高数下册_第七章_微分方程习题课_(一)(二).

第十二章 微分方程答案一、选择题1．以下不是全微分方程的是C1A. (x 2 y)dx ( x 2 y)dy 0B.( y 3x 2 )dx (4 y x)dyC. 3(2x 33xy 2 ) dx 2(2 x 2 y y 2 )dy0 D.2x( ye x 2 1)dxe x 2dy2. 若 y 3 是二阶非齐次线性方程 (1):y P(x) y Q (x) f ( x) 的一个特解， y 1, y 2 是对应的齐次线性方程 (2) 的两个线性没关的特解，那么以下说法错误的选项是（c 1 , c 2 ,c 3 为随意常数）C 2A. c 1 y 1 c 2 y 2 是 (2) 的通解B.c 1 y 1 y 3 是 (1) 的解C. c 1 y 1c 2 y 2 c 3 y 3 是 (1) 的通解D.y 2 y 3 是(1) 的解3．以下是方程 xdx ydyx 2y2dx 的积分因子的是 D2A. x 2y 2B.1 y 2C.x 2 y 2D.1y 2x 2x 2d 3 yxd 2 y 2 x1 的通解应包括得独立常数的个数为（ B ） .14．方程e dx 2edx 3(A) 2(B) 3(C) 4 (D) 05．已知方程 y ' p(x) y 0 的一个特解 y cos 2x ，则该方程知足初始特解y(0) 2 的特解为（ C ） .2(A)y cos 2x2 (B) y cos 2x 1 (C) y 2cos 2 x (D)y 2cos x6．方程 d 3 ye x d 2 ye 2 x1 的通解应包括得独立常数的个数为（ B ） . 1dx 3dx 2(A) 2(B) 3(C) 4 (D) 07．设线性没关的函数 y 1 , y 2 , y 3 都是微分方程 y '' p(x) y ' q( x) y f ( x) 的解，则该方程的通解为 （ D ） .2(A)y c1 y1c2 y2y3(B)y c1 y1c2 y2(c1c2 ) y3 (C)y c1 y1c2 y2(1c1c2 ) y3(D)y c1 y1c2 y2(1c1 c2 ) y38．设方程y '' 2 y '3y f ( x) 有特解y *，则其通解为（B）.1(A)c1e x c2 e3 x(B)c1e x c2e3x y *(C)c1xe x c2xe3x y *(D)c1e x c2e 3 x y * 9．微分方程y 'y cot x0 的通解为（A）.1(A)y c sin x (B)yc(C)y c cosx(D)c sin xycosx10.方程y cos x的通解为 ( C)1(A)ysin x c1 x c2(B)y sin x c1x c2(C)y cosx c1x c2(D)y cos xc1x c211.y e x的通解为(C)1(A) e x(B) e x(C) e x c1 x c2(D) e x c1 x c2y 2y312.微分方程y x y4的阶是 (B)1(A)1(B)2(C)3(D)413.以下微分方程中，属于可分别变量方程的是(C)1(A)xsin xy dx ydy0(B)y ln x ydy xsin y y 1 y e x y2(C)dx(D)x14. 方程y 2 y0 的通解是（C）1A.y sin 2x；B.y4e2 x；C.y ce2x；D.y e x c 。

2016～2017学年第二学期科目: 高等数学(二) 第七章微分方程 单元测试题答案命题教师：吴淦洲 使用班级：全校16级理工本科一． 单项选择题（每小题2分，共16分）1． 选B 。

由二阶常系数微分方程可以知道其特征方程为2123201,2r r r r -+=⇒== 故B 是正确的。

2.选择B 由特征方程2210++=r r 解得特征根121==-r r ，所以对应齐次方程的通解为12()x Y c c x e -=+3．选C 。

该特征方程为：220rω+= ，故r i ω=±，所以xc x c y ωωsin cos 21+=正确。

4．选A 。

该方程是齐次方程，令y u x=，该方程可化为：du u x u dx +=，分离变量可以知道，故结论2y=(ln x +C)x y=0和正确。

5．选D 。

根据三阶微分方程的通解的定义，必含有三个独立的任意常数，用排除法即可知D 选项成立。

6．选B 。

该方程属于齐次方程，因为'ln y y y x x=。

7．选D 。

应该特征方程为：210r -=，所以1r =± ，右端中1λ=是特征方程的一个单根，且有个常数1，所以可设特解为x axe b +8．选B 。

由方程阶的定义可以知道B 正确。

9. 选C 该特征方程为：220r r --= 122,1r r ==-，故-1是特征方程的一个单根，所以x e B Ax x y -*+=)(是正确的 10. 选A 。

