吉林大学作业及答案-高数A1作业答案
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吉林大学作业及答案-高数A1作业答案页数:26
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吉林大学历届高数考题及标准答案页数:26
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高数A1习题册答案
二、填空题
1、 。
2、 2。
3、设 ，则 。
4、函数 在区间 上的平均值为
。
5、设函数 在( )上连续，
则 。
*6、 = 。
三、计算下列各题
1、
2、
3、
4、
四、设 ，求
解：
五、设 ，求 ．
解：令 ，则
压力为
四、解：
习题三十反常积分
一、1. 2. 3.
二、1.B 2.D 3.A 4.C 5.D
三、1. 2.
四、1.解：
2.解：因为 和 在 内都为正且单增，所以积分发散。
3.解：
4.解：
5.解：
6.解：
7.解：令 ，则
第三章复习题（二）
一、单项选择题
1、设 ，其中 是连续函数，则 （B）
A、 B、 C、 D、不存在
习题一
一、
1.×
2.\/
3.×
4.×
5.×
6.\/
7.×
二、
1.A
2.D
3.B
4.A
三、
1.直线
2.[-1，3）
3.
4.奇
5.
6.
四、
， ，
，
习题二
一、
1.
2.×
3.×
4.
5.
6.×
7×
8×
二、
1.B
2.B
3.A
4.C
5.D
6.C
7.C
三、
1) ，
不存在
2) ，
习题三
一、
1.×
2.×
3.
4.×
5.
二、
1.C
2.B
3.D
1、 。
2、 2。
3、设 ，则 。
4、函数 在区间 上的平均值为
。
5、设函数 在( )上连续，
则 。
*6、 = 。
三、计算下列各题
1、
2、
3、
4、
四、设 ，求
解：
五、设 ，求 ．
解：令 ，则
压力为
四、解：
习题三十反常积分
一、1. 2. 3.
二、1.B 2.D 3.A 4.C 5.D
三、1. 2.
四、1.解：
2.解：因为 和 在 内都为正且单增，所以积分发散。
3.解：
4.解：
5.解：
6.解：
7.解：令 ，则
第三章复习题（二）
一、单项选择题
1、设 ，其中 是连续函数，则 （B）
A、 B、 C、 D、不存在
习题一
一、
1.×
2.\/
3.×
4.×
5.×
6.\/
7.×
二、
1.A
2.D
3.B
4.A
三、
1.直线
2.[-1，3）
3.
4.奇
5.
6.
四、
， ，
，
习题二
一、
1.
2.×
3.×
4.
5.
6.×
7×
8×
二、
1.B
2.B
3.A
4.C
5.D
6.C
7.C
三、
1) ，
不存在
2) ，
习题三
一、
1.×
2.×
3.
4.×
5.
二、
1.C
2.B
3.D
高等数学I试题解答 吉大大一
高等数学I 试题解答一、1．解：cos ()()0y yy y x e xe y x ''⋅++=y xe e x y yycos )(+-='，1)0(-='y2．解： ⎰+dx x x )cos (sin5dxx xdx ⎰⎰+=cos sin 53．解：⎰⎰+-+=+6 2 624111421412dxx x dx x x4．解：3sin sin sin 2 22 2=-==⎰⎰⎰dx x dx x dx x S ππππππ二、1．解：2)ln(limnx m be a x x +++∞→n nx be a nx m be x x x 1)()(lim 2=++=+∞→2．解：因1)1(-=y ，得2-=++c b a 。
b ax x x y ++='23)(2，a x x y 26)(+=''。
由0)1(=''y 得3-=a ，由0)0(='y 得0=b ，所以1=c 。
由)2(363)(2-=-='x x x x x y ，易得2=x 是)(x y 的极小值点，3)2(-=y 。
3．解：t t dxdy -+-=11，323222)1(2121)11(y t tt t dx y d -=--=+'-+-=，即02223=+dx y d y 。
三、解：令()2sin [0,]f x x x k C =--∈+∞所以)(x f 在)3,0(+k 有一正根，即方程k x x =-sin 2至少有一正根。
x四、解：如图，设切点为00(,)M x y (026x <<)，01)(x x y ='，切线方程：0ln 1x x xy +-=00ln 16)6(x x y +-=，所以所求图形的面积为)14(4)(020x x x S +-='，令0)(0='x S ，得唯一驻点40=x 。
高数A1空间解析几何与向量代数(答案)
第八章 空间解析几何与向量代数1．自点()0000,,z y x P 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。
解：按作图规则作出空间直角坐标系，作出如图平行六面体。
xoy D P ⊥0平面，垂足D 的坐标为()0,,00y x ；yoz E P ⊥0平面，垂足E 的坐标为()00,,0z y ；zox F P ⊥0平面，垂足F 的坐标为()00,0,z x ；x A P ⊥0轴，垂足A 的坐标为()0,0,0x ；y B P ⊥0轴，垂足B 的坐标为()0,,00y ； z C P ⊥0轴，垂足C 的坐标为()0,0,0z 。
2．在yoz 平面上，求与三点()2,1,3A 、()2,2,4--B 和()1,5,0C 等距离的点。
解：设所求点为(),,,0z y P 则()()2222213||-+-+=z y PA ， ()()2222224||++++=z y PB ，()()22215||-+-=z y PC 。
由于P 与A 、B 、C 三点等距，故222||||||PC PB PA ==，于是有：()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-=++++-+-=-+-+22222222221522415213z y z y z y z y ， 解此方程组，得1=y ，2-=z ，故所求的点为()2,1,0-P 。
