直线、平面平行的判定及其性质

直线、平面平行的判定及其性质

撰稿：江用科 责编：丁会敏

一、目标认知

学习目标：

1．理解并掌握直线与平面平行的判定定理；

2．理解并掌握两平面平行的判定定理；

3．掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；

4．掌握两个平面平行的性质定理及其应用.

重点：

1．直线与平面平行的判定定理及应用；

2．两个平面平行的判定；

3．两个性质定理.

难点：

1．直线与平面平行的判定定理及应用；

2．平面与平面平行的判定定理、例题的证明；

3．性质定理的证明和运用.

二、知识要点梳理

知识点一：直线和平面平行的判定

直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

简记为：线线平行，则线面平行.

符号表示：、，.

知识点二：两平面平行的判定

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

符号表示：若、，，且、，则.

知识点三：直线和平面平行的性质

直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 简记为：线面平行则线线平行.

符号表示：若，，，则.

知识点四：平面和平面平行的性质

平面和平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.

符号表示：若，，，则.

三、规律方法指导

1．直线、平面之间的平行关系：

线线平行线面平行面面平行.

2．有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：

空间之中两直线，平行相交和异面．

线线平行同方向，等角定理进空间．

判断线和面平行，面中找条平行线；

已知线和面平行，过线作面找交线．

要证面和面平行，面中找出两交线．

线面平行若成立，面面平行不用看．

已知面与面平行，线面平行是必然．

直线、平面平行的判定及其性质

知识点一、直线与平面平行的判定

ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）

位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行

公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点

符号表示 a⊂α a∩α=A a||α

图形表示

注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外

ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.（a||b）

直线与平面平行的判定

判 定

文字描述 直线和平面在空间永无交点，则直线和平面平行（定义） 平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行

图形

条件

a与α无交点

结论 a∥α b∥α

线线平行，则线面平行（线与面的平行问题一定要排除线在平面内的情况） 知识点二、直线与平面平行的性质

性质

文字描述 一条直线与一个平面平行，则这条直线与该平面无交点 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面相交，这条直线和交线平行．

图形

条件 a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b

结论 a∩α＝∅ a∥b

线面平行，则线线平行

特别提示

证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.

知识点三、平面与平面平行的判定

判定

文字描述 如果两个平面无公共点，则这两个平面平行 一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面平行。

图形

条件 α∩β＝∅ a， b⊂β

a∩b＝P

a∥α

b∥α l⊥α

l⊥β

结论 α∥β α∥β α∥β

知识点四、平面与平面平行的性质

性质

文字描述 如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面

直线与平面、平面与平面平行的判定

[学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.

知识点一 直线与平面平行的判定定理

语言叙述

符号表示 图形表示

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α

思考 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？

答 根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误.

知识点二 平面与平面平行的判定定理

语言叙述 符号表示 图形表示

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂αa∩b＝Aa∥β，b∥β⇒α∥β

思考 如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？

答 不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.

题型一 直线与平面平行的判定定理的应用

例1 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

求证：(1)EH∥平面BCD；

(2)BD∥平面EFGH.

证明 (1)∵EH为△ABD的中位线，

∴EH∥BD.

∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD， ∴EH∥平面BCD.

(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，

EH⊂平面EFGH，

∴BD∥平面EFGH.

跟踪训练1 在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC.

证明 如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.

因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，

所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1.

所以MN∥PQ.

又因为MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，

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页脚内容1 直线与平面平行的判定和性质

一、 教学目标

（一）本节知识点

1、知识与技能 （1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理； （2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力； 2、过程与方法 学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。 3、情感、态度与价值观 （1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性； （2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定定理，直线与平面平行的性质定理。

（二）课时安排

在学习了前面关于平面、空间直线等立体几何中的基础概念之后接触到的立体几何中的又一研究重点直线与平面的位置关系，所以本节内容处于一个承上启下的位置。安排用二个课时来完成。

（三）本堂课教学目标

1．教学知识目标

进一步熟悉掌握空间直线和平面的位置关系。理解并掌握直线与平面平行的判定定理及直线与平面平行的性质定理。

2．能力训练：掌握由“线线平行”证得“线面平行”和“线面平行”证得“线线平行”的数学证明思想。进一步培养学生的观察能力、空间想象力和类比、转化能力，提高学生的逻辑推理能力。

3．德育渗透：培养学生的认真、仔细、严谨的学习态度。建立“实践――理论――再实践”的科学研究方法。

（四）教学重点、难点

重点：直线与平面平行的判定和性质定理及应用。

难点：灵活的运用数学证明思想。

（五）教学方法：启发式、引导式、找错教学。多注重观察和分析，理论联系实际。

（六）教具：模型、多媒体设备

二、教学过程

（一）内容回顾

师：在上节课我们介绍了直线与平面的位置关系，有几种？ 可将图形给

以什么作为划分的标准？ 出引导作答

生：三种，以直线与平面的公共点个数为划分标准，分别是 直管公房服务承包合同