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第三章 微分中值定理与导数的应用在上一章里我们引进了导数和微分的概念， 我们可以利用导数来研究函数在一点附近的局部特性. 例如函数的变化、函数的近似计算等.本章将应用导数来了解函数在区间上的整体性态. 为此，我们将首先介绍微分学基本定理——中值定理. 它是从函数局部性质推断整体性态的有力工具. 然后通过导数来研究函数及其曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题.第一节 微分中值定理本节介绍微分学中有重要应用的、反映导数更深刻性质的微分中值定理.定理 1 [罗尔(Rolle)定理] 若()f x 在闭区间［］,a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()fa fb =，则,()ξa b ∃∈使得()0f ξ'=.证 由()f x 在闭区间［］,a b 上连续知，()f x 在［］,a b 上必取得最大值M 与最小值m . 若M m >，则M 与m 中至少有一个不等于()f x 在区间端点的值.不妨设()M f a ≠.由最值定理，,()ξa b ∃∈，使()f ξM =.又()()()()lim lim 0Δx Δx f ξΔx f ξf ξΔx Mf ξΔxΔx +++→→+-+-'==≤， 0()()()()lim lim 0Δx Δx f ξΔx f ξf ξΔx Mf ξΔxΔx---→→+-+-'==≥，故 ()0f ξ'=.若M m =，则()f x 在［］,a b 上为常数，故,()a b 内任一点都可成为ξ，使()0f ξ'=.罗尔定理的几何意义是：若()y f x =满足定理的条件，则其图像在［］,a b 上对应的曲线弧A B 上一定存在一点具有水平切线，如图3-1所示.图3-1定理2［拉格朗日(Lagrange)中值定理］ 若()f x 在闭区间［］,a b 上连续，在,()a b 内可导，则至少存在一点,()ξa b ∈使得()()()()fb f a f ξb a -='-. (3-1-1)证 考虑辅助函数()()()Φx f x λx a =--，其中()()f b f λa b a-=-，显然()Φx 满足定理1的条件，即()Φx 在闭区间［］,a b 上连续，在,()a b 内可导，且()()Φa Φb =，则至少存在一点,()ξa b ∈使得()0Φξ'=，而)((()())f b f a f x b Φx a-'='--.故有()()()()fb f a f ξb a -='-.如图3-2所示，连结曲线弧 AB 两端的弦A B ，其斜率为()()f b f a b a--.因此，定理的几何意义是：满足定理条件的曲线弧 AB 上一定存在一点具有平行于弦A B 的切线.图3-2显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.式(3-1-1)称为拉格朗日中值公式，显然，当b a <时，式(3-1-1)也成立. 设函数()f x 在区间,()a b 可导，x 和Δx x +是,()a b 内的两点，其中自变量的增量Δx 可正可负，于是在以x 及Δx x +为端点的闭区间上应用拉格朗日中值定理，有()()()ΔΔf x xf x f ξx +-='，其中ξ为x 与Δx x +之间的某点，记Δ, 10ξx θx θ=+<<，则()()()ΔΔΔ 1 (0).f x xf x f x θx x θ+-='+<< (3-1-2)(3-1-2) 式称为有限增量公式.推论1 若函数()f x 在区间I 上的导数恒为零，则()f x 在区间I 上为一常数. 证 任取12,x x I ∈，且12x x <，则()f x 在闭区间12,x x ⎡⎤⎣⎦上连续，()f x 在12,x x ⎡⎤⎣⎦内可导，由定理2，得()()()()212112(),,fx f x f ξx x ξx x-='-∈.由于f ′(ξ) = 0，故f (x 2) = f (x 1).由x 1，x 2的任意性可知，函数f (x )在区间I 上为一常数.我们知道“常数的导数为零”，推论1就是其逆命题.由推论1立即可得以下结论.推论2 函数()f x 在区间I 可导，若对()()，x I f x g x ∈'='∀，则f (x ) =g (x )+C .对任意x I ∈成立，其中C 为常数.例1 求证πarcsin arccos 2x x +=，［1,1］x ∈-. 证 令()arcsin arccos f x x x =+，则()，1,10()f xx -=∈-='.由推论1得()，1,1()f x C x =∈-又 因()π02f =，且()π12f ±=.故 ()πa r c s i n a r c c o s 11,2,f x x x x =+=∈-⎡⎤⎣⎦. 例2 证明不等式2121arctan arctan x x x x -≤- (其中12＜x x ). 证 设()arctan f x x =，在12,x x ⎡⎤⎣⎦上利用拉格朗日中值定理，得 ()212112arctan arctan ，＜＜211x x x x x ξx ξ+-=-.因为1211ξ+≤，所以2121arctan arctan x x x x -≤-.例 3 设函数()()()()246f x x x x x =---，说明方程()0f x '=在，()-∞+∞内有几个实根，并指出它们所属区间.解 因为()f x '是三次多项式，所以方程()0f x '=在，()-∞+∞内最多有3个实根.又由于()()()()24600f f f f ====，()f x 在区间［,2］,［2,4］,［4,6］0上满足罗尔定理的条件.故有123,2,2,4,4,6(0)()()ξξξ∈∈∈，使()()()123,,000f ξf ξf ξ'='='=，即方程()0f x '=在，()-∞+∞内有3个实根，分别属于区间,2,2,4,4,6(0)()(). 例4 若()0f x >在［,］a b 上连续，在(),a b 内可导，则,()ξa b ∃∈，使得()()ln ()()()f b f ξb a f a f ξ'=-.证 原式即()ln ()ln ()()()f ξf b f a b a f ξ'-=-.令()()ln φx f x =，有()()()f x φx f x ''=.显然()φx 在［,］a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，在［,］a b 上应用定理可得所证.下面再考虑由参数方程()(),,［,］x g t y f t t a b ==∈给出的曲线段，其两端点分别为()()()()()(),,,A g a f a B g b f b .连结,A B 的弦A B 的斜率为()()()()f b f ag b g a -- (见图3-3)，而曲线上任何一点处的切线斜率为dy ()dx()f tg t '='.