高数a作业.doc吉林大学数学学院

吉林大学高等数学A 期末考试试卷2016～2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题,每小题3分，共15分) 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。

2。

设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。

3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。

4．设yz u x =,则du = . 5．级数11(1)np n n∞=-∑,当p 满足 条件时级数条件收敛。

二、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分,共15分）1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是（ )A ．2x y Ce =B ．22x y Ce =C ．22y y e Cx =D ．2y e Cxy = 2．求极限lim= （ ）A ．14B ．12-C ．14-D ．123．直线:327x y zL ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，则Dσ= ( ）A ．33()2b a π- B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π-5．下列级数收敛的是 （ )A ．11(1)(4)n n n ∞=++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D．n ∞=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分) 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。

2。

计算二重积分22Dx ydxdy x y++⎰⎰，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥.z z ∂∂。

高等数学作业答案BⅡ吉林大学公共数学教学与研究中心2013年3月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．22003limx y xyx y→→=+（ D ）． （A ）32； （B ）0； （C ）65； （D ）不存在．2．二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在)0,0(处（ C ）．（A ）连续，偏导数存在； （B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在；（D ）不连续，偏导数不存在．3．设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-，在下列求(1,2)x f 的方法中，不正确的一种是（ B ）．（A ）因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-，故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=； （B ）因(1,2)0f =，故(1,2)00x f '==；（C ）因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-，故12(1,2)(,)0x x x y f f x y ====；（D ）211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--．4．若(,)f x y 的点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则（ C ）． （A ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内有界； （B ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内连续；（C ）0(,)f x y 在点0x 处连续，0(,)f x y 在点0y 处连续； （D ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续．5．设22(,),2zz f x y y∂==∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为（ B ）．（A ）21xy x -+； （B ）21xy y ++； （C ）221x y y -+； （D ）221x y y ++． 二、填空题1．z =的定义域为2224,01y x x y ≤<+<． 2．00x y →→= 1/2 ．3．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f 2/5，=')4,3(y f 1/5 ． 4．设ln(32)u x y z =-+，则d u =3232dx dy dzx y z-+-+．5．设yz x =，则2z x y∂=∂∂()11ln y x y x -+．三、计算题1．已知2)z f =+，且当1y =时z x =，求()f t 及z 的表达式．将1,y z x ==代入，)12x f =+有)21fx =-解一：)))222423f=-+ ∴()243f t t t =-+解二：令2t =，则()22x t =-∴()()221f t t =--∴)22211z x =--=-2．讨论函数2222222,0,(,)0,0x xyx y f x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩的连续性．.解一：当(),p x y 沿y 轴(x=0)趋于0（0，0）时， 当(),p x y 沿y x =，趋于0（0，0）时，∴()0lim,x y f x y →→不存在 ∴不连续解二：当(),p x y 沿y kx =趋于0（0，0）时，()()222222200011lim lim 11x x y kx k x x xy k x y k k x →→=→+++==+++ 与k 有关，∴不连续 3．设(1)y z xy =+，求d z ． 解一：取对数()ln ln 1z y xy =+()1ln 11z x xy y z y xy ∂⋅=++⋅∂+，∴()()1ln 11y z xy xy xy y xy ⎡⎤∂=+++⎢⎥∂+⎣⎦解二：()()()()ln 1ln 1e ,e ln 111yy xy y xy z x xy y xy y xy ++⎡⎤∂∂==⋅++⋅=+⎢⎥∂+⎣⎦∴()()()12d 1d 1ln 1+xy d 1y y x z y xy x xy y xy -⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦4．求2e d yzt xz u t =⎰的偏导数．5．设r =0r ≠时，有2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂．222223xr x rr x r xr r-⋅∂-==∂，同理：2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂ ∴()2222222222233322r x y x r r r r x y z r r r-++∂∂∂++===∂∂∂ 6．证明函数(,)f x y =(0, 0)处：（1）连续；（2）偏导数存在；（3）不可微．（1）0ε∀>0=≤0ε-<ε<<取δ=，则当0δ<<0ε<，∴()()000lim ,lim00,0x x y y f x y f →→→→===（或：()00lim00,0x y f →→==），(),f x y =（2）()(),00,0,0x f x f =；()()0,0,0,00y f y f == （3）()()0,00,0x y z z f x f y =-⋅-=V V V V 考察：000limlimx x y y →→→→=V V V V 当(),p x y 沿直线y kx =趋于0（0，0）有00limlimx x y k x →→=⋅→=V V V V 与k 有关∴上式不存在，不可微第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．设22()y z f x y =-，其中()f u 为可导函数，则zx∂∂=（ B ）． （A ）2222()xyf x y --；（B ）222222()()xyf x y f x y '---；（C ）22222()()yf x y f x y '---；（D ）2222222()()()f x y yf x y f x y '-----．2．设方程(,,)0F x y y z z x ---=确定z 是x ，y 的函数，F 是可微函数，则z x∂∂=（ D ）．（A ）13F F '-'； （B ）13F F ''； （C ）x zy zF F F F --；（D ）1323F F F F ''-''-．3．设(,),(,),(,)x x y z y y z x z z x y ===都由方程(,,)0F x y z =所确定的隐函数，则下列等式中，不正确的一个是（ C ）．（A ）1x yy x∂∂=∂∂； （B ）1x zz x∂∂=∂∂； （C ）1x y zy z x∂∂∂=∂∂∂；（D ）1x y zy z x∂∂∂=-∂∂∂．4．设(,),(,)u u x y v v x y ==都是可微函数，C 为常数，则在下列梯度运算式中，有错误的是（ A ）．（A ）0C ∇=；（B ）()Cu C u ∇=∇； （C ）()u v u v ∇+=∇+∇；（D ）()uv v u u v ∇=∇+∇．5．()u f r =，而r =，且函数()f r 具有二阶连续导数，则22ux∂+∂2222u uy z ∂∂+=∂∂( B )．（A ）1()()f r f r r '''+； （B ）2()()f r f r r '''+；（C ）211()()f r f r r r '''+； （D ）212()()f r f r r r '''+．二、填空题1．已知(1,2)4,d (1,2)16d 4d ,d (1,4)64d 8d f f x y f x y ==+=+，则(,(,))z f x f x y =在点（1, 2）处对x 的偏导数为 192 ．2．由方程e z xy yz zx -+=所确定的隐函数(,)z z x y =在点（1, 1）处的全微分为 d dy x +．3．r 在点（0, 0）处沿x 轴正向的方向导数为 1 ．4．函数2222u x y z xy yz =++-+在点(1,2,3)--． 三、计算与解答题 1．设f 是C (2)类函数，22(e ,)xyz f x y =-，求2zx y∂∂∂．2．设32(32)x y z x y -=-，求d z ．解一：解二：,32,32vz u u x y v x y ==-=- ∴()()()32d 32ln 3213d 2dy x yz x y x y x -=--+-⎡⎤⎣⎦3．设f ，ϕ是C (2)类函数，x y z yf x y x ϕ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明：（1）2220z z x y x x y ∂∂+=∂∂∂； （2）2222220z z x y x y ∂∂-=∂∂． 证21z y y yf x f x y x x ϕϕϕϕ∂⎛⎫''''=⋅++⋅⋅-=+- ⎪∂⎝⎭4．设arctan yx，求22d d y x ．''2222x yy y x yx y x y+-=++∴ ()(),x yy x y x y y x y+''-=-+=-一阶：()()22222222112,ln arctan ,221x y y x x y x F x y x y F x x y x y y x -+=+-=⋅-=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭22222211221y y y x x F y x y x y x-=⋅-=+++∴d d y Fx x y x y x Fy y x x y ++=-=-=-- 二阶：5．设e sin ,e cos ,uux u v y u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求,u v x y ∂∂∂∂． ∴()()1sin cos d d d sin cos 1sin cos 1u D v vu x y D e v v eu v v ==--+-+ ∴()sin e sin cos 1u u v x v v ∂=∂-+ ∴()()()2u cos e d e sin d d e sin -cos 1u uv x v y D v D u v v -++==⎡⎤+⎣⎦∴()e sin e sin cos 1u u v vy u v v ∂+=∂-+ 6．设2(,,),(,e ,)0,sin y u f x y z x z y x ϕ===，其中求f ，ϕ是C (1)类函数，求d d ux． ∴''12''332e ,y x z Fx z Fyx Fz y Fz ϕϕϕϕ∂∂=-=--=-=--∂∂ 解二：全微分'''123'''123d d d d 2d e d d 0d cos d y u f x f y f z x x y z y x x ϕϕϕ⎧=⋅++⎪⋅+⋅⋅+=⎨⎪=⎩ 即'''231'''231d d d d e d d 2d d cos d yu f y f z f x y z x x y x x ϕϕϕ⎧--=⎪+=-⎨⎪=⎩代入消元解得：'sin ''''12123'32cos d cos d x x e x u f f x f x ϕϕϕ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭∴…… 7．求函数ln()z x y =+的点(1, 2)处沿着抛物线24y x =的该点切线方向的方向导数．∴()()()111,21111,2cos 1,2cos 32323zzx zy αβ∂=⋅+=⋅+⋅=∂l第三次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线( B )． （A ）只有一条；（B ）只有两条；（C ）至少有三条； （D ）不存在．2．设函数(,)f x y 在点(0, 0)附近有定义，且(0,0)3,(0,0)1x y f f ==，则( C )． （A ）d (0,0)3d d z x y =+；（B ）曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为{3,1,1}； （C ）曲线(,),0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{1,0,3}；（D ）曲线(,),0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{3,0,1}．