方程是可分离变量类型，分离变量后dy dx y=-⎰，积分可知A 正确。

11.选D. 特征方程是220rr +=，122,0r r =-=，0是该方程的一个单根，故特解可以设为y ax *= 二. 填空题(每小题2分，共14分，请把答案填在横线上)1．()()(())P x dx P x dx e Q x e dx c -⎰⎰+⎰由一阶线性微分方程的公式法可以写出答案，注意公式中的符号。

第七章 练习题一、填空： 第一节1、微分方程()1y x 2='+'y 的阶 一 __.2、0)()67(=++-dy y x dx y x 是 一 阶常微分方程. 3、01"=+xy 是 二 阶常微分方程. 4、微分方程2'=y x 的通解为 c x y +=2 。

5、 153'+=+x y xy 是 1 阶常微分方程 6、与积分方程()dx y x f y x x ⎰=0,等价的微分方程初值问题是0|),,(0'===x x y y x f y7、223421xy x y x y x ''''++=+是 3 阶微分方程。

8、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为 29、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是 310、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有 2 个任意常数 11、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是 1 第二节 1、微分方程x dye dx=满足初始条件(0)2y =的解为1x y e =+． 2、微分方程y x e y -=2/的通解是 C e e xy +=221 3、微分方程2dyxy dx=的通解是 2x y Ce = 4、一阶线性微分方程23=+y dx dy的通解为 323x Ce -+5、微分方程0=+'y y 的通解为 x ce y -=6、 微分方程323y y ='的一个特解是 ()32+=x y第三节1、tan dy y ydx x x=+通解为arcsin()y x Cx =．第五节1、微分方程x x y cos "+=的通解为213cos 6C x C x x y ++-= 2、微分方程01=+''y 的通解是（ 21221C x C x y ++-= ）3、 微分方程044=+'+''y y y 的通解是（ x e C x C y 221)(-+= )4、微分方程032=-'+''y y y 的通解是（ x x e C e C y 231+=- )5、 方程x x y sin +=''的通解是=y 213sin 61C x C x x ++-第六节1、 一阶线性微分方程x e y dxdy-=+的通解为 ()C x e y x +=- 2、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为)1(21221c c x c x c y --++=或1)1()1(221+-+-=x c x c y第七节1、 微分方程230y y y '''--=的通解为x x e C e C y 321+=-.2、 分方程2220d xx dtω+=的通解是 12cos sin C t C t ωω+3、微分方程02=+'-''y y y 的通解为 12()x y c c x e =+第八节1、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是3,2,1αβγ=-==-2、微分方程2563x y y y xe -'''++=的特解可设为=*y *201()x y x b x b e -=+二、选择 第一节1、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ A ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、方程422421x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ B ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 03、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、54、微分方程1243/2///+=++x y x y x xy 的通解中含有任意常数的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、55、微分方程34()0'''-=x y yy 的阶数为（B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46、下列说法中错误的是（ B ）(A) 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； (B) 方程220()x y yy x ''-+=是二阶微分方程；(C) 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； (D) 方程()()dyf xg y dx=是可分离变量的微分方程． 7、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有（ B ）个任意常数A 、1B 、2C 、3D 、4 8、 微分方程3447()5()0y y y x '''+-+=的阶数为（ B ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．49、微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是（ A ）.A. 2B. 4C. 5D. 310、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是（ A ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 11、 微分方程323y y ='的一个特解是（ B ）A. 13+=x yB. ()32+=x y C. ()3C x y += D. ()31+=x C y12、 方程322321x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ C ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 0第二节1、微分方程20y y '-=的通解为（B ）A ．sin 2y c x =B ．2x y ce =C ．24x y e =D ．x y e =2、微分方程0ydx xdy -=不是 （ B ）A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程 3、微分方程0=+'y y 的通解为（ D ）A ．x y e =B ． x ce y -=C ． x e y -=D ． x ce y -=4、一阶常微分方程e yx dxdy -=2满足初始条件00==x y 的特解为（ D ） A x ce y = B x ce y 2= C 1212+=x y e e D ()1212+=x y e e5、微分方程02=+'y y 的通解为（ D ）A ．x e y 2-=B ．x y 2sin =C ．x ce y 2=D ．