3．已知()2,2,21M ，()0,3,12M ，求21M M 的模、方向余弦与方向角。
解：由题设知：{}{},2,1,120,23,2121--=---=M M 则()(),2211222=-++-=21cos -=α，21cos =β，22cos -=γ，于是，32πα=，3πβ=，43πγ=。
4．已知{}1,5,3-=a ，{}3,2,2=b ，{}3,1,4--=c ，求下列各向量的坐标： (1)a 2；(2)c b a -+；(3)c b a 432+-；(4).b n a m +解：(1) {}2,10,62-=a ；(2){}5,8,1=-+c b a ；(3){}23,0,16432-=+-c b a ； (4){}.3,25,23n m n m n m b n a m +-++=+5．设向量的方向余弦分别满足(1)0cos =α；(2)1cos =β；(3)0cos cos ==βα，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解：(1)0cos =α，向量与x 轴的夹角为2π，则向量与x 轴垂直或平行于yoz 平面；(2)1cos =β，向量与y 轴的夹角为0，则向量与y 轴同向；(3)0cos cos ==βα，则向量既垂直于x 轴，又垂直于y 轴，即向量垂直于xoy 面。
吉林大学作业及答案-高数A1作业
高等数学作业AⅠ吉林大学数学中心2017年8月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．下列结论正确的是( )．（A ）x arctan 是单调增加的奇函数且定义域是），（∞+∞- ； （B ）x arc cot 是单调减少的奇函数且定义域是），（π0； （C ）x arctan 是无界函数；（D ）4-22arccosπ=． 2．下列函数中不是奇函数的为( )．（A ）xx x x ee e e --+-；（B ）x x cos 3+；（C ）)1ln(2x x ++；（D ）x arcsin ． 3．函数x x y 3cos 2sin +=的周期为( )． （A ）π；（B ）π32；（C ）π2； （D ）π6．4．. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n Λ=（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）0. 5； （D ）2．5.已知数列{}n x 是单调增加的.则“数列{}n x 收敛”是“数列{}n x 有上界”的（ ）条件（A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 6．设数列{}n a （Λ,2,1,0=>n a n ）满足,0lim 1=+∞→nn n a a 则( )．（A ）{}n a 的敛散性不定；（B ）0lim ≠=∞→c a n n ；（C ）n n a ∞→lim 不存在； （D ）0lim =∞→n n a ． 二、填空题1．=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-∞→n n n n n 22241241141lim Λ ． 2．设⎩⎨⎧<+≥+=,0,2,0,12)(2x x x x x f 42)(-=x x g . 则)]([x g f = ．3．函数1)(+=x xe e xf 的反函数)(1x f -= ．4．“数列{}n x 2及数列{}12+n x 同时收敛”是“数列{}n x 收敛” 条件. 5.=++--+++∞→])2()11(1sin[lim 1n n nn n n n n n ． 三、计算题 1．设633134)11(x x x f ++=+，求)(x f ．2．求nn n x 13)|1(lim |+∞→，3．设函数()f x 满足关系式22()(1)f x f x x +-=，求()f x 的表达式．四、证明题 设Λ,2,1,11,111=++==+n x x x x n nn ，证明n x x ∞→lim 存在，并求其值．第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．已知1)1)(lim21-=-→x x f x （，则下列结论正确的是( )．（A ）0)1(=f ；（B ）0)(lim 1<→x f x ；（C ）存在0>δ，当δ<-1x 时，0)(<x f ；（D ）存在0>δ，当δ<-<10x 时，0)(<x f ．2．已知0)(lim ≠=→A x f ax 存在，则下列结论不正确的是 ( )．（A ）若)(lim x g ax →不存在，且∞≠→)(lim x g ax .则)()(lim x g x f ax →不存在，且∞≠→)()(lim x g x f ax ；（B ）若∞=→)(lim x g ax ，则∞=→)()(lim x g x f ax ；（C ）若)(lim x g ax →不存在，则)()(lim x g x f ax →可能存在也可能不存在；（D ）．B x g ax =→)(lim ,则)()(lim x g x f ax →=AB.3．“)0(0-x f 与)0(0+x f 存在”是“)(lim 0x f x x →存在”的( )条件．（A ）充分； （B ）必要； （C ）充分且必要； （D ）非充分且非必要．4．当+∞→x 时，x e y xsin =是( )．（A ）无穷大； （B ）无界函数但不是无穷大； （C ）有界函数但不是无穷小； （D ）无穷小． 5．（A ）当0→x 时，x x +是8x 的2阶无穷小；（B ）当0→x 时，8x 是x x +的2阶无穷小；（C ）当0→x 时，x x +是8x 的4阶无穷小；（D ）当0→x 时，8x 是x x +的4阶无穷小．上面结论正确的是 ( )．6．0=x 是函数( )的可去间断点． （A ）x x x f 1arctan )(2+=; （B ）xx f 1sin )(=； （C ）xx x f 2cos 1)(-=；（D ）xx x f 1sin)(3=． 7．0=x 是( )函数的跳跃间断点．