14正交化及正交矩阵

正交矩阵及正交变换一、正交矩阵定义1 如果n 阶方阵A 满足T T AA A A E==( 即 ) 1TA A -=称 A 为正交矩阵. 性质 设A ,B 都是n 阶正交矩阵，则(1) |A |＝±1；(2) A T , A －1, AB 也是正交矩阵.一、正交矩阵正交矩阵举例cos sin .sin cos A θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭(2) 旋转矩阵(1) n 阶单位矩阵 ;n E一、正交矩阵定理1 矩阵A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的行(列)向量组为规范正交向量组. 证明 设11121121222212,n n n n nn n a a a a a a A a a a ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭一、正交矩阵()1212,,,T T T T n n AA E Eαααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=⇔= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭121111222212T T T n T T T n T T T n n n n Eαααααααααααααααααα⎛⎫ ⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()1,;,1,2,,0,T j i i j i j n i j αα=⎧⇔==⎨≠⎩当当二、正交变换性质 正交变换保持向量的长度不变． 证明 ,y Px =设为正交变换T y y y =则有定义2 若P 为正交矩阵,则线性变换 y=Px 称为正交变换．T T Px x P =.Tx x x ==三、举例判别下列矩阵是否为正交矩阵．11213(1)12112.13121A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭解 ,021********≠⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯所以它不是正交矩阵．考察矩阵的第一列和第二列，由于 例1三、举例1111222211112222(2)110022110022B ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,,.B B 的每个列向量都是单位向量且两两正交所以是正交矩阵解谢谢！。

正交矩阵与正交化方法正交矩阵是线性代数中的重要概念，是指满足矩阵的转置矩阵与原矩阵的乘积等于单位矩阵的方阵。

一、正交矩阵的性质正交矩阵具有以下几个重要性质：1.正交矩阵的行列式的值为±12.正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。