图3-3若曲线上存在一点C ［对应参数,()t ξa b =∈］，在该点曲线的切线与弦A B 平行，则可得()()()()()()f b f a f ξg b g a g ξ'-='-.定理3［柯西(Cauchy )中值定理］ 若()(),f x g x 在［,］a b 上连续，且均在,()a b 内可导，且()0g x '≠，则,()ξa b ∃∈使得()()()()()()f b f a f ξg b g a g ξ'-='-.证 由()0g x '≠和拉格朗日中值定理得()()()()()0,,g b g a g ηb a ηa b -='-≠∈.由此有()()g b g a ≠，考虑辅助函数()()()Φx f x λg x =-(λ待定).为使()Φx 满足罗尔中值定理的条件，令()()Φa Φb =，得()()()()f b f ag b a λg --=.取λ的值如上，由罗尔定理知,()ξa b ∃∈，使()0Φξ'=，即()()()()0()()f b f a f ξg ξg b g a -''-=-，即 ()()()()()()f b f a f ξg b g a g ξ'-='-.由此定理得证.显而易见，若取()g x x ≡，则定理3成为定理2，因此定理3是定理1，2的推广，它是这三个中值定理中最一般的形式.例5 设函数()f x 在12,x x ⎡⎤⎣⎦上连续，在(),a b 内可导，且12＞0x x ⋅，证明12,()ξx x ∃∈，使112212()()()()x f x x f x f ξξf ξx x-'=--.证 原式可写成122121()()()()11f x f x x x f ξξf ξx x -'=--.令()()φx f x x=，()1ψx x=.它们在12［,］x x 上满足柯西中值定理的条件，且有 ()()()()f φx xx x x f ψ=-'''.应用柯西中值定理即得所证.第二节 洛必达法则本节我们将利用微分中值定理来考虑某些重要类型的极限.由第二章我们知道在某一极限过程中，()f x 和()g x 都是无穷小量或都是无穷大量时，()()/f xg x 的极限可能存在，也可能不存在.通常称这种极限为不定式(或待定型)，并分别简记为00或∞∞. 洛必达(L’Hospital)法则是处理不定式极限的重要工具，是计算00型、∞∞型极限的简单而有效的法则.该法则的理论依据是柯西中值定理.一、00型不定式定理1设()()，f x g x 满足： (1) ()0lim 0x x f x →=，()0lim 0x xg x →=；(2)在()0U x ︒内可导，且()0g x '≠； (3) ()()limx xf xg x →''存在(或为∞)， 则 ()()()()limlimx x x xf xf xg x g x →→'='. 证 由于极限()()limx x f xg x →，()f x 和()g x 在0xx =处有无定义没有关系，不妨设()()000fx g x ==.这样，由条件(1)、(2)知()f x 及()g x 在()0U x 连续.设()0x U x∈，则在［,］0x x 或［,］0x x 上，柯西中值定理的条件得到满足，于是有 00()()()()()()()()f x f x f x f xg x g x g x g x '-=='-，其中ξ在x 与0x 之间.令0x x →(从而0ξx →)，上式两端取极限，再由条件(3)就得到000()()()limlimlim()()()x x ξx x x f x f ξf x g x g ξg x →→→''==''，对于当x →∞时的0型不定式，洛必达法则也成立.推论1 ()(),f x g x 满足 (1) ()0lim x f x →∞=，()0lim x g x →∞=；(2) 存在常数0X > 当＞x X 时()(),f x g x 可导，且()0g x '≠； (3) ()lim()x f x g x →∞''存在(或为∞)，则 ()()l i ml i m ()()x x f x f x g x g x →∞→∞'='.证 令1t x=，则x →∞时0t →，从而 01lim lim ()0t x f f x t →→∞⎛⎫== ⎪⎝⎭， 01lim lim ()0t x g g x t →→∞⎛⎫== ⎪⎝⎭. 由定理1，得202111()()limlimlimlim()()111x t t x f f f x f x t t t g x g x g g t t t →∞→→→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫'- ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭==='⎛⎫⎛⎫⎛⎫'- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.显然，若lim ()()f xg x ''仍为00型不定式，且()(),f x g x ''满足定理条件，则可继续使用洛必达法则而得到()()()limlimlim()()()f x f x f xg x g x g x '''=='''，且仍然可以依此类推.例1 求33221216lim 248x x x xxx →-+--+.解 32322222121631263limlimlim642248344x x x x x x x x xxx xx →→→-+-===---+--.例2 求πar ct an 2lim 1x x x→+∞-. 解π22221a r c t a n21lim limlim1111x x x x xx xx x→+∞→+∞→+∞--+===+-二、∞∞型不定式 定理2 设()(),f x g x 满足 (1) ()0lim x xf x →=∞，()0lim x x g x →=∞； (2)在()0U x ︒内可导，且()0g x'≠；(3) 0()lim()x xf xg x →''存在(或为∞)，则 0()()limlim()()x x x xf x f xg x g x →→'='.该定理也是应用柯西中值定理来证明的，因过程较繁，故略.推论2 若()(),f x g x 满足 (1) ()lim x f x →∞=∞，()lim x g x →∞=∞；(2) 当x X >时可导，且()0g x '≠； (3) ()lim()x f x g x →∞''存在(或为∞)，则 ()()l i ml i m ()()x x f x f x g x g x →∞→∞'='.例3 求ln l m (0)i a x xxα→+∞>.解 11l n 1l i m l i m l i m 0a a a x xxx x xa x a x-→+∞→+∞→+∞===. 例4 求elim(0)αxx x α→+∞>.解 ee1limlimααxxx x x αx -→+∞→+∞=.若10α<≤，则上式右端极限为0；若1α>，则上式右端仍是∞∞型不定式，这时总存在自然数n 使1n αn -<≤，逐次应用洛必达法则直到第n 次，有ee1limlimααxxx x x αx -→+∞→+∞==e(1)(1)l i mαnxx αααn x n -→+∞--+=（次）. 