机械振动课件第4章作业

（1)振动的周期；
（2）通过平衡位置时动能；
（3）总能量；
（4）物体在何处其动能和势能相等？
解 (1) 因
故
得
(2)因通过平衡位置时速度为最大，故
将已知数据代入，得
(3)总能量
(4)当
时，
由
得
[例4.5]已知SHM，A= 4 cm， = 0.5 Hz，t =1s时x =-2cm且向x正向运动，写出振动表达式。
由图可见初相
或
则运动方程为
（2）图（a）中点P的位置是质点从A/2处运动到正向的端点处。 对应的旋转矢量图如图所示。
当初相取
时，
点 P的相位为
（3）由旋转关量图可得
则
例4.4 质量为0.10kg的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为 ，求：
不同频率
1. 同方向同频率的简谐振动的合成
⑴.分振动 :
x1=A1cos( t+ 1)
⑵.合振动 :
合振动是简谐振动, 其频率仍为
x =A cos( t+ )
x2=A2cos( t+ 2)
设 x = x1+ x2
x =A cos( t+ )
A
A1
A2
y
x
o
1
2
Ax
Ay
Ax = A1cos1 + A2cos2
的相位与第一个振动的相位差为
，第一个振动的振幅为0.173m。求
第二个振动的振幅及两振动的相位差。
解：采用旋转矢量合成图求解。如图所示，取第一个振动的旋转矢量A1沿Ox
轴，即令其初相为零；按题意，合振动的旋转矢量A与A1之间的夹角

第九章
机械振动
第一节
简谐振动
复习：研究力和运动的关系 受平衡力 受大小、方向不变的 恒力 静止或匀速直线运动
匀变速直线运动 匀变速曲线运动
变速运动 例如：匀速（率）圆周运动 振动
受力大小不变 方向时刻改变
第九章
机械振动
第一节 问题讨论：
简谐振动
产生振动的条件
（1）振动开始前或振动终止时，物体的平衡位置在哪里？
D
x
A
思考题：平衡位置受力一定平衡吗？
（2）当物体偏离平衡位置到达B或C，受力情况如何？（是恒力 还是变力，合力方向如何）
（3）在合力作用下，物体有回到哪里的趋势？
（4）经过多次反复，最后停在平衡位置的原因是什么？
O
C
F
B
F
研究力和运动的关系 受平衡力 匀速直线运动
受大小、方向不变 匀变速直线运动 的恒力 匀变速曲线运动 受力大小不变 变速运动 方向时刻改变 例如：匀速（率） 圆周运动 受力大小、方向 改变（周期性）
振动
研究：回复力 位移的定义 弹簧发生什么形变 振子对平衡位置的位移方 向 弹簧对振子的弹力方向 O点右侧 伸长 向右 向左 F∝x O点左侧 压缩 向左 向右 F∝x
弹簧对振子的弹力大小
练习1：
振子的运动 对平衡位置的位移的方向 怎样?大小如何变化? 回复力的方向怎样?大小 如何变化? 加速度的方向怎样?大小 如何变化? 速度的方向怎样?大小如 何变化?
A→O 右 减小 左 减小
O→A’ 左 增大 右 增大 右 增大 左 减小
A’→O
O→A
左 右 减小 增大 右 左 减小 增大
左 减小 左 增大
右 左 减小 增大 右 右 增大 减小