（A ）xx x f 1)1)(+=（; （B ）2sin )(xxx f =； （C ）xx f 1cos)(=； （D ）xxxxee e e xf 1111)(--+-=．二、填空题1．设)(lim 1x f x →存在，且)(lim 2)(1`2x f x xx f x →+=则)(x f = ．2．已知xt xx t xt x f sin sin )sin sin (lim )(-→=，则)(x f =3．+∞→x lim )2(22x x x x +-+= . ． 4．已知当0→x 时,)(x f 与32x 是等价无穷小量,则=--+→11sin )(1lim2x x e x x f ．5．已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+>+=0,0,)21ln(1)(2tan x x a x xe xf x- 在0=x 点连续，则a = ．6．函数xx x x x x f sin )1()23(||)(22-++=的无穷间断点是 ．三、计算与解答题1．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<-=0)21ln()arctan(0sin tan )(3x x ax x x xx x f ，，，已知)(lim 0x f x →存在，求常数a ．2．求]1[lim 0x x x →．其中]1[x 是不超过x1的最大整数。
吉林大学19秋学期《高等数学(文专)》在线作业一(1)答案
【奥鹏】吉大19秋学期《高等数学（文专）》在线作业一试卷总分:100 得分:100一、单选题（共15题，60分）1、∫(1/(√x (1+x))) dxA等于arccot√x+CB等于1/((2/3)x^(3/2)+(2/5)x^(5/2))+CC等于(1/2)arctan√x+CD等于2√xln(1+x)+C[分析上述题目，并完成选择]参考选择是：A2、下列集合中为空集的是( )A{x|e^x=1}B{0}C{(x, y)|x^2+y^2=0}D{x| x^2+1=0,x∈R}[分析上述题目，并完成选择]参考选择是：D3、设f(x)=e^(2+x),则当△x→0时，f(x+△x)-f(x)→( )A△xBe2+△xCe2D0[分析上述题目，并完成选择]参考选择是：D4、一枚硬币前后掷两次所出现可能结果的全部所组成的集合，可表示为A{正面，反面}B{(正面，正面)、(反面，反面)}C{(正面，反面)、(反面，正面)}D{(正面，正面)、(反面，正面)、(正面，反面)、(反面，反面)}[分析上述题目，并完成选择]参考选择是：D5、函数在一点附近有界是函数在该点有极限的( )A必要条件B充分条件C充分必要条件D在一定条件下存在[分析上述题目，并完成选择]参考选择是：D6、设f(x)的一个原函数是xlnx,则∫xf(x)dx等于( )Ax^2(1/2+lnx/4)+CBx^2(1/4+lnx/2)+CCx^2(1/4-lnx/2)+CDx^2(1/2-lnx/4)+C。
吉林大学2020年秋季《高等数学(理专)》在线作业一附满分答案
吉林大学2020年秋季《高等数学（理专）》在线作业一附满分答案试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 15 道试题,共 60 分)1.曲线y=x^2+x-2在点(1.5,1.75)处的切线方程为( )A.16x-4y-17=0B.16x+4y-31=0C.2x-8y+11=0D.2x+8y-17=0答案:A2.设X0是函数f(x)的可去间断点，则()A.f(x)在x0的某个去心领域有界B.f(x)在x0的任意去心领域有界C.f(x)在x0的某个去心领域无界D.f(x)在x0的任意去心领域无界答案:A更多加微boge30619,有惊喜！！！3.直线y=2x,y=x/2,x+y=2所围成图形的面积为()A.2/3B.3/2C.3/4D.4/3答案:A4.计算y= 3x^2在[0,1]上与x轴所围成平面图形的面积=（）A.0B.1C.2D.3答案:B5.f(x)={0 (当x=0)} {1(当x≠0)}则（）A.x->0,lim f(x)不存在B.x->0,lim [1/f(x)]不存在C.x->0,lim f(x)=1D.x->0,lim f(x)=0答案:C6.x=0是函数f(x)=x arctan(1/x)的（）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点答案:B7.设f(x)是可导函数，则（）A.∫f(x)dx=f'(x)+CB.∫[f'(x)+C]dx=f(x)C.[∫f(x)dx]'=f(x)D.[∫f(x)dx]'=f(x)+C答案:C8.已知y= 4x^3-5x^2+3x-2, 则x=0时的二阶导数y"=（）A.0B.10C.-10D.1答案:C9.集合A={±2，±3，±4，±5，±6}表示A.A是由绝对值小于等于6的全体整数组成的集合B.A是由绝对值大于等于2，小于等于6的全体整数组成的集合C.A是由全体整数组成的集合D.A是由绝对值大于2，小于6的整数组成的集合答案:B10.集合A={±2，±3，±4，±5，±6}表示A.A是由绝对值小于等于6的全体整数组成的集合B.A是由绝对值大于等于2，小于等于6的全体整数组成的集合C.A是由全体整数组成的集合D.A是由绝对值大于2，小于6的整数组成的集合答案:B11.设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f ＇( 0 ) = ( )A.0B.1C.3D.2答案:C12.已知z= 3sin(sin(xy)),则x=0,y=0时的全微分dz=（）A.dxB.dyC.dx+dyD.0答案:D13.下列结论正确的是（）A.若|f(x)|在x=a点处连续，则f(x)在x=a点也必处连续B.若[f(x)]^2在x=a点处连续，则f(x)在x=a点也必处连续C.若[f(x)]^3在x=a点处连续，则f(x)在x=a点也必处连续D.若f(x)在x=a点处连续，则1/f(x)在x=a点也必处连续答案:C14.设函数f(x-2)=x^2+1，则f(x+1)=( )A.x^2+2x+2B.x^2-2x+2C.x^2+6x+10D.x^2-6x+10答案:C15.设函数f(x)，g(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]区间积分∫f(x)dx=∫g(x)dx，则（）A.f(x)在[a,b]上恒等于g(x)B.在[a,b]上至少有一个使f(x)≡g(x)的子区间C.在[a,b]上至少有一点x，使f(x)=g(x)D.在[a,b]上不一定存在x，使f(x)=g(x)答案:C二、判断题 (共 10 道试题,共 40 分)16.无穷小量是一种很小的量。
