高中数学必修四1.1.2弧度制课件人教A版
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高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制课件 新人教A
(2)用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不 同，量数也不同。
角度与弧度间的换算
360 = 2rad 180 = rad
把角度换成弧度
1 = rad 0.01745rad
180
把弧度换成角度
1rad
=
180
57.30
=
5718'
例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度。
解：∵
67o30
弧 度
0
64
3
2
2 3 5 346
பைடு நூலகம்
3 2
2
角 度
0 -30o -45o -60o -90o-120-o135-o150-o180o-270o-360o
弧 度
0
-
6
-
4
-
3
-
2
- 2
3
- 3
4
- 5
6
-
- 3
2
-2
终边相同的角的表示
（1）用角度表示 与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z
=
135 2
o
∴ 67o30 = rad 135 = 3 rad
180 2 8
例2 把 4 rad化成度． 5
解： 4 rad = 4 180 = 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键．
特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
2k，k Z
它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：
角度与弧度间的换算
360 = 2rad 180 = rad
把角度换成弧度
1 = rad 0.01745rad
180
把弧度换成角度
1rad
=
180
57.30
=
5718'
例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度。
解：∵
67o30
弧 度
0
64
3
2
2 3 5 346
பைடு நூலகம்
3 2
2
角 度
0 -30o -45o -60o -90o-120-o135-o150-o180o-270o-360o
弧 度
0
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6
-
4
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- 2
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- 3
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- 5
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终边相同的角的表示
（1）用角度表示 与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z
=
135 2
o
∴ 67o30 = rad 135 = 3 rad
180 2 8
例2 把 4 rad化成度． 5
解： 4 rad = 4 180 = 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键．
特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
2k，k Z
它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：
2019-2020学年人教A版必修4 1.1.2 弧度制 课件(18张)
数学 必修4 A
(2)因为△AOB 是边长为 r 的正三角形， 所以 S△AOB＝ 43r2， S 扇形 OAB＝12|α|r2＝12×π3×r2＝π6r2， 所以 S 弓形＝S 扇形 OAB－S△AOB＝π6r2－ 43r2 ＝π6－ 43r2.
第一章 三角函数
数学 必修4 A
谢谢观看！
数学 必修4 A
第一章 三角函数
解析：选 D 由角度制和弧度制的定义，知 A，B，C 说法 正确．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关，故 D 说 法错误．故选 D.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
2．(2019·山东青岛二中高一期中)－265π 是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．58π rad＝115°
解析：选 D
5 8π
rad＝58π×1π80°＝112.5°.故选
D.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
4．把 67°3Biblioteka ′化成弧度为( 3πA. 8 17π
C. 45
) B．π4 D．6178π0
解析：选 A ∵67°30′＝1235°，∴67°30′＝1π80 rad×1235 ＝38π rad，故选 A.
θθ＝2kπ＋π3，k∈Z
.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
(2)令－4π<2kπ＋π3<2π(k∈Z)， 则有－163<k<56. 又 k∈Z，∴k＝－2，－1,0. 故在(－4π，2π)内与 α 终边相同的角是－113π，－53π，π3.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
(3)若角 β 与 α 终边相同，则 β＝2kπ＋π3(k∈Z)， ∴β2＝kπ＋π6(k∈Z)． 当 k 为偶数时，角β2为第一象限角； 当 k 为奇数时，角β2为第三象限角． ∴角β2是第一、三象限的角．
(2)因为△AOB 是边长为 r 的正三角形， 所以 S△AOB＝ 43r2， S 扇形 OAB＝12|α|r2＝12×π3×r2＝π6r2， 所以 S 弓形＝S 扇形 OAB－S△AOB＝π6r2－ 43r2 ＝π6－ 43r2.