3.正交矩阵的行向量（列向量）是相互正交的单位向量。

4.正交矩阵的任意两行（列）向量的内积等于0。

正交化方法是将一组线性无关的向量组通过线性变换，得到一组相互正交的向量组的过程。

常用的正交化方法有施密特正交化和正交分解法。

施密特正交化方法是基于施密特正交基的概念，通过一系列线性变换，将一组线性无关的向量组转化为一组正交基。

具体的步骤如下：a)选取第一个向量作为正交基的第一个元素。

b)对于向量组中的其他向量，通过将其与正交基的前面的向量进行正交投影，使其与前面的向量正交。

c)重复上述步骤，直到得到一组相互正交的基向量。

2.正交分解法正交分解法是将一个向量表示为一组正交基向量的线性组合的过程。

具体的步骤如下：a)选取一组正交基向量。

b)计算向量在每个正交基向量上的投影（即向量在每个基向量上的内积）。

c)将每个投影与对应的基向量相乘，并求和，得到向量的正交分解。

三、应用实例正交矩阵和正交化方法在实际应用中有着广泛的应用。

以下是一些应用实例：1.3D图形学正交矩阵在3D图形学中用于旋转和缩放三维物体。

通过将物体的顶点坐标与旋转矩阵相乘，可以实现对物体的旋转操作。

2.特征值问题正交矩阵在解决特征值问题中起到重要作用，可以通过正交变换将原始矩阵对角化，便于求解特征值和特征向量。

3.数据压缩正交矩阵在数据压缩领域具有重要应用。

通过正交变换将数据压缩到低维空间，可以降低数据的维度，提高数据传输和存储的效率。

4.信号处理正交矩阵在信号处理中有着广泛的应用，如正交频分复用技术（OFDM）和正交编码技术。

通过正交变换可以将多个信号进行隔离和恢复，提高信号传输的可靠性。

5.图像处理正交矩阵在图像处理中被用于图像压缩、降噪和图像分析等方面。

目录1. 引言……………………………………………………………………………………………………(1)2. 正交矩阵的基本知识………………………………………………………………………………(2) 2.1正交矩阵的定义与判定………………………………………………………………………………(2)2.2 正交矩阵的性质 (3)3.正交矩阵在数学中的应用…………………………………………………………………………(4)3.1正交矩阵在线性代数中的应用………………………………………………………………………(4) 3.2正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用………………………………………………………………(10) 4.正交矩阵在化学中的应用…………………………………………………………………………(13)sp杂化轨道…………………………………………………………………………………………4.1 3(14) 4.2 sp杂化轨道…………………………………………………………………………………………(16)5.正交矩阵在物理学中的应用 (17)6. 结论 (20)参考文献 (21)致谢 (22)摘要如果n阶实矩阵A满足T,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的．AA E本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．关键词：正交矩阵；初等旋转矩阵；标准正交基；原子轨道的杂化；曲率；挠率AbstractIf a n-dimensional real matrix A satisfies EAA T ,we call it orthogonal matrix. Orthogonal matrix is extracted by inner product.This paper enumerats the applications of orthogonal matrix in linear algebra, chemistry, and physics. Schimidt method is always used to find the standard orthogonal basis in linear algebra. A special kind of orthogonal matrix, namely elementary rotational matrix, is established to find the standard orthogonal basis in this paper. The orbital atom heterozygous is actually made by a team of mutually orthogonal unit basis vector, through linear transformation into another group of mutually orthogonal unit basis in linear algebra. The transition matrix of a group of standard orgthogonal basis to another group of standard orthogonal basis is an orthogonal matrix. Therefore, properties of orthogonal basis can be used to find the orbital atom heterozygous. In physics, any rigid motion corresponds with an orthogonal matrix. The curvature and torsion rate are proved to be two invariants when a curve is in rigid motion.Keywords:Orthogonal matrix; Elementary rotation matrix; Standard orthogonal basis; The orbital atom heterozygous; Curvature;Torsion rate1引言因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论.矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和列数相等也可以不等.矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法.利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决.矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反.凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章.1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告,系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果.凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭,剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了大量的数学论文.1855年,埃米特(C.Hermite,1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等.后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831.1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质.泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论.在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849～1917)的贡献是不可磨灭的.