高三一轮总复习文科数学课件：-不等关系与不等式

高考数学第一轮复习：《不等关系与不等式》最新考纲1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景．3.掌握不等式的性质及应用.【教材导读】1．若a>b，c>d，则a－c>b－d是否成立？提示：不成立，同向不等式不能相减，如3>2,4>1，但3－4<2－1. 2．若a>b>0，则ac>bc是否成立？提示：不成立．当c＝0时，ac＝bc，当c<0时，ac<bc.3．若a>b，则a n>b n，na>nb是否成立？提示：不一定．当a>b>0，n∈N，n≥2时才成立．1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系设a，b∈R，则(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2．不等式的基本性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a ⇔传递性a>b，b>c⇒a>c ⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c ⇔可乘性⎭⎪⎬⎪⎫a>bc>0⇒ac>bcc的符号⎭⎪⎬⎪⎫a>bc<0⇒ac<bc同向可加性⎭⎪⎬⎪⎫a >b c >d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒同向同正可乘性⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ⇒可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)a ，b 同为正数可开方性a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)(1)倒数性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b . ②a <0<b ⇒1a <1b . (2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则 ①真分数的性质b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0)． ②假分数的性质a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0)．1．设a ＋b ＜0，且b ＞0，则( ) (A)b 2＞a 2＞ab (B)b 2＜a 2＜－ab (C)a 2＜－ab ＜b 2 (D)a 2＞－ab ＞b 2答案：D2．若b ＜a ＜0，则下列结论不正确．．．的是( ) (A)a 2＜b 2 (B)ab ＜b 2 (C)b a ＋ab ＞2 (D)|a |－|b |＝|a －b | 答案：D3．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c的大小关系是() (A)a>b>c(B)a>c>b(C)b>a>c(D)b>c>aB解析：b＝7－3＝47＋3，c＝6－2＝46＋2.因为7＋3>6＋2，所以47＋3<46＋2，所以b<c.因为2(6＋2)＝23＋2>4，所以46＋2< 2.即c<a.综上可得b<c<a.故选B.4．若P＝a＋2＋a＋5，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系为() (A)P>Q(B)P＝Q(C)P<Q(D)由a的取值确定C解析：因为a≥0，P>0，Q>0，所以Q2－P2＝2a＋7＋2a2＋7a＋12－(2a＋7＋2a2＋7a＋10)＝2(a2＋7a＋12－a2＋7a＋10)>0.所以P<Q.5．已知a>b，ab≠0，则下列不等式中：①1a<1b；②a3>b3；③a2＋b2>2ab，恒成立的不等式的个数是________．解析：①取a＝2，b＝－1，则1a<1b不成立；②函数y＝x3在R上单调递增，a>b，所以a3>b3成立；③因为a>b，ab≠0，所以a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，所以a2＋b2>2ab成立．综上可得：恒成立的不等式有两个．答案：2考点一 用不等式(组)表示不等关系(1)某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为________．(2)已知4枝郁金香和5枝丁香的价格最多22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格不小于24元，则满足上述所有不等关系的不等式组为________．答案：(1)(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20 (2)⎩⎨⎧4x ＋5y ≤226x ＋3y ≥24，x ≥0y ≥0【反思归纳】 用不等式(组)表示不等关系 (1)分析题中有哪些未知量．(2)选择其中起关键作用的未知量，设为x 或x ，y 再用x 或x ，y 来表示其他未知量． (3)根据题目中的不等关系列出不等式(组)． 提醒：在列不等式(组)时要注意变量自身的范围．【即时训练】 已知甲、乙两种食物的维生素A ，B 含量如表：甲 乙 维生素A(单位/kg) 600 700 维生素B(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各有56 000单位维生素A 和62 000单位维生素B ，则x ，y 应满足的所有不等关系为________．解析：x ，y 所满足的关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤100，600x ＋700y ≥56 000，800x ＋400y ≥62 000，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤100，6x ＋7y ≥560，2x ＋y ≥155，x ≥0，y ≥0.答案：⎩⎨⎧x ＋y ≤1006x ＋7y ≥5602x ＋y ≥155x ≥0，y ≥0考点二 不等式的性质若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) (A)a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b ) (B)b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b (C)a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2a (D)log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b2a【命题意图】本题考查不等式的应用，同时考查对数的运算．