吉大15春学期《高等数学(理专)》在线作业一答案
吉大15春学期《高等数学(理专)》在线作业一答案1.下列集合中为空集的是( )A。
{x|e^x=1}B。
{0}C。
{(x。
y)|x^2+y^2=0}D。
{x| x^2+1=0,x∈R}答案：D2.设f(x)的一个原函数是xlnx,则∫xf(x)dx等于( )A。
x^2(1/2+lnx/4)+CB。
x^2(1/4+lnx/2)+CC。
x^2(1/4-lnx/2)+CD。
x^2(1/2-lnx/4)+C答案：B3.求极限lim_{n->无穷} n^2/(2n^2+1) = ( )A。
0B。
1C。
1/2D。
3答案：C4.求极限lim_{x->0} tanx/x = ( )A。
0B。
1C。
2D。
1/e答案：B5.f(x)是给定的连续函数，t>0,则t∫f(tx)dx。
积分区间（0->s/t）的值（）A。
依赖于s，不依赖于t和xB。
依赖于s和t，不依赖于xC。
依赖于x和t，不依赖于sD。
依赖于s和x，不依赖于t答案：A6.已知f(x)的一个原函数是e^(-x),则∫xf'(x)dx等于（）A。
xe^(-x)+e^(-x)+CB。
xe^(-x)-e^(-x)+CC。
-xe^(-x)-e^(-x)+CD。
-xe^(-x)+e^(-x)+C答案：C7.∫{lnx/x^2}dx等于( )A。
lnx/x+1/x+CB。
-lnx/x+1/x+CC。
lnx/x-1/x+CD。
-lnx/x-1/x+C答案：D8.求极限lim_{x->0} tan3x/sin5x = ( ) A。
0B。
3C。
3/5D。
5/3答案：C9.曲线y=x^2+x-2在点(1.5,1.75)处的切线方程为( )A。
16x-4y-17=0B。
16x+4y-31=0C。
2x-8y+11=0D。
2x+8y-17=0答案：A10.y=x+arctanx的单调增区间为A。
(0,+∞)B。
(-∞,+∞)C。
(-∞,0)D。
吉大18春学期《高等数学(理专)》在线作业一-0001.C28A2DD0-5ADD-49AA-83D7-84A9044A0AFF(总9页)
A:错误
B:正确
答案：B
罗尔定理的几何意义是：一条两个端点的纵坐标相等的连续光滑曲线弧上至少有一点C（ξ，f(ξ)），曲线在C点的切线平行于x轴
A:错误
B:正确
答案：B
对一个函数先求不定积分再求微分，两者的作用抵消后只差一个常数。
A:错误
B:正确
答案：A
若直线y=3x+b为曲线 y=x2+5x+4的切线,则 b = 3
A:错误
B:正确
答案：B
闭区间上函数可积与函数可导之间既非充分也非必要条件
A:错误
B:正确
答案：A
无界函数不可积
A:错误
B:正确
答案：A
函数y=tan2x+cosx在定义域上既不是增函数也不是减函数（ ）
A:错误
B:正确
答案：B
在区间[0,1]上，函数y=x+tanx的导数恒大于0，所以是区间[0,1]上的增函数，从而最大值为1+tan1.（ ）
A:x+y^2=C
B:x-y^2=C
C:x+y^2=0
D:x-y^2=0
答案：A
集合B是由能被3除尽的全部整数组成的，则B可表示成
A:{3，6，…，3n}
B:{±3，±6，…，±3n}
C:{0，±3，±6，…，±3n…}
D:{0，±3，±6，…±3n}
答案：C
已知f(x)的原函数是cosx,则f '(x)的一个原函数是（ ）
A:0
B:1
C:1/2
D:3
答案：C
∫{lnx/x^2}dx 等于( )
A:lnx/x+1/x+C
B:-lnx/x+1/x+C
B:正确
答案：B
罗尔定理的几何意义是：一条两个端点的纵坐标相等的连续光滑曲线弧上至少有一点C（ξ，f(ξ)），曲线在C点的切线平行于x轴
A:错误
B:正确
答案：B
对一个函数先求不定积分再求微分，两者的作用抵消后只差一个常数。
A:错误
B:正确
答案：A
若直线y=3x+b为曲线 y=x2+5x+4的切线,则 b = 3
A:错误
B:正确
答案：B
闭区间上函数可积与函数可导之间既非充分也非必要条件
A:错误
B:正确
答案：A
无界函数不可积
A:错误
B:正确
答案：A
函数y=tan2x+cosx在定义域上既不是增函数也不是减函数（ ）
A:错误
B:正确
答案：B
在区间[0,1]上，函数y=x+tanx的导数恒大于0，所以是区间[0,1]上的增函数，从而最大值为1+tan1.（ ）
A:x+y^2=C
B:x-y^2=C
C:x+y^2=0
D:x-y^2=0
答案：A
集合B是由能被3除尽的全部整数组成的，则B可表示成
A:{3，6，…，3n}
B:{±3，±6，…，±3n}
C:{0，±3，±6，…，±3n…}
D:{0，±3，±6，…±3n}
答案：C
已知f(x)的原函数是cosx,则f '(x)的一个原函数是（ ）
A:0
B:1
C:1/2
D:3
答案：C
∫{lnx/x^2}dx 等于( )
A:lnx/x+1/x+C
B:-lnx/x+1/x+C
高等数学a大一教材答案
