正交化及正交矩阵

正交矩阵与正交化方法正交矩阵是线性代数中的重要概念，是指满足矩阵的转置矩阵与原矩阵的乘积等于单位矩阵的方阵。

一、正交矩阵的性质正交矩阵具有以下几个重要性质：1.正交矩阵的行列式的值为±12.正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。

3.正交矩阵的行向量（列向量）是相互正交的单位向量。

4.正交矩阵的任意两行（列）向量的内积等于0。

正交化方法是将一组线性无关的向量组通过线性变换，得到一组相互正交的向量组的过程。

常用的正交化方法有施密特正交化和正交分解法。

施密特正交化方法是基于施密特正交基的概念，通过一系列线性变换，将一组线性无关的向量组转化为一组正交基。

具体的步骤如下：a)选取第一个向量作为正交基的第一个元素。

b)对于向量组中的其他向量，通过将其与正交基的前面的向量进行正交投影，使其与前面的向量正交。

c)重复上述步骤，直到得到一组相互正交的基向量。

2.正交分解法正交分解法是将一个向量表示为一组正交基向量的线性组合的过程。

具体的步骤如下：a)选取一组正交基向量。

b)计算向量在每个正交基向量上的投影（即向量在每个基向量上的内积）。

c)将每个投影与对应的基向量相乘，并求和，得到向量的正交分解。

三、应用实例正交矩阵和正交化方法在实际应用中有着广泛的应用。

以下是一些应用实例：1.3D图形学正交矩阵在3D图形学中用于旋转和缩放三维物体。

通过将物体的顶点坐标与旋转矩阵相乘，可以实现对物体的旋转操作。

2.特征值问题正交矩阵在解决特征值问题中起到重要作用，可以通过正交变换将原始矩阵对角化，便于求解特征值和特征向量。

3.数据压缩正交矩阵在数据压缩领域具有重要应用。

通过正交变换将数据压缩到低维空间，可以降低数据的维度，提高数据传输和存储的效率。

4.信号处理正交矩阵在信号处理中有着广泛的应用，如正交频分复用技术（OFDM）和正交编码技术。

通过正交变换可以将多个信号进行隔离和恢复，提高信号传输的可靠性。

5.图像处理正交矩阵在图像处理中被用于图像压缩、降噪和图像分析等方面。

第五章 二次型除特别指明外，本章都是在实数域内进行的讨论．§5.1 正交矩阵一、向量的内积1.定义：① 设有n 维行向量α = (a 1, a 2, ……, a n ) ，β = (b 1,b 2, ……, b n ) ，定义α与β的内积为： α βT = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …… + a n b n ． ② α 与 β 正交： α βT = 0 ．注：非零向量正交一定线性无关（反之不成立）．③ 对n 维列向量 α = (a 1, a 2, ……, a n )T ，β = (b 1,b 2, ……, b n )T ， α与β的内积为： α T β = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …… + a n b n ， α与β正交，则： α T β = 0 ．说明：①.我们采用符号<α,β>统一表示n 维向量α和β的内积．②.在大家熟知的三维普通空间，建立笛卡儿坐标系后，矢量（也称向量）k a j a i a a r r r r321++= 和 kb j b i b b r r r r 321++=可以作为特例．不过用行（或列）矩阵[即行（或列）向量]表示内积（亦称点积、数量积）b a rr ⋅时，必须写成[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⋅321321b b b a a a b a rr ． 2.性质：① 对称： α βT = β αT ；（ <α,β> = <β,α> ） ② 数乘（齐次）：( λ α ) βT = α ( λ βT ) = λ ( α βT ) ； ③ 分配（可加）：( α + β) γT = α γT + β γT ；④ 自身相乘非负： α αT ≥ 0 ；仅当 α = 0 时， α αT = 0 ． 3.向量的长度（或模）： 22221Tn a a a +++==L ααα ，为非负的实数．性质：① 非负：α≥ 0 ；仅当 α = 0 时， α αT = 0 ； ② 数乘（齐次）： ααk k = ；③ 单位向量及非零向量单位化：若1=α，则α为n 维单位向量．对非零向量α ，都可单位化：ααβ= ． ④ 三角不等式： βαβα+≤+ ； ⑤ 柯西-施瓦茨不等式：222T )(βαβα≤ ．二、向量正交化1.正交向量组定义：若向量组α1，α2，……，αs 中的向量两两正交，则称该向量组是一个正交向量组． 重要的n 维正交向量组：)0,,0,1(1L =e ，)0,,1,0(2L =e ，……，),,0,0(n n L =e ．2.向量组正交化方法（Schmidt 正交化方法）：有一线性无关的向量组α1，α2，……，α r ，但不是正交向量组，用施密特（Schmidt ）正交化方法可以将其转化为一组正交且单位化的向量组． ① 正交化：令 11αβ= 1111222,,ββββααβ><><−= 222231111333,,,,ββββαββββααβ><><−><><−= ……111122221111,,,,,,−−−−><><−−><><−><><−=r r r r r r r r r ββββαββββαββββααβL ② 单位化：令111ββγ=，222ββγ=，……，rr r ββγ=．（课后看教材P.156之例6和例7．） 三、正交矩阵1.定义：设A 为n 阶实方阵，若A T A = I ，则称A 为n 阶正交方阵．2.