B 解析：根据题意，令a ＝2，b ＝12进行验证，易知a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252＞1，因此a ＋1b ＞log 2(a ＋b )＞b2a .【反思归纳】 判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘以一个代数式时，所乘的代数式是正数、负数或0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；③不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变．【即时训练】 (1)已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题成立的是( ) (A)a 2＜b 2 (B)ab 2＜a 2b(C)1ab2＜1ba2(D)ba＜ab(2)若a，b∈R则1a3＞1b3成立的一个充分不必要条件是()(A)ab＞0 (B)b＞a(C)a＜b＜0 (D)a＞b＞0答案：(1)C(2)C考点三比较大小(1)比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R；(2)比较a a b b与a b b a(a，b为不相等的正数)的大小．解析：(1)(x6＋1)－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)(x2－1)(x2＋1)＝(x2－1)2(x2＋1)．当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2；当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.(2)a a b ba b b a＝a a－b b b－a＝⎝⎛⎭⎪⎫aba－b，当a＞b＞0时，ab ＞1，a－b＞0，∴⎝⎛⎭⎪⎫aba－b＞1；当0＜a＜b时，ab ＜1，a－b＜0，∴⎝⎛⎭⎪⎫aba－b＞1.综上所述，总有a a b b＞a b b a.【反思归纳】比较大小常用的方法(1)作差法一般步骤是①作差；②变形；③判号；④定论．其中变形是关键，常采用因式分解、配方等方法把差变成积或者完全平方的形式．当两个式子都含有开方运算时，可以先乘方再作差．(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．作商比较大小时，要注意分母的符号避免得出错误结论．(3)特值法对于选择题可以用特值法比较大小．【即时训练】(1)(2017崇明县一模)若a<0，b<0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为()(A)p<q(B)p≤q(C)p>q(D)p≥q(2)若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．解析：(1)p－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)·1a－1b＝(b2－a2)(b－a)ab＝(b－a)2(a＋b)ab，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0，若a＝b，则p－q＝0，此时p＝q，若a≠b，则p－q<0，此时p<q，综上p≤q.故选B.(2)ab＝18161618＝1816161162＝98161216＝98216，因为982∈(0,1)，所以98216<1，因为1816>0,1618>0，所以1816<1618.即a<b.答案：(1)B(2)a<b不等式变形中扩大变量范围致误设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．解析：法一设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是得⎩⎨⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10. 法二 由⎩⎨⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法三 由⎩⎨⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A 32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， 所以5≤f (－2)≤10. 答案：[5,10]易错提醒：(1)解决此类问题的一般解法是，先建立待求整体与已知范围的整体关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；(2)此类求范围问题如果多次利用不等式的可加性，有可能扩大变量的取值范围而致误．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．设a ，b ∈R ，则“a ＞1且b ＞1”是“ab ＞1”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件A 解析：a ＞1且b ＞1⇒ab ＞1；但ab ＞1，则a ＞1且b ＞1不一定成立，如a ＝－2，b ＝－2时，ab ＝4＞1.故选A.2．如果a >b ，则下列各式正确的是( ) (A)a ·lg x >b ·lg x (x >0) (B)ax 2>bx 2 (C)a 2>b 2(D)a ·2x >b ·2xD 解析：两边相乘的数lg x 不一定恒为正，选项A 错误；不等式两边都乘以x 2，它可能为0，选项B 错误；若a ＝－1，b ＝－2，不等式a 2>b 2不成立，选项C 错误．选项D 正确．3．已知1a ＜1b ＜0，给出下面四个不等式：①|a |＞|b |；②a ＜b ；③a ＋b ＜ab ；④a 3＞b 3.其中不正确的不等式的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3C 解析：由1a ＜1b ＜0可得b ＜a ＜0，从而|a |＜|b |，①不正确；a ＞b ，②不正确；a ＋b ＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab 成立，③正确；a 3＞b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.故选C.4．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) (A)M ＜N (B)M ＞N (C)M ＝N (D)不确定答案：B5．设a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是( ) (A)1a ＞1b (B)1a －b ＞1a (C)|a |＞－b (D)－a ＞－b答案：B6．