2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训第四章 三角函数与解三角形 4-1 Word版含答案

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用举例真题演练集训理新人教A版1．［2014·浙江卷］如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是( ）A.305B.错误!C.错误!D.错误!答案：D解析：如图，过点P作PO⊥BC于点O，连接AO,则∠PAO＝θ。

设CO＝x m，则OP＝错误!x m.在Rt△ABC中,AB＝15 m，AC＝25 m，所以BC＝20 m．所以cos ∠BCA＝错误!。

所以AO＝错误!＝错误!(m）．所以tan θ＝错误!＝错误!＝错误!。

当错误!＝错误!,即x＝错误!时，tan θ取得最大值为错误!＝错误!.2．［2015·湖北卷]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.答案：100错误!解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600 m,故由正弦定理得600sin 45°＝错误!,解得BC＝300错误! m。

真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725B.15 C ．－15D ．－725答案：D 解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D.2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案：B解析：解法一：由tan α＝1＋sin βcos β得 sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.解法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z .当k ＝0时，满足2α－β＝π2，故选B.3．[2016·浙江卷]已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________. 答案：2 1解析：由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1. 4．[2014·重庆卷]已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 由－π2≤φ＜π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158.。

真题演练集训．钝角三角形的面积是，＝，＝，则＝( )．．．答案：解析：由题意可得·· ＝，又＝，＝，所以＝，所以＝°或＝°.当＝°时，由余弦定理可得＝)＝，此时＝＝，＝，易得＝°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以＝°.由余弦定理可得＝)＝.)(＋)△．已知，，分别为三个内角，，的对边，＝，且(－则＝面积的最大值，△(－)为．答案：解析：∵)＝)＝)＝，＝，又(＋)( － )＝(－) 可化为(＋)(－)＝(－)，∴－＝－，∴＋－＝.∴＝＝＝，∴＝°.∵△中，＝＝＋－· °＝＋－≥－＝(当且仅当＝时等号成立)，∴△＝·· ≤××＝.．△的内角，，的对边分别为，，，若＝，＝，＝，则＝.答案：解析：解法一：因为＝，＝，所以＝，＝，从而＝(＋)＝＋＝×＋×＝.由正弦定理)＝)，得＝)＝.解法二：因为＝，＝，所以＝，＝，从而＝－(＋)＝－＋＝－×＋×＝.由正弦定理)＝)，得＝)＝.由余弦定理＝＋－，得＝.解法三：因为＝，＝，所以＝，＝，由正弦定理)＝)，得＝)＝.从而＝＋＝.解法四：如图，作⊥于点，由＝，＝＝，知＝，＝.又＝，所以＝，从而＝.故＝＋＝.．△的内角，，的对边分别为，，，已知 ( ＋ )＝.()求；()若＝，△的面积为，求△的周长．解：()由已知及正弦定理，得( ＋ )＝，(＋)＝，故＝，∈(，π)．可得＝，所以＝.()由已知，.＝又＝，所以＝.＋－由已知及余弦定理，得＝，故＋＝，从而(＋)＝.所以△的周长为＋.课外拓展阅读转化与化归思想在解三角形中的应用△的内角，，的对边分别为，，，已知 ( ＋ )＝.()求；()若＝，△的面积为，求△的周长．()利用正弦定理进行边角互化求解；()利用三角形的面积公式得出，再结合余弦定理联立方程求出＋，进而求得△的面积．。