第一章 三角函数
数学 必修4 A
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数学 必修4 A
第一章 三角函数
解析：选 D 由角度制和弧度制的定义，知 A，B，C 说法 正确．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关，故 D 说 法错误．故选 D.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
2．(2019·山东青岛二中高一期中)－265π 是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．58π rad＝115°
解析：选 D
5 8π
rad＝58π×1π80°＝112.5°.故选
D.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
4．把 67°3Biblioteka ′化成弧度为( 3πA. 8 17π
C. 45
) B．π4 D．6178π0
解析：选 A ∵67°30′＝1235°，∴67°30′＝1π80 rad×1235 ＝38π rad，故选 A.
θθ＝2kπ＋π3，k∈Z
.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
(2)令－4π<2kπ＋π3<2π(k∈Z)， 则有－163<k<56. 又 k∈Z，∴k＝－2，－1,0. 故在(－4π，2π)内与 α 终边相同的角是－113π，－53π，π3.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
(3)若角 β 与 α 终边相同，则 β＝2kπ＋π3(k∈Z)， ∴β2＝kπ＋π6(k∈Z)． 当 k 为偶数时，角β2为第一象限角； 当 k 为奇数时，角β2为第三象限角． ∴角β2是第一、三象限的角．
高中数学《弧度制》课件
弧度数是实数，这将为我们今后用函数观点讨论涉及角的计算问题带来方便.利
用弧度制度量角还有一个重要的原因，就是它能简化许多公式.例如若α=n°时，
弧长计算公式是l=
n
r 180
.而根据弧度数的计算公式|α|=
l r
，若α=
x
rad时，得到弧
长的另一计算公式：l=|x|r.
一
弧度制
例 6 如图5.1-5，设扇形的圆心角α＝x，半径为r，弧长为l，扇形面积记为S.
360°的圆心角的弧长是2π，那么它对应的弧度数是2π rad；
180°的圆心角的弧长是π，那么它对应的弧度数是π rad；
90°的圆心角对应的弧度数是 rad；
2
1°的圆心角对应的弧度数是
180
rad.
一
弧度制
根据例3，我们可以得到角度制和弧度制之间的换算关系：
反过来有：
180°＝π rad， 1 = rad 0.01745rad.
（第7题）
二 习题5.1
8.如图，已知矩形ABCD截圆A所得的 BE 的长为2π，DE=7，求矩形在圆外 部分的面积.
（第8题）
二 习题5.1
9.已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2，求： (1)扇形的半径； (2)扇形圆心角的弧度数．
温故而知新
10.当α是第二象限角时，试讨论 是哪个象限的角.
5.把下列各角从度化为弧度：
(1) 15°； (2) 36°； (3) －105°； (4) 145°.
6.把下列各角从弧度化为度：
(1)
2
；
10
(2) 3 ；
(3) －1.5；
2 (4) 5 .
二 习题5.1
1.1 任意角和弧度制 课件(34张PPT) 高中数学必修4(人教版A版)
圆心角为30°时
圆心角为60° 时
结论：圆心角不变则比值不变
比值的大小只与角度大小有关， 我们可以利用这个比值来度量 角，这就是度量角的另外一种 单位制——弧度制。
弧度制的定义
定义：长度等于半径 长的圆弧所对的圆心 角叫做弧度的角，用 符号1 rad表示，读 作1弧度。这种以弧 度为单位来度量角的 制度叫做弧度制。
3、终边相同的角
一般地，所有与角α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合
S { | k 360 , k Z}
0
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 整数个周角的和. 注意：1 、α是任意的角（可以是正的，可以 是负的，也可以是0o） 2、k取整数
例l、在0°～360°范围内，找出与下列各角终 边相同的角，并判定它们是第几象限角： ①480° ② -150° ③ 665° ④-950° 解：① 480°=120°+1×360° 与120°的角终边相同，是第二象限角 ② -150°=210°+(-1)×360° 与210°的角终边相同，是第三象限角 ③ 665°=305°+360° 与305°的角终边相同，是第四象限角 ④ -950° =130°+(-3)×360° 与130°的角终边相同，是第二象限角
B' R B O A r L A'
l
即时问答：下列四个图中的圆心角的弧度数 分别是多少？
问题：
（1）若弧是一个半圆，圆心角所对的 弧度数是多少？若是一个圆呢？
（2）正角的弧度数是什么数？负角呢？ 零角呢？角的正负由什么决定？
角度制与弧度制不同之处
1.定义方式不同：弧度制是以“弧度”为单 位的度量角的单位制，角度制是以“度”为 单位来度量角的单位制；1°≠1 弧度； 2. 进位制不同：弧度制是十进制，而角度 制是六十进制.