高等数学a大一教材答案一、导数与应用1. 函数与导数1.1 函数的概念与性质1.2 导数的定义与存在条件1.3 导数的性质与计算方法2. 常见函数的导数2.1 幂函数的导数2.2 指数函数的导数2.3 对数函数的导数2.4 三角函数的导数2.5 反三角函数的导数3. 高阶导数与隐函数求导3.1 高阶导数的定义与计算方法3.2 隐函数的定义与求导方法3.3 高阶导数的应用4. 函数的极值与最值4.1 极值的概念与判定条件4.2 最值的概念与求解方法4.3 最值问题的应用二、积分与应用1. 不定积分1.1 基本积分表与积分公式1.2 特殊函数的积分1.3 常用积分计算方法2. 定积分2.1 定积分的概念与性质2.2 牛顿-莱布尼茨公式2.3 定积分的计算与应用3. 定积分的应用3.1 曲线长度与曲面面积3.2 物理问题中的定积分3.3 统计学中的定积分4. 微分方程4.1 常微分方程的基本概念4.2 一阶微分方程的解法4.3 高阶微分方程的解法三、级数与幂级数1. 数列与级数1.1 数列的概念与性质1.2 级数的概念与性质1.3 收敛与发散的判定方法2. 常见级数2.1 等比级数2.2 幂级数2.3 收敛级数的性质与计算方法3. 幂级数的收敛半径与收敛区间3.1 幂级数的收敛半径的定义与计算方法3.2 幂级数的收敛区间的判定方法3.3 幂级数的性质与运算法则4. 函数展开成幂级数4.1 函数在收敛区间内的展开4.2 常见函数的幂级数展开4.3 幂级数的应用总结：本答案提供了高等数学A大一教材中导数与应用、积分与应用、级数与幂级数等部分的相关答案。
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《高等数学AI》期末复习题参考答案
《高等数学AI 》期末复习题一参考答案一、选择题：1. C ；2. C ；3. D ；4. B ；5. D ；二、填空题：1、[ 2，4 ]；2、1；3、x = 1；4、y = x + 1；5、5272x ；6、单调增加；7、( - 1，6 )；8、3；9、y = 1；10、C ln x a a+；1112、π2；13、3。
三、计算下列极限：1、解：原式 = 201cos lim x xx→- 2、解：原式 = 1lim (1)1xx x →∞++ = 22012lim x x x → =1111lim (1)(1)11x x x x +-→∞+⋅+++ =12。
= e 。
四、计算下列导数：1、解：y ′ = 22(1)(2)x x x +-++2、解：y ′ = cos 1sin xx+。
=21(2)x + d y = 21(2)x + d x 。
3、解：方程两边对x 求导：3 y 2 y ′ - 3 y ′ - 6 x 5 = 0，y ′ = 5221x y -。
五、计算下列积分：1、解：dx x x ⎰++2212=dx x x ⎰+++11122=dx x ⎰++)111(2=arctan C x x ++。
2、解：dx x x ⎰+2sin 1cos =)(sin sin 112x d x⎰+=arctan(sin )C x +。
3、解：原式 = ( x 3 – x 2 + x )|10 = 1。
4、解：原式 =111000||11x x x xe e d x e e e e -=-=-+=⎰。
5、解：令t=x = t 2 ，d x = 2 t d t ，原式 = 102cos t t dt ⎰ =11002(sin |sin )t t t dt -⎰102(sin1cos |)2(sin1cos11)t =+=+-。
六解：(1) 函数的定义域为：( - ∞，- 3 ) ∪ ( - 3，+ ∞)。
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高等数学作业AⅠ吉林大学数学中心2017年8月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．下列结论正确的是( A )．（A ）x arctan 是单调增加的奇函数且定义域是），（∞+∞- ； （B ）x arc cot 是单调减少的奇函数且定义域是），（π0； （C ）x arctan 是无界函数；（D ）4-22arccosπ=． 2．下列函数中不是奇函数的为( B )．（A ）xx x x ee e e --+-；（B ）x x cos 3+；（C ）)1ln(2x x ++；（D ）x arcsin ． 3．函数x x y 3cos 2sin +=的周期为( C )． （A ）π；（B ）π32；（C ）π2； （D ）π6．4．. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n =（ C ）（A ）0； （B ）1； （C ）0. 5； （D ）2．5.已知数列{}n x 是单调增加的.则“数列{}n x 收敛”是“数列{}n x 有上界”的（ A ）条件（A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 6．设数列{}n a （ ,2,1,0=>n a n ）满足,0lim 1=+∞→nn n a a 则( D )．（A ）{}n a 的敛散性不定；（B ）0lim ≠=∞→c a n n ；（C ）n n a ∞→lim 不存在； （D ）0lim =∞→n n a ． 二、填空题1．=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-∞→n n n n n 22241241141lim 0. 5 ． 2．设⎩⎨⎧<+≥+=,0,2,0,12)(2x x x x x f 42)(-=x x g . 则)]([x g f = ⎩⎨⎧<+-≥-2,181642,742x x x x x ．3．函数1)(+=x x e e x f 的反函数)(1x f -= )1,0(,1ln ∈-x x x．4．“数列{}n x 2及数列{}12+n x 同时收敛”是“数列{}n x 收敛” 必要 条件. 5.=++--+++∞→])2()11(1sin[lim 1n n nn n n n n n 22e + ． 三、计算题1．设633134)11(xx x f ++=+，求)(x f ． 解：令311x t +=，则311-=t x 代入已知的式子中得，2)1)1(34)(-+-+=t t f t即有22)(t t f ++=t2．求nn n x 13)|1(lim |+∞→，解：(1)当1||>x 时 由于31133||2)||1(||x x x nnn <+<以及 331||||2lim x x nn =∞→所以有313||)|1(lim x x nnn =+∞→|（2）当1||≤x 时由于nn n x 1132)||1(1≤+<以及12lim1=∞→nn ，所以有1)|1(lim 13=+∞→nn n x |3．