直线、平面平行的判定及其性质

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♥ 知识梳理 ♥

一、直线与平面平行的判定与性质

判 定 性 质

图形

条件

结论

二、面面平行的判定与性质

判 定 性 质

图形

条件 无公

共点

a，b⊂βa

∩b＝P a∥

αb∥α

a′∩b′＝P′a∩b＝P

a∥a′b∥b′

a′，b′⊂βa，b⊂α α∥ββ∩γ＝bα∩γ＝a

α∥β a⊂β

结论 a∥b

a∥α

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Page 2 of 9 ♥ 究疑点 ♥

1．若一直线平行于平面α，那么平面α内的任一条直线与它有何位置关系？

2．若两平面平行，那么在一个平面内的任一条直线与另一个平面内的任一条直线有何位置关系？

3．如果一平面同时平行于两个平面，那么这两个平面有何位置关系？

♥ 考点突破 ♥

考点一：线面平行、面面平行的基本问题

1．已知直线a，b，平面α，满足a⊂α，则使b∥α的条件为 ( )

A．b∥a B．b∥a且b⊄α

C．a与b异面 D．a与b不相交

2．下列条件中，能判断两个平面平行的是 ( )

A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面

B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面

C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

3．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是 ( )

A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2

C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2

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Page 3 of 9 4．(2011·临沂模拟)已知m，n是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，有下列四个命题：

①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n. 其中正确的命题是 ( )

A．①② B．①③

C．①④ D．①③④

[归纳领悟]

解决有关线面平行，面面平行的判定与性质的基本问题要注意：

1．注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．

2．结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．

3．会举反例或用反证法推断命题是否正确．

考点二：直线与平面平行的判定与性质

1．在空间中，下列命题正确的是 ( )

A．若a∥α，b∥a，则b∥α

B．a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α

C．若α∥β，b∥α，则b∥β

D．若α∥β，a⊂α，则a∥β

2．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.

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Page 4 of 9 3 ．如图，在四棱锥ABCDP中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点

求证：（1）直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

[归纳领悟]

1．证明直线与平面平行，一般有以下几种方法：

(1)若用定义直接判定，一般用反证法；

(2)用判定定理来证明，关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；

(3)应用两平面平行的一个性质，即两平面平行时，其中一 个平面内的任何直线都平行于另一个平面．

2．线线平行与线面平行之间的转化体现了化归的思想方 法．

考点三：平面与平面的平行与判定

1．设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则

m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．

①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.

2．(2011·苏州模拟) 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证平面AB1 D1∥平面C1BD；

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Page 5 of 9 3. 如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点．求证：平面AD1E∥平面BGF；

变式：

条件变为E、F、G满足“DF∶D1F＝1∶2，DG∶DA＝1∶3，BE∶BB1＝2∶3”，求证平面AD1E∥平面BGF.

[归纳领悟]

判定平面与平面平行的方法：

1．利用定义

2．利用面面平行的判定定理

3．利用面面平行的判定定理的推论

4．面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)

5．利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)

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♥ 感悟真题 ♥

1．(2010·山东高考)在空间中，下列命题正确的是( )

A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行

C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行

2．(2010·浙江高考)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是

( )

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m

3．(2010·浙江高考第Ⅰ问)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC ＝120°，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点．

求证：BF∥平面A′DE；

♥ 限时训练 ♥(时间60分钟，满分80分)

一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)

1．(2011·滁州模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是( )

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

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2．(2011·江南十校)已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：

①若α∩β＝a，β∩γ＝b且a∥b，则α∥γ；

②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；

③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；

④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.

其中正确的是( )

A．①② B．②③

C．①④ D．③④

3．下列命题正确的是( )

A．直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行

B．如果两条直线在平面α内的射影平行，则这两条直线平行

C．垂直于同一直线的两个平面平行

D．直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直

4．给出下列命题：

①若直线a∥直线b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内；

②直线a∥平面α，平面α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的直线有且只有一条；

③a∥α，b、c⊂α，a∥b，b⊥c，则有a⊥c；

④过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行；

其中错误的个数是( )

A．0 B．1

C．2 D．3

5．(2010·无锡一模)下列命题中正确的个数是( )

①若直线a不在α内，则a∥α；

②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；

④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；

⑤平行于同一平面的两直线可以相交．

A．1 B．2

C．3 D．4