2018-2019学年人教A版必修四第1章第2课时弧度制(一)课件(27张)
【思路分析】涉及角度与弧度的互化关系和终边相同的角
的概念，其基本公式180°＝π弧度在解题中起关键作用．
570 19 【规范解答】(1)∵－570° ＝－180π＝－ 6 π， 5π ∴α1＝ 6 ＋(－2)·2π，∴α1 在第二象限． π 同理，α2＝6＋2·2π，∴α2 在第一象限．
3 3 (2)∵5π＝5· 180° ＝108° ，设 θ＝108° ＋ k· 360° (k∈Z)，则由 23 3 －720° ≤θ<0° ，得－720° ≤108° ＋ k· 360° <0° ，∴－10≤k<－10. 又 k∈Z，k＝－2 或 k＝－1. 当 k＝－2 时，θ＝－612° ；当 k＝－1 时，θ＝－252° . ∴在－ 720° ～ 0° 之间与 β1 有相同终边的角是－ 612° 和－ 252° . 同理，β2＝－780° ＝－60° ＋(－2)· 360° ，在－720° ～0° 之间 与 β2 有相同终边的角是－420° 和－60° .
3．角度与弧度的换算 π (1)将角度化为弧度：360° ＝2π rad；180° ＝π rad；1° ＝180 rad≈0.017 453 rad. (2)将弧度化为角度： 2π rad＝360° ；π rad＝180° ；1 rad≈57.3° ＝57° 18′.
4．特殊角的弧度数
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 度 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π
当 α 用弧度制表示时，与 α 终边相同的角 β
的集合为 {β|β ＝ 2kπ ＋ α ， k∈Z} ，特别注意： 2kπ ， α 都是弧度 制的表示．
江苏省启东市高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制讲义 新人教A版必修4
2、例题： （1）把 67 30化为弧度；
（2）把 3 化为角度；
5
(3)把下列特殊角化为弧度 数
度 00 3 0 0 4 5 0 6 0 0 9 0 0 1 2 0 0 1 3 5 0 1 5 0 0 1 8 0 0 2700 360 0
弧 度
0 6
43
2
2 3 5 3 2
0 x
5 4
练习 P10 1～6
五、作业 P10习题
4、6、7、8
r
1、角度制与弧度制：一一对应： 正角
2、求弧长： l
零角
R
负角
正实数 零
负实数
3、求扇形的面积：
1
S扇
2
lห้องสมุดไป่ตู้
r
S扇S圆 2
r2 1r2 1lr
2 2
2
1、系 ：
360 2 rad 180 rad
1 rad0.017r4a5d 1rad118800 57.30 5718
346
2
1、1） （ 把 14写 80成 2k（ kZ）的形0 式 ，
(2)若 4， 0，且 与1） （中 的终边相 . 同
2、（1）第三象限角的集合？ 为
4是第象限角？
3 4
y
（2）终边落在如图阴分影（部包括
边界）的角的集合是 ？
【新授】
初中 角的度量
角度制
高中 弧度制
r
r
弧度制
r
l R
| | l
r
正负
R
其中:1、l是以角作为圆心角时所对弧长的，r是半径；
2、正角的弧度数是一正个数，负角的弧度数是 一个负数，零角的弧数度是0；
高一数学必修4课件：1-1-2弧度制
第一章
1.1 1.1.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
3π 3 (2)β1＝ 5 ＝5×180° ＝108° ，设 θ＝k· ＋β1(k∈Z)， 360° 由－720° ≤θ<0° ，得－720° 360° ≤k· ＋108° ， <0° ∴k＝－2 或－1， ∴－720° ～0° 之间与 β1 有相同终边的角是：－612° 和－ π 252° 2＝－ ＝－60° ，β ， 3 设 γ＝k· －60° 360° (k∈Z)，则由－720° 360° ≤k· －60° ， <0° 从而 k＝－1 或 k＝0，因此在－720° ～0° 之间与 β2 有相同终边 的另一个角为－420° .