故 ()el i m 00αx x x α→+∞=> .例5 求π2t an lim t an 3x x x→.解 πππ22222221t a n c o s 3c o s l i m l i m l i m t a n 333c o s c o s 3x x xxx x x x x →→→== ππ226co s 3sin 3sin 6limlim6co s sin sin 2x x x x xx x x →→-==-π26co s 66lim32co s 22x x x →-===-.使用洛必达法则时要注意验证定理条件，不可妄用，否则会导致错误结果.例如，在例1中，26lim64x xx →-已不是不定式，故不能再使用洛必达法则.另外，由于本节定理是求不定式的一种方法，当定理条件成立时，所求极限存在(或为∞)，但当定理条件不成立时，所求极限也可能存在，例如：sin 1sin lim lim 1sin sin 1x x xx x x x x xx→∞→∞++==--，但(sin )1cos lim (sin )1cos x x x x x x x →∞'++='--不存在.三、其他不定式对于函数极限的其他一些不定式，例如0⋅∞，∞-∞，00，1∞和0∞型等，处理它们的总原则是设法将其转化为00或∞∞型，再应用洛必达法则. 例6 求20lim ln x x x +→.解 222300001ln 1lim ln lim lim lim 022x x x x x x x x x x x++++--→→→→===-=-.例7 求π2lim (sec t an )x x x →-.解 ππππ22221s i n c o s l i m (s e ct a n)l i m l i m l i m c o tc o s s i nx x xxx x x x x xx →→→→---====-. 例8 求sin 0lim x x x +→.解 设sin x y x =，则ln ln s in y x x =，021ln lim ln lim (sin ln )lim lim 1cos sin sin x x x x xx y x x xx x++++→→→→=⋅==- 2001sin lim lim 0cos x x xx x++→→=-⋅=. 由eln yy =有eeeln 0lim ln 0lim lim yx yx x y +→++→→==，所以e sin 0lim 1xx x+→==.例9 求01lim 1xx x +→⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解设11xy x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1ln ln 1y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 而 111ln 1ln (1)ln lim ln limlim x x x x xx y xx+++--→→→⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭==11220(1)limlim 01x x x xx x x x++---→→+-⎛⎫==-= ⎪+-⎝⎭， 故e 001l i m 11xx x +→⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 洛必达法则是求不定式的一种有效方法，但不是万能的.我们要学会善于根据具体问题采取不同的方法求解，最好能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷.例10 求20t an lim sin x x x x x→-⋅.解 先进行等价无穷小的代换.由()sin ~0x x x →，则有2232t an t an 1sec limlimlimsin 3x x x x x x xx x xxx→→→---==⋅220002s e c t a n11t a n l i m l i m l i m 63cos x x x x x x xxx →→→⋅==-⋅1t an 1lim 33x x x →=-=-.第三节 函数的单调性与极值一、函数单调性的判别在第一章中，我们已经介绍了函数在区间上单调的概念.利用单调性的定义来判定函数在区间上的单调性，一般来说是比较困难.下面将介绍一种简单而有效的判定方法.我们知道，函数的单调增加或减少，在几何上表现为图形是一条沿x 轴正向的上升或下降的曲线.容易知道，曲线随x 的增加而上升时，其切线(如果存在)与x 轴正向的夹角成锐角；曲线随x 的增加而下降时，切线与x 轴正向的夹角为钝角.曲线的升降与曲线切线的斜率密切相关，而曲线切线的斜率可以通过相应函数的导数来表示.定理1 设()f x 在闭区间［,］a b 上连续，在,()a b 内可导， (1)若,()x a b ∀∈，有()＞0f x '，则()f x 在［,］a b 上严格单调增加. (2)若,()x a b ∀∈，有()＜0f x '，则()f x 在［,］a b 上严格单调减少. 证 12,［,］x x a b ∈∀，不妨设12＜x x ，应用拉格朗日中值定理，有 ()()()()212112，,()f xf x f ξxx ξx x -='-∈.由()＞0f x ' (或()＜0f x ')，得()()＞ 或＜0(0)f ξf ξ''，故()()21＞f x f x (或()()21＜f x f x )，即()f x 在［］,a b 上严格单调增加(减少)，定理获证.例1 证明sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上严格单调增加. 证 因sin x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上连续，并且()ππsin co ＞,220,x sx x ⎛⎫- ⎪⎝'=⎭∈.所以sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上严格单调增加.从定理证明易知，若在,()a b 内除个别点使得()0f x '=外，其余处处满足定理条件，则定理结论仍成立.此外，定理中的闭区间换成其他区间(如开的、半开半闭或无穷区间等)，定理的结论仍成立.例如，3y x =在，()-∞+∞内其导数230y x '=≥，但仅在0x =时，0y '=.因此，3y x =在，()-∞+∞内是严格单调增加的(见图3-4).另外，当定理1的(1)和(2)中的严格不等号“＞”和“＜”分别换为“≥”和“≤”时，则分别得到单调增加和单调减少的结论.图3-4例2 讨论()e 2x f x -=的单调性.解 ()f x 的定义域为，()-∞+∞，e （）22xf x x -'=-. 