实对称矩阵的相似对角化◼向量的内积与施密特正交化方法◼实对称矩阵的特征值与特征向量◼实对称矩阵的相似对角化➢向量的内积与施密特正交化方法主要内容◼向量的内积◼施密特正交化方法向量的内积◼向量内积的定义◼性质及应用举例在解析几何中知道，{},,i j k 123123,,a i a j a k b i b j b k αβ=++=++则α与β的数量积112233a b a b a b αβ⋅=++设三维向量空间中若的向量可定义数量积运算. 是三维向量空间中互相垂直的单位向量,向量的许多性质如长度、夹角、垂直关系都可由此来表示. 受此启发，可以在n维向量空间中引入类似运算，并由此描述向量之间的所谓“正交”关系.在本节中只限于在n维实向量空间上讨论.⚫向量的内积定义112(,,,)n a a a α=12(,,,)n b b b β=是实n 维向量空间R n 中任两向量，1122(,)n n a b a b a b αβ=+++1(,)n i i i a b αβαββαTT ====∑称实数为向量α与β的内积.(,)αβ设令1. 对称性=(,)(,)αββα3. 恒正性(,)0αα≥，2. 线性性+=+(,)(,)(,)αβγαγβγ=(,)(,)k k αβαβ当α≠0时, (,)0αα>⚫向量内积的性质易见向量的正交是三维空间中向量互相垂直关系的自然推广. 若，=(,)0αβ定义2称向量α与β正交.由定义，零向量与任何向量正交. 定义3(,)αα为α的长，设α是n 维向量，若|α|=1，称α为单位向量.记为|α|. 称易见|α|=0当且仅当α为零向量. k α=对于非零向量α ,1ααα︒=的长对任何α≠0，有|α|＞0，且有的单位化..k α(,)k k αα=2(,)k αα=α︒称为1ααα︒=称为单位化公式.α1 1.ααα︒==定义4若正交向量组中每个向量都是单位向量，设α1,α2,…,αs 是一组非零向量,若其中任两个向量都是正交的，则称其为一个正交向量组.仅由一个非零向量组成的向量组也称为正交向量组.则称其为标准正交组(或单位正交组).正交向量有下列性质:定理1(1)若β 与α1,α2,…,αm 的每一个向量正交, (2)若α1,α2,…,αm 是正交组,设α1,α2,…,αm 是R n 中的向量组，则β 必与α1,α2,…,αm 的任一线性组合正交.它们必线性无关. 则有任一线性组合,(1) 若，(i =1,2,…,m ).(,)=0i αβ证:0=1122(,)(,)m m k k k βγβααα=+++1122(,)(,)(,)m m k k k βαβαβα=+++故β与γ正交.由内积的线性性，γ= k 1α1+k 2α2+…+k m αm 是α1,α2,…,αm 的设(2) 设k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0,两边作内积运算，得11121211(,)(,)(,)=(,0)=0m m k k k ααααααα+++由于α1,α2,…,αm 两两正交, 1(,)=0j αα，则当j ≠ 1 时, 即k 1|α1|2=0.111(,)=0.k αα于是得到由于α1是非零向量，因此k 1=0.故|α1|≠0，用α1与其用αi 替代α1重复以上论证,故α1,α2, …, αm 线性无关. 可得k i =0，证毕.i =2,…, m ，定理1表明，在R n中正交向量组至多这是因为在R n中至多有n个含有n个向量，线性无关的向量.⚫应用举例例11(1,2,1,1),α=−2(1,1,0,1),α=−3(1,1,3,2)α=−，则设是R 4 中正交123,,ααα但不是标准正交组.向量组，这是因为解12,12010αα=−++=（）13,12320αα=−+−+=（）23,11020αα=−−++=（）123,,ααα是正交组. 114117α=+++=211013α=+++=，3119415α=+++=故α1,α2,α3 都不是单位向量.故而把它们单位化，令1111211,,,77777βα−⎛⎫== ⎪⎝⎭221111,,0,3333βα⎛⎫−== ⎪⎝⎭3311132,,,1515151515βα⎛⎫−== ⎪⎝⎭则β1,β2,β3是标准正交组.。