成才之路· 数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
三角函数
第一章 三角函数
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
1．1 任意角和弧度制
第一章 三角函数
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
1．1.2 弧度制
第一章 三角函数
第一章
1.1 1.1.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
下列表述中正确的是(
)
A．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B．一弧度是长度为半径的弧 C．一弧度是一度的弧与一度的角之和 D．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小， 它是角的一种度量单位
[答案] D
第一章
1.1 1.1.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
1.1 1.1.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
《红对勾》2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件1-1-2弧度制
l 么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ r .
3．角α＝6这种表达方式正确吗？ 答：正确．角α＝6表示6弧度的角，这里将“弧度”省 去了．
角度与弧度的互化
4．在同一个式子中，角度制与弧度制能否混用？为什 么？
答：角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方 法，两者有着本质的不同，因此在同一个表达式中不能出 现两种度量方法的混用，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的 写法，应写成α＝2kπ＋6π，k∈Z.
扇形的弧长和面积的计算
【例 3】 已知一扇形的周长为 8 cm，当它的半径 和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大面 积．
【分析】 (1)用哪些量表达扇形的周长？(半径和弧 长)
(2)扇形的面积公式是什么？能否用半径表示？(S＝ 12lr，能)
(3)如何求扇形面积的最大值？(利用二次函数)
答：随着半径的变化，弧长也在变化，但对于一定大 小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与 半径的大小无关．
任意角的弧度数与实数的对应关系
(1)正角：正角的弧度数是一个 正数 (2)负角：负角的弧度数是一个 负数 (3)零角：零角的弧度数是 0 . (4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那
角度制与弧度制的互化
【例 2】 设 α1＝510°，α2＝－750°，β1＝45π，β2＝ －161π.
(1)将 α1，α2 用弧度表示出来，并指出它们各自终边 所在的象限；
(2)将 β1，β2 用角度表示出来，并在[－360°，360°) 内找出与它们终边相同的所有的角．
【分析】 首先利用 1°＝18π0rad 可将角度化成弧度，利 用 1rad＝18π0°可将弧度化成角度，然后再根据要求指出 α1， α2 终边所在的象限，与 β1，β2 终边相同且在[－360°，360°) 内的角．
3．角α＝6这种表达方式正确吗？ 答：正确．角α＝6表示6弧度的角，这里将“弧度”省 去了．
角度与弧度的互化
4．在同一个式子中，角度制与弧度制能否混用？为什 么？
答：角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方 法，两者有着本质的不同，因此在同一个表达式中不能出 现两种度量方法的混用，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的 写法，应写成α＝2kπ＋6π，k∈Z.
扇形的弧长和面积的计算
【例 3】 已知一扇形的周长为 8 cm，当它的半径 和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大面 积．
【分析】 (1)用哪些量表达扇形的周长？(半径和弧 长)
(2)扇形的面积公式是什么？能否用半径表示？(S＝ 12lr，能)
(3)如何求扇形面积的最大值？(利用二次函数)
答：随着半径的变化，弧长也在变化，但对于一定大 小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与 半径的大小无关．
任意角的弧度数与实数的对应关系
(1)正角：正角的弧度数是一个 正数 (2)负角：负角的弧度数是一个 负数 (3)零角：零角的弧度数是 0 . (4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那
角度制与弧度制的互化
【例 2】 设 α1＝510°，α2＝－750°，β1＝45π，β2＝ －161π.