设函数()f x 满足关系式22()(1)f x f x x +-=，求()f x 的表达式．解：∵22(1)()(1)f x f x x -+=-22()(1)f x f x x +-=解得 ; 221()3x x f x +-=四、证明题 设 ,2,1,11,111=++==+n x x x x n nn ，证明n x x ∞→lim 存在，并求其值．证：先证明数列{}n x 单调递增：12x x <显然成立．假设1k kx x -<成立，则有0)1)(1(1111111>++-=+-+=-----+k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x即1k k x x +<成立．由数学归纳法知，对任何正整数n ，均有1n n x x +<成立．从而数列{}n x 单增．再次，显然有2<n x 成立，即数列{}n x 上有界．根据单调有界原理便知数列{}n x 收敛．令lim n n x l →∞=，将111++=+n nn x x x 两边取极限得12+=l l ，考虑到l >0解得251+=l .因此．251lim +∞→n n x第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．已知1)1)(lim21-=-→x x f x （，则下列结论正确的是( D )． （A ）0)1(=f ；（B ）0)(lim 1<→x f x ；（C ）存在0>δ，当δ<-1x 时，0)(<x f ；（D ）存在0>δ，当δ<-<10x 时，0)(<x f ．2．已知0)(lim ≠=→A x f ax 存在，则下列结论不正确的是 ( C )．（A ）若)(lim x g ax →不存在，且∞≠→)(lim x g ax .则)()(lim x g x f ax →不存在，且∞≠→)()(lim x g x f ax ；（B ）若∞=→)(lim x g ax ，则∞=→)()(lim x g x f ax ；（C ）若)(lim x g ax →不存在，则)()(lim x g x f ax →可能存在也可能不存在；（D ）．B x g ax =→)(lim ,则)()(lim x g x f ax →=AB.3．“)0(0-x f 与)0(0+x f 存在”是“)(lim 0x f x x →存在”的( B )条件．（A ）充分； （B ）必要； （C ）充分且必要； （D ）非充分且非必要．4．当+∞→x 时，x e y xsin =是( B )．（A ）无穷大； （B ）无界函数但不是无穷大； （C ）有界函数但不是无穷小； （D ）无穷小． 5．（A ）当0→x 时，x x +是8x 的2阶无穷小；（B ）当0→x 时，8x 是x x +的2阶无穷小；（C ）当0→x 时，x x +是8x 的4阶无穷小；（D ）当0→x 时，8x 是x x +的4阶无穷小．上面结论正确的是 ( A )．6．0=x 是函数( D )的可去间断点． （A ）x x x f 1arctan )(2+=; （B ）xx f 1sin )(=； （C ）xx x f 2cos 1)(-=；（D ）xx x f 1sin)(3=． 7．0=x 是( D )函数的跳跃间断点．（A ）xx x f 1)1)(+=（; （B ）2sin )(xxx f =； （C ）xx f 1cos)(=； （D ）xxx xee e e xf 1111)(--+-=．二、填空题 1．设)(lim 1x f x →存在，且)(lim 2)(1`2x f x x x f x →+=则)(x f =x x 2`2- ．2．已知xt x xt xtx f sin sin )sin sin (lim )(-→=，则)(x f =xx esin3．+∞→x lim )2(22x x x x +-+= 21 . ． 4．已知当0→x 时,)(x f 与32x 是等价无穷小量,则=--+→11sin )(1lim2x x e x x f 1 ．5．已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+>+=0,0,)21ln(1)(2tan x x a x xe xf x- 在0=x 点连续，则a = -2 ．6．函数xx x x x x f sin )1()23(||)(22-++=的无穷间断点是1,(1,2,)x k k π==±± ．三、计算与解答题1．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<-=0)21ln()arctan(0sin tan )(3x x ax x x xx x f ，，，已知)(lim 0x f x →存在，求常数a ．解22lim )21ln()arctan(lim )(lim 000ax ax x ax x f x x x ==+=+++→→→ 21)cos 1(lim sin tan lim )(lim 30300=-=-=--→→→xx x x x x x f x x x tan - 因此)(lim 0x f x →存在的充要条件是1=a2．求]1[lim 0x x x →．其中]1[x 是不超过x1的最大整数。