3．曲面()z x f y z =+-的任一点处的切平面 ( D )． （A ）垂直于一定直线；（B ）平等于一定平面； （C ）与一定坐标面成定角；（D ）平行于一定直线．4．设(,)u x y 在平面有界闭区域D 上是C (2)类函数，且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y ∂∂+=∂∂，则(,)u x y 的 ( B )． （A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上； （C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最得到值点在D 的边界上． 二、填空题1．如果曲面6xyz =在点M 处的切平面平行于平面63210x y z -++=，则切点M 的坐标是 （-1，2，-3） ．2．曲线2224914,1x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,1,1)-处的法平面方程是 13x -10y -3z -6=0 ．3．22z x y =+在条件1x y +=下的极小值是12．4．函数u 在点(1,1,1)M 处沿曲面222z x y =+在该点的外法线方向的方向导数是13．三、计算题1．求曲线222226,x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点(1,1,2)处的切线方程． 解一：22222yy zz x yy z x ''⎧+=-⎪⎨''-+=⎪⎩①②①+②：0z '=代入(),1,1,21xy y y''=-=- ∴()1,1,0s =-v切成：112110x y z ---==，即112x y z -=-⎧⎨=⎩解二：()()2221,,6,2,2,2,2,2,4F x y z x y z Fx x Fy y Fz z n =++-====u u v取()1121,1,2,n s n n ==⨯u v v u v u u v1s 切平面：()()()1111220260x y z x y z ⋅-+⋅-+-=+-=即+2s 切平面：()()()21212020x y z x y z -+---=--=即:2+2∴2602220x y z x y z ++-=⎧⎨+--=⎩2．过直线102227,0x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩作曲面222327x y z +-=的切平面，求其方程．解：设切点为0000(,,)M x y z ，切平面方程为：0003270x x y y z z +--=……① 过已知直线的平面束方程为()1022270x y z x y z λ+--++-= 即：()(10)2(2)270x y z λλλ++++---=……②当①②为同一平面时有：000103,2,2x y z λλλ+=+=--=-且222000327x y z +-=解得00000033117117x x y y z z ==-⎧⎧⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪==-⎩⎩或对应的切平面方程为：927091717270x y z x y z +--=+-+=3．证明曲面2/32/32/32/3(0)x y z a a ++=>上任意点处的切平面在各个坐标轴上的截距平方和等于2a ．.设000M x 0（,y ,z ）为曲面上任一点 切平面方程为：()()111333000000222()0333x x x y y y z z z ----+-+-=即：11123333000x x y y z z a --++= 令0y z ==得x 轴截距1233x n a = 同理121233332,Y z a Z z a ==∴222422223333()X Y Z x y z a a ++=++=4．求函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值．.①令222(2)02ln 10x y f x y f x y y '⎧=+=⎪⎨'=++=⎪⎩ ②得驻点10,e M ⎛⎫ ⎪⎝⎭③2212(2),4,2xx xy f y f xy fyy x y =+==+④M 处： AC-B 2>0，A>0，∴极小值110,f e e⎛⎫=-⎪⎝⎭5．求函数22(,)1216f x y x y x y =+-+在区域22{(,)|25}D x y x y =+≤上的最大值和最小值．2120621608fx x x fy y y =-==⎧⎧⎨⎨=+==-⎩⎩ 不在D 内，∴D 内无极值点 在边界2225x y +=上，(),251216f x y x y =-+12201620Lx x Ly y λλ=-+=⎧⎨=+=⎩ 解得3344x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ ()3,475f -=- 最小()3,4125f -= 最大61的一个切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大． 设切点为()()0000,,,,,1M x y z F x y zFn Fy ==)))0000x x y y z z -+--=1=令0y z==，得x轴截距X=x z==，得y轴截距Y=x y==，得z轴截距Z=令113 fx yz yzx xfy xz xzy yfz xy xyz z⎧===⎪⎪⎪=+==⎪⎪⎨⎪=+==⎪====19x y z===即切点为111,,999⎛⎫⎪⎝⎭切平面为：13x y z++=第四次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+⎰⎰，其中D 是由0y =，2y x =，1x =所围区域，则(,)f x y 等于( C )．（A ）xy ；（B ）2xy ；（C ）18xy +； （D ）1xy +．2．设D 是xOy 平面上以(1, 1), (-1, 1)和(-1, -1)为顶点的三角形区域，D 1是D 的第一象限部分，则(cos sin )d d Dxy x y x y +⎰⎰等于( A )．（A ）12cos sin d d D x y x y ⎰⎰；（B ）12d d D xy x y ⎰⎰；（C ）；14cos sin )d d D xy x y x y +⎰⎰（ （D ）0．3．设平面区域22:14,(,)D x y f x y ≤+≤是在区域D 上的连续函数，则d d Df x y ⎰⎰等于 ( A )．（A ）212()d rf r r π⎰；（B ）21002()d ()d rf r r rf r r π⎡⎤+⎣⎦⎰⎰；（C ）2212()d rf r r π⎰； （D ）2122002()d ()d rf r r rf r r π⎡⎤+⎣⎦⎰⎰．4．设有空间区域22221:,0x y z R z Ω++≤≥及22222:x y z R Ω++≤，0x ≥，0y ≥，0z ≥，则( C )．（A ）12d 4d x V x V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （B ）12d 4d y V y V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（C ）12d 4d z V z V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（D ）12d 4d xyz V xyz V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．二、填空题1．积分2220d e d y x x y -=⎰⎰()-411e 2-． 2．交换积分次序：14012d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y -+=⎰⎰⎰⎰()2221d ,d y yy f x y x +-⎰⎰．3．设区域D 为||||1x y +≤，则(||||)d d Dx y x y +=⎰⎰43． 4．设区域D 为222x y R +≤，则2222d d Dx y x y a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰⎰422114R a b π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．5．直角坐标中三次积分22110d (,,)d x y I x y f x y z z +-=⎰⎰⎰在柱面坐标中先z 再r 后θ顺序的三次积分是()221d d cos ,sin ,d r r f r r z r z πθθθ⎰⎰⎰三、计算题1．计算|cos()|d d Dx y x y +⎰⎰，其中D 是由直线,0,2y x y x π===所围成的三角形区域．原式()()12cos d d cos d d D D x y x y x y x y =+-+⎰⎰⎰⎰=[][]240411cos 2cos 2122242y x ππππππ+++=- 2．计算sin d d Dx yx y y⎰⎰，其中D 是由2y x =和y x =所围成的区域． ①图交点，先x，②:01y x D y ⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩③21100sin sin d d d 22y y y y F f x y y y ⎛⎫==⋅- ⎪⎝⎭⎰⎰3．计算22()d d Dx y x y +⎰⎰，其中{(,)|02,D x y x y =≤≤≤．①图，极坐标，方程②2cos 2:02r D θπθ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩ ③22202cos d d I r r r πθθ=⋅⎰⎰4．计算23d xy z V Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z xy =与平面,1y x x ==和0z =所围成的闭或区域．①图，投影域Dxy②0:001z xy y y x ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩③1230d d d x xyI x y sy z z =⎰⎰⎰5．计算d I xyz V Ω=⎰⎰⎰，其中222{(,,)|1,0,0,0}x y z x y z x y z Ω=++≤≥≥≥．①图，已求坐标r=1②01:0202r πϕπθ⎧⎪≤≤⎪⎪Ω≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩③1222d d sin cos sin sin cos sin d I x r r r r r ππϕϕθϕθϕϕ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰6．设()d F t fV Ω=⎰⎰⎰，其中2222:,()x y z t f t Ω++≤在0t =可导，且(0)0f =，求4()lim t F t tπ+→． ∴()()()()()()02043000040lim lim lim lim '040t t t t F t f t t f t f t f f t t t t πππ→→→→⋅-+====- 四、证明题设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且恒大于零，证明2d ()d ()()bbaaxf x x b a f x ≥-⎰⎰． 证明：设:a x bD a y b≤≤⎧⎨≤≤⎩∵2d d 0D x y ≥⎰⎰ 即：()()()()d d 2d d D Df x f y x y x y f y f x ⎡⎤+≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ ∴()()()()()211d d d d 2b bb b aaa a f x x y f y y xb a f y f x +⋅≥-⎰⎰⎰⎰∴()()()212d d 2bbaaf x x x b a f x ⋅≥-⎰⎰∴()()()21d d bbaaf x x x b a f x ⋅≥-⎰⎰第五次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设L 是圆周222x y a +=，则22()d nL x y s +=⎰Ñ(D ) ．（A ）2n a π； （B ）12n a π+； （C ）22n a π； （D ）212n a π+．2．设L 是由(0, 0), (2, 0), (1, 1)三点连成的三角形边界曲线，则d L y s =⎰Ñ( A )．（A（B ）2+（C ）（D ）2+3．设∑是锥面222x y z +=在01z ≤≤的部分，则22()d x y S ∑+=⎰⎰( D )． （A ）1300d d r r πθ⎰⎰； （B ）21300d d r r πθ⎰⎰；（C 1300d d r r πθ⎰；（D 21300d d r r πθ⎰．4．设∑为2222(0)x y z a z ++=≥，1∑是∑在第一卦限中的部分，则有(C )． （A ）1d 4d x S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（B ）1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（C ）1d 4d z S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（D ）1d 4d xyz S xyz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰．二、填空题1．设曲线L 为下半圆y =22()d L x y s +=⎰1d π1LS =⋅⎰．2．设L 为曲线||y x =-上从1x =-到1x =的一段，则d L y s =⎰3．设Γ表示曲线弧,,,(02)2tx t y t z t π==≤≤，则222()d xy z s Γ++=⎰332ππ23+． 4．设∑是柱面222(0)x y a a +=>在0z h ≤≤之间的部分，则2d x S ∑=⎰⎰3a h π．5．设∑是上半椭球面2221(0)94x y z z ++=≥，已知∑的面积为A ，则222(4936)d x y z xyz S ∑+++=⎰⎰36A ．三、计算题1．计算L s ⎰Ñ，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：所以：原式=2（1-ae ）+4aπa e2．2d z s Γ⎰Ñ，其中2222,:0.x y z a x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩．（222d d d rrrx s y s z s ==⎰⎰⎰Q蜒?）3．计算曲面积分()d xy yz zx S ∑++⎰⎰,其中曲面:z ∑=被柱面222x y x +=所截得部分。