若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞lnb 2.其中正确的不等式是( ) (A)①④ (B)②③ (C)①③ (D)②④答案：C7．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞cb ；②ac ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )(A)① (B)①② (C)②③ (D)①②③答案：D8．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%.若p ＞q ＞0.则提价多的方案是________．解析：设原价为a ，方案甲提价后为a (1＋p %)(1＋q %)，方案乙提价后为a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋p %＋1＋q %22≥((1＋p %)(1＋q %))2＝(1＋p %)(1＋q %)，又∵p ＞q ＞0，∴等号不成立，则提价多的为方案乙．答案：乙9．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n (n ∈N ＋，n ＞2)，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是________．解析：f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n＜12n ＝φ(n )，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1＞12n ＝φ(n )，∴f (n )＜φ(n )＜g (n )．答案：f (n )＜φ(n )＜g (n )10．已知－1<a ＋b <3，且2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为____________． 解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝52，y ＝－12，因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1，所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132，即－92<2a ＋3b <132.答案：－92，132能力提升练(时间：15分钟)11．有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d ＞b ＋c ，a ＋c ＜b ，则这四个小球由重到轻的排列顺序是( )(A)d ＞b ＞a ＞c(B)b ＞c ＞d ＞a (C)d ＞b ＞c ＞a (D)c ＞a ＞d ＞bA 解析：∵a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d ＞b ＋c ，∴2a ＞2c ，即a ＞c .因此b ＜d .∵a ＋c ＜b ，∴a ＜b ，综上可得，c ＜a ＜b ＜d .12．若不等式(－1)n a ＜2＋(－1)n ＋1n 对于任意正整数n 都成立，则实数a 的取值范围是( )(A)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32 (B)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32 (C)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32 (D)⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 A 解析：当n 取奇数时，－a ＜2＋1n ，因为n ≥1，故2＜2＋1n ≤3，所以－a ≤2，所以a ≥－2；当n 取偶数时，a ＜2－1n ，因为n ≥2，所以32≤2－1n ＜2，所以a ＜32，综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32，故选A.13．若a ，b ，c ，d 均为正实数，且a ＞b ，那么四个数b a ，a b ，b ＋c a ＋c ，a ＋d b ＋d由小到大的顺序是________．解析：∵a ＞b ＞0，∴a b ＞1，a ＋d b ＋d ＞1，b a ＜1，b ＋c a ＋c ＜1，则a b －a ＋d b ＋d ＝d (a －b )b (b ＋d )＞0， 即a b ＞a ＋c b ＋c ，b a －b ＋c a ＋c ＝c (b －a )a (a ＋d )＜0，即b a ＜b ＋c a ＋c ，所以由小到大的顺序是b a ＜b ＋c a ＋c ＜a ＋d b ＋d ＜a b答案：b a ＜b ＋c a ＋c ＜a ＋d b ＋d ＜a b14．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76000v v 2＋18v ＋20l. ①如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；②如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加______辆/时．解析：①当l ＝6.05时，F ＝76000v v 2＋18v ＋121＝76000v ＋121v ＋18≤760002v ·121v＋18＝7600022＋18＝1900. 当且仅当v ＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1900辆/时．②当l ＝5时，F ＝76000v v 2＋18v ＋100＝76000v ＋100v ＋18≤760002v ·100v ＋18＝7600020＋18＝2000. 当且仅当v ＝10米/秒时，车流量最大为2000辆/时比①中最大车流量增加100辆/时．15．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．解：设原来的窗户面积与地板面积分别为a 、b ，且a b ≥10%，窗户面积和地板面积同时增加的面积为c ，则现有的窗户面积与地板面积分别为a ＋c ，b ＋c .于是原来窗户面积与地板面积之比为a b ，面积均增加c 以后，窗户面积与地板面积之比为a ＋c b ＋c，因此要确定采光条件的好坏，就转化成比较a b 与a ＋c b ＋c的大小，采用作差比较法． a ＋c b ＋c －a b ＝c (b －a )(b ＋c )b. 因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，又由题设条件可知a ＜b ，故有a b ＜a ＋c b ＋c 成立，即a ＋c b ＋c ＞a b≥10%. 所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．。