证明 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧x x x 111，则有110≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤x 于是有 1)1(lim 1)1(lim 00=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→→x x x x x x3. 求x x x x b a 10)2(lim +→，（a ，b 为不等于1的正数.）设xx x b a y 1)2(+=，则 2)ln()2121(lim )21211ln(lim ln lim 000ab x b x a x b a y x x x x x x x =-+-=-+-+=→→→于是有ab y x =→0lim四、证明题1．设)(x f 在[a ,b ]上连续，)(21b x x a <<<，证明对任意的两个正数t 1 ，t 2都存在),b a （∈ξ使 )()()()(212211ξf t t x f t x f t +=+证：()f x 在开区间(,)a b 内连续，12a x x b <<<，()f x 在开区间[]12,x x 内连续，则()f x 在开区间[]12,x x 存在最大值M 最小值m ， 11221212()(),(0,0)t f x t f x m M t t t t +≤≤>>+，由介值定理得证2．设)(x f 在1,0[上非负连续，且0)1()0(==f f ，证明方程对任意实数a （0<a <1）必有)1,0[∈ξ．使)()(ξξf a f =+设)()()(x f a x f x F -+= （1）若0)(=a f ，取0=ξ即可 （2）若0)1(=-a f ，取a -=1ξ即可（3）若0)1(,0)(≠-≠a f a f .将)(x F 在]1,0[a -用零点定理即可.第三次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．)(x f 在a x =处左，右导数)(),(a f a f +-''都存在，是)(x f 在a x =处连续的( C )条件．（A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 2．设)(ln x f y =， )(u f 是可导函数，则=dy ( D )． （A ）dx x f )(ln '； （B ）xdx x f ln )(ln '；（C ）dx x x f ln 1)(ln '； （D ）x d x f ln )](ln '． 3．设x y 2sin =，则=+)1(n y( B )． （A ）)22sin(πn x +； （B ）)22sin(2πn x n+；（C ）)22sin(21πn x n ++； （D ）)2sin(2πn x n+． 4．设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,00,1sin )(x x xx x f α则0>α是)(x f 在0=x 处连续的( A )条件． （A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 5．()()()f x x a x ϕ=-，且lim ()0,()1x ax a ϕϕ→==，则()f a '= ( A )．（A ）0； （B ）a ； （C ）1； （D ）不存在．6．hh x f h x f h )()(lim000--+→存在是)(x f 在0x 点可导的（ B ）条件.（A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 二、填空题1．设曲线)(x y y =由⎩⎨⎧+==+tt y x t xe t 2cos sin cos π确定，则)(x y y =在(0,1) 处的切线方程为 x e y π+=1 ．2．设)()2)(1()(n x x x x x f +++= ,则=')0(f n!; )0()(n f=2)1(+n n ． 3．设|1|ln x x y -=，则=)0()(n y -n (n -2)! ．4．已知)(x f 连续，且1)(lim 0=→xx f x 则=)0(f 0 ，=')0(f 1 ．5．已知)(x f 在1=x 处具有连续的导数，且1)1(='f ，求)2(cos 1lim 20x f xx x d d→=-8 ．6．设函数()y f x =在点0x 可导，且则0()0f x '≠，则0d lim x y yx∆→∆-=∆ 0 ．7．设12log+=x e xy ，则='y )1(2)1ln(1222x x x +++-．三、计算题1．设)(22)]1(sin [x f e xf y +=，其中f (x )可微. 求y '．解)(21cos )1(sin )1(sin 22)(22x f xe x x f x f xy x f '+'-=' 2．设x a x x y arctan 22)(++=，求dy ．解)ln(arctan ln 22a x x x y ++=则)1(1arctan )ln(112222222ax xa x x x a x x x y y ++++++++=')1arctan )ln(11()(22222arctan 22a x x a x x x a x x y x +++++++='dx ax x a x x x a x x dy x )1arctan )ln(11()(22222arctan 22+++++++=3．设1sec 221+=x y xx e ，求y '．解 )1ln(sec 41212ln ln 2+++=x x y x，则 ）（1sec 2tan sec 212ln 222++-='x xx x y y 于是1sec 221+='x y xxe)1sec 2tan sec 212(ln 222）（++-x xx x4．设⎩⎨⎧-'='=)()()(t f t f t y t f x ，其中)(t f 三阶可导且0)(≠''t f 求33x yd d ．解t t x t y dx dy =''=)()( )(1)(1)()(22t f t x dx dy dt d dx dy dx d dxy d ''='== 3222233)]([)()(1)()(t f t f t x dx y d dt d dx y d dx d dx y d '''''-='== 5．设()y f x =由方程e 1yy x -=所确定，求22d d x yx=．解; 0,1x y ==0y y y e xe y ''--= 0x y e ='=2()0y y y y y e y e y xe y xe y '''''''----= 202x y e =''=6.设⎩⎨⎧≥-+<+=0,)1(2arctan 90,2sin )(3x x b x x ae x x f x 试确定常数b a ,的值，使得函数f (x )在x =0点可导，并求)0(f '．