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（2）设曲面方程为 z f ( x, y), 第一步：取 F ( x, y, z) z f ( x, y) 第二步：计算曲面的法向量
n ( f x ( x0, y0 ), f y ( x0, y0, ), 1) 第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法 线的方程
f x ( x0, y0 )( x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 ) (z z0 ) 0
解：两边取全微分 e x yd( xy) 2dz ezdz 0,
整理并解得
dz
ye xy ez 2
dx
x ez
dy, 2
z x
ye xy ez 2
,
2z xy
y
(
ye xy ez 2
)
(
ye
xy
)&#(ez 2)2
xy
(e z
2)'y
(e xy xye xy ) (ez 2) ye xy ez z
（一）向量的数量积计算、直线与平面的对应向量之 间的关系,空间曲面上某点法线方程的确定
（1）
a
b
|
a||
b|
cos
| b |
Pr
jba
|
a|
Pr
ja b .
a
b
axbx
a yby
a z bz
cos
axbx a yby azbz
ax2
a
2 y
az2
bx 2 by2 bz 2
i jk
' u
(u)
]
2x [ y
f
' u
(u)
]
x
u
u x2 y2
y
11
例4：设
z
(x2
y
2
)e
arctan
y x
,
求
dz.
答案：
arctan y
dz e
x [(2x y)dx (2 y x)dy]
12
例5：设 z z( x, y) 是由方程 e x y 2z e z 0 所确定的二元函数，求 dz, 2z . xy
要点：I、方向导数与梯度的计算 II ：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；
III ：隐函数的偏导数的计算；
IV ：多元函数极值（条件极值和无条件极值）；
例1：设 z 1 f ( xy) y ( x y) , 求 2z .
x
xy
答案： 2z y f ( xy) ( x y) y( x y)
,
2z xy
y
(
ye xy ez 2
)
(e xy
xye xy
) (e z (ez
2) 2)2
ye xy
ez
z y
e
xy[(1
e xy (e z
)(ez 2)3
第三步：分别写出切平面和法线的方程
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) 3
k 2
28 i 14 j 7k 7(4 i 2 j k )
2 1 10 n (4, 2, 1), n// s , L ,
7
例3：设直线 x 1 y 2 (z 1)与平面 3x 6 y 3z 25 0
m2
垂直，求m与
8
（二）隐函数存在定理的应用、方向导数与梯度的计算、 复合函数高阶偏导函数的计算、多元函数极值（含条件 极值和无条件极值）；
的方向 AB 上的方向导数
例3：设z f ( x 2 y 2) , 求
2z x y
10
例3：设 z f ( x 2 y 2) , 求 2 z
x y
解：
x
z
u
u x2 y2
y
z d f u x du x
f
' u
(
u)
u x
2x
f
' u
(u)
2z x y
f
' u
(
u)
y
[
2
x
f
sin
| Am Bn Cp |
,
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
0 ,
22
（3）曲面在某点处的法线方程的确定
要点：I：曲面在某点处的法线方程的确定
（1）设曲面方程为 F ( x, y, z) 0
第一步：计算 Fx , Fy , Fz , 第二步：计算曲面的法向量 n (Fx ( x0, y0, z0 ),Fy ( x0, y0, z0 ),Fz ( x0, y0, z0 ))
a
b
ax
ay
az
bx by bz
1
（一）向量的数量积计算、直线与平面的对应向量之 间的关系,空间曲面上某点法线方程的确定
: Ax By Cz D 0,
（2）设 L : x x0 y y0 z z0
m
n
p
则 L // s n Am Bn Cp 0
L在 上 Am Bn Cp 0, ( x0, y0, z0 ) L s// n A B C mn p
xy
9
例1：设
z 1 f ( xy) y( x y) , 求
x
2z . xy
例:(1)函数 u 2 xy 2 z3 xyz在点 P0 (0, 1, 2)处沿哪个方向
的方向导数最大？并求方向导数的最大值.
(2)求函数 u xyz 在点 A(5, 1, 2) 处沿到点 B(9, 4, 14)
y
(ez 2)2
13
例6：设 z z( x, y) 是由方程 e x y 2z e z 0 所确定的二元函数，求 dz, 2z . xy
解：两边取全微分 e x yd( xy) 2dz ezdz 0,
整理并解得
dz
ye xy ez 2
dx
x ez
dy, 2
z x
ye xy ez 2
所求直线的方程
x3 y2 z5.
4
3
1
6
例2：设直线 L 和平面 的方程分别为
x 3y 2z 1 0
L:
2 x
y 10z
3
, 0
则必有（ C ）
: 4x 2 y z 2 0,
( A) L //, (B) L在在上, (C ) L ,
(D) L与斜交.
解：s
i 1
j 3
x x0 y y0 z z0 f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
4
3、典型例题
5
例 1： 求过点(3, 2,5)且与两平面 x 4z 3 和2 x y 5z 1的交线平行的直线方程.
解 设所求直线的方向向量为 s {m, n, p},
根据题意知 s n1 , s n2 , 取 s n1 n2 {4,3,1},