当（,）0x ∈-∞时，()＞0f x '， 故()f x 在（－,）0∞内严格单调增加； 当，(0)x ∈+∞时，()＜0f x '，故()f x 在，(0)+∞内严格单调减少，如图3-5所示.图3-5例3 证明当＞0x 时，有()ln 1x x >+.证 令()()ln 1f x x x =-+，则()f x 在区间［,0)+∞上连续.又()，0,()10f xx xx>+'=∈+∞，故()f x 在［,0)+∞严格单调增加，从而f (x )＞f (0) = 0.因此，当0x >时，ln(1)>+x x .二、函数的极值在例2中函数单调区间的分界点0x =具有特别意义：()f x 在0x =的左侧邻近严格单调增加，在0x =的右侧邻近严格单调减少.从而存在0的某邻域()0U ，对()0U x ︒∀∈总有()()0fx f <，这就是下面有关函数极值的概念.定义 设()fx 在()0U x 内有定义，若()0x x U ︒∀∈，有()()＜0f x f x (或()()＞0f x f x )，则称()f x 在0x 点取得极大值(极小值)()0f x ，点0x 称为极大(极小)值点.由定义可知，极值是局部性概念，是在一点的邻域内比较函数值的大小而产生的.因此，对于一个定义在,()a b 内的函数，极值往往有很多个，且某一点取得的极大值可能会比另一点取得的极小值还要小，如图3-6所示.直观上看，图3-6上的函数在取得极值的地方，其切线(如果存在)都是水平的.事实上，我们有下面的定理.图3-6定理2［费马(Fermat)定理］ 设函数()f x 在某区间I 内有定义，在该区间内的点0x 处取极值，且()0f x '存在，则必有()00f x '=.证 不妨设()0f x 为极大值，则由定义，()0x x U ︒∀∈，当0x x <时，有00(0)()f x f x x x->-，故 000()()()l im x xf x f x f x x x--→-'=≥-；当0x x >时，有00(0)()f x f x x x-<-，故 000()()()l i mx xf x f x f x x x++→-'=≤-.从而得到 ()00f x '=.()f x'的零点，通常称为()f x 的驻点.定理2给出可导函数取得极值的必要条件:可导函数的极值点必是驻点.但此条件并不充分，例如0x =是函数3y x =的驻点，却不是其极值点，如图3-4所示.另外，连续函数在其导数不存在的点处也可能取到极值.例如，y x =在0x =处取极小值.因此，对连续函数来说，驻点和导数不存在的点都有可能是极值点，那么如何确认呢? 定理3 设()fx在0x 处连续，在()0U x ︒内可导，(1)若()0x U x ︒-∀∈，()＞0f x '， ()0x x +∀∈，()＜0f x '，则()f x 在0x 取得极大值；(2)若()0x U x ︒-∀∈，()＜0f x '，()0x x +∀∈，()＞0f x '，则()f x 在0x 取得极小值.证 只证(1).由拉格朗日中值定理，()0x U x ︒-∀∈，有()()()()11，＜＜000 f xf x f ξx xx ξx -='-. 由()＞0f x '，得()1＞0f ξ'，故()()＜0f x f x .同理，()0x U x ︒+∀∈，有()()()()22，＜＜000f xf x f ξx xx ξx-='-.由()＜0f x '，得()2＜0f ξ'，故()()＜0f x f x .从而()f x 在0x 取极大值.由定理3的证明可知，如果()f x '在()0U x ︒内符号不变，则()f x 在0x 就不取得极值. 例4 求()32-395f x x x x =-+的极值.解 ()()()2369313f x x x x x '=--=+-. 令()0f x '=，得驻点121，3x x =-=. 当，1()x ∈-∞-时，()＞0f x '； 当1，3()x ∈-时，()＜0f x '； 当3，()x ∈+∞时，()＞0f x '.故得()f x 的极大值为()110f -=，极小值为()322f =-.例5 求()f x =.解 ())0f x x '=≠，0x =是函数一阶导数不存在的点.当0x <时，()＜0f x '；当0x >时，()0f x '>.故()f x 在0x =处取得极小值()00f =. 定理4 设()f x 在()0U x 内具有二阶导数，且()(), 0000f x f x '="≠，则 (1) 当()00f x "<时，()f x 在0x 取极大值； (2) 当()00f x ">时 ，()f x 在0x 取极小值.证 将()f x 在0x 处展开为二阶泰勒公式，并注意到()00f x '=，得()()()()()()0220002!f x f xof x x x x x -=-+-''.因为0x x →时，()()20o x x -是比()20x x-高阶的无穷小量，故0()()()()200li !m2x x f x f x xf x x →=''--由函数极限的局部保号性，故当()f x ">时，0δ∃>，使当()0δ︒∈x U x ,，有()()0f x f x >，即()0f x 为函数()f x 的极小值；当()00f x "<时，0δ∃>，使当()0δ︒∈x U x ,，有()()0fx f x <，即()0f x 为函数()f x 的极大值.例如，对于例4的驻点121，3x x =-=分别有()()112，31200f f "-=-<"=>，故()1f -为极大值，()3f 为极小值.例6 求()3-3f x x x =的极值.解 ()()()'=-=+-f x x x x 233311，()6f xx "=.令()0f x '=得1x =±.由于()160f "-=-<，所以()12f -=为极大值；()160f "=>，所以()12f =-为极小值.第四节 函数的最大(小)值及其应用若()f x 为［,］a b 上连续函数，且在,()a b 内只有有限个驻点或导数不存在的点，设其为12,,,n x x x ，由闭区间连续函数的最值定理知()f x在［,］a b 上必取得最大值和最小值.若最值在,()a b 内取得，则它一定也是极值，而()f x 的极值点只能是驻点或导数不存在的点.此外，最值点也可能在区间的端点x a =或x b =处达到.于是，()f x 在［,］a b 上的最值可以用如下方法求得:()()()()()1n ,m ax {,,,ax ,}m x a b f x f a f x f x f b ∈⎡⎤⎣⎦= ，()()()()()1n ,m in {,,,in ,}m x a b f x f a f x f x f b ∈⎡⎤⎣⎦= .为简便，有时我们将()f x 在某区间上的最大值和最小值分别记为max f 和min f .例1 求()4282f x x x =-+在［1,3］-上的最大值和最小值. 解 由()()()4220f x x x x '=-+=，得驻点123，2，20x x x ===-(3［1,3］x ∈-/舍去). 计算出()()()()=-5,2,214,311 10f ff f -==-=.故在［1,3］-上，()max 311 f f ==， ()min 214f f ==-. 