(1)将 α1，α2 用弧度表示出来，并指出它们各自终边 所在的象限；
(2)将 β1，β2 用角度表示出来，并在[－360°，360°) 内找出与它们终边相同的所有的角．
【分析】 首先利用 1°＝18π0rad 可将角度化成弧度，利 用 1rad＝18π0°可将弧度化成角度，然后再根据要求指出 α1， α2 终边所在的象限，与 β1，β2 终边相同且在[－360°，360°) 内的角．
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.1.2 弧度制
高中数学 必修四
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
人教版高中数学必修四弧度制和弧度制与角度制的换算公开课教学课件共18张PPT
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2、
-144o
3、－25º 4、 所求扇形的中心角的弧度数为
小结
圆周角度360
换
算 等价
六十进制 区别
十进制
圆周弧度2
角度制
弧度制
角的度量
三角函数
温故而知新
1、角度制：初中时我们用角度制度量角，1度的角 等于周角的1/360。
周角的 1/360
1°
n° l R
1弧度的概念
如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，记作1rad，读作1弧度.
探究1：深化弧度的概念
思考1：1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小 是否有关？为什么？
B’ B l=R
1弧度
1弧度l=r O r R A A’
思考2：如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心旋转 到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？
2rad
2r
B
r
A O
思考3：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l， 那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？
探究2：角度与弧度的换算
解的？
正角
正实数
零角
零
十进制
负角
负实数
探究3：与扇形有关的公式
思考1：角度制下，扇形的圆心角是n°,则扇形的面积是？
思考2：类比思考1，在弧度制下，若扇形的圆心角是 弧 度，则扇形的面积是？还有其它的表示方法么？
A
r
OS l B
例题讲解
例1 把
解：∵ ∴
化成弧度。
例2 把 化成度。
解：∵ 1rad=
人教版高中数学必修四 弧度制和弧度制与角度 制的换算公开课教学课
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1 2AOHANG
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D典例透析
IANLI TOUXI
(4)角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起 一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度 数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等 于这个实数的角)与它对应.
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3.弧度制与角度制的换算 π (1)角度转化为弧度:360° =2π rad,180° =π rad,1° = rad ≈0.017 180 45 rad. (2)弧度转化为角度:2π rad=360° ,π rad=180° ,1 rad=
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1.用弧度制表示象限角与终边在坐标轴上的角 剖析:(1)象限角的表示:
角 α 终边所在象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 集合 ������ x 2k������ < α < 2k������ + ,������∈Z 2 π ������ 2������π + < ������ < 2������π + π,������∈Z 2 3π ������ 2������π + π < ������ < 2������π + ,������∈Z 2 3π ������ 2������π + < ������ < 2������π + 2π,������∈Z 2
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弧度制
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1.了解弧度制,明确1弧度的含义. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.
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【做一做1】 下列表述中正确的是( ) A.1弧度是1度的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度为半径的弧 C.1弧度是1度的弧与1度的角之和 D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的 一种度量单位 答案:D
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2.弧度数 一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零 角的弧度数是0.
如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l,那么,角 α 的弧度 数的绝对值是|α| = . 知识拓展 1.弧长公式 :l=|α|r. 2.扇形面积公式 :S=
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(2)终边在坐标轴上的角的表示:
角 α 终边所在的坐标轴 x 轴非负半轴 x 轴非正半轴 x轴 y 轴非负半轴 y 轴非正半轴 y轴 坐标轴 集合 α|α = 2k������,k∈ Z ������|������ = 2������π + π,������∈Z ������|������ = ������π,������∈ Z π ������ ������ = 2������π + ,������∈Z 2 π ������ ������ = 2������π- ,������∈Z 2 π ������ ������ = ������π + ,������∈Z 2 ������π ������ ������ = ,������∈Z 2
180 π
° ≈57.30° = 57° 18'. (3)特殊角的弧度数与角度数对应表:
角度 0°
15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° ������ ������ ������ ������ ������ 2������ 3������ 5������ 5������ 弧度 0 6 3 12 4 2 3 12 4 6 角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 7������ 5������ 4������ 3������ 5������ 7������ 11������ π 2π 弧度 6 3 2 6 4 3 4
1 ������������ 2 ������ ������
=
1 |������|������2. 2
【做一做2】 已知半径为10 cm的圆上,有一条弧的长是40 cm,则 该弧所对的圆心角的弧度数是 (圆心角的范围为(0,2π)). 答案:4
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弧度制
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【做一做 3-1】 把 50° 化为弧度为( A.50
18 C. 5π 5π B. 18 9 000 D. π
)
答案 :B 【做一做 A.52° 答案 :C
2π 3-2】 把 5
rad 化为度为( B.36° C.72°
) D.90°
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1.弧度制
(1)定义:以弧度为单位度量角的单位制叫做弧度制. (2)度量方法:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 如图,若圆O的半径为r , ������������ 的长等于������,∠AOB 就是 1 弧度的角. 名师点拨一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比 值,是唯一确定的,与半径大小无关. (3)记法:弧度单位用符号rad表示,或用“弧度”两个字表示.在用弧 度制表示角时,单位通常省略不写.