他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题.1892年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式.傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的.矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用.本文主要介绍正交矩阵与其应用.我们把n 阶实数矩阵A 满足E AA T =,称A 为正交矩阵.尽管我们在这里只考虑实数矩阵,但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵.正交矩阵是由内积自然引出的,要看出其与内积的联系,考虑在n 维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v .v 的长度的平方是2v .如果矩阵形式为Qv 的线性变换保持了向量长度,所以有限维线性等距同构,比如旋转、反射和它们的组合,都产生正交矩阵.本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三大应用.其中,在线性代数中,求标准正交基除了用Schimidt 正交化方法外,本文论证了正交矩阵的其中一种矩阵...初等旋转矩阵也可以求任一矩阵的标准正交基,此法用实例与Schimidt 正交化方法对比;在化学上,根据原子轨道的杂化理论,杂化的原子都有其轨道杂化式,对于形成对阵的原子轨道杂化,利用正交矩阵的性质可以求解该原子杂化轨道的杂化轨道式;在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动,其曲率和挠率是不变的,本文考察了曲线做刚体运动时的不变量——曲率和挠率. 2正交矩阵的基本知识本文中在没有特别说明的情况下,A 都表示为正交矩阵,记矩阵A 的秩为()r A ,i α与j α为矩阵A 的第i 列与第j 列,T i α表示矩阵A 的第i 行. det A 表示行列式的值即det A =A .2.1正交矩阵的定义与判定定义2.1.1[3] n 阶实数矩阵A 满足E AA T =（或E A A T =,或E AA =-1）,则称A 为正交矩阵.判定2.1.2 矩阵A 是正交矩阵⇔1T A A -=;判定2.1.3 矩阵A 是正交矩阵⇔1()(,1,2,0(),T i j i j i j i j αα=⎧==⎨≠⎩，)n ; 判定2.1.4 矩阵A 是正交矩阵⇔1()(,1,2,,0(),T i j i j i j i j αα=⎧==⎨≠⎩)n ; 备注：判定一个是方阵A 是否为正交矩阵往往用定义,即E AA T =（或E A A T =,或E AA =-1）,也可以验证A 的行向量或列向量是否是两两正交的单位向量.2.2 正交矩阵的性质若A 是正交矩阵,则A 有以下性质([3])：性质2.2.5 1A =±,则A 可逆,且其逆1-A 也为正交矩阵.证明 显然1±=A . ()()()111---==A A A T TT所以1-A 也是正交矩阵. 性质2.2.6 *A ,T A ,也是正交矩阵, 即有: (1)当1A =时, *A A T =, 即*()T ij A A =;(2)当1A =-时, *A A T =, 即*()T ij A A =-.证明 若A 是正交矩阵,1T A A -=, 由性质2.2.5,T A 为正交矩阵. 因为A A A A A T *1,1==±=-,所以,当1A =时, *A A T =, 即*()T ij A A =;当1A =-时. *T A A =-, 即*()T ij A A =-.从而*A 为正交矩阵.性质2.2.7 (1,2,)k A k =是正交矩阵.证明 因为()()k T T kA A =,所以()()()T k kk k T k T A A AA E A A ===.因此,k A 也是正交矩阵 性质2.2.8 lA 是正交矩阵的充分必要条件是1±=l .证明 必要性 若lA 是正交矩阵,则另一方面()()()1211T lA lA lA lA l AA --===,一方面()T lA lA E =,于是,21l =,1±=l ;充分性 因为A 是正交矩阵,若1±=l ,显然lA 也是正交矩阵.性质2.2.9 若B 也是正交矩阵, 则AB ,B A T ,T AB ,B A 1-,1-AB 都为正交矩阵.证明 由11,--==B B A A T T 可知()()111---===AB A B A B AB T T T , 故AB 为正交矩阵.同理推知B A T ,T AB ,B A 1-,1-AB 均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果λ是它的特征值, 那么λ1也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在可逆矩阵T , 使 11n A T T λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中n λλ,,1 为A 的全部特征值, 即()11,2,,i i n λ==. 这些性质证明略.3.正交矩阵在数学中的应用3.1 正交矩阵在线性代数中的应用在线性代数中我们通常用施密特方法求标准正交基,现在可以用正交矩阵中的一种殊矩阵求标准正交基---初等旋转矩阵即Givens 矩阵.定义3.1[1] 设向量()12,,,,0,,,T i k n t t T t t t s c d s s==≠==则称n 阶矩阵1000100000010010000001001ik c d i G d c k i k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为向量T 下的Givens 矩阵或初等旋转矩阵,也可记作(),ik ik G G c s =.下面给出Givens 矩阵的三个性质[2],[10] 性质3.1.1 Givens 矩阵是正交矩阵.证明 由2222221i k t t c d s s +=+=,则G T ik ik G E =,故ik G 是正交矩阵. 性质3.1.2 设()()1212,,,,,,,T Tn ik n T t t t y G T y y y ===,则有 ,0,(,)i k j j y s y y t j i k ===≠.证明 由ik G 的定义知, (,)j j y t j i k =≠,且22,i k i i k t t y ct dt s s s =+=+=0i k i k k i k t t t t y dt ct s s=-+=-+=, 即ik G 右乘向量T ,只改变向量T 第i 和第k 个元素,其他元素不变.性质 3.1.3 任意矩阵A 右乘ik G ,ik AG 只改变A 的第i 列和k 列元素; 任意矩阵左乘ik G ,ik G A 只改变A 的第i 行和k 行元素.证明 由性质3.1.2和矩阵乘法易得结论.引理3.1.4[2] 任何n 阶实非奇异矩阵 , ()n n ij a A ⨯= 可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理3.1.5[10] 设Q 是n 阶正交矩阵()I 若1Q =, 则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即12r Q Q Q Q =; ()II 若1Q =-, 则Q 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -, 即12r n Q Q Q Q E -=, 其中(1,2,)i Q i r =是初等旋转矩阵.（1111n n nE -⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪-⎝⎭）.