真题演练集训1．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1 ，BC ＝2，则AC ＝( ) A ．5 B. 5 C ．2D ．1答案：B解析：由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12， 又AB ＝1 ，BC ＝2，所以sin B ＝22， 所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.2．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．答案： 3解析：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°. ∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (当且仅当b ＝c 时等号成立)，∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3. 3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________. 答案：2113解析：解法一：因为cos A ＝45，cos C ＝513， 所以sin A ＝35，sin C ＝1213， 从而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C＝35×513＋45×1213＝6365. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A ＝2113. 解法二：因为cos A ＝45，cos C ＝513， 所以sin A ＝35，sin C ＝1213， 从而cos B ＝－cos(A ＋C )＝－cos A cos C ＋sin A sin C ＝－45×513＋35×1213＝1665. 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b ＝2113. 解法三：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213， 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013. 从而b ＝a cos C ＋c cos A ＝2113. 解法四：如图，作BD ⊥AC 于点D ，由cos C ＝513，a ＝BC ＝1，知CD ＝513，BD ＝1213. 又cos A ＝45，所以tan A ＝34，从而AD ＝1613.故b ＝AD ＋DC ＝2113. 4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． 解：(1)由已知及正弦定理，得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C ，C ∈(0，π)． 可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知，12ab sin C ＝332. 又C ＝π3，所以ab ＝6. 由已知及余弦定理，得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7.课外拓展阅读转化与化归思想在解三角形中的应用△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． (1)利用正弦定理进行边角互化求解；(2)利用三角形的面积公式得出ab ，再结合余弦定理联立方程求出a ＋b ，进而求得△ABC 的面积．(1)由已知及正弦定理得， 2cos C A cos B ＋sin B cos A ＝sin C ，①2cos C sin(A ＋B )＝sin C ．故2sin C cos C ＝sin C .可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知，得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6. 由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7. 故a 2＋b 2＝13，从而a ＋b 2＝25.②所以△ABC 的周长为5＋7.满分心得1．(1)题中①处不能利用正弦定理将边化为角，使已知条件中的式子转化为同类．(2)题中②处不能结合余弦定理将(a ＋b )视为整体进行求解而走入误区．2．转化与化归思想在解三角形中的应用主要体现在边角之间利用正、余弦定理统一的转化化简上，使关系式中的量达到统一性．。