高数a大一期末考试题简单及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 极限的定义中，如果对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)当x趋近于a时的极限为L。

以下哪个选项不是极限的定义？A. 函数f(x)在某点a处的极限B. 函数f(x)在某点a的左极限C. 函数f(x)在某点a的右极限D. 函数f(x)在某点a处的连续性答案：D2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = |x|答案：B3. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = x^4D. f(x) = |x|答案：B4. 以下哪个函数在x=0处不可导？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^4答案：B5. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫1/x dx = ln|x| + CD. ∫e^x dx = e^x + C答案：C6. 以下哪个选项是正确的定积分？A. ∫[0,1] x dx = 1/2B. ∫[0,1] x^2 dx = 1/3C. ∫[0,1] x^3 dx = 1/4D. ∫[0,1] x^4 dx = 1/5答案：B7. 以下哪个选项是正确的微分方程的通解？A. y' = 2y => y = Ce^(2x)B. y' = 3y => y = Ce^(3x)C. y' = 4y => y = Ce^(4x)D. y' = 5y => y = Ce^(5x)答案：A8. 以下哪个选项是正确的二阶导数？A. y = x^3, y'' = 6xB. y = x^2, y'' = 2C. y = x^4, y'' = 12x^2D. y = x^5, y'' = 20x^3答案：B9. 以下哪个选项是正确的洛必达法则的应用？A. ∫0/0 型不定式，分子分母同时乘以分母的导数B. ∫∞/∞ 型不定式，分子分母同时乘以分子的导数C. ∫0/0 型不定式，分子分母同时除以分子的导数D. ∫∞/∞ 型不定式，分子分母同时除以分母的导数答案：D10. 以下哪个选项是正确的泰勒级数展开？A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是________。

高等数学作业AⅠ吉林大学数学中心2017年8月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．下列结论正确的是( )．（A ）x arctan 是单调增加的奇函数且定义域是），（∞+∞- ； （B ）x arc cot 是单调减少的奇函数且定义域是），（π0； （C ）x arctan 是无界函数；（D ）4-22arccosπ=． 2．下列函数中不是奇函数的为( )．（A ）xx x x ee e e --+-；（B ）x x cos 3+；（C ）)1ln(2x x ++；（D ）x arcsin ． 3．函数x x y 3cos 2sin +=的周期为( )． （A ）π；（B ）π32；（C ）π2； （D ）π6．4．. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n Λ=（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）0. 5； （D ）2．5.已知数列{}n x 是单调增加的.则“数列{}n x 收敛”是“数列{}n x 有上界”的（ ）条件（A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 6．设数列{}n a （Λ,2,1,0=>n a n ）满足,0lim 1=+∞→nn n a a 则( )．（A ）{}n a 的敛散性不定；（B ）0lim ≠=∞→c a n n ；（C ）n n a ∞→lim 不存在； （D ）0lim =∞→n n a ． 二、填空题1．=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-∞→n n n n n 22241241141lim Λ ． 2．设⎩⎨⎧<+≥+=,0,2,0,12)(2x x x x x f 42)(-=x x g . 则)]([x g f = ．3．函数1)(+=x xe e xf 的反函数)(1x f -= ．4．“数列{}n x 2及数列{}12+n x 同时收敛”是“数列{}n x 收敛” 条件. 5.=++--+++∞→])2()11(1sin[lim 1n n nn n n n n n ． 三、计算题 1．设633134)11(x x x f ++=+，求)(x f ．2．求nn n x 13)|1(lim |+∞→，3．设函数()f x 满足关系式22()(1)f x f x x +-=，求()f x 的表达式．四、证明题 设Λ,2,1,11,111=++==+n x x x x n nn ，证明n x x ∞→lim 存在，并求其值．第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．已知1)1)(lim21-=-→x x f x （，则下列结论正确的是( )．（A ）0)1(=f ；（B ）0)(lim 1<→x f x ；（C ）存在0>δ，当δ<-1x 时，0)(<x f ；（D ）存在0>δ，当δ<-<10x 时，0)(<x f ．2．已知0)(lim ≠=→A x f ax 存在，则下列结论不正确的是 ( )．（A ）若)(lim x g ax →不存在，且∞≠→)(lim x g ax .则)()(lim x g x f ax →不存在，且∞≠→)()(lim x g x f ax ；（B ）若∞=→)(lim x g ax ，则∞=→)()(lim x g x f ax ；（C ）若)(lim x g ax →不存在，则)()(lim x g x f ax →可能存在也可能不存在；（D ）．B x g ax =→)(lim ,则)()(lim x g x f ax →=AB.3．“)0(0-x f 与)0(0+x f 存在”是“)(lim 0x f x x →存在”的( )条件．（A ）充分； （B ）必要； （C ）充分且必要； （D ）非充分且非必要．4．当+∞→x 时，x e y xsin =是( )．（A ）无穷大； （B ）无界函数但不是无穷大； （C ）有界函数但不是无穷小； （D ）无穷小． 5．（A ）当0→x 时，x x +是8x 的2阶无穷小；（B ）当0→x 时，8x 是x x +的2阶无穷小；（C ）当0→x 时，x x +是8x 的4阶无穷小；（D ）当0→x 时，8x 是x x +的4阶无穷小．上面结论正确的是 ( )．6．0=x 是函数( )的可去间断点． （A ）x x x f 1arctan )(2+=; （B ）xx f 1sin )(=； （C ）xx x f 2cos 1)(-=；（D ）xx x f 1sin)(3=． 7．0=x 是( )函数的跳跃间断点．（A ）xx x f 1)1)(+=（; （B ）2sin )(xxx f =； （C ）xx f 1cos)(=； （D ）xxxxee e e xf 1111)(--+-=．二、填空题1．设)(lim 1x f x →存在，且)(lim 2)(1`2x f x xx f x →+=则)(x f = ．2．已知xt xx t xt x f sin sin )sin sin (lim )(-→=，则)(x f =3．+∞→x lim )2(22x x x x +-+= . ． 4．已知当0→x 时,)(x f 与32x 是等价无穷小量,则=--+→11sin )(1lim2x x e x x f ．5．已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+>+=0,0,)21ln(1)(2tan x x a x xe xf x- 在0=x 点连续，则a = ．6．函数xx x x x x f sin )1()23(||)(22-++=的无穷间断点是 ．三、计算与解答题1．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<-=0)21ln()arctan(0sin tan )(3x x ax x x xx x f ，，，已知)(lim 0x f x →存在，求常数a ．2．求]1[lim 0x x x →．其中]1[x 是不超过x1的最大整数。