证明 由于Q 是n 阶正交矩阵,根据引理3.1.4知存在初等旋转矩阵12,,,r S S S , 使121r r S S S S Q R -=（这里R 是n 阶上三角阵）,而且R 的主对角线上的元素除最后一个外都是正的,于是12T T Tr Q S S S R =（3-11） 注意到Q 是正交矩阵,由（3-11）式得,112T T T TTr r Q Q R S S S S S R E ==,即E R R =' （3-12）设R =11121222n nnn r r r r r r ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭,其中,0(1,2,,1)ii r i n >=- ,则T R R =11122212n n nn r r r r r r ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11121222n nnn r r r r r r ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.由上式得0,(,1,2,,1)1,(,1,2,,1)11,1 1.ij i j i j n i j i j n r i j n Q i j n Q ≠=-⎧⎪==-⎪=⎨===⎪⎪-===-⎩且且所以 1,1n E Q R E Q -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩，当当 , （3-13） 即,当1Q =时,12T T T r Q SS S S =;当1Q =-时, 12T T T r Q S S S =n E -.记(1,2,,)T i i S Q i r ==,注意到i Q 是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.引理3.1.6[1]设1()ij n m R A a A m A Q O ⨯⎛⎫===⎪⎝⎭，秩（），则其中Q 是n 阶正交矩阵,1R 是m 阶上三角阵,O 是m m n ⨯-)(零矩阵. 定理 3.1.7[10] 设()ij n m A a A m ⨯==，r （）,则A 可以通过左连乘初等旋转矩阵,把T A 变为R O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的形式,其中R 是m 阶上三角阵,O 是m m n ⨯-)(矩阵. 证明 由引理3.1.6知1R A Q O ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中Q 是n 阶正交矩阵,1R 是m 阶上三角阵.又根据定理1知：11,1,1r n r Q Q E Q Q Q Q Q -⎧=-⎪=⎨=⎪⎩,则12,i Q i r =（，）是初等旋转矩阵. (I)当1Q =时,11211 T T r r R R A Q Q Q R R Q Q A O O ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，; (II)当1Q =-时,112r n R A Q Q Q E O -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,则111.T T r n n R R R Q Q A E E O O O --⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭记.显然,R 是m 阶上三角阵,当n m =时,R 与1R 除最后一行对应元素绝对相等、符号相反外,其余元素对应相等.当时n m >时,1R R =.综上,知本定理的结论成立.设112111n a a a α⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,122222n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭,,12m m m nm a a a α⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是欧氏空间n R 的子空间n V 的一组基, 记11121212221212()m m m n n nm a a a a aa A aa a ααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是秩为的n m ⨯的矩阵.若()ij n m A a ⨯=满足定理2的条件,则存在初等旋转矩阵12,,,r Q Q Q ,使1TT rR Q Q A O ⎛⎫= ⎪⎝⎭（3-14）且 12()Tr E QQ Q Q Q ==21()T T T r Q Q Q所以2121TT T T T T T rr Q Q Q E Q Q Q Q == （3-15）由（3-14）（3-15）两式知,对A 、E 做同样的旋转变换,在把A 化为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的同时,就将E 化成了T Q ,而Q 的前m 个列向量属于子空间nV .综上所述可得化欧氏空间的子空间nV 的一组基12,,,m ααα12((,,,),1,T i i i ni a a a i α==2,,)m 为一组标准正交基的方法:（1）由已知基12,,,m ααα为列向量构成矩阵()ij n m A a ⨯=;（2）对矩阵)(E A 施行初等旋转变换,化A 为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O R ,同时E 就被化为正交矩阵TQ ,这里R 是m 阶上三角阵;（3）取Q 的前m 个列向量便可得nV 的一组标准正交基. 显然,上述方法是求子空间nV 的一组标准正交基的另一种方法. 下面,我们通过实例对比Schimidt 正交化求标准正交基.例1 求以向量1(1,1,0,0)α=-,2(1,0,1,0)α=-,3(1,0,0,1)α=-为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解 方法一 用Schimidt 正交化把它们正交化：'11(1,1,0,0)εα==-,''2122''11(,)11(,,1,0)(,)22αεεαεε=-=--,'''''31323312''''1122(,)(,)111(,,,1)(,)(,)333αεαεεαεεεεεε=--=---再把每个向量单位化,得'11'11(εεε==, '22'21(εεε==, '33'31(2εεε==. 即,1T ε,2T ε,3T ε就是由123,,T T Tααα,得到的3V 的一组标准正交基. 方法二 （利用连乘初等旋转矩阵） 设矩阵123111100(,,)010001A ααα---⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ,23T ,34T ,12T=000000100001⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,23T=100000000001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,34T=100010010021002⎛⎫ ⎪ -⎪ ⎪ -⎪⎝⎭, 得34T 23T 12T )(E A=0020060023111102222⎫-⎪⎪⎪-⎪-⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭,则0011112222T P ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭,1212102102P ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪= ⎪-⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭, 取1(T P =, 2(T P =, 3(TP =.那么321,,P P P 就是由123,,T T Tααα,得到的3V 的一组标准正交基. 对比两者的解法,用Schimidt 正交化把它们正交化需要的是记公式,若向量的维数比较多的,计算比较麻烦,而用初等旋转矩阵则可根据向量组成的矩阵的特点来求其标准正交基.3.2 正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用全体n 阶正交矩阵作成的集合, 记为()n O , 从代数和拓扑的角度来看, 我们可以证明它构成一拓扑群, 并且进一步证明它是不连通的紧致lie 群.