直线、平面平行的判定及其性质

1 直线、平面平行的判定及其性质

一、知识概述

本节内容主要学习的是空间直线和平面、平面和平面平行的判定及其性质，先通过直观感知和操作确认的方法，概括出直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，然后再对归纳出的直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质作出严密的逻辑论证．通过对图形的观察、实验和推理，使同学们进一步了解空间的直线、平面平行关系的基本性质及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题．

二、重难点知识归纳

1、平面

(1)平面概念的理解

直观的理解：桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直观的印象，但它们都不是平面，而仅仅是平面的一部分．

抽象的理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄．

(2)平面的表示法

①图形表示法：通常用平行四边形来表示平面，有时根据实际需要，也用其他的平面图形来表示平面．

②字母表示：常用等希腊字母表示平面．

(3)涉及本部分内容的符号表示有：

①点A在直线l内，记作；

②点A不在直线l内，记作；

③点A在平面内，记作；

④点A不在平面内，记作；

⑤直线l在平面内，记作；

⑥直线l不在平面内，记作；

注意：符号的使用与集合中这四个符号的使用的区别与联系．

(4)平面的基本性质

公理1：如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．

符号表示为：．

注意：如果直线上所有的点都在一个平面内，我们也说这条直线在这个平面内，或者称平面经过这条直线． 2 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

符号表示为：直线AB存在唯一的平面，使得．

注意：“有且只有”的含义是：“有”表示存在，“只有”表示唯一，不能用“只有”来代替．此公理又可表示为：不共线的三点确定一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

符号表示为：．

注意：两个平面有一条公共直线，我们说这两个平面相交，这条公共直线就叫作两个平面的交线．若平面、平面相交于直线l，记作．

公理的推论：

推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．

2．空间直线

(1)空间两条直线的位置关系

①相交直线：有且仅有一个公共点，可表示为;

②平行直线：在同一个平面内，没有公共点，可表示为a//b;

③异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．

(2)平行直线

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

符号表示为：设a、b、c是三条直线，．

定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．

(3)两条异面直线所成的角

注意：①两条异面直线a，b所成的角的范围是（0°，90°]．

②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出．

③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法：

(i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点．

(ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现．

(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围．

3．空间直线与平面

直线与平面位置关系有且只有三种：

(1)直线在平面内：有无数个公共点； 3 (2)直线与平面相交：有且只有一个公共点；

(3)直线与平面平行：没有公共点．

4．平面与平面

两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：

(1)两个平面平行：没有公共点；

(2)两个平面相交：有一条公共直线．

5．直线与平面平行的判定

(1)直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，我们就说这条直线与这个平面平行．

(2)直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．

符号表示为：．

注意：这个定理是证明直线与平面平行最常用的一个定理，也就是说欲证明一条直线与一个平面平行，一是说明这条直线不在这个平面内，二是要证明已知平面内有一条直线与已知直线平行．

6．两个平面平行的判定

(1)两个平面平行的定义：两个平面没有公共点，则两个平面平行．

(2)平面与平面的平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

符号表示为：．

注意：这个定理的另外一种表达方式为“如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行”．

(3)平行于同一平面的两个平面互相平行．即．

7．直线与平面平行的性质

(1) 直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．

符号表示为：．

注意：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的无数条直线平行，但不能误解为“如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线就和平面内的任意一条直线平行”．

(2)直线与平面平行的性质：过平面内一点的直线与该平面平行的一条直线平行，则这条直线在这个平面内．

符号表示为：若，点，且，则． 4 8．平面与平面平行的性质

(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行与另一个平面．

此结论可以作为定理用，可用来判定线面平行．

(2)两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等．

三、典型例题剖析

例1．下列说法正确的是（ ）

A．若直线a平行于面内的无数条直线，则

B．若直线a在平面外，则

C．若直线a//b，直线，则

D．若直线a//b，直线，则直线a平行于平面内的无数条直线

解析：本题主要考察直线与平面平行的定义、判定及其性质．

对于A答案，根据直线与平面平行的判定，要使得直线与平面平行，则直线与平面内的所有直线都要平行，但无数条并不能代表所有条，故A错误．

对于B答案，直线与平面的位置关系只有两种，直线在平面内和直线在平面外，直线与平面相交也称为直线在平面外，故B错误．

对于C答案，要使得，必须还要，故C错误．

D答案正确．

例2．M、N、P为三个不重合的平面，a、b、c为三条不同直线，则下列命题中，不正确的是（ ）

① ②

③ ④

⑤ ⑥

A．④⑥ B．②③⑥

C．②③⑤⑥ D．②③

解析：举反例，不正确的命题有②③⑤⑥．

因为②中a、b可以相交，还可以异面，③中M、N可以相交，

⑤中a可以在M内，⑥中a可以在M内，

所以正确的命题有①④，可以从公理及公共点的角度解析．

故选C．

例3．如图，E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面过EH分别交BC、CD于F、G．求证：EH//FG. 5

证明：如图所示，连接BD,

E、H分别是AB、AD的中点，EH//BD.

又BD面BCD，EH面BCD，

EH//面BCD．

又EH、面BCD＝FG，

EH//FG.

例4．如图所示，已知P为所在平面外一点，分别是的重心．求证：平面//平面ABC．

证明：如图所示，延长分别与边AB,BC,AC交于点D,E,F． 6

连接DE,EF,FD．则有，,

．

又不在平面ABC内，所以//平面ABC．

同理//平面ABC．

又因为，

平面//平面ABC．

点拨：证明两个平面平行的关键还是在与线面平行，在证明线面平行时，其关键就在于在已知的两个平面内找到两条互相平行的直线，而这两条直线必然在同一个平面内，或者说它们应当是某一个平面与两个已知平面的交线．

例5．已知平面//平面，，直线AB与CD交于S，且AS=8，BS=9，CD=34，求CS的长．

解析：(1)若S在之间，如图所示，

连AC、BD,,AB、CD共面．

， 7 ，AC//BD.

.设CS＝x，则

，即．

(2)若S不在之间，如图所示，

, AB、CD共面,且．

，AC//BD.

，即．

．

故SC=16或272.