下面两个结论在解应用问题时特别有用：(1)若()f x 为［,］a b 上的连续函数，且在,()a b 内只有惟一一个极值点0x ，则当()0f x 为极大(小)值时，它就是()f x 在［,］a b 上的最大(小)值. (2)若()f x 为［,］a b 上的连续函数，且在［,］a b 上单调增加，则()f a 为最小值，()f b 为最大值；若()f x 在［,］a b 上单调减少，则()f a 为最大值，()f b 为最小值. 在工农业生产、工程设计、经济管理等许多实践当中，经常会遇到诸如在一定条件下怎样使产量最高、用料最省、效益最大、成本最低等等的一系列“最优化”问题.这类问题有些能够归结为求某个函数(称为目标函数)的最值或是最值点(称为最优解).例2 要制造一个容积为0V 的带盖圆柱形桶，问桶的半径r 和桶高h 应如何确定，才能使所用材料最省？解 首先建立目标函数.要材料最省，就是要使圆桶表面积S 最小.由π20r h V =得π02h V r=，故πππ22222002()S r r h r V r r=+=+>.令π40220r S V r '=-=，得驻点0r =又因在，(0)+∞内S 只有惟一一个极值点，故这极值点也就是要求的最小值点.从而当r =2h r==时，圆桶表面积最小，从而用料最省.像这种高度等于底面直径的圆桶在实际中常被采用，例如储油罐，化学反应容器，各种包装等.例3 如图3-7所示，某工厂C 到铁路线A 处的垂直距离20C A =km ，须从距离A 为150km 的B 处运来原料，现在要在A B 上选一点D 修建一条直线公路与工厂C 连接.已知铁路与公路每吨公里运费之比为3∶5，问D 应选在何处，方能使运费最省？图3-7解 设A D x =，则15，0D B x D C ==-，设铁路每吨公里运费为3(0)k k >，则公路上的每吨公里运费为5k .于是从B 到C 的每吨原料的总运费为()3155,150(00)y k x x =-+∈.这是目标函数，我们要求其最小值点.令30y k ⎛⎫'=-+= ⎝， 得15x =±.在,15(00)中y 只有惟一的驻点15x =.又因为,15(00)x ∀∈，有()32200040200y kx>+"=，故在15x =处，y 取最小值.于是D 点应选在距A 点15km 处，此时全程运费最省.例4 宽为2m 的支渠道垂直地流向宽为3m 的主渠道.若在其中漂运原木，问能通过的原木的最大长度是多少？解 将问题理想化，原木的直径不计.建立坐标系如图3-8所示，A B 是通过点3,2()C 且与渠道两侧壁分别交于A 和B 的线段.图3-8设,0,2πO A C t t ∠=∈⎛⎫⎪⎝⎭，则当原木长度不超过线段A B 的长度L 的最小值时，原木就能通过，于是建立目标函数.23,0,sin co 2()s L t A C C πt tB t =+=+∈⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由于 ()22223(sin )2cos 3sin 2cos sin co co sin s s t tL t t t tttt--='=--323sin 21cot 3cos t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，当0,2t π⎛∈⎫ ⎪⎝⎭时，2sin 0cot tt>，于是从()0L t '=解得08t ≈︒'41. 这个问题的最小值(L 的最小值)一定存在，而在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内只有一个驻点0t ，故它就是L 的最小值点.于是()()7200,2.m 0in πt L t L t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=≈.故能通过的原木的最大长度是7.02m.第五节 曲线的凹凸性、拐点前面我们讨论了函数的单调性，但单调性相同的函数还会存在显著的差异.例如，y =2y x =在［，0)+∞上都是单调增加的，但是它们单调增加的方式并不相同.从图形上看，它们的曲线的弯曲方向不一样，如图3-9所示.下面我们就来研究曲线的凹凸性及其判别法.图3-9我们从几何上看到，在有的曲线弧上，如果任取两点，则联接这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方，如图3-10所示，而有的曲线弧则正好相反，如图3-11所示.曲线的这种性质就是曲线的凹凸性.因此，曲线的凹凸性可以用连接曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点(即具有相同横坐标的点)的位置关系来描述.下面给出曲线凹凸性的定义.图3-10 图3-11定义 设()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点12,x x ，恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭， 那么称()f x 在I 上的图形是(向上)凸的(或凸弧).如果函数()f x 在I 内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理.我们仅就I 为闭区间的情形来叙述定理，当I 不是闭区间时，定理类同.定理 1 设()f x 在［,］a b 上连续，在,()a b 内具有一阶和二阶导数，那么 (1)若在,()a b 内()0f x ">，则()f x 在［,］a b 上的图形是凹的； (2)若在,()a b 内()0f x "<，则()f x 在［,］a b 上的图形是凸的. 证 (1) 设1x 和2x 为［,］a b 内任意两点，且12x x <，记122x x x +=，并记2100x x x x h-=-=，则12,00x x h x x h =-=+.由泰勒公式，得200011()()()()2!f x h f x f x h f ξh '''+-=+， 200021()()()()2!f x f x h f x h f ξh '''--=+， 其中1ξ介于2x 与0x 之间，2ξ介于1x 与0x 之间.两式相减，即得2000121()()2()()()2!f x h f x h f x f ξf ξh ''''++--=+⎡⎤⎣⎦ 按情形(1)的假设，()0f x ''>，故有000()()2()0f x h f x h f x ++-->，即000()()()2f x h f x h f x ++->，亦即1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭. 所以()f x 在［,］a b 上的图形是凹的.类似地可以证明情形(2).例1 判断曲线ln y x =的凹凸性. 解 因1y x '=，21y x"=-，ln y x =的二阶导数在区间，(0)+∞内处处为负，故曲线ln y x=在区间，(0)+∞内是凸的.