(4.19)
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0

第四章 两自由度系统的振动
◆当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时， 那么这个系统就是两个自由度系统。
◆两自由度系统是最简单的多自由度系统。 ◆两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立 的微分方程组成。 ◆两自由度系统有两个固有频率及固有振型。
◆在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固 有振型叠加，只有在特殊的初始条件下系统才按某 一个固有频率作固有振动。
大象体积庞大，走起路来 更是别具一格，四只脚移动 时分别各自相差90度的位移 差。没有一只脚做的是相同 位移的移动。
◆四只脚动物可以看作是“四个振动体耦合在一起的 系统”吗？事实上，四个振动体组成的系统的基本运动 模式，确实与所提到的那四种走路方式一模一样。
◆可是动物们为什么会按照耦合振动体的方式来行走 呢？虽说现在关于这个问题还没有定论。生物学家们认 为，掌管运动的脑神经网(由数突连接起来的神经细胞) 看起来更接近“耦合振动体”一些。有推测认为，正是 脑神经网的动力学特性，使得动物走起路来才会表现出 振动体的特点。
1998年匈牙利的物理学家塔 马斯·维塞克在布达佩斯音乐学 院举行的一场音乐会上意外地发 现了同步化的现象。
演出相当成功，落幕后观众们热烈的掌声长达 3分钟之久，而维塞克博士便在这里发现了有趣 的东西。音乐会刚一结束，观众们雷鸣暴雨般的 掌声响起，然而过了一段时间之后，观众们的热 烈的掌声显然同步化了，变成了同一种节奏的拍 手。为了答谢观众们的热情，演奏者重新走上台 来谢幕，这时的掌声又突然之间失去了刚才的节 奏，雨点般疯狂地响起。在最后长达3分钟的鼓 掌声中，狂热的掌声和同步的掌声依次交替出现。
◆强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标 的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时 的振型就是与固有频率相应的固有振型。

t0
初始时刻 作圆周运动的质点的 径矢与 轴的夹角 就是振动的初相。

x
O
x
x
26
简谐振动的速度
☆ 5
叫做振动的角频率 ， 或 T 都表示简谐运动的周期性。
在 A 和 已知的条件下， 决定于质点在时刻 t 0 时的位置。
x A cos(t )
一个简谐运动的物理特征在于其振幅和周期。 对于一个振幅和周期已定的简谐运动， 用数学公式表示时，由于选作原点的时刻不同， 值就不同。Leabharlann x ☆
16
A
O

x
17
A
O

x
18

A
x
O
19

A
O
x
20

A
O
x
21
O

A
x
22
O
x
A

23
O
A
x

24
以圆心 O 为原点，设质点的径矢经过与 x 轴夹角为
的位置时开始计时，
则在任意时刻 t ，
此径矢与 x 轴的夹角为
t
t A
O

t0
也就是全部掌握该简谐运动的特征了。
因此，这三个量叫做描述简谐振动的特征量。
7
三 简谐振动的速度和加速度 任意时刻质点的速度
x A cos(t )
dx v A sin( t ) A cos( t ) dt 2
任意时刻质点的加速度 dv d 2 x a 2 2 A cos(t ) 2 A cos(t ) dt dt

第一章 绪 论
2 机械振动的研究对象和分类
2.1 研究对象——“振动系统”
振动概念（vibration）——物体经过它的静 平衡位置所做的往复运动。或者说某一物 理量在其平衡位置或平衡值附近来回的变 动。 振动首先是一种运动。比如：地壳的运动、 交流电、电磁波、潮水的涨落等。
第一章 绪 论
• 系统的定义：
n
k ; f n m 2
;T1 f
应用：利用“等时的 性特 ”点，座钟。
思考：钟表的钟摆的摆角大是准确还是小准确？
机械振动学
第2章 单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法
在振动研究中，计算振动系统的固有频率有很重要的意义 ，除
用定义法（牛顿法）外，通常还有以下几种常用的方法，即静 变形法、能量法和瑞利法，现分别加以介绍。
力矩、扭转阻尼系数和角速度 的单位分别为Nm、 Nms / rad 和rad/s
第2章单 自由度线性系统的振动 2.1 离散系统的组成
等效弹簧刚度
斜向布置的弹簧
n
并联弹簧 k e k i
i 1
传动系统的等效刚度
等效阻尼系数 并联系统
n
ce ci
i 1
传动系统的等效阻尼
kxe Fx/xkco2s
2.1 离散系统的组成
平动： Fs k x
转动： Ts kt
力、刚度和位移的单位分别为 N、N / m和m 。
力矩、扭转刚度和角位移的单 位分别为Nm、 Nm / rad和 rad
阻尼元件
无质量、无弹性、线性耗能元件
平动： Fd c x
转动： Td ct
力、阻尼系数和速度的单位分 别为N、N s/ m和m/s。