高等数学作业AⅢ吉林大学公共数学教学与研究中心2013年9月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设L 是圆周222x y a +=，则22()d n L x y s +=⎰( ) ． （A ）2n a π；（B ）12n a π+；（C ）22n a π；（D ）212n a π+．2．设L 是由(0, 0), (2, 0), (1, 1)三点连成的三角形边界曲线，则d L y s =⎰( )． （A ）2；（B ）22+；（C ）22；（D ）222+．3．设∑是锥面222x y z +=在01z ≤≤的部分，则22()d x y S ∑+=⎰⎰( )． （A ）1300d d r r πθ⎰⎰； （B ）21300d d r r πθ⎰⎰； （C ）13002d d r r πθ⎰⎰；（D ）213002d d r r πθ⎰⎰．4．设∑为2222(0)x y z a z ++=≥，1∑是∑在第一卦限中的部分，则有( )． （A ）1d 4d x S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（B ）1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（C ）1d 4d z S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（D ）1d 4d xyz S xyz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰．二、填空题1．设曲线L 为下半圆21y x =--，则22()d L x y s +=⎰ ． 2．设L 为曲线||y x =-上从1x =-到1x =的一段，则d L y s =⎰ ． 3．设Γ表示曲线弧33cos ,sin ,,(02)222t x t y t z t π===≤≤，则222()d xy z s Γ++=⎰ ．4．设∑是柱面222(0)x y a a +=>在0z h ≤≤之间的部分，则2d x S ∑=⎰⎰ ．5．设∑是上半椭球面2221(0)94x y z z ++=≥，已知∑的面积为A ，则222(4936)d x y z x y z S ∑+++=⎰⎰ ．三、计算题1．计算22ed x y L s +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．2．2d z s Γ⎰，其中2222,:0.x y z a x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩．3．计算曲面积分()d xy yz zx S ∑++⎰⎰,其中曲面22:z x y ∑=+被柱面222x y x +=所截得部分。

高等数学作业AⅢ吉林大学公共数学教学与研究中心2013年9月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设L 是圆周222x y a +=，则22()d n L x y s +=⎰( ) ． （A ）2n a π；（B ）12n a π+；（C ）22n a π；（D ）212n a π+．2．设L 是由(0, 0), (2, 0), (1, 1)三点连成的三角形边界曲线，则d L y s =⎰( )． （A ）2；（B ）22+；（C ）22；（D ）222+．3．设∑是锥面222x y z +=在01z ≤≤的部分，则22()d x y S ∑+=⎰⎰( )． （A ）1300d d r r πθ⎰⎰； （B ）21300d d r r πθ⎰⎰； （C ）13002d d r r πθ⎰⎰；（D ）213002d d r r πθ⎰⎰．4．设∑为2222(0)x y z a z ++=≥，1∑是∑在第一卦限中的部分，则有( )． （A ）1d 4d x S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（B ）1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（C ）1d 4d z S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（D ）1d 4d xyz S xyz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰．二、填空题1．设曲线L 为下半圆21y x =--，则22()d L x y s +=⎰ ． 2．设L 为曲线||y x =-上从1x =-到1x =的一段，则d L y s =⎰ ． 3．设Γ表示曲线弧33cos ,sin ,,(02)222t x t y t z t π===≤≤，则222()d xy z s Γ++=⎰ ．4．设∑是柱面222(0)x y a a +=>在0z h ≤≤之间的部分，则2d x S ∑=⎰⎰ ．5．设∑是上半椭球面2221(0)94x y z z ++=≥，已知∑的面积为A ，则222(4936)d x y z x y z S ∑+++=⎰⎰ ．三、计算题1．计算22ed x y L s +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．2．2d z s Γ⎰，其中2222,:0.x y z a x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩．3．计算曲面积分()d xy yz zx S ∑++⎰⎰,其中曲面22:z x y ∑=+被柱面222x y x +=所截得部分。

