高数第三章一元函数的导数和微分

一、一元函数微分学一元函数微分学由导数和微分组成。

导数：样本量随自变量的变化而变化的快慢程度；微分：曲线的切线上的纵坐标的增量。

二、常数和基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C(2) 1)(-='μμμx x (3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(='(10) (e )e x x '=(11) a x x a ln 1)(log ='(12) x x 1)(ln ='，(13) 211)(arcsin x x -='(14) 211)(arccos x x --='(15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+三、函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3）v u v u uv '+'=')(（4）2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛四、反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'='或dydxdx dy 1=五、复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=六、高阶导数的莱布尼兹公式七、隐函数的导数一般地，如果变量x ，y 之间的函数关系是由某一个方程()0,=y x F 所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数. 对数求导法根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法.它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，因此称为对数求导法.幂指函数的一般形式为()0v y u u =>，其中,u v 是x 的函数. 八、由参数方程所确定的函数的导数22234241433339t t t t t ed dte e e dx dt dx e dt--⎛⎫=-⋅=-== ⎪-⎝⎭22223t d y d dy d e dx dx dx dx ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭一般地，如果参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数） 确定y 与x 之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数.如果函数()t x ϕ=，()t y ψ=都可导，且()0≠'t ϕ，又()t x ϕ=具有单调连续的反函数()x t 1-=ϕ，则由参数方程所确定的函数可以看成()t y ψ=与()x t 1-=ϕ复合而成的函数()[]x y 1-=ϕψ，根据复合函数与反函数的求导法则，有()()t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=1，即()()t t dx dy ϕψ''= ，也可写成 dtdxdtdy dx dy=.求方程32ttx ey e-⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数的二阶导数22d ydx.解 ()()tt t t t e ee e e dx dy 2323232-=-=''=--，注意二阶导的求法。

一元函数的导数与微分导数和微分是微积分的重要概念，它们描述了一元函数的变化率和局部线性逼近，对于函数的研究和应用具有重要的意义。

本文将介绍一元函数的导数和微分的概念、性质以及应用。

一、导数的概念对于给定的一元函数f(x)，在某一点x=a处，函数的导数表示函数在该点的变化率。

导数用符号f'(a)或df(a)/dx表示。

导数的定义为：f'(a) = lim_(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中lim表示极限运算。

这个定义可以解释为函数曲线在点(a,f(a))处的切线的斜率。

二、导数的性质1. 可导性：如果函数f(x)在某一点x=a处可导，则该点为可导点。

2. 连续性：如果函数f(x)在某一点x=a处可导，则该点也是函数f(x)在该点处连续的必要条件。

3. 导数的代数运算：导数具有线性性质，即对于常数c，以及可导函数f(x)和g(x)，有以下性质：a) (cf(x))' = cf'(x)b) (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)c) (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)d) (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/g^2(x) (其中g(x)≠0)三、微分的概念微分是导数的一个重要应用，它表示函数在某一点附近的线性逼近。

给定函数f(x)和点x=a，函数在该点附近的微分表示为：df(a) = f'(a)dx其中df(a)表示函数f(x)在点x=a处的微分，dx表示自变量的一个微小增量。

四、微分与导数的关系微分与导数是密切相关的概念。

对于函数f(x)，如果它在点x=a处可导，则在该点附近的微分可以表示为：df(a) = f'(a)dx通过微分，可以得到函数在某一点附近的局部线性逼近。

一元函数导数在微积分中，导数是一个非常重要的概念。

导数可以用来描述函数在某一点的变化率，也可以用来求函数的最值、最小值等。

在本文中，我们将介绍一元函数导数的概念、性质和应用。

一、导数的定义设函数y=f(x)，在点x0处有定义，若极限lim（f(x)-f(x0)）/（x-x0）存在，则称函数f(x)在点x0处可导，其导数为f'(x0)=lim（f(x)-f(x0)）/（x-x0）x→x0二、导数的性质1. 可导必连续，连续不一定可导。

2. 导数具有可加性，即（f+g）'（x）=f'(x)+g'(x)。

3. 导数具有可乘性，即（fg）'（x）=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

4. 导数具有链式法则，即（f(g(x))'）=f'(g(x))g'(x)。

三、导数的应用1. 求函数的最值若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则f(x)在[a,b]上的最大值和最小值必定出现在f'(x)=0或f'(x)不存在的点上。

2. 求函数的单调性若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则f(x)在[a,b]上单调递增的条件是f'(x)>0，单调递减的条件是f'(x)<0。

3. 求函数的凹凸性若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则f(x)在[a,b]上凹的条件是f''(x)>0，凸的条件是f''(x)<0。

4. 求函数的极值若函数f(x)在x0处可导，且f'(x0)=0或f'(x0)不存在，则x0为f(x)的极值点。

导数是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述函数的变化率、求函数的最值、单调性、凹凸性和极值等。

在实际应用中，导数也有着广泛的应用，如物理学中的速度、加速度等概念都与导数有关。

高等数学（1）学习辅导（三）第三章 导数与微分导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。

在学习的时候要侧重以下几点：⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。

)(x f 在点0x x =处可导是指极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000存在，且该点处的导数就是这个极限的值。