例2 判断曲线3y x =的凹凸性. 解 23，6y x y x'="=. 当0x <时，60y x "=<，曲线是凸的； 当0x >时，60y x "=>，曲线是凹的.本例中，点(),00是曲线由凸变凹的分界点，称为曲线的拐点.一般地，连续曲线()y f x =上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.如何来寻找曲线()y f x =的拐点呢？前已知道，由()f x "的符号可以判定曲线的凹凸性.如果()00f x "=，而()f x "在0x 的左右两侧邻近异号，那末点()(),00x f x 就是一个拐点.因此，如果()f x 在区间,()a b 内具有二阶导数，我们就可以按下列步骤来判定曲线()y f x =的拐点.(1)求()f x "；(2)令()0f x "=，求出这方程在区间,()a b 内的实根；(3)对于(2)中求出的每一个实根0x ，检查()f x "在0x 左、右两侧邻近的符号，如果()f x "在0x 的左、右两侧邻近分别保持一定的符号，那末当两侧的符号相反时，点()(),00x f x 是拐点，当两侧的符号相同时，点()(),00x f x 不是拐点.例3 求曲线32231214y x x x =+-+的拐点.解 26612，126121.2y x x y x x ⎛⎫'=+-"=+=+ ⎪⎝⎭解方程0y "=，得12x =-.当12x <-时，0y "<；当12x >-时，0y ">，又221210f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因此，点，211022⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线的拐点.例4 求曲线43341y x x =-+的拐点及凹、凸的区间. 解 函数43341y x x =-+的定义域为，()-∞+∞.321212y xx'=-，236243623y xx x x ⎛⎫"=-=- ⎪⎝⎭.解方程0y "=，得 12，230x x ==.10x =及223x =把函数的定义域，()-∞+∞分成三个部分区间： ，，，，，22(0)033⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.在，(0)-∞内，0y ">，因此在区间，(0)-∞上曲线是凹的.在,203⎛⎫⎪⎝⎭内，0y "<，因此在区间,203⎛⎫ ⎪⎝⎭上曲线是凸的.在,23⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内0y ">，因此在区间,23⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上曲线是凹的. 0x =时，1y =，点,1(0)是曲线的一个拐点；23x =时，1127y =，点211,327⎛⎫⎪⎝⎭也是曲线的拐点.例5 求曲线y =.解 显然函数在，()-∞+∞内连续，当0x ≠时y '=y "=-当0x =时，,y y '"都不存在.故二阶导数在，()-∞+∞内不连续，且不具有零点.但0x =是y "不存在的点，它把，()-∞+∞分成两个部分区间：，,，(0)(0)-∞+∞. 在,(0)-∞内，0y ">，曲线在,(0)-∞上是凹的.在,(0)+∞内，0y "<，曲线在,(0)+∞上是凸的.又0x =时，0y =，故点，(00)是曲线的一个拐点，如图3-12.图 3-12第六节 曲线的渐近线、函数作图前面我们讨论了函数的单调性与极值、曲线的凹凸性与拐点等，利用函数的这些性态，便能比较准确地描绘出函数的几何图形.为此，先介绍渐近线的概念与求法.一、 渐近线曲线C 上的动点M 沿曲线离坐标原点无限远移时，若能与一直线l 的距离趋向于零，则称直线l 为曲线C 的一条渐近(直)线，如图3-13所示.图3-13渐近线反映了曲线无限延伸时的走向和趋势.确定曲线()y f x =的渐近线的方法如下： (1)若()0lim x xf x →=∞，则曲线()y f x =有一铅直渐近线0x x =；(2)若()lim x f x A →∞=，则曲线()y f x =有一水平渐近线y A =；(3)若()limx f x ax→∞=，且()l i m x f x a x b →∞⎡⎤-=⎣⎦，则曲线()y f x =有一斜的渐近线y a x b =+.例1 曲线ln y x =，因为ln 0lim x x +→=-∞，所以它有铅直渐近线0x =； 曲线1y x=，因为1lim 0x x →∞=，所以它有水平渐近线0y =；双曲线12222y x ab-=，有y =，y -=lim x b b aa→∞±=±，)lim lim 0x x b bx xa a→∞→∞⎡⎤⎡⎤±=±=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故该双曲线有一对斜渐近线y ax b=±，如图3-14所示.图3-14二、函数图形的描绘作函数()y f x =的图形可按下列步骤进行:(1)确定()y f x =的定义域，并讨论其奇偶性、周期性、连续性等；(2)求出()f x '和()f x "的全部零点及其不存在的点，并将它们作为分点划分定义域为若干个小区间；(3)考察各个小区间内及各分点处两侧的()f x '和()f x "的符号，从而确定出()f x 的增减区间、极值点和凹凸区间及拐点，并使用下列记号列表.凹、单调增， 凹、单调减，凸、单调增，凸、单调减；(4)确定()f x 的渐近线及其他变化趋势；(5)必要时，补充一些适当的点，例如()y f x =与坐标轴的交点等； (6)结合上面讨论，连点描出图形.例2 描绘()e 2xf x x -=的图形.解 (1)定义域为，()-∞+∞，且()f x 在，()-∞+∞上连续.(2) ()()e 21x f x x -'=-， ()()e 22xf x x -''=-， 由()0f x '=得1x =，由()0f x "=得2x =，把定义域分为三个区间,12,(),(1,2),()-∞+∞.(3) 列表，如表3-1所示.极大(4)()0lim x f x →+∞=，故曲线()y f x =有渐近线0y =，()lim x f x →-∞=-∞.(5)补充点，(00)并连点绘图，如图3-15所示.图3-15例3 描绘()23f x x x=-的图形.解 (1)定义域为(()，-∞-+∞ . x =为间断点，()f x 为奇函数，故关于原点对称.(2)()()=22233 f x xx +>-'，故()f x 在定义域内无驻点；()()2322(9)3x x f x x +-"=，令()0f x "=，得0x =为拐点嫌疑点.(3)列表，如表3-2所示.(4)()x f x =∞，()x f x →=∞，故有铅直渐近线x =；又()0lim x f x →∞=，故有水平渐近线0.y =(5)取辅助点1231，,2,2,3,1(1)22M M M ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，描绘出函数在［,0)+∞上的图形，再利用对称性便得,(0)-∞内的图形，如图3-16所示.