x ce y 2-= 6、 微分方程 ydy x xdx y ln ln =满足11==x y 的特解是（ C ）A. 0ln ln 22=+y xB. 1ln ln 22=+y xC. y x 22ln ln =D. 1ln ln 22+=y x第五节1、 微分方程2(1)0y dx x dy --=是（ C ）微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次第六节1、已知x y cos =，xe y =，x y sin =是方程()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22的三个解，则通解为 （ C ）A x c e c x c y x sin cos 321++=B ()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21C ()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=D ()x c x c e c c y x sin cos 12121++++=第七节1、微分方程02=+'-''y y y 的通解为（ D ）A ．12x x y c e c e -=+；B ．12()x y c c x e -=+；C ．12cos sin y c x c x =+；D ．12()x y c c x e =+ 2、下面哪个不是微分方程''5'60y y y +-=的解（ D ） （A ）65x x e e -+ （B ）x e （C ）6x e - （D ）6x x e e -+3、 已知2,sin ,1x y x y y ===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ） A ．221sin 1x C x C y ++=B ．2321sin xC x C C y ++=C ．21221sin C C x C x C y --+=D ．212211sin C C x C x C y --++= 4、已知x y x y y cos ,sin ,1===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ）A ．x C x C C y cos sin 321++=B ．xC x C C y cos sin 321++= C ．2121sin cos C C x C C y --+=D ．21211cos sin C C x C x C y --++= 5、微分方程0y y ''+=的通解为（ C ）(A) 12x x y c e c e -=+； (B) 12()x y c c x e -=+； (C) 12cos sin y c x c x =+； (D) 12()x y c c x e =+6、已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则方程的通解为（ C ） A 2321x C x C C ++ B 21221C C x C x C --+ C )1(21221C C x C x C --++ D ()()2122111C C x C x C ++-+-7、已知x y y x 4='+''的一个特解为2x ，对应齐次方程0='+''y y x 有一个特解为x ln ，则原方程的通解为 （ A ）A 、221ln x c x c ++ B 、221ln x x c x c ++ C 、221ln x e c x c x ++ D 、221ln x e c x c x ++- 8、微分方程04=+''y y 的通解为（ A ）A ．x c x c y 2sin 2cos 21-= ；B ．x e x c c y 221)(-+=C x x e c e c y 2221-+=；D ．x e x c c y 221)(+=9、 分方程2220d xx dtω+=的通解是( A );A .12cos sin C t C t ωω+B .cos t ωC .sin t ωD .cos sin t t ωω+第八节1、微分方程x e y dxyd =-22的一个特解应具有的形式为 DA ()x e b ax +B ()x e bx ax +2C x aeD x axe2、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是（ C ）（A ）3,2,1αβγ===- （B ）3,2,1αβγ==-=- （C ）3,2,1αβγ=-==- （D ）3,2,1αβγ=-=-= 三、计算第二节1、求微分方程0ln '=-y y xy 的通解 解：分离变量xdxy y dy =ln ...........2分 两边积分可得 1ln ln ln C x y += ..........4分 整理可得Cx e y = .........6分 5、计算一阶微分方程ln 0x x y y '⋅-=的通解。

第七章微分方程一、填空题1、曲线上点(,)x y 处的切线斜率为该点纵坐标的平方，则此曲线的方程是_____y x C=-+1。

2、曲线上任一点处的切线斜率恒为该点的横坐标与纵坐标之比，则此曲线的方程是______ x y C 22-=。

3、一质点沿直线运动，已知在时间t 时加速度为t 21-，开始时()t =0速度为13，则速度与时间t 的函数关系式是________ V t t =-+13133。

4、曲线上任一点(,)x y 处的切线斜率为该点横坐标的平方，则此曲线的方程是 y x C =+133。

5、一曲线过原点，其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2x y +，则曲线方程是______ y e x x=--21()。

6、微分方程e y ax "=1（a 是非零常数）的通解是 ______y ae C x C a x =++-1212。

7、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C C x =+12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''=y 0。

8、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C e C x =+12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''-'=y y 0。

9、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12cos sin =+y C kx C kx ，其中C C 12,为独立的任意常数，k 为常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''+=y k y 20。

10、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C e C e x x =+-12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''-=y y 0。

11、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C C x e x=+()12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''-'+=y y y 20。