2016-20171 高等数学A1 （A 卷）数理学院 张菊芳全校相关专业 陈 宁 一、填空题（每小题3分，共15分）1．极限12tan 0lim(12)x x x x →+= ；2. 设函数()y f x =由方程ln 1xy y +=确定，则0|x dy == ；3．设函数2()x f x xe x =+，则(0)f '''= ； 4．曲线3223y x =在点21,3 ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的曲率为 ； 5．定积分121||1x x dx x -⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⎰__________． 二、选择题（每小题3分，共15分）1. 设函数()(1)x e e f x x x -=-，则1x =是函数()f x 的________； )A 可去间断点 )B 跳跃间断点 )C 无穷间断点 )D 连续点2．设函数223408()sin ,()3xf x t dtg x x x ==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的________； )A 高阶无穷小 )B 低阶无穷小 )C 同阶但非等价无穷小 )D 等价无穷小3．曲线32ln y x x =-在点(1, 1)-处的法线方程为________； )A y x =- )B y x = )C 2y x =- )D 2y x =--4．设21cos x -是函数()f x 的一个原函数，则不定积分()f x dx '=⎰________；)A 21cos x C -+ )B 22sin x x C + )C 22sin x x C -+ )D 2sin x C +5. 对反常积分2211cos dx x xπ+∞⎰，以下正确的是________. )A 发散 )B 收敛，其值为1- )C 收敛，其值为 1 )D 不能确定课程考试试题学期 学年 拟题人:校对人: 拟题学院（系）: 适 用 专 业:三、计算题（每小题7分，共21分）1．求极限2021lim 1cos x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭； 2. 设函数21,0()ln(12),0x bx x f x x a x ⎧++≤=⎨++>⎩在0x =处可导, 求a ,b 的值及(0)f '及()f x '；3.求由参数方程arcsin x t y t⎧⎪=⎨=⎪⎩所确定的函数()y y x =的一阶导数及二阶导数.四、计算题（每小题7分，共21分）1.计算不定积分arctan ⎰； 2.计算不定积分2；3.设函数20()1,025x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪++⎩，计算定积分11()f x dx -⎰. 五、计算题（10分） 设函数2()1x f x x =+，请解决如下问题： 1. 求()f x '，()f x ''；2. 列表求()f x 的单调区间和极值；3. 列表求()f x 的凹凸区间和拐点.六、应用题（8分）设抛物线24y x =-与直线2x y +=及y 轴在第一象限所围成的平面图形为D ，试求：1. 平面图形D 的面积；2. 平面图形D 绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.七、证明题（每小题5分，共10分）1．证明：当02x <<π时，sin 2cos 2x x x +<；2. 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)1,(1)0f f =-=，试证明：（1）至少存在一点(0, 1)ξ∈，使 ()0f ξξ+=；（2）至少存在一点(0, )∈ηξ，使 ()()20f f ηηηη'++=.。