性质：① 若A A T = I ，则A 为正交矩阵； ② 若A T = A -1 ，则A 为正交矩阵； ③ 若A 为正交矩阵，则行列式1±=A ；④ n 阶实方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量为一个相互正交的单位向量组；（用定义A T A = I 说明）⑤ n 阶实方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量为一个相互正交的向量组；⑥ 若A ，B 为n 阶正交矩阵，则AB ，BA 也是n 阶正交矩阵；因 ( AB )T ( AB ) = B T A T AB = B T B = I ． ⑦ 正交矩阵的特征值的模等于1 ．（证明略） 四、向量的正交变换：1.定义：设A 为n 阶正交矩阵，X 为任意一个n 维向量，则称Y = A X为正交变换．2.重要性质：向量X 经正交变换后长度（模）不变．因 X X X AX A X AX AX Y Y Y =====T T T T T )()( ．3.推论：两个向量做相同正交变换后，内积不变，几何图形的形状不变． 五、实对称矩阵1. n 阶实对称矩阵A 的性质：[ 简单性质：A A A A A A ===T T )(,,]① 特征值都是实数；② 不同特征值对应的特征向量正交；证明： A T = A ， AX 1 = λ1X 1 ， AX 2 = λ 2 X 2 ， λ1 ≠ λ 2 ；( AX 1 ) T = ( λ1X 1 ) T ， ( X 1 ) T A T = λ1 ( X 1 ) T ；( X 1 ) T A = λ1 ( X 1 ) T ， ( X 1 ) T A X 2 = λ1 ( X 1 ) T X 2 ；λ 2 ( X 1 ) T X 2 = λ1 ( X 1 ) T X 2 ， ( λ 2 - λ1)[ ( X 1 ) T X 2 ] = 0 ；( X 1 ) T X 2 = 0 ．③ 有n 个线性无关的实特征向量；④ 必有正交矩阵P ，使得P -1AP = P T AP = D = diag( λ1, λ2,…, λn )其中λ1, λ2,…, λn 恰为A 的n 个特征值（重根按重数依次计入）；（证明：略）2.把n 阶实对称矩阵A 用正交矩阵对角化的步骤： ① 求出A 的相异特征值λ1, λ2,…, λ 5 ；② 对每个特征值λ i ，求出( λ i I – A ) X = 0 的一个基础解系，然后再正交化、单位化；③ 将求得的n 个相互正交的单位特征向量X 1, X 2, ……, X n 作为列向量排成矩阵P （就是所求的正交矩阵）；④ 计算),,,,,diag(11s i i T λλλλ==−L L AP P AP P ，即为所求（n 个对角元素的值可能有重复）． 六、例题（P.162例9亦P.132例4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A ，求正交矩阵P ，使P T AP 为对角矩阵．解：① 由A 的特征方程0=−λA I ，求其特征值λ：1221105551222122210−λ−−−λ−+λ−λ−λ−λ=−λ−−−−λ−−−−λ=−λ=A I 2)1)(5(10211005+λ−λ=+λ−−λ−+λ−λ=解得51=λ，132−=λ=λ；② 求对应51=λ的特征向量，解齐次线性方程组 0X A I =−)5( ；由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=−000110112330330112422242224)5(A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→000110101 ，得同解方程组 ⎩⎨⎧=−=−003231x x x x ，令 33~x x = ， 则 3132~,~x x x x == ，得特征向量 []T1111=X ；单位化： T1313131⎥⎦⎤⎢⎣⎡=P ； ③ 求对应132−=λ=λ的特征向量，由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−=−−000000111222222222)(A I ，得同解方程组 0321=++x x x ，令 3322~,~x x x x == ，得特征向量 []T2011−=X ， []T3101−=X ； [与书不同，都对]正交化：[]T22011−==X α ，[][]TTT 22223331212101121101,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−−=><><−=αααααX X ；单位化： T22202121⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==ααP ， T333626161⎦⎤⎢⎣⎡−==ααP ； [与书不同] ④ 所求正交矩阵为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−==62031612131612131221P P P P ． [与书不同]本题附：① 可以验证 P T AP = diag ( 5, -1, -1 )．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=6203161213161213112221222162616102121313131T AP P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=1000100056203561213561213562616102121313131 ． ② 用书上的P ，同样也可以验证 P T AP = diag ( 5, -1, -1 )．作业(P.162)：1； 6.(1)； 8；附录：关于复矩阵的共轭问题① 复矩阵的共轭矩阵 —— 每一矩阵元都取共轭；即复矩阵A = (ai j )的共轭矩阵为)(j ia=A．② 复向量的共轭向量 —— 每一元素都取共轭．。