解 由可导必连续知)(lim )0(0x f f x -→=，于是有b a -=ax aae x x b ae x x f x f f x x x x x 21022sin lim 022sin lim 0)0()(lim )0(000+=--+=-++=--='---→→→-b x bx b x x f x f f x x 6902)1(2arctan 9lim 0)0()(lim )0(300+=-+-+=--='++→→+由f (x )在x =0点可导可得b a 6921+=+ 经求解得1,1-==b a第四次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．( A )不满足罗尔定理的条件，但存在）（1,1-∈ξ使0)(='ξf ． （A ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-=10)21(0141)(2x x x x f ，，在[-1,1]上；（B ）⎩⎨⎧=-<≤-=1111)(x x x x f ，，在[-1,1]上；（C ） ||)(x x f =在[-1,1]上；（D ） 2x y =在[-1,1]上．2．已知)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则在(a ,b )内( A )．（A ）曲线)(x f y =必有切线平行于x ab a f b f y --=)()(；（B ）曲线)(x f y =只有一条切线平行于x ab a f b f y --=)()(；（C ）曲线)(x f y =必有切线平行于x 轴； （D ）曲线)(x f y =未必有切线．4．=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x ( C )．（A ）∞； （B ）0； （C ）21； （D ）21-．5．下列各极限都存在，能用洛必达法则求的是( C )．（A ）xx x x sin 1sinlim20→；（B ）xx xx x sin cos lim+++∞→；（C ）xx x arccot 2arctan lim π-+∞→；（D ）x x xx x --+∞→+-e e e e lim ．6．已知当0→x 时,)sin()(ax x x f -=与)1ln()(2bx x x g -=是等价无穷小量，则（ B ）（A ）61,1==b a ；（B ）61,1-==b a ； （C ）61,1-=-=b a ； （D ）61,1=-=b a ．二、填空题1．设)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则方程0)(='x f 的实根个数为 3个，它们分别在区间 （0，1），（1，2），（2，3） ．2．()x x x 11lim ++∞→= 1 ．3．已知当0→x 时,b ax e x---与221x 是等价无穷小量，则=a -1 ，=b1 ．4．函数x x f ln )(=在x=1点的二阶泰勒公式为（拉格朗日型余项）332)1()]1(1[312)1(1)(--++---=x x x x x f θ ，)10(<<θ ． 5．2()ln(1)f x x x =+，则()(0)n f = 1(1)!2n n n --- (2)n >．三、计算题1．利用泰勒公式求极限21)1ln(cos 1sin limx x x x x e-++-+→ ．)(sin x o x x +=； )(!2cos 132x o x x --=- )()1ln(x o x x +=+；)(1222x o x ex ++=代入的=-++-+→21)1ln(cos 1sin limx x x x x e12．求)]11ln([lim 2xx x x -+∞→． 解由泰勒公式有)]11ln([lim 2x x x x -+∞→=)]1(211([lim 222xo x x x x x +--+∞→ =21-3．求11lim ()()()()x af x f a x a f a →⎡⎤-⎢⎥'--⎣⎦．其中()f x 在x a =的某邻域内有连续的二阶导数，且()0f a '≠．解：原式=()()()()lim(()())()()x a x a f a f x f a f x f a x a f a →'--+'--=1()()lim()()()()()x a f a f x f a f x f a x a f x →''-''-+- =[]2()()1()lim ()()()2()()x a f a f x f a x a f x f a f a f a f x x a→''-''-=--'''+- 4．设()f x 在0x =的某邻域具有三阶导数，且13()lim e 1xx f x x x →⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，求(0),(0),(0)f f f '''．解：由已知有0()lim0,x f x x→=得(0)0,(0)0,f f '==由0()lim3,x f x x x x→+= 得(0)4f ''= 四、证明题 1．已知201π<<x ，n n x x sin 1=+ .（1） 证明数列{}n x 收敛，并求其极限值． （2） 求211)(lim n x nn n x x +∞→．证明： 由n n n x x x ≤=+sin 1，及10≤≤n x 知数列{}n x 收敛． 将n n x x sin 1=+两边取极限得l l sin =解得l =0设21)sin ()(x xx x f = =+→)(ln lim 0x f x 20sin lnlim x x x x +→ =20)1sin 1ln(lim x xx x -++→ =30sin lim x x x x -+→ =61-故有211)(lim n x nn n x x +∞→=61-e 2．设)(x f 在],[b a 上连续（a >0），在),(b a 内可导，证明：必存在点),(b a ∈ηξ，，使得)(2)(ηηξf ba f '+='． 证明：由于设)(x f 在],[b a 上连续（a >0），在),(b a 内可导。