导数的定义式还可写成极限0)()(limx x x f x f x x --→函数)(x f 在点0x x =处的导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处切线的斜率。

曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为)())((000x f x x x f y +-'=函数)(x f y =在0x 点可导，则在0x 点连续。

反之则不然，函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 点不一定可导。

⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。

⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法 （1）导数的四则运算法则 （2）复合函数求导法则 （3）隐函数求导方法 （4）对数求导方法（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法， 例如函数xx y 2)1(-=，求y '。

在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。

如果我们把函数先进行变形，即21212322212)1(-+-=+-=-=xx x xx x xx y再用导数的加法法则计算其导数，于是有2321212123----='x x x y这样计算不但简单而且不易出错。

又例如函数321-+=x x y ，求y '。

显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得)2ln(31)1ln(21ln --+=x x y 两端求导得)2(31)1(21--+='x x y y 整理后便可得)2(682123---⋅-+='x x x x x y若函数由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕψ 的形式给出，则有导数公式)()(d d t t x y ϕψ''=能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。

§3 一元函数微积分3.1 微分一元函数可记为)(x y y = 或 )(x F y =在它的连续区域内，如图附-20所示，自变量若从x 增加到x x ∆+，便称x ∆为自变量x 的增量。

相应地，自变量从)(x y 增加到)(x x y ∆+，称)()(x y x x y y -∆+=∆为函数增量。

y x ∆∆、既可以是正的，也可以是负的。

几个函数的y x ∆∆、间关系如下：B Ax y += []x A B Ax B x x A y ∆=+-+∆+=∆)()( 2Ax y = 222)(2)(x A x Ax Ax x x A y ∆+∆=-∆+=∆x y sin = x x x x x x x y ∆+-∆=-∆+=∆sin cos )1(cos sin sin )sin( x e y = )1(-=-=∆∆∆+x x x x x e e e e y 例中B A ,均是常量。

自变量增量0→∆x 时，称为自变量微分，改记成dx 。

dx 是无穷小量，但不是零。

在连续区域内，自变量增量取微分dx 时，函数增量0→∆y ，称为函数微分，记成dy ，它也是无穷小量，可正，可负。

dy 与dx 间关系为)()(x y dx x y dy -+= 几个实例如下：B Ax y += Adx dy =2Ax y = dx dx x A dy )2(+=x y s i n= dx x dx x dy sin cos )1(cos sin +-= xe y = )1(-=dxxee dy数学中可以证明，对无穷小量dx ，有Ax Bdx Ax →+ 简书为 Ax Bdx Ax =+ 1cos →dx 简书为 1cos =dx dx dx →sin 简书为 dx dx =sin dx dx →tan 简书为 dx dx =tan e dx dx→+1)1( 简书为 ...718281828.2)1(1==+e dx dx例题6. 试证 dx dx dx ==tan sin 。

一元函数导数一元函数导数的作用在于描述函数在某一点的变化率。

通过求导可以得到函数的切线斜率，从而帮助我们理解函数在不同点的趋势和性质。

在本文中，我们将从不同角度探讨一元函数导数的相关内容。

一、导数的定义和基本概念导数的定义是函数在某一点的极限值，表示函数在该点的瞬时变化率。

导数可以通过函数的极限运算来求得，一般用符号f'(x)或dy/dx表示。

导数的存在性保证了函数在该点的光滑程度，也决定了函数的单调性和凸凹性。

二、导数的几何意义导数可以理解为函数曲线在某一点的切线斜率。

切线斜率为正表示曲线在该点上升，为负表示曲线下降。

当导数为零时，表示函数在该点达到极值，可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。

三、导数的运算法则1.常数乘法法则：导数与常数的乘积等于常数乘以导数。

2.和差法则：导数与函数的和（差）的导数等于函数的导数的和（差）。

3.积的求导法则：导数与函数的积的导数等于函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以该函数。

4.商的求导法则：导数与函数的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数，减去分子函数乘以分母函数的导数，再除以分母函数的平方。

5.复合函数的求导法则：导数与复合函数的导数等于外函数的导数乘以内函数的导数。

四、导数的应用1.切线问题：通过求导可以得到函数曲线在某一点的切线方程，进而求出曲线在该点的切线。

2.极值问题：通过求导可以找到函数的极值点，从而确定函数的最大值和最小值。

3.凸凹性和拐点：通过求导可以判断函数的凸凹性和拐点的位置，进而分析函数的变化趋势。

4.速度和加速度问题：导数可以描述物体的速度和加速度，帮助我们理解物体的运动规律。

5.最优化问题：通过求导可以求解最优化问题，例如求解函数的最大值、最小值或最优解。

五、导数与原函数的关系导数与原函数之间存在一个重要的关系，即导数是原函数的斜率函数。

如果函数的导数存在，则函数在某一点的导数等于该点的切线斜率。

反过来，如果函数在某一区间内连续且可导，则函数在该区间内的导数是唯一的。