则系统受到的合力为

F mg FS mgi k(x l0 )i
Fx mg k(x l0 ) max
mgBiblioteka k(xl0
)

m
d2x dt 2

k
x

m
d2 dt
x
2
2 k
m
d2x dt 2

2
x

0
动力学方程
l
0A
x
F
A
x
mg
-------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------
§4.1 简谐振动的动力学特征
振动中最简单最基本的是简谐振动 简谐振动:一个做往复运动的物体，如果其偏离平
衡位置的位移x(或角位移)随时间t按余弦(或正弦)
Fx F ,x , ax a
-------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------
谐振动的位移、速度、加速度之间的相位关系
x A cos( t 0 ) A cos


A
sin(
t
0 )

x0 0
x0
0
x0 0
按指数规律衰减的非周期运 动
0
t
临界阻尼（ 1）
• 定义临界阻尼系数
1 cc 2mn 2 mk
（9）
阻尼 比
c
cc
（10）
超临界阻尼（ 1）
• 运动方程的通解为
x C e C e n 21 t 1
n 2 1 t 2
设系统的初始条件为
n 2 1 t 2
x e C e C e nt
i 1 2nt
1
i 1 2nt 2
临界阻尼（ 1）
运动方程的通解为
x C1 C2t ent
（6）
设系统的初始条件为
x 0 x0, x 0 x0
对应该初始条件的解为
x x0 n x0 x0 t ent
（7） （8）
x(t) x0
x 0 x0, x 0 x0
对应该初始条件的解为
x
1 2
x0
x0 2 1 n
x0
es1t
2 1
1 2
x0
x0 2 1 n
x0
es2t
2 1
（11） （12）
（13）
超临界阻尼（ 1）
x(t)
A
Ae 21 nt
x0
0
t
Be 21 nt B
•一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 •注意：实际工程中一般不会出现超临界（过）阻尼的情况
些 x(t)
1.4
1
0.2
t
s2 2ns n2 0
特征方程的根（系统特征值）
s1,2 n 2 1
特征值的三种情况：
（4） （5）

x（m）
t
A
曲线2曲线1
-A
t
t
t2
t1
1
2
当：t t2 t1 0, 2 1 0
振动2比振动1超前
t（s）
§4.1 简谐振动
例1.如图的谐振动x-t 曲线，试求其谐振方程
解：由图知
x(m)
A 2m T 2s 2
可得： 2 T O
振动表达式为
1
2t (s)
x Acos( t )
dt 2 l
谐振方程为：
设 2 2T
ml
x Acos（t ）
§4.2 简谐振动的实例分析
（5）U形管中液体无粘滞振荡
x x
l
为管内液体密度，
l为液体在管内的长度。
动力学方程为：
l
d2 dt
x
2
2gx
0
谐振方程为：
2 2g
l
x Acos（t ）
§4.2 简谐振动的实例分析
（6）LC谐振电路
P sin m dv
dt
v l
P
sin 1 3 （小角度时）
6
g 0
l
令 2 g
l
2 0
结论: 小角度摆动时，单摆的运动是谐振动.
周期和角频率为：T 2 l
g
g
l
§4.2 简谐振动的实例分析
（2） 复摆（物理摆）
以物体为研究对象
设 角沿逆时针方向为正
mghsin JZ
10
即： Asin( ) 0 sin( ) 0
6
2
x
1
cos(
t 2 )(m)
10 6 3
§4.1 简谐振动