基础知识整合１．y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念２．用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示．３．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象的步骤函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k（A>0，ω>0）中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；φ的变化引起左右平移变换；k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．１．为了得到函数y＝sin错误!的图象，只需把函数y＝sin２x的图象上的所有点（）Ａ．向左平行移动错误!个单位长度Ｂ．向右平行移动错误!个单位长度Ｃ．向左平行移动错误!个单位长度Ｄ．向右平行移动错误!个单位长度答案D解析∵y＝sin错误!＝sin２错误!，∴只需将函数y＝sin２x图象上的所有点向右平移错误!个单位长度即可得到函数y＝sin错误!的图象．故选Ｄ．２．函数f（x）＝２sin（ωx＋φ）错误!的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）Ａ．２，—错误!Ｂ．２，—错误!Ｃ．４，—错误!Ｄ．４，错误!答案A解析由图可知，错误!T＝错误!＋错误!＝错误!，T＝π，ω＝错误!＝２．因为点错误!在图象上，所以２×错误!＋φ＝错误!＋２kπ，φ＝—错误!＋２kπ，k∈Z.又—错误!<φ<错误!，所以φ＝—错误!.故选Ａ．３．（２0１8·西安模拟）已知函数f（x）＝cos错误!（ω>0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）Ａ．关于点错误!对称Ｂ．关于直线x＝错误!对称Ｃ．关于点错误!对称Ｄ．关于直线x＝错误!对称答案D解析错误!＝π得ω＝２，函数f（x）的对称轴满足２x＋错误!＝kπ（k∈Z），解得x＝错误!—错误!（k ∈Z），当k＝１时，x＝错误!.选Ｄ．４．（２0１9·河北五校联盟摸底）把函数y＝sin错误!的图象向左平移错误!个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）Ａ．x＝0 Ｂ．x＝错误!Ｃ．x＝错误!Ｄ．x＝—错误!答案C解析５．（２0１8·天津高考）将函数y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度，所得图象对应的函数（）Ａ．在区间错误!上单调递增Ｂ．在区间错误!上单调递减Ｃ．在区间错误!上单调递增Ｄ．在区间错误!上单调递减答案A解析将y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度，所得图象对应的函数为y＝sin错误!＝sin２x，当２kπ—错误!≤２x≤２kπ＋错误!（k∈Z），即kπ—错误!≤x≤kπ＋错误!（k∈Z）时，y＝sin２x单调递增，令k＝0，则x∈错误!，所以y＝sin２x在错误!上单调递增，故选Ａ．核心考向突破考向一三角函数的图象变换例１将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移错误!个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）Ａ．y＝sin错误!Ｂ．y＝sin错误!Ｃ．y＝sin错误!Ｄ．y＝sin错误!答案C解析将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移错误!个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝sin 错误!；再把所得各点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y＝sin错误!.故选Ｃ．触类旁通两种图象变换的区别由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是错误!（ω>0）个单位长度．即时训练１．将函数y＝cos错误!的图象上各点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不变），再向左平移错误!个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）Ａ．x＝错误!Ｂ．x＝错误!Ｃ．x＝πＤ．x＝错误!答案D解析y＝cos错误!错误!y＝cos错误!y＝cos错误!，即y＝cos错误!.由余弦函数的性质知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当x＝错误!时，y＝cos错误!＝１．故选Ｄ．考向二求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式例２已知函数y＝sin（ωx＋φ）（ω>0，—π≤φ<π）的图象如图所示，则φ＝________.答案错误!解析由图象可知ω＝错误!，当x＝２π时，y＝１，∴错误!×２π＋φ＝错误!＋２kπ，k∈Z.∵—π≤φ<π，∴φ＝错误!.触类旁通确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A>0，ω>0）的解析式的步骤（１）求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝错误!，b＝错误!.错误!３求φ，常用方法有：１代入法：把图象上的一个已知点代入此时A，ω，b已知或代入图象与直线y＝b的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.２五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.即时训练２．已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）错误!，y＝f（x）的部分图象如图所示，则f错误!＝________.答案错误!解析由图象可知，错误!＝错误!—错误!，即错误!＝错误!，所以ω＝２，再结合图象，可得２×错误!＋φ＝kπ＋错误!，k∈Z，即|φ|＝错误!<错误!，所以—错误!<k<错误!，只有k＝0，所以φ＝错误!，又图象过点（0,１），代入得Atan错误!＝１，所以A＝１，函数的解析式为f（x）＝tan错误!，则f错误!＝tan错误!＝错误!.考向三函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质角度错误!函数图象与性质的综合应用例３（２0１9·山西模拟）函数f（x）＝cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）Ａ．错误!，k∈ZＢ．错误!，k∈ZＣ．错误!，k∈ZＤ．错误!，k∈Z答案D解析由图象可知错误!＋φ＝错误!＋２mπ，错误!＋φ＝错误!＋２mπ，m∈Z，所以ω＝π，φ＝错误!＋２mπ，m∈Z，所以函数f（x）＝cos错误!＝cos错误!的单调递减区间为２kπ<πx＋错误!<２kπ＋π，k ∈Z，即２k—错误!<x<２k＋错误!，k∈Z.故选Ｄ．角度错误!图象变换与性质的综合应用例４（２0１8·太原模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）错误!的最小正周期是π，若将f（x）的图象向右平移错误!个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）Ａ．关于直线x＝错误!对称Ｂ．关于直线x＝错误!对称Ｃ．关于点错误!对称Ｄ．关于点错误!对称答案B解析∵f（x）的最小正周期为π，∴错误!＝π，ω＝２，∴f（x）的图象向右平移错误!个单位后得到g（x）＝sin错误!＝sin错误!的图象，又g（x）的图象关于原点对称，∴—错误!＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝错误!＋kπ，k∈Z，又|φ|＜错误!，∴φ＝—错误!，∴f（x）＝sin错误!.当x＝错误!时，２x—错误!＝—错误!，∴A，C错误；当x＝错误!时，２x—错误!＝错误!，∴B正确，D错误．角度错误!三角函数模型的简单应用例５某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）＝１0—错误!cos错误!t—sin错误!t，t∈[0,２４）．（１）求实验室这一天的最大温差；（２）若要求实验室温度不高于１１℃，则在哪段时间实验室需要降温？解（１）f（t）＝１0—２错误!＝１0—２sin错误!，因为0≤t<２４，所以错误!≤错误!t＋错误!<错误!，—１≤sin错误!≤１．当t＝２时，sin错误!＝１；当t＝１４时，sin错误!＝—１．于是f（t）在[0,２４）上取得最大值１２，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为１２℃，最低温度为8 ℃，最大温差为４℃.（２）依题意，当f（t）>１１时实验室需要降温．由（１）得f（t）＝１0—２sin错误!，故有１0—２sin错误!>１１，即sin错误!<—错误!.又0≤t<２４，因此错误!<错误!t＋错误!<错误!，即１0<t<１8．在１0时至１8时实验室需要降温．触类旁通１解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f x＝Asinωx＋φ＋k中的待定系数.２研究y＝Asinωx＋φ的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题。

