为4x﹣5y+4=0；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），设直线BC：x=my+1，代入抛物线方程y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0，可得﹣y1y2=﹣4，即y1y2=4，再设直线AB：y=kx+n，代入抛物线方程，可得ky2﹣4y+4n=0，y1y2==4，即n=k，则有直线AB：y=k（x+1），即有直线AB恒过定点E（﹣1，0），则S△ABO=|OE|•|y2﹣y1|=|y2﹣y1|，S△CFO=|OF|•|y1|=|y1|，即有S12+S22=（y2﹣y1）2+y12==（2y12+﹣8）≥（2﹣8）=2﹣2．即有S12+S22的最小值为2﹣2，当且仅当y1=，y2=．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．20．设函数f（x）=x|x﹣a|+b，a，b∈R（Ⅰ）当a＞0时，讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）若对于给定的实数a（a≥2），存在实数b，对于任意实数x∈[1，2]，都有不等式|f（x）|≤恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．专题：转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）把函数f（x）=x|x﹣a|+b分段写出，然后根据b的范围讨论出方程x2﹣ax+b=0的解得个数，进一步得到在不同条件下的函数f（x）的零点个数（Ⅱ）记g（x）=f（x）﹣x=，把问题转化为当2a﹣1≤x≤2a+1时，g（x）max﹣g（x）min≤1．最大实数b即为时的b的值．令T=g（x）max﹣g（x）min，然后对a分类判断g（x）在不同区间上的单调性，并分类求得T值，由T＜1求得a的范围，进一步求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）=x|x﹣a|+b=，∵a＞0，∴当b＞0时，x2﹣ax+b=0在x≥a上无解，﹣x2+ax+b=0在x＜a上恰有一解；当b=0时，x2﹣ax+b=0在x≥a上恰有一解，﹣x2+ax+b=0在x＜a上恰有一解；当b＜0时，x2﹣ax+b=0在x≥a恰有一解，若△=a2+4b＜0，则﹣x2+ax+b=0在x＜a上无解；若△=a2+4b=0，则﹣x2+ax+b=0在x＜a上恰有一解；若△=a2+4b＞0，则﹣x2+ax+b=0在x ＜a上有两个不同解；综上，在a＞0的条件下，当b＞0或a2+4b＜0时，函数f（x）有一个零点；当b=0或a2+4b=0时，函数f（x）有两个零点；当时，函数f（x）有三个零点．（Ⅱ）记g（x）=f（x）﹣x=，原问题等价于：当2a﹣1≤x≤2a+1时，g（x）max﹣g（x）min≤1．最大实数b即为时的b的值．令T=g（x）max﹣g（x）min，由已知可得：2a+1＞a，2a﹣1，（1）当时，，∴g（x）在[]上为增函数，在[]上为减函数，，g（x）min=min{g（2a﹣1），g（2a+1）}=g（2a﹣1）=﹣2a2+a+b，∴．解得：，从而无解；（2）当时，，∴g（x）在[]上为增函数，在[]上为减函数，在[]上为增函数，∴当2a﹣1≤x≤2a+1时，g（x）max=max{g（），g（2a+1）}=．g（x）min=min{g（2a﹣1），g（）}=．∴．由T＜1，解得：．此时最大的b满足．从而．∴m（a）=．m（a）的取值范围是[）．点评：此题是个难题，考查函数的性质及其应用，考查判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中又注重了分类讨论的数学思想方法，题目的难度大，综合性强．。