高等数学作业AⅡ答案吉林大学公共数学教学与研究中心2018年3月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．下列反常积分收敛的是( C )． （A ）⎰∞+2d ln x xx； （B ）⎰∞+2d ln 1x xx ； （C ）⎰∞+22d )(ln 1x x x ；（D ）⎰∞+2d ln 1x xx ．2．下列反常积分收敛的是（ D ） A ．0cos d x x +∞⎰B ．221d (1)x x -⎰C ．01d 1x x +∞+⎰D ．321d (21)x x +∞-∞+⎰3．设)(x f 、()g x 在],[b a 上连续，则由曲线)(x f y =，()y g x =，直线b x a x ==,所围成平面图形的面积为( C )．（A ）[()()]d ba f x g x x -⎰；（B ）[|()||()|]d baf xg x x -⎰；（C ）|()()|d b af xg x x -⎰； （D ）[()()]d b af xg x x -⎰．4．设曲线2y x =与直线4y =所围图形面积为S ，则下列各式中，错误的是 ( C )．（A ）2202(4)d S x x =-⎰；（B ）402d S y y =⎰； （C ）2202(4)d S x y =-⎰；（D ）402d S x x =⎰．5．设点(,sin )A x x 是曲线sin (0)y x x π=≤≤上一点，记()S x 是直线OA （O 为原点）与曲线sin y x =所围成图形的面积，则当0x +→时，()S x 与( D )．（A ）x 为同阶无穷小； （B ）2x 为同阶无穷小； （C ）3x 为同阶无穷小； （D ）4x 为同阶无穷小．6．设0()()g x f x m <<<（常数），则由(),(),,y f x y g x x a x b ====所围图形绕直线y m =旋转所形成的立体的体积等于( B )．（A ）π(2()())(()())d ba m f x g x f x g x x -+-⎰；（B ）π(2()())(()())d bam f x g x f x g x x ---⎰；（C ）π(()())(()())d bam f x g x f x g x x -+-⎰；（D ）π(()())(()())d bam f x g x f x g x x ---⎰．二、填空题 1．已知反常积分⎰∞+0d e 2x x ax 收敛，且值为1，则=a 12-．2．摆线1cos sin x ty t t =-⎧⎨=-⎩一拱(02π)t ≤≤的弧长 8 ．3．2d 25x x +∞-∞=+⎰π5． 4．反常积分0d (0,0)1mnx x m n x+∞>>+⎰，当,m n 满足条件1n m ->时收敛． 5．由曲线22,y x x y ==围成图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积为 3π10． 三、计算题1．用定义判断无穷积分0e d 1e xxx -∞+⎰的收敛性，如果收敛则计算积分值．解： 000e d(1e )d 1e 1e [ln(1e )]ln 2xxx x x x -∞-∞-∞+=++=+=⎰⎰ 则该无穷积分收敛． 2．判断反常积分的收敛性：13sin d x x x+∞⎰解：33sin 1x xx≤Q而131x +∞⎰收敛． 13sin d xx x+∞∴⎰收敛．3．已知22lim 4e d xx a x x a x x x a +∞-→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰，求a 的值． 解：()21e lim lim e e1xa ax a a x a x x a a a x a x x a a x ----→∞→∞⋅⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 222222222222222222224e d 2de 2e 4e d 2e 2de 2e 2e 2e d 2e 2e e (221)e .x xaaxx aaa xaa xx aaa a x aa x x x x x xa x a x xa a a a +∞+∞--+∞+∞--+∞--+∞+∞---+∞----=-=-+=-=-+=+-=++⎰⎰⎰⎰⎰由已知222e (221)e a a a a --=++，即(1)0a a +=．所以0a =或1a =-．4．求连续曲线π2cos d x y t t -=⎰的弧长.解：由cos 0x ≥可知ππ22x -≤≤. 因此所求弧长为 π22π21d s y x -'=+⎰()π22021cos d x x =+⎰π2022cos d 42xx ==⎰.5．计算由x 轴，曲线1-=x y 及其经过原点的切线围成的平面图形绕x 轴旋转所生成立体体积．解：设切点为00(,)x y ，则过切点的切线方程为0001()21Y y X x x -=--令0,0X Y ==，得002,1x y ==．2212211π12π(1)d 32πππ.362x V x xx x =⨯⨯--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰6．在第一象限内求曲线21y x =-+上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积．解：设所求点为(,)x y ，则过此点的切线方程为2()Y y x X x -=-．由此得切线的x 轴截距为212x a x+=，y 轴截距为21b x =+．于是，所求面积为12031()(1)d 21112.4243S x ab x xx x x =--+=++-⎰令2211()32411130,4S x x x x x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得驻点13x =．又因为3131126043x S x x =⎛⎫⎛⎫''=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13x =为极小值点，也是最小值点．故所求点为12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，而所求面积为12(233)93S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．7．在曲线2(0)y x x =≥上某点A 处作一切线，使之与曲线以x 轴所围图形的面积为112，试求： （1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所围成旋转体体积． 解：设切点00(,)A x y ，则切线方程为：20002()y x x x x -=-，得切线与x 轴交点为0,02x ⎛⎫⎪⎝⎭．由02200011d 2212x x x x x -⋅⋅=⎰，得01x =．∴切点为(1,1)A ，切线方程：21y x =-1222011()d 13230V x x πππ=⋅-⋅⋅⋅=⎰．8．半径为r 的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中提出，问需作多少功？解：取球浮出水面后球心为原点建立坐标系，则22d ()d ()r y y g r y ωπρ=-⋅⋅+224()()d 43rr g r y r y ygr ωπρπρ-=⋅-+=⎰第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1. 平面10x y z +--=与22230x y z +-+=的关系（ A ）． （A ）平行，但不重合； （B ）重合；（C ）垂直；（D ）斜交．2．平面1=z 与曲面14222=++z y x （ B ）． （A ）不相交；（B ）交于一点； （C ）交线为一个椭圆；（D ）交线为一个圆．3．方程z y x =-4222所表示的曲面为（ C ）． （A ）椭球面； （B ）柱面； （C ）双曲抛物面； （D ）旋转抛物面．4．曲面2222x y z a ++=与22(0)x y zax a +=>的交线在xoy 平面上的投影曲线是（ D ）．（A ）抛物线；（B ）双曲线；（C ）椭圆；（D ）圆．5．设有直线182511:1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x L ，则L 1与L 2的夹角为（ C ）．（A ）π6； （B ）π4； （C ）π3； （D ）π2． 6．设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L （ C ）．（A ）平行于π； （B ）在π上； （C ）垂直于π； （D ）与π斜交．二、填空题1．设,a b 均为非零向量，且||||+=-a b a b ，则a 与b 的夹角为π2． 2．设向量x 与向量2=-+a i j k 共线，且满足18⋅=-a x ，则=x (6,3,3)-- ．3．过点(1,2,1)M -且与直线2,34,1x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面是 340x y z --+= ．4．若||3=a ，||2=b ，且a ，b 间夹角为34θπ=，则||+=a b 5，||⨯=a b 3 ．5．xoz 平面上的曲线1x =绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为221x y +=． 6．曲线⎩⎨⎧=-+--=032622z y y x z 在xoy 面上的投影曲线方程为222300x y y z ⎧+--=⎨=⎩．7．若直线L 平行于平面π：3260x y z +-+=，且与已知直线132:241x y zL -+==垂直，则L 的方向余弦(cos ,cos ,cos )αβγ为 65585,,25525⎛⎫- ⎪⎝⎭ ．