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1 y
又如, z sin( x y ) , ( x, y ) R 2
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D 的图形一般为空间曲面 . 三元函数 u arcsin( x 2 y 2 z 2 ) 定义域为 单位闭球
O
O
x
y
图形为
空间中的超曲面.
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则称 P 为 E 的外点 ; 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
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(2) 聚点
若对任意给定的 ,点P 的去心 邻域
P D Rn
常用
二元函数 (图形一般为空间曲面)
三元函数
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3. 多元函数的极限
P P0
lim f ( P) A
ε 0 , δ 0 , 当0 PP0 δ 时， 有 f ( P) A ε
4. 多元函数的连续性 1) 函数 f ( P) 在 P0 连续 有界定理 ; 最值定理 ;
E
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
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(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
y kx
k 值不同极限不同 !
故 f ( x, y )在 (0,0) 点极限不存在 .
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例4. 求
此函数定义域 不包括 x , y 轴
解: 因 x 2 y 2 1 ( x 2 y 2 ) 2 , 令 r 2 x 2 y 2 , 则 4
4 (1 cos r ) r6
第九章 多元函数微分法 及其应用
一元函数微分学 推广 多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
第一节 多元函数的基本概念
一、区域
第九章
二、多元函数的概念
三、多元函数的极限
四、多元函数的连续性
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一、 区域
1. 邻域 点集
PP0 δ 称为点 P0 的 邻域.
例如,在平面上,
点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 u u f ( P ) , P D 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
当 n = 3 时, 有三元函数
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例如, 二元函数 z
1 x y
2
2
z
O x
z
定义域为 圆域 ( x, y ) x 2 y 2 1 图形为中心在原点的上半球面.
定义: x y ( x1 y1 , x2 y2 ,, xn yn ) 线性运算 x ( x1 , x2 , , xn ) 定义了线性运算的 R n 称为 n 维空间, 其元素称为点或 n 维向量. xi 称为 x 的第 i 个坐标 或 第 i 个分量.
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U ( P0 , δ ) ( x, y )
在空间中, U ( P0 , ) ( x, y, z )
(圆邻域)
(球邻域)
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 U ( P0 ) . 点 P0 的去心邻域记为
0 PP0 δ
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在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆
不同.
如果它们都存在, 则三者相等.
仅知其中一个存在, 推不出其他二者存在.
例如,
x 0 y 0
显然
lim lim f ( x, y ) 0 ,
例3
但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .
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四、 多元函数的连续性
定义3 . 设 n 元函数 f (P) 定义在 D 上, 聚点 P0 D ,
P129 题 *4. 令 y= k x ， 2 xy kx lim 2 lim 4 4 2 0 x 0 x y x 0 1 k x
y 0
D 1 x
可见极限
xy x2 1 若令 y x , 则 lim 2 4 lim 2 x 0 x y x0 2 x 2
y 0
三、多元函数的极限
定义2. 设 n 元函数 f ( P ), P D R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一
切 P D U ( P0 , δ ) , 都有
记作
P P0
则称 A 为函数
lim f ( P) A (也称为 n 重极限)
又如, 函数
例如, 函数
在圆周 x 2 y 2 1 上间断.
结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.
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闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:
定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则
(有界性定理)
(2) f ( P) 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;
如果存在
P P0
lim f ( P) f ( P0 )
则称 n 元函数 f ( P) 在点 P0 连续, 否则称为不连续, 此时 称为间断点 . 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上
连续.
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xy , x2 y2 0 2 f ( x, y ) x y 2 2 2 0 , x y 0 在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.
R 中两点 x ( x1,, xn ), y ( y1 ,, yn x1, x2 ,, xn ) 与零元 0 的距离为
2 2 x x12 x2 xn
当 n 1, 2, 3 时, x 通常记作 x .
R n中的变元 x 与定元 a 满足 x a 0, 则称 x 趋于a , 记作 x a. 设 a (a1 , a2 , , an )
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2
不存在
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作 业
P61 5 (2), (4), (6)
P P0
lim f ( P) f ( P0 )
2) 闭域上的多元连续函数的性质:
介值定理
3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
思考与练习 P61 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8 P129 题 3; *4
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解答提示:
P61 题 2. 称为二次齐次函数 .
2 2
( x y 0)
2 2
x 0 y 0
要证
证:
ε
ε 0 , δ
ε , 当 0 x 2 y 2 δ 时, 总有
x2 y2
故
x 0 y 0
lim f ( x, y ) 0
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x sin 1 y sin 1 , x y 0 y x 例2. 设 f ( x, y ) 0 , xy 0 lim 求证： f ( x, y ) 0 .
2 2
arcsin(3 x 2 y 2 ) x y
2
的连续域.
解:
3 x y 1
x y2 0 2 2 2 x y 4 2 x y
y O
2
2
x
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内容小结
1. 区域 • 邻域 : U ( P0 , δ ) , U ( P0 , δ ) • 区域 连通的开集 • R n空间 2. 多元函数概念 n 元函数 u f (P) f ( x1 , x2 ,, xn )
2
4(1 cos r 2 ) 2 r4 而 lim lim 6 r 0 r 0 r r6
故
r4 1 cos r 2 ~ 2
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注. 二重极限 lim f ( x, y ) 与累次极限 lim lim f ( x, y )
x x0 y y0
x x0 y y 0
x 0 y 0
证： f ( x, y ) 0 x y
要证
ε
ε 0, δ ε 2 , 当 0 ρ x 2 y 2 δ 时， 总有
lim f ( x, y ) 0
故
x 0 y 0
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若当点 P( x, y ) 以不同方式趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时, 函数 趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定函数极限 不存在 .
邻域可以互相包含.
。
P0
平面上的方邻域为
U ( P0 , δ ) ( x, y )
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2. 区域 (1) 内点、外点、边界点
设有点集 E 及一点 P :
E
若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