(1) ()n O 构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前, 先介绍一下相关的概念.定义 2.2.1[3]设G 是任一集合, R 是G 的子集构成的子集族, 且满足: 1、 结合G 与空集φ属于R ; 2、 R 中任意个集的并集属于R ; 3、 R 中任意有穷个集的交集属于R ;称R 是G 上的一个拓扑, 集合G 上定义了拓扑R , 称G 是一个拓扑空间.定义 2.2.2[3]如果G 是一个拓扑空间, 兵赋予群的机构, 使得群的乘法运算 :u G G G →⨯; 求逆运算 :v G G →;是连续映射, 就称G 为拓扑群.根据上面的定义, 我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群. <1> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间. <2> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群. <3> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群.证明 <1> 设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合, 以()ij a A =表示M 的一个代表元素. 我们可以把M 等同于2n 维欧氏空间2n E , 也就是将()ij a A =对应于2n E 的点()nn n a a a a a a ,,,,,,312211211 .R 是点集2nE 的子集族, 则2n E和φ都属于R ,R 中任意个集的并集属于R ,R 中有穷个集的交集也属于R , 可以验证2n E 构成一拓扑空间, 从而M 成为一拓扑空间. ()n O 是所有实元素的n 阶正交矩阵, 所以是M 的子集合, 于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑, 从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.<2> 10()n O C B A ∈∀,,由于矩阵的乘法满足集合律, 所以()()BC A C AB →20()st O E n n ,∈∃ ()A AE A E O A n n n ==∈∀,30()st A AO A n ,,'1=∃∈∀- E AA AA A A A A ====--'1'1所以正交矩阵作成的集合()n O 对于乘法运算可构成一群.<3> 对于<1>中的拓扑空间M 的拓扑, 定义矩阵乘法M M M m →⨯:设()()ij ij b B a A ==∀,, 则乘积()B A m ,的ij 个元素是∑=nk kj ikb a1现在M 具有乘积空间111E E E ⨯⨯⨯ (2n 个因子)的拓扑, 对于任何满足n j i ≤≤,1的j i ,, 我们有投影映射1:E M M M m ij →→⨯π, 将A 和B 的乘积()B A m ,映为它的第ij 个元素. 现在()∑==nk kj ik ij b a B A m 1,π是A 和B 的元素的多项式, 因此m ij π连续, 投影映射ij π是连续的,从而证明映射m 是连续的. 因为()n O 具有M 的子空间拓扑, 是M 的一个子拓扑空间,且由正交矩阵的性质<3>及上面的讨论知, 映射()()()n n n O O O m →⨯:也是连续的.()n O 中的矩阵可逆,定义求逆映射()()n n O O f →:,()()1-=∈∀A A f O A n . 由于合成映射()()1:E O O f n n ij →→π, 将()n O A ∈∀映为1-A 的第ij 个元素, 由正交矩阵的性质<2>,AA A *'=, 所以A A a ji ji =, 即()A A A f ji ij =π, A 的行列式及A 的代数余子式都是A 内元素的多项式, 且0≠A , 所以f ij π为连续的, 而投影映射ij π为连续的, 所以求逆映射()()n n O O f →:为连续的.至此, ()n O 又是一个拓扑空间,并且构成群, 对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射, 因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群, 称它为正交群.(2) ()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道以下有关的定义和定理.定义 2.2.3[4] 设G 为拓扑群, G 的拓扑为n 维实(或复)解析流形, 且映射()12121,-→g g g gG g g ∈∀21, 为解析流形G G ⨯到G 上的解析映射, 则称G 为n 维lie 群.定理 2.2.1[4]欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明 M A ∈∀(所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合), A 对应2n 维欧氏空间2n E的点()nn n a a a a a a ,,,,,312111211α,M 可作为2n 维欧氏空间. A 的行列式A det 为元素nn n a a a a a a ,,,,,312111211的解析函数, {}0det =∈A M A 为M 中的开子集. 这时, 按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形, 且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析, 故*M 为2n 维lie 群. ()n O为*M 的闭子集, 按诱导拓扑为子流形, ()n O 为lie 群.为了证明()n O 紧致, 根据定理内容, 只要证明M 等同于2n E 时, ()n O 相当于2nE 内的有界闭集. 设()n O A ∈∀, 由于E A A ='有∑==nj ik kjij ba 1δ n k i ≤≤,1对于任意的k i ,,定义映射E M f ik →: M A ∈∀ ()∑==nj kj ij ik b a A f 1则()n O 为系列各集合的交集()01-ik f n k i ≤≤,1 k i ≠()11-ii f n i ≤≤1由于()n k i f ik ≤≤,1都是连续映射, 所以上述每个集合都是闭集. 因此()n O 是M 的有界闭集, 这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群, 我们称为紧lie 群, 所以()n O 是紧lie 群. (3) ()n O 是不连通的定义 2.2.4[3]设X 是一个拓扑空间, X 中存在着两个非空的闭子集A 和B , 使XB A = 和φ=B A 成立, 则称X 是不连通的.证明 我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合, S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成的集合. 因为()1:det E SO n →是连续映射, 而我们知道单点集{}1是1E 的闭集,()()1det 1-=n SO , 在连续映射下, 任何一个闭集的原象也是闭集, 所以()n SO 也为闭集,()n SO 为()n O 的闭集, 同理, 我们也可以证明S 是闭集, 因为()(),n n O S SO = ()φ=S SO n ,而()n SO 和S 是闭集, 有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的.4正交矩阵在化学中的应用原子轨道的杂化是在一个原子中不同原子轨道的线性组合.