直线、平面平行的判定与性质

直线、平面平行的判定及其性质

撰稿：江用科 责编：丁会敏

一、目标认知

学习目标：

1．理解并掌握直线与平面平行的判定定理；

2．理解并掌握两平面平行的判定定理；

3．掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；

4．掌握两个平面平行的性质定理及其应用.

重点：

1．直线与平面平行的判定定理及应用；

2．两个平面平行的判定；

3．两个性质定理.

难点：

1．直线与平面平行的判定定理及应用；

2．平面与平面平行的判定定理、例题的证明；

3．性质定理的证明和运用.

二、知识要点梳理

知识点一：直线和平面平行的判定

直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

简记为：线线平行，则线面平行.

符号表示：、，.

知识点二：两平面平行的判定

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

符号表示：若、，，且、，则.

知识点三：直线和平面平行的性质

直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 简记为：线面平行则线线平行.

符号表示：若，，，则.

知识点四：平面和平面平行的性质

平面和平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.

符号表示：若，，，则.

三、规律方法指导

1．直线、平面之间的平行关系：

线线平行线面平行面面平行.

2．有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：

空间之中两直线，平行相交和异面．

线线平行同方向，等角定理进空间．

判断线和面平行，面中找条平行线；

已知线和面平行，过线作面找交线．

要证面和面平行，面中找出两交线．

线面平行若成立，面面平行不用看．

已知面与面平行，线面平行是必然．

1．线面平行的判定定理和性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α

性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β

性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b

【知识拓展】

重要结论： (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；

(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × )

(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( × )

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( × )

(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ )

(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × )

(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( ×

)

1．(教材改编)下列命题中正确的是( )

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．平行于同一条直线的两个平面平行

第四节 直线、平面平行的判定与性质 考试要求

1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．

[知识排查·微点淘金]

知识点1 直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言

图形语言 符号语言

判定

定理 ①如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) ②因为l∥a，a⊂α，l⊄α，所以l∥α

性质

定理 ③如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ④因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b

[微思考]

一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？

提示：不一定平行．该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面．

知识点2 平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定

定理 ①一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ②因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β

性质

定理 ③如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ④因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b

[微思考] 一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？

提示：平行．可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理．

常用结论

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．

(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

(5)同一条直线与两个平行平面所成角相等．

1

一、空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

2 圆柱的表面积

3 圆锥的表面积2rrlS

4 圆台的表面积22RRlrrlS

5 球的表面积24RS

二、空间几何体的体积

1柱体的体积 hSV底

2锥体的体积 hSV底31

3台体的体积 hSSSSV)31下下上上（

4球体的体积 334RV

三、直线、平面平行的判定与性质

1、直线与平面平行的判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，

用符号表示为a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α。

(1)运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备三个条件：

①平面外一条直线；②平面内一条直线；③两条直线相互平行．

(2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想．

(3)判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理；二是线面平行定义；三是面面平行的性质定理.

【例1】 如右图所示，已知P、Q是单位正方体ABCD—A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心．

求证：PQ∥平面BCC1B1.

证：如右图，取B1B中点E，BC中点F，连结PE、QF、EF，

∵△A1B1B中，P、E分别是A1B和B1B的中点，

∴PE 12 A1B1.同理QF 12AB.又A1B1AB，∴PEQF.

∴四边形PEFQ是平行四边形．

∴PQ∥EF.

又PQ⊄平面BCC1B1，EF⊂平面BCC1B1，

∴PQ∥平面BCC1B1.

222rrlS2

2、平面与平面平行的判定定理

一个平面内的两条相交直线 与另一个平面相交直线，则这两个平面平行．用符号表示为：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α