三、计算题 1．求过直线1212:102x y z L --+==-，且平行于直线221:212x y zL +-==--的平面π的方程．解：过L 的平面束为：22(1)0x z y λ+-+-=即(2,,1)λ=n ，由n 与(2,1,2)=--S 垂直，有420,2λλ--== ∴ 所求平面为2240x y z ++-=．2．求点(2,1,3)到直线11321x y z+-==-的距离． 解：(3,2,1)=-s 设0(2,1,3),(1,1,0)M M - 则00(3,0,3)6126i =⨯=--MM S MM j k ∴ 0||621||7d ⨯==S MM S3．求曲面220x y z +-=与平面10x z -+=的交线在Oxy 平面上的投影曲线． 解：因为曲线220,10x y z x z ⎧+-=⎨-+=⎩ 在Oxy 平面上投影就是通过曲线且垂直于Oxy 平面的柱面与Oxy 平面的交线，所以，只要从曲线的两个曲面方程中消去含有z 的项，则可得到垂直于Oxy 平面的柱面方程．由220,10x y z x z ⎧+-=⎨-+=⎩消去z ，得到关于Oxy 平面的投影柱面2210x y x +--=，于是得到在Oxy 平面上的投影曲线为2210,0.x y x z ⎧+--=⎨=⎩4．求过平面02=+y x 和平面6324=++z y x 的交线，并切于球面4222=++z y x 的平面方程．解：过L 平面束为4236(2)0x y z x y λ++-++=． 即(42)(2)360x y z λλ++++-=． 由222|6|2(42)(2)3λλ-=++++得2λ=-则所求平面为2z =．5．设有直线210:210x y z L x y z ++-=⎧⎨-++=⎩，平面π:0x y +=，求直线L 与平面π的夹角；如果L 与π相交，求交点．解：L 的方向向量(1,2,1)(1,2,1)(4,0,4)=⨯-=-S而(1,1,0)=n ∴ ||41sin ||||2422θ⋅===⋅S n S n ，∴ 6πθ=将y x =-代入L 方程．解得111,,222x y z =-==∴ 交点111,,222⎛⎫- ⎪⎝⎭．6．向量a 与x 轴的负向及y 轴、z 轴的正向构成相等的锐角，求向量a 的方向余弦． 解：依题意知ππ,,02αθβθγθθ⎛⎫=-==<< ⎪⎝⎭， 因为222cos cos cos 1αβγ++=，即222cos ()cos cos 1πθθθ-++=， 所以23cos 1θ= 或 3cos 3θ=． 故333cos ,cos ,cos 333αβγ=-==.第三次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．()220lim ln x y xy x y →→+=（ B ）．（A ）1； （B ）0； （C ）12； （D ）不存在．2．二元函数()()()()()22,,0,0,,0,,0,0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点)0,0(处（ D ）．（A ）不连续，偏导数不存在; （B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在；（D ）连续，偏导数存在.3．设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-，在下列求(1,2)x f 的方法中，不正确的一种是（ B ）．（A ）因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-，故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=； （B ）因(1,2)0f =，故(1,2)00x f '==；（C ）因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-，故12(1,2)(,)0x x x y f f x y ====；（D ）211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--．4．设函数(,)f x y 在点00(,)P x y 的两个偏导数x f '和y f '都存在，则（ B ）. (A)00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →存在； (B) 00lim (,)x x f x y →和00lim (,)y y f x y →都存在；(C) (,)f x y 在P 点必连续； (D) (,)f x y 在P 点必可微.5．设22(,),2zz f x y y∂==∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为（ B ）．（A ）21xy x -+； （B ）21xy y ++； （C ）221x y y -+； （D ）221x y y ++． 二、填空题1．0011limx y xyxy →→--= 1/2 ．2. 设函数44z x y =+，则(0,0)x z '= 0 .3．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f 2/5，=')4,3(y f 1/5 ． 4．设xz xy y=+，则d z = 21d d x y x x y y y ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 5．设函数(,)()()()d x yx y u x y f x y f x y g t t +-=++-+⎰，其中f 具有二阶导数，g 具有一阶导数，则2222u ux y∂∂-=∂∂ 0 ．三、计算题1．设()0,1y z x x x =>≠，证明12ln x z zz y x x y∂∂+=∂∂． 证明：因为1,ln y y z zyx x x x y-∂∂==∂∂，所以 12ln y y x z zx x z y x x y∂∂+=+=∂∂. 2．讨论函数2222222,0,(,)0,0x xyx y f x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩的连续性．.解一：当(),p x y 沿y 轴(x=0)趋于0（0，0）时， 2222limlim0x y y x xyx y y →→→+==+ 当(),p x y 沿y x =，趋于0（0，0）时，222220002lim lim 12x x y x x xy x x y x→→=→+==+∴()00lim,x y f x y →→不存在 ∴不连续解二：当(),p x y 沿y kx =趋于0（0，0）时，()()222222200011lim lim11x x y kx k x x xyk x y k k x →→=→+++==+++ 与k 有关，∴不连续 3．设(1)y z xy =+，求d z ．()()11211y y z y xy y y xy x--∂=⋅+⋅=+∂ 解一：取对数()ln ln 1z y xy =+()1ln 11z x xy y z y xy ∂⋅=++⋅∂+，∴()()1ln 11y z xy xy xy y xy ⎡⎤∂=+++⎢⎥∂+⎣⎦ 解二：()()()()ln 1ln 1e,e ln 111yy xy y xy z x xy y xy y xy ++⎡⎤∂∂==⋅++⋅=+⎢⎥∂+⎣⎦ ∴()()()12d 1d 1ln 1+xy d 1y y x z y xy x xy y xy -⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦ 4．求2e d yzt xz u t =⎰的偏导数．t220e d e d xz yzt u t t =-+⎰⎰22x z e uz x∂=-⋅∂ 22y e z uz y∂=⋅∂ 2222x y e e z z ux y z∂=-⋅+⋅∂ 5．设222r x y z =++，验证：当0r ≠时，有2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂．证明：22222r x xx rx y z ∂==∂++ 222223xr x rr x r x r r -⋅∂-==∂，同理：2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂∴()2222222222233322r x y x r r r r x y z r r r-++∂∂∂++===∂∂∂ 6．设222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，问在点(0,0)处，（1）偏导数是否存在？ （2）偏导数是否连续？ （3）是否可微？解:（1）2201()sin(0,0)(0,0)()(0,0)limlim 0x x x x f x f x f xx∆→∆→∆+∆-∆'===∆∆,2201()sin(0,0)(0,0)()(0,0)limlim 0y y y y f y f y f yy∆→∆→∆+∆-∆'===∆∆,故函数在点(0,0)处偏导数存在. （2）当 (,)(0,0)x y ≠时， 222222222112(,)2sin()cos ()x x f x y x x y x y x y x y -'=++⋅+++2222221212sincos x x x y x y x y=-+++, 又 22222200121lim (,)lim(2sincos )x x x y y x f x y x x y x y x y→→→→'=-+++， 当(,)x y 沿x 轴趋于(0,0)时，上式222121lim(2sincos )x y x x x x y →==-+ 不存在， 故偏导数(,)x f x y '在点(0,0)不连续.由函数关于变量,x y 的对称性可知，(,)y f x y '在点(0,0)不连续。