在结构化学原子轨道杂化理论中,原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合,从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为1nk ki i i c φφ==∑1,2,;1,2,i n k ==,k φ为新的杂化轨道,i φ为参加杂化的旧轨道,ki c 为第k 个杂化轨道中的第i 个参加杂化轨道的组合系数[4].在杂化过程中,轨道数是守恒的,并且杂化轨道理论有三条基本原则[5]： （1）杂化轨道的归一性.杂化轨道(1,2,)k k n φ=满足1k k d τφφ=⎰;（2）杂化轨道的正交性.0()k ld k l τφφ=≠⎰;（3）单位轨道贡献.每个参加杂化的单位轨道,在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位,即2222121nki i i ni k cc c c ==+++∑=1.由杂化轨道原理,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,那么原子轨道的杂化,就可以转化为求出正交矩阵,作线性变换的过程.4.1 3sp 杂化轨道.例 2 以甲烷分子的结构为例,激发态碳原子的电子组态为21111*(1)(2)(2)(2)(2)x y z c s s p p p ,这样在形成4CH 分子时,激发态碳原子的一个2s 原子轨道和3个2p 原子轨道进行杂化形成4个等同的3sp 杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s φ,2x p φ,2y p φ,2z p φ是一组相互正交的基向量,再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a φ,b φ,c φ,d φ,那么线性变换系数矩阵A 必为正交矩阵,即211121314221222324231323334414243442x y z s a p b p c d p a a a a a a a a a a a a a a a a φφφφφφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ = 2222x y z s p p p A φφφφ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. A 为正交矩阵,111213142144,,,,,,a a a a a a 分别是a φ,b φ,c φ,d φ在四个坐标轴的分量.在等性杂化中,四个基向量a φ,b φ,c φ,d φ在四个坐标轴上的分量是相等的,即由四个能量相近的原子轨道2s φ,2xp φ,2yp φ,2zp φ进行杂化时形成四个等同的3sp 杂化轨道,在四个杂化轨道上,原子轨道s 和p 成份完全相同.根据这些理论,我们来求正交矩阵A .因为A 是正交矩阵,由定义可得2222111213141a a a a +++=,即11121314a a a a ===,所以11241a =,得11121314a a a a ====12(取正值). 又因为是等性杂化轨道.有222211213141a a a a === ,222211121314a a a a +++=1, 所以11213141a a a a ====12（取正值）. 即得到22232432333442434411112222121212a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 又因22232411111022222a a a ⨯+++=,22222223241()12a a a +++=,222324a a a ==, 取符合条件的2212a =,2312a =,2412a =.同理,32333411111022222a a a ⨯+++=,22322333243411022a a a a a a ⨯+++=, 即32333412a a a ++=- ,32333412a a a --=-,得3212a =-,3334a a =-,取3312a =,3412a =-. 又42434411111022222a a a ⨯+++=, 42434411111022222a a a ⨯+--=, 42434411111022222a a a ⨯-+-=, 得4212a =-,4312a =-,4412a =-.所以,11112222111122221111222211112222A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪=⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ --⎪⎝⎭. 可以写出四个3sp 杂化轨道的杂化轨道式为22221()2x y za s p p p φφφφφ=+++,22221()2x y z b s p p p φφφφφ=+--,22221()2x y z c s p p p φφφφφ=-+-,22221()2x y z d s p p p φφφφφ=--+.4.2 sp 杂化轨道一个2s 和一个2p 原子轨道杂化形成两个sp 杂化轨道.同样,线性变换211112222122x s p a a a a φφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的系数矩阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正交矩阵. 根据等性杂化理论有2211211a a +=,1121a a =,2211121a a +=,于是,1121a a ==12a =. 又220a =,故,22a =,即,A ⎫⎪⎪=. 所以sp杂化轨道式为122)x s p φφφ=+. 5正交矩阵在物理中的应用任意刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动, 其曲率和挠率是不变的, 称它们为运动不变量.首先我们来简单认识曲率和挠率.曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度.曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大.limK sα∆=∆（α∆为角变量,s ∆为弧长）s ∆趋向于0的时候,定义K 就是曲率.即 ''''3||||r r K r ⨯=. 而挠率,它的绝对值度量了曲线上邻近两点的次法向量之间的夹角对弧长的变化率.平面曲线是挠率恒为零的曲线.空间曲线如不是落在一平面上,则称为挠曲线,又由于挠率体现了密切平面的扭转状况,通常说它表示了曲线的扭曲程度.曲线在某点的挠率记为τ,τ=''''2(,,)()r r r r r ⨯.下面, 我们来考察曲线作刚体运动时的不变量[6],[9].例3 设曲线()()()(){}1111,,r t x t y t z t =与曲线()()()(){},,r t x t y t z t =只差一个运动, 从曲线()1r t 到曲线()1r t 的变换为111213x x b y A y b z z b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3-21) 其中,111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是三阶正交矩阵, 123,,b b b 是常数. 对(3-21)两边求n 阶导数,得()()()()()()111n n n n n n x x y A y z z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 从而有'''''''''''''''1111213'''''''''''''''1212223'''''''''''''''1313233x x a x a y a z y A y a x a y a z z z a x a y a z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (3-22) 因为A 是正交矩阵, 所以也有()()1r t r t =. (3-23)另一方面, 由一阶, 二阶, 三阶导数, 可作成矩阵''''''111''''''''''''111''''''''''''''''''111T x y z x y z x y z x y z A x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 两边取行列式, 由det 1A =±,得'''''''''111''''''''''''''''''111'''''''''''''''''''''''''''111T x y z x y z x y z x y z x y z A x y z x y z x y z x y z ==±. 