图3-16例4 描绘()2133(6)x f x x -=的图形.解 (1)定义域为，()-∞+∞，且()f x 在，()-∞+∞上连续.(2)由()12334(6)f x x x x --'=，得驻点4x =及()f x '不存在的点,60x x ==；()45338(6)x f x x -''=-，无零点，()f x "不存在的点为，60x x ==.(3)列表，如表3-3所示.(4)13()6limlim 11x x f x xx →∞→∞⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ()()2133lim lim 62x x xx f x x x →∞→∞⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎡=⎣⎦⎤+⎦， 故()f x 有斜渐近线2y x =-+.此外当0x →时，()f x '→∞；6x →时，()f x '→∞，即这时()f x 有铅直切线. (5)作图形，如图3-17所示.图3-17习 题 三1. 验证：函数()l n s i n f x x =在π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使()0f ξ'=.2. 下列函数在指定区间上是否满足洛尔定理的三个条件？有没有满足定理结论的ξ？ (1)()2,01,0,1x x f x x ⎧≤<⎪=⎨=⎪⎩ 0,1⎡⎤⎣⎦；(2)()1,0,2f x x =-⎡⎤⎣⎦; (3)()π,sin ,01,0,x x f x x <≤⎧=⎨=⎩ π0,⎡⎤⎣⎦.3. 函数()()()()()2112f x x x x x x =--++的导函数有几个零点？分别位于哪个区间内？4. 验证拉格朗日定理对函数()32f x x x =+的区间0,1⎡⎤⎣⎦上的正确性.5. 如果()f x '在,a b ⎡⎤⎣⎦上连续，在(),a b 内可导，且()()0,0f a f x '''≥>，证明：()()f b f a >.6. 设()()()f a f c f b ==，且a c b <<，()f x ''在,a b ⎡⎤⎣⎦内存在，证明：在(),a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ''=.7. 已知函数()f x 在,a b ⎡⎤⎣⎦上连续，在(),a b 内可导，且()()0f a f b ==，试证：在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()()()0,,fξf ξξa b '+=∈.8. 证明恒等式：()π222ar ct an ar csin11x x x x+=≥+.9. 对函数()sin f x x =及()cos g x x x =+在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上验证柯西定理的正确性.10. 设()f x 在,a b ⎡⎤⎣⎦上有()1n -阶连续导数，在(),a b 内有n 阶导数，且()()()()()10n fb f a f a f a -'===== ，试证：在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()()0n fξ=.11. 利用洛必达法则求下列极限： (1)πsin 3limt an 5x xx→；(2)()ππ22ln sin lim 2x x x →-；(3)()e e 01lim 1xxx x x →---；(4)sin sin lim x ax a x a→--；(5)lim m m nnx axa xa→--；(6)1ln 1limcot x x a r c x→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(7)0ln limcot x xx+→；(8)0lim sin ln x x x +→；(9)e e 01lim 1x x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭；(10)01lim ln xx x +→⎛⎫⎪⎝⎭；(11)π2lim ar ct an xx x →+∞⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭； (12)()1lim 1sin xx x→+；(13)()0lim ln ln 1x x x +→⎡⎤⋅+⎣⎦；(14))limx x→+∞；(15)e esin 0limsin xxx x x→--；(16)21sin lim xx x x→⎛⎫ ⎪⎝⎭；(17)()e 111lim 1xxx x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.12. 下列求极限的问题中，能使用洛必达法则的有().(1)21s inlims in x x xx→；(2)lim 1xx k x →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭； (3)sin limsin x x xx x→∞-+；(4)e e e elimx x xxx --→+∞-+.13. 设21lim 51x xm x nx →++=-，求常数,m n 的值.14. 设()fx 二阶可导，求()()()22limh f x h f xf x h h→+-+-.15. 确定下列函数的单调区间:(1)3226187y x x x =---； (2)()280y x x x=+>；(3)(ln y x =+；(4)()()311y x x =-+；(5)e ,(00)n xy x n x -=>≥；(6)2sin y x x =+；(7)()()54221y x x =-+. 16. 证明下列不等式: (1) 当π02x <<时，2sin t an x x x +>；(2) 当10x <<时，esin 1+22xx x-+<. 17. (1)证明不等式：()()ln 101xx x x x<+<>+；(2)设0,1a b n >>>，证明：()()11n nn n n ba b a b n aa b ---<-<-；(3)0a b >>，证明：ln a b a a ba b b--<<； (4)设0x >，证明：112x +>18. 试证方程sin x x =只有一个实根. 19．求下列函数的极值：(1)223 y x x =-+；(2)322-3y x x =；(3)322-6187y x x x =-+； (4)()ln 1y x x =-+；(5)422y x x =-+； (6)y x =+； (7)y =；(8)223441x x x y x++++=；(9)e cos xy x=；(10)1xy x=；(11)e e 2xxy -=+； (12)223(1)x y -=-； (13)3213(1)x y +=-；(14)tan y x x =+.20．