吉林大学19秋学期《高等数学（理专）》在线作业二（1）答
案
【奥鹏】吉大19秋学期《高等数学（理专）》在线作业二
试卷总分:100 得分:100
一、单选题（共15题，60分）
1、直线 y=2x, y=x/2, x+y=2 所围成图形的面积为 ( )
A3/2
B2/3
C3/4
D4/3
[分析上述题目，并完成选择]
参考选择是：B
2、已知u= xyz, 则x=0,y=0,z=1时的全微分du=（）
Adx
Bdy
Cdz
D0
[分析上述题目，并完成选择]
参考选择是：D
3、f(a)f(b)<0,是方程f(x)=0在（a,b）有解的（）
A充分条件，非必要条件
B非充分条件，必要条件
C充分必要条件
D无关条件
[分析上述题目，并完成选择]
参考选择是：D
4、已知函数y= 2cos3x-5e2x, 则x=0时的微分dy=（）
A10
B10dx
C0
D0dx
[分析上述题目，并完成选择]
参考选择是：D
5、设函数f(x)=x^2+1，则f(x+1)=( )
Ax^2+2x+2
Bx^2x+2
Cx^2+6x+10
Dx^2-6x+10
[分析上述题目，并完成选择]
参考选择是：C
6、集合B是由能被3除尽的全部整数组成的，则B可表示成A{3，6，…，3n}
B{±3，±6，…，±3n}
C{0，±3，±6，…，±3n…}
D{0，±3，±6，…±3n}。