真题演练集训．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )．＝．＝．＝＋．＝＋答案：解析：＝＝－，最小正周期＝＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故正确；＝＝，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于对称，故不正确；，均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故，不正确．．设函数()＝＋＋，则()的最小正周期( )．与有关，且与有关．与有关，但与无关．与无关，且与无关．与无关，但与有关答案：解析：由于()＝＋＋＝)＋＋.当＝时，()的最小正周期为π；当≠时，()的最小正周期为π的变化会引起()图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选.．已知函数()＝(ω＋φ)，＝－为()的零点，＝为＝()图象的对称轴，且()在上单调，则ω的最大值为( )．．．．答案：解析：因为＝－为函数()的零点，＝为＝()图象的对称轴，所以＝＋(∈，为周期)，得＝(∈)．又()在上单调，所以≥，≤.又当＝时，ω＝，φ＝－，()在上不单调；当＝时，ω＝，φ＝，()在上单调，满足题意，故ω＝，即ω的最大值为.．函数()＝＋＋的最小正周期是，单调递减区间是．答案：π(∈)解析：∵()＝＋＋＝)＋＋＝－＋＝＋，∴函数()的最小正周期＝π.令＋π≤－≤＋π，∈，解得π＋≤≤π＋(∈)，故函数()的单调递减区间为(∈)．．已知函数()＝－.()求()的最小正周期和最大值；()讨论()在上的单调性．解：()()＝－＝－(＋ )＝－－＝－，因此()的最小正周期为π，最大值为.()当∈时，≤－≤π.当≤－≤，即≤≤时，()单调递增；当≤－≤π，即≤≤时，()单调递减．综上可知，()在上单调递增；在上单调递减．课外拓展阅读三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数中最基本的问题，是历年高考考查的重点和热点内容，对于这类问题如果能找到恰当的方法，掌握其规律，就可以简捷地求解．前面考点中介绍了两种类型，还有如下几种常见类型．．＝＋＋型函数的最值可将＝＋＋中的看作，即令＝，则＝＋＋，这样就转化为二次函数的最值问题．但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变，即要根据给定的的取值范围，求出的范围．另外，＝＋＋，＝＋＋等形式的函数的最值都可归为此类．设∈，求函数＝－－的最值．错误!→错误!→令＝，由于∈，故∈.＝－－＝－，因为当∈时，函数单调递减，所以当＝－，即＝－时，＝；当＝，即＝时，＝－.．＝＋＋型函数的最值。