现在取()()()()()()()()111,,,,r t r t r t r t r t r t =可类似地讨论.因为'''111'''''''''''''''''''''111111111111'''''''''''''''''''''111111111x y z y z z x x y x y z x y z y z z x x y x y z =++, (3-24)'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''x y z y z z x x y x y z x y z yz z x xy x y z =++, (3-25) (3-22)代入(3-24)的右边,得()()()'''''''''''''''''''''''''''''''''111111111213212223313233''''''''''''111111y z z x x y a x ay a za x a y a za x a y a zyzzxzy++++++++='''''''''''''''111111112131''''''''''''111111y z z x x y a x a xa xy z z x x y ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭ +'''''''''''''''111111122232''''''''''''111111y z z x x y a y a ya yy zzxx y ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭+ '''''''''''''''111111132333''''''''''''111111y z z x x y a z a za zy z z x x y ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭. （3-26） 因(3-24)与(3-25)右边相等, 有(3-25)右边与(3-26)式右边相等,得''''''''111111112131''''''''''''''''111111y z z x x y y z a a a y z z x x y y z =++,''''''''111111122232''''''''''''''111111y z z x x y z x a a a yzzxxyz x=++,''''''''111111132333''''''''''''',111111y z z x x y z x a a a yzzxx y zx=++.由正交矩阵的性质2.2.6知, *()Tij A A =且由1(,1,2,3)njikj jk i AA j k δ===∑,将上面三式左右分别平方相加,222''''''''''''''''''y z z x x y y z zx xy++=2''22211111213''11()y z A A A y z +++2''22211212223''11()z x AA A zx+++2''22211313233''11()x y AA A x y ++=222''''''111111''''''''''''111111y z z x x y yzzxxy++.写成矢量函数, 即得''''''11()()()()r t r t r t r t →→→→⨯=⨯.于是我们可推得''''''11133''1()()()()()()r t r t r t r t K K r t r t →→→→→→⨯⨯===,''''''''''''1111'''''2211((),(),())((),(),())(()())(()())r t r t r t r t r t r t r t r t r t r t ττ→→→→→→→→→→===⨯⨯.这里的11,;,K K ττ分别是曲线1(),()r t r t →→的曲率与挠率.6结论矩阵是线性代数中的核心内容，而正交矩阵是一种常用的矩阵，它在正交变换理论中起着十分重要的作用，正交矩阵不仅在线性代数中，而且在理工各学科领域的数学方法中，如优化理论、计算方法、信息分析中都有着举足轻重的位置.本文对正交矩阵进行了较为深入的研究，得到了正交矩阵的一系列常用性质，相关性质的概括、改进和推广，以及正交矩阵在线性代数中、拓扑和近世代数中、物理及化学中的应用等的研究，对矩阵的理论研究有重要意义.参考文献[1] 陈景良,陈向晖.特殊矩阵[M].第一版.清华大学出版社,2001：353-360.[2] 程云鹏.矩阵论[M].第二版.西北工业大学出版社,1999：94.99,196-215.[3] 王萼芳,石生明.高等代数[M].第三版.北京：高等教育出版设,2007：162-392.[4] 周公度,段连运.机构化学基础[M].第4版.北京大学出版社,2009：79-187.[5] 王立东.数学[M].第一版.大连理工大学出版社,2008：63-74.[6] 赵成大等.物质结构[M].人民教育出版社, 1982：219-226.[7] 强元棨,程嫁夫.力学[M].上册.第一版.中国科学技术大学出版社,2005：332-53.[8] 张焕玲等.一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法[J].山东大学,1996.3,9卷（1）期：14-16.[9] 刘钊南.正交矩阵的作用[J].湘潭师范学院学报,1987.11.16： 3.[10] 陈少白.空间曲线的刚体运动基不变量[J]. 武汉科技大学学报,2003.12,26卷（4）期：424-426.[11] 刘国志.欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法—Givens变换法[J].抚顺石油学院学报,1996.3,16卷（1）期：78-81.致谢感谢父母,给了我生命,也让我懂得这世上什么是真情!当我们遇到困难的时候,会倾注所有一切来帮助我们的人是父母;当我们受到委屈的时候,能耐心听我们哭诉的人是父母.当我们犯错误时,能够毫不犹豫地原谅我们的人是父母;当我们取得成功的时候,会衷心为我们庆祝与我们分享成功的喜悦的,仍然是父母;而现在我们远在外地学习,依然牵挂着我们还是父母.感谢父母给予我爱,是您们让我感到骄傲与自豪!感谢老师,授予我知识!大学四年,不少老师给予我无微不至的关怀,这将成为我人生中难以忘怀的回忆.我不仅从您们身上学到许多专业知识,更多的是学到了为人处世的道理.在和您们的交流中,我对我的未来有了更好的规划.您们是我人生的航标,让我在迷茫时找到前进的方向;您们是我精神上的支柱,让我在困难时重新振作.大学四年,如果没有您们的博学知识,没有您们的倾注爱心,没有您们的谆谆善诱,我将不可能收获那么多.假如我能搏击蓝天,那是您们给了我腾飞的翅膀;假如我是击浪的勇士,那是您们给了我弄潮的力量;假如我是不灭的火炬,那是您们给了我青春的光亮!感谢帮助过我、教导过我的老师们,是您们,让我懂得给予与付出才是最重要的,是您们,让我明白做人就要不断进取,迎难而上,力争上游!本毕业论文是在我的导师的亲切关怀和悉心指导下完成的,他给我的论文提出了不少宝贵的意见;他严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.从课题的选择到项目的最终完成,老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持,在此谨向老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.。