试证明：如果函数32y a x bx cx d =+++满足条件230b a c -<，那末这函数没有极值 21．试问a 为何值时，函数()3sin s 3in 1f x a x x =+在π3x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.22. 求下列函数的最大值、最小值: (1)()2,54,(0)f x x x x=-∈-∞；(2)()［5,1］f x x x =+∈-；(3)4282,13y x x x =-+-≤≤.23. 求数列⎪⎭⎩的最大的项.24. 设a 为非零常数，b 为正常数，求2y a x bx =+在以0和b a为端点的闭区间上的最大值和最小值.25. 已知0a >，试证()1111xx af x +++-=的最大值为21aa++. 26. 在半径为r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.27. 某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示)，设截面积为a m 2，问底宽x 为多少时，才能使所用建造材料最省？12题图 13题图28. 甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB 的何处时，所需电线最短？29. 在边长为a 的一块正方形铁皮的四个角上各截出一个小正方形，将四边上折焊成一个无盖方盒，问截去的小正方形边长为多大时，方盒的容积最大？ 30. 判定下列曲线的凹凸性：(1)24y x x =-； (2)y x =sh ； (3)1(0)xy x x =+>；(4) arctan y x x θ=.31. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间： (1)32-535y x x x =++； (2)e x y x -=； (3)()e 41x y x =++； (4)()2ln 1y x =+； (5)e ar ct an x y =；(6)()412ln 7y x x =-.32. 利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：(1)(),,,100)1(22nnnx y x x y xy n y+⎛⎫+> ≠⎭>>>⎪⎝；(2)()e e e22x yx yx y ++≠>；(3)()ln ln ln ,,(00)2x x y y x y y x x y x y ++>+>>≠.33. 求下列曲线的拐点：(1)23，3x t y t t ==+；(2)x a y a θθ==22cot ，2sin .34. 试证明：曲线211x y x -=+有3个拐点位于同一直线上.35. 问,a b 为何值时，点1,3()为曲线32y ax bx =+的拐点?36. 试决定曲线32y a x bx cx d =+++中的,,c ,a b d ，使得2x =-处曲线有水平切线，1,1(0)-为拐点，且点2,44()-在曲线上37. 试决定()223y k x =-中k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点.38. 设()y f x =在0x x =的某邻域内具有三阶连续导数，如果()(),0000f x f x '="=，而()00f x'''≠，试问0xx =是否为极值点?为什么?又()(),00x f x 是否为拐点?为什么?39. 作出下列函数的图形： (1)()21f x x x=+； (2)()2arctan f x x x =-； (3)()21f x xx=+； (4)e 2(1)x y --=.40. 逻辑斯谛(Logistic)曲线族e,,,,10C xA B y x A B C -=-∞<<+∞>+建立了动物的生长模型. (1)画出1B =时的曲线()e1C xx A g -+=的图像，参数A 的意义是什么？(设x 表示时间，y 表示某种动物数量)；(2)计算()()g x g x -+，并说明该和的几何意义； (3)证明:曲线e1C xA B y -+=是对()g x 的图像所作的平移.。
第三章 微分中值定理与导数的应用Chapter 3 Mean Value Theorem of Differentials and the Application of Derivatives3.1 微分中值定理 (The Mean Value Theorem)一、罗尔定理 (Rolle's Theorem) 费马引理 (Fermat Lemma)设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义 , 并且在0x 处可导 , 如果对任意的0()x U x ∈, 有0()()f x f x ≤( 或0()()f x f x ≥), 那么0()0f x '=。
Let ()f x be defined on the open interval 00(,)x x δδ-+for some δ. If ()f x is differentiable at 0x , and for any x in 00(,)x x δδ-+ , (or 0()()f x f x ≥)then 0()0f x '=.驻点、奇异点和临界点(1) 如果函数在c 点的导数()0f c '=, 则称c 点为驻点；(2) 如果c 是区间(,)I a b =的内点 , 且函数在c 点的导数()f c '不存在 , 则称c 点为奇异点 ；（3) 函数的定义域内的驻点、奇异点和端点统称为函数的临界点。
Stationary Point, Singular Point, and Critical Point(1) If c is a point at which ()0f c '=, we call c a stationary point; (2) If c is an interior point of (,)I a b = where ()f c ' fails to exist, we call c a singular point;(3) Any point of the three types ，including stationary point, singular point and end point, in the domain of a function is called a critical point of ()f x .罗尔定理 (Rolle's Theorem)如果函数()f x 满足 :(1) 在闭区间[,]a b 上连续 ； (2) 在开区间(,)a b 内可导 ；(3) 在区间端点处的函数值相等 , 即()()f a f b =，那么在(,)a b 内至少有一点ξ()a b ξ<<， 使得()0f ξ'=。