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(4)角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起 一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度 数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等 于这个实数的角)与它对应.
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3.弧度制与角度制的换算 π (1)角度转化为弧度:360° =2π rad,180° =π rad,1° = rad ≈0.017 180 45 rad. (2)弧度转化为角度:2π rad=360° ,π rad=180° ,1 rad=
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1.用弧度制表示象限角与终边在坐标轴上的角 剖析:(1)象限角的表示:
角 α 终边所在象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 集合 ������ x 2k������ < α < 2k������ + ,������∈Z 2 π ������ 2������π + < ������ < 2������π + π,������∈Z 2 3π ������ 2������π + π < ������ < 2������π + ,������∈Z 2 3π ������ 2������π + < ������ < 2������π + 2π,������∈Z 2
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1.了解弧度制,明确1弧度的含义. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.
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【做一做1】 下列表述中正确的是( ) A.1弧度是1度的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度为半径的弧 C.1弧度是1度的弧与1度的角之和 D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的 一种度量单位 答案:D
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2.弧度数 一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零 角的弧度数是0.
如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l,那么,角 α 的弧度 数的绝对值是|α| = . 知识拓展 1.弧长公式 :l=|α|r. 2.扇形面积公式 :S=
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(2)终边在坐标轴上的角的表示:
角 α 终边所在的坐标轴 x 轴非负半轴 x 轴非正半轴 x轴 y 轴非负半轴 y 轴非正半轴 y轴 坐标轴 集合 α|α = 2k������,k∈ Z ������|������ = 2������π + π,������∈Z ������|������ = ������π,������∈ Z π ������ ������ = 2������π + ,������∈Z 2 π ������ ������ = 2������π- ,������∈Z 2 π ������ ������ = ������π + ,������∈Z 2 ������π ������ ������ = ,������∈Z 2
180 π
° ≈57.30° = 57° 18'. (3)特殊角的弧度数与角度数对应表:
角度 0°
15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° ������ ������ ������ ������ ������ 2������ 3������ 5������ 5������ 弧度 0 6 3 12 4 2 3 12 4 6 角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 7������ 5������ 4������ 3������ 5������ 7������ 11������ π 2π 弧度 6 3 2 6 4 3 4
1 ������������ 2 ������ ������
=
1 |������|������2. 2
【做一做2】 已知半径为10 cm的圆上,有一条弧的长是40 cm,则 该弧所对的圆心角的弧度数是 (圆心角的范围为(0,2π)). 答案:4
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【做一做 3-1】 把 50° 化为弧度为( A.50
18 C. 5π 5π B. 18 9 000 D. π
)
答案 :B 【做一做 A.52° 答案 :C
2π 3-2】 把 5
rad 化为度为( B.36° C.72°
) D.90°
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(1)定义:以弧度为单位度量角的单位制叫做弧度制. (2)度量方法:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 如图,若圆O的半径为r , ������������ 的长等于������,∠AOB 就是 1 弧度的角. 名师点拨一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比 值,是唯一确定的,与半径大小无关. (3)记法:弧度单位用符号rad表示,或用“弧度”两个字表示.在用弧 度制表示角时,单位通常省略不写.