第五章 二次型除特别指明外，本章都是在实数域内进行的讨论．§5.1 正交矩阵一、向量的内积1.定义：① 设有n 维行向量α = (a 1, a 2, ……, a n ) ，β = (b 1,b 2, ……, b n ) ，定义α与β的内积为： α βT = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …… + a n b n ． ② α 与 β 正交： α βT = 0 ．注：非零向量正交一定线性无关（反之不成立）．③ 对n 维列向量 α = (a 1, a 2, ……, a n )T ，β = (b 1,b 2, ……, b n )T ， α与β的内积为： α T β = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …… + a n b n ， α与β正交，则： α T β = 0 ．说明：①.我们采用符号<α,β>统一表示n 维向量α和β的内积．②.在大家熟知的三维普通空间，建立笛卡儿坐标系后，矢量（也称向量）k a j a i a a r r r r321++= 和 kb j b i b b r r r r 321++=可以作为特例．不过用行（或列）矩阵[即行（或列）向量]表示内积（亦称点积、数量积）b a rr ⋅时，必须写成[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⋅321321b b b a a a b a rr ． 2.性质：① 对称： α βT = β αT ；（ <α,β> = <β,α> ） ② 数乘（齐次）：( λ α ) βT = α ( λ βT ) = λ ( α βT ) ； ③ 分配（可加）：( α + β) γT = α γT + β γT ；④ 自身相乘非负： α αT ≥ 0 ；仅当 α = 0 时， α αT = 0 ． 3.向量的长度（或模）： 22221Tn a a a +++==L ααα ，为非负的实数．性质：① 非负：α≥ 0 ；仅当 α = 0 时， α αT = 0 ； ② 数乘（齐次）： ααk k = ；③ 单位向量及非零向量单位化：若1=α，则α为n 维单位向量．对非零向量α ，都可单位化：ααβ= ． ④ 三角不等式： βαβα+≤+ ； ⑤ 柯西-施瓦茨不等式：222T )(βαβα≤ ．二、向量正交化1.正交向量组定义：若向量组α1，α2，……，αs 中的向量两两正交，则称该向量组是一个正交向量组． 重要的n 维正交向量组：)0,,0,1(1L =e ，)0,,1,0(2L =e ，……，),,0,0(n n L =e ．2.向量组正交化方法（Schmidt 正交化方法）：有一线性无关的向量组α1，α2，……，α r ，但不是正交向量组，用施密特（Schmidt ）正交化方法可以将其转化为一组正交且单位化的向量组． ① 正交化：令 11αβ= 1111222,,ββββααβ><><−= 222231111333,,,,ββββαββββααβ><><−><><−= ……111122221111,,,,,,−−−−><><−−><><−><><−=r r r r r r r r r ββββαββββαββββααβL ② 单位化：令111ββγ=，222ββγ=，……，rr r ββγ=．（课后看教材P.156之例6和例7．） 三、正交矩阵1.定义：设A 为n 阶实方阵，若A T A = I ，则称A 为n 阶正交方阵．2.性质：① 若A A T = I ，则A 为正交矩阵； ② 若A T = A -1 ，则A 为正交矩阵； ③ 若A 为正交矩阵，则行列式1±=A ；④ n 阶实方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量为一个相互正交的单位向量组；（用定义A T A = I 说明）⑤ n 阶实方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量为一个相互正交的向量组；⑥ 若A ，B 为n 阶正交矩阵，则AB ，BA 也是n 阶正交矩阵；因 ( AB )T ( AB ) = B T A T AB = B T B = I ． ⑦ 正交矩阵的特征值的模等于1 ．（证明略） 四、向量的正交变换：1.定义：设A 为n 阶正交矩阵，X 为任意一个n 维向量，则称Y = A X为正交变换．2.重要性质：向量X 经正交变换后长度（模）不变．因 X X X AX A X AX AX Y Y Y =====T T T T T )()( ．3.推论：两个向量做相同正交变换后，内积不变，几何图形的形状不变． 五、实对称矩阵1. n 阶实对称矩阵A 的性质：[ 简单性质：A A A A A A ===T T )(,,]① 特征值都是实数；② 不同特征值对应的特征向量正交；证明： A T = A ， AX 1 = λ1X 1 ， AX 2 = λ 2 X 2 ， λ1 ≠ λ 2 ；( AX 1 ) T = ( λ1X 1 ) T ， ( X 1 ) T A T = λ1 ( X 1 ) T ；( X 1 ) T A = λ1 ( X 1 ) T ， ( X 1 ) T A X 2 = λ1 ( X 1 ) T X 2 ；λ 2 ( X 1 ) T X 2 = λ1 ( X 1 ) T X 2 ， ( λ 2 - λ1)[ ( X 1 ) T X 2 ] = 0 ；( X 1 ) T X 2 = 0 ．③ 有n 个线性无关的实特征向量；④ 必有正交矩阵P ，使得P -1AP = P T AP = D = diag( λ1, λ2,…, λn )其中λ1, λ2,…, λn 恰为A 的n 个特征值（重根按重数依次计入）；（证明：略）2.把n 阶实对称矩阵A 用正交矩阵对角化的步骤： ① 求出A 的相异特征值λ1, λ2,…, λ 5 ；② 对每个特征值λ i ，求出( λ i I – A ) X = 0 的一个基础解系，然后再正交化、单位化；③ 将求得的n 个相互正交的单位特征向量X 1, X 2, ……, X n 作为列向量排成矩阵P （就是所求的正交矩阵）；④ 计算),,,,,diag(11s i i T λλλλ==−L L AP P AP P ，即为所求（n 个对角元素的值可能有重复）． 六、例题（P.162例9亦P.132例4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A ，求正交矩阵P ，使P T AP 为对角矩阵．解：① 由A 的特征方程0=−λA I ，求其特征值λ：1221105551222122210−λ−−−λ−+λ−λ−λ−λ=−λ−−−−λ−−−−λ=−λ=A I 2)1)(5(10211005+λ−λ=+λ−−λ−+λ−λ=解得51=λ，132−=λ=λ；② 求对应51=λ的特征向量，解齐次线性方程组 0X A I =−)5( ；由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=−000110112330330112422242224)5(A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→000110101 ，得同解方程组 ⎩⎨⎧=−=−003231x x x x ，令 33~x x = ， 则 3132~,~x x x x == ，得特征向量 []T1111=X ；单位化： T1313131⎥⎦⎤⎢⎣⎡=P ； ③ 求对应132−=λ=λ的特征向量，由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−=−−000000111222222222)(A I ，得同解方程组 0321=++x x x ，令 3322~,~x x x x == ，得特征向量 []T2011−=X ， []T3101−=X ； [与书不同，都对]正交化：[]T22011−==X α ，[][]TTT 22223331212101121101,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−−=><><−=αααααX X ；单位化： T22202121⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==ααP ， T333626161⎦⎤⎢⎣⎡−==ααP ； [与书不同] ④ 所求正交矩阵为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−==62031612131612131221P P P P ． [与书不同]本题附：① 可以验证 P T AP = diag ( 5, -1, -1 )．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=6203161213161213112221222162616102121313131T AP P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=1000100056203561213561213562616102121313131 ． ② 用书上的P ，同样也可以验证 P T AP = diag ( 5, -1, -1 )．作业(P.162)：1； 6.(1)； 8；附录：关于复矩阵的共轭问题① 复矩阵的共轭矩阵 —— 每一矩阵元都取共轭；即复矩阵A = (ai j )的共轭矩阵为)(j ia=A．② 复向量的共轭向量 —— 每一元素都取共轭．。