真题演练集训1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案：A解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于⎝⎛⎭⎪⎫π4＋k π2，0对称，故B 不正确；C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C ，D 不正确．2．设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 答案：B解析：由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos 2x 2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5答案：B解析：因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以π2＝kT 2＋T4(k ∈Z ，T 为周期)，得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z )．又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以T ≥π6，k ≤112.又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.4．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．答案：π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z ) 解析：∵f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1 ＝12sin 2x －12cos 2x ＋32 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴ 函数f (x )的最小正周期T ＝π. 令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )．5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x－3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性． 解：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π.当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减． 课外拓展阅读 三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数中最基本的问题，是历年高考考查的重点和热点内容，对于这类问题如果能找到恰当的方法，掌握其规律，就可以简捷地求解．前面考点3中介绍了两种类型，还有如下几种常见类型．1．y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型函数的最值可将y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 中的sin x 看作t ，即令t ＝sin x ，则y ＝at 2＋bt ＋c ，这样就转化为二次函数的最值问题．但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变，即要根据给定的x 的取值范围，求出t 的范围．另外，y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c ，y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 等形式的函数的最值都可归为此类．设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，求函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最值．令t ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3→t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1→求得y ＝4t 2－12t －1的最值，即原函数的最值令t ＝sin x ，由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，故t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.y ＝4t 2－12t －1＝4⎝⎛⎭⎪⎫t －322－10，因为当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1时，函数单调递减， 所以当t ＝－12，即x ＝－π6时，y max ＝6；当t ＝1，即x ＝π2时，y min ＝－9.2．y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型函数的最值可利用降幂公式⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ＝1－cos 2x 2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2，sin x cos x ＝sin 2x 2将y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 整理转化为y ＝A sin 2x ＋B cos 2x ＋C 求最值．求函数y ＝sin x (cos x －sin x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π4的最大值．y ＝sin x (cos x －sin x ) ＝sin x cos x －sin 2x ＝12sin 2x －1－cos 2x2 ＝12(sin 2x ＋cos 2x )－12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12.因为0<x <π4，所以π4<2x ＋π4<3π4，所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，y max ＝2－12.3．y ＝a sin x ＋cb cos x ＋d型函数的最值此类题目的特点是分子或分母中含有sin x 或cos x 的一次式的形式，一般可将其化为f (y )＝sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用三角函数的有界性求其最值．求函数y ＝3cos x2＋sin x 的最值．由y ＝3cos x2＋sin x ，得y sin x －3cos x ＝－2y ，所以y 2＋3sin(x －φ)＝－2y (其中φ为辅助角)，所以sin(x －φ)＝－2yy 2＋3，又|sin(x －φ)|≤1， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2y y 2＋3≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2y y 2＋32≤1， 解得－1≤y ≤1，故y max ＝1，y min ＝－1.4．y ＝a (sin x ±cos x )＋b sin x cos x ＋c 型函数的最值对于y ＝a (sin x ＋cos x )＋b sin x cos x ＋c ，令sin x ＋cos x ＝t ，t ∈，因为(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，所以sin x cos x ＝t 2－12，则函数就变为y ＝at ＋b ·t 2－12＋c 的形式，因此，此类函数的最值也可通过换元转化为二次函数的最值问题．对于形如y ＝a (sin x －cos x )＋b sin x cos x ＋c 的函数也可采用同样的方法，另外，此类题目也应注意换元前后变量的取值范围要保持相同．求函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值．y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ， 令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈， 且sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)．故当t ＝43时，y min ＝72.5．通过换元转化为代数函数的最值通过换元的方法将三角函数的最值问题转化为代数函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性等求函数的最值．已知x ∈(0，π)，求函数y ＝3sin x1＋3sin 2x 的最大值．令sin x ＝tt→转化为求代数函数y ＝31t＋3t的最值→利用基本不等式求最值 令sin x ＝t (0<t ≤1)， 则y ＝3t 1＋3t 2＝31t＋3t ≤321t·3t＝12， 当且仅当t ＝33时等号成立．故y max ＝12. 已知x ∈(0，π)，求函数y ＝sin x ＋2sin x 的最小值．令sin x ＝t (0<t ≤1)，然后求导，利用函数的单调性求最值． 设sin x ＝t (0<t ≤1)， 则原函数可化为y ＝t ＋2t，因为y ′＝1－2t 2＝t 2－2t 2＝t －2t ＋2t2， 所以当0<t ≤1时，y ′<0，则y ＝t ＋2t在(0,1]上为减函数，所以当t ＝1时，y min ＝3.即函数y ＝sin x ＋2sin x 的最小值是3.温馨提示y ＝sin x ＋asin x型三角函数求最大值时，当sin x >0，a >1时，不能用基本不等式求最值，宜用函数在区间上的单调性求解．。

真题演练集训1．若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825C ．1 D.1625答案：A解析：解法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425.解法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425.2．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b答案：C解析：∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .3．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．答案：－1解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 课外拓展阅读分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用(1)已知A ＝k π＋αsin α＋k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2} (2)在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则C ＝________.(1)角中有整数k ，应对k 是奇数还是偶数进行讨论；(2)利用同角三角函数基本关系式的平方关系时，要对开方的结果进行讨论．(1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2； 当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2. 所以A 的值构成的集合是{2，－2}．(2)由已知，得⎩⎨⎧ sin A ＝2sin B ，①3cos A ＝2cos B ，②①2＋②2，得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22， 当cos A ＝22时，cos B ＝32， 又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝π4，B ＝π6， 所以C ＝π－(A ＋B )＝7π12. 当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上，C ＝7π12. (1)C (2)7π12温馨提示(1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用．。