正交矩阵标准正交基在线性代数中，正交矩阵和标准正交基是非常重要的概念，它们在矩阵和向量的运算中起着至关重要的作用。

本文将对正交矩阵和标准正交基进行详细的介绍，希望能够帮助大家更好地理解和运用这些概念。

首先，让我们来了解一下正交矩阵。

正交矩阵是指满足以下条件的实数方阵，其转置矩阵等于其逆矩阵，即满足条件$A^T A = I$，其中$I$为单位矩阵。

换句话说，正交矩阵的每一列都是单位向量，并且两两正交（即内积为0）。

正交矩阵具有许多重要的性质和应用，比如在旋转、镜像等几何变换中起着重要作用，同时在信号处理、图像处理等领域也有广泛的应用。

接下来，我们来介绍标准正交基。

在n维欧几里得空间中，如果一个基底中的向量组成正交矩阵，并且每个向量的模长为1，则称这个基底为标准正交基。

标准正交基在向量的表示、正交化、投影等问题中有着重要的作用，它能够简化向量运算的复杂度，同时也便于对向量空间进行分析和研究。

正交矩阵和标准正交基之间有着密切的联系。

事实上，正交矩阵的列向量就构成了一个标准正交基。

这是因为正交矩阵的列向量两两正交且模长为1，因此它们构成了一个标准正交基。

反之，任意一个标准正交基都可以通过正交化得到一个正交矩阵。

这种联系使得正交矩阵和标准正交基在理论和实践中都有着重要的地位。

在实际应用中，我们经常会遇到需要对矩阵进行正交化或者基底进行标准化的情况。

这时，我们可以利用正交矩阵和标准正交基的性质来简化计算，提高运算效率。

比如，在信号处理中，我们可以利用正交矩阵来进行信号的正交变换，从而简化信号的处理和分析；在机器学习中，我们可以利用标准正交基来表示特征向量，从而简化特征空间的计算和分析。

总之，正交矩阵和标准正交基是线性代数中非常重要的概念，它们在向量空间的表示、运算和分析中起着至关重要的作用。

通过深入理解和熟练运用这些概念，我们可以更好地解决实际问题，提高工作效率，同时也能够更深入地理解线性代数的理论和方法。