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单自由度体系地震作用计算原理

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第三节 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱

第三节 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱

第三节 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱一、水平地震作用的基本公式 由上一节可知，()()[]()()t kx t x c t xt x m +=+- 0 3.26因()()r kx t xc ，略去不计，有()()[]()t kx t x t x m ≈+-0 3.27质点的绝对加速度为3.28()()()()()t x t x mkt xt x t a 20ϖ-=-=+= 将式3.24代入上式，得3.29质点的最大绝对加速度为()m ax a t a S =3.30一、 地震反应谱 反应谱分析法：求解结构最大地震反应的方法即反应谱分析法，这种方法是对单质点单自由度体系，在给定的阻尼比 时，取不同的自振周期T ，求出任意给定的地震波下的最大加速度 。

然后，以阻尼比 为参数，作出自振周期T 与最大反应的关系曲线族，即反应谱。

这样一来，对于任何单质点、单自由度体系，如果已知其自振周期T 、阻尼比 ，便可从反应谱图中直接查得该结构体系在特定地震波下的最大反应，实际运用是比较方便的。

图3.7是根据1940.5.18美国埃尔森特罗地震时地面运动加速度记录绘出的加速度反应谱曲线。

任何地震波所得的地震反应谱，几乎后共同的特点。

1、谱曲线是多峰点的，是由于地面运动的不规则造成的，但在阻尼比等于零时反应谱的谱值最大，而任何较小的阻尼比都能否使峰点削平很多。

2、当结构自振周期较小时，随周期T 的增加，反应急剧增长，而较大自振周期时，反应逐渐衰减、稳定。

目前，世界各国已普遍计算和利用地震反应谱。

在现今设计中，已有许多可以直接应用的地震反应谱，包括最大加速度、最大相对加速度或最大相对位移反应，以满足不同使用的要求。

aS 与质点质量的乘积即为水平地震作用的绝对最大值a mS F = 3.31二、 标准反应谱βGk x Sg x mg mS F max a max a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00 3.32式中： k—— 地震系数 β—— 动力系数mg G =——重力（一）地震系数1、概念：即指地面运动最大加速度与重力加速度的比值2、公式：gxk max0 =3.333、有关因素：与地震烈度有关4、确定：见表 3.1 （二）动力系数β1、概念：即指单质点弹性体系在地震作用下最大反应加速度与地面最大加速度之比。

单自由度体系地震能量反应的计算

单自由度体系地震能量反应的计算
中图分类号 ： Ｕ ３ Ｔ １３ 文献标识码 ： Ａ
Ｃａｃ ｌｔｏ ｆｓ ｉｍ ｉ ｎｅ ｇ ｅ ｐｏ ｅ ｏ ｉ ｌ ｌｕ ａ ｉ ｎ ｏ ｅｓ ｃｅ ｒ ｙ ｒ ｓ ｎｓ ｆｓｎｇｅ ｄ ｇ ｅ ｆｆ ｅ ｄ ｍ ｙ ｔ ｍ ｅ ｒ ｅ ｏ ｒ ｅ ｏ ｓ ｓｅ
ＹＡｎ ２ ２ Ｓ ａ － ｇ ｅ
ｉ ｉｔ ｄ ｃｄ ｂ ｉｆ ｎ ｄ ｔ ｅｅａｅｔ ｘ ｍｐｅ ｏｓ ｏ ｔ ｅｐ ｏ ｅ ｕ ｅ ｓ ｎ ｒ ｕ ｅ ｒｅｌ ｏ ｙ，ａ ｈ ｒ ｒ ｗｏｅ ａ ｌ ｔ ｈ ｗ ｈ ｒｃ ｄ ｒ ． ｓ
ｋ ｙｗｏ ｄ ：ｎ ｒｙ ｃ ｌｕａ ｉｎ；ｅｓ ｃｅ ｅｇ ｔｔｌ ｎ ｕ ｉ ｉ ｅ ｅｇ ｓｒ ｃｕ ａ ｙ ｔｒｔｃｄｓｉａ — ｅ ｒ ｓ ｅ ｅｇ ｃ ｌｔ ａ ｏ ｓｉ ｍｉ ｎ ｒ ｙ；ｏ ａ ｉｐ ｔ ｓ ｃ ｎ ｒｙ；ｔ ｔ ｒｌ ｓｅ ｅｉ ｉ ｐ ｔ ｅ ｓｍ ｕ ｈ ｅ ｎ ｒ ｙ ｓｒ ｃｕ ａ ｄ ｐｎ ｎ ｒ ｙ ｄ ｅ ｅｇ ；ｔｕ ｔ ｒｌ ａ ｉｇ ｅ ｅｇ ｍ
Ｍａ ．２ ０ ｒ ｏ６
文章编 号 ： ６ ２ ３ ５２ ０ ）１ ０ ０ ４ １７ —９ １ （０ ６０ —０４ —０
单 自由度体 系地震能量反应 的计算
杨文 星 ． 罗少 锋 一 ，
（＿ １西安科技大学 建筑与土木工程学院， 陕西 西安 ７０５ ； ． １ ４ ２西安建筑科技大学 土木工程学院， ０ 陕西 西安 ７０ ５） １０５ 摘 要： 在地震 中， 结构吸收地震波输入的能量 ， 以阻尼耗能和滞 回耗能的形式 消耗 能量 。通过 结构 并
（ ． ｃｏｌｆＣｖｌ ｇｎｅｉｇａｄ Ａｒｈｔ ｔｒ ， ’ ，Ｕｎｖｒ ｉ ｆＳｚｒｅａ ｄＴ ｃｎ ｌ ｙ，Ⅺ ’ ７ ０ ５ １ Ｓｈｏ ｉｉＥｎ ｉｅｒｎ ， ｏ ｃｉｃｕｅ ｅ 口ｌ ｉｅｓ ｔ ｙ ｙｏ ｃ￣ｃ ｎ ｅｈ ｏ ｇ ｌ ｏ 口 １０ ４，Ｃ ｉａ； ｈｎ

第三章1-单自由度体系的弹性地震反应分析与地震作用

第三章1-单自由度体系的弹性地震反应分析与地震作用

1 k

x g (t )
上式与振动方程（3.4b）完全相同。
17
3. 振动方程的简化
令： = k m (3.6) (3.7)
=
c 2 m
代入式（3.4b）得 即 (t ) 2 x (t ) 2 x (t ) = g (t ) x x (3.5)
式中 ：称为自振频率
x (t )
建立振动方程有两种方法： 刚度法和柔度法
m
k
fD
m
fS
fI
x g (t )
14
1. 刚度法
地震时，任意时刻质点m的相对位移为x(t ) 任意时刻基础的位移为xg (t ) 质点m的绝对加速度为： x(t ) xg (t ) 取质点m为脱离体，则其所受 到的作用力有：
xg (t )
t
30
振动方程的特解——续
2 x 2 x = g x x
观察振动方程，可将方程右边项 xg (t )看作单位质量(m = 1)上 的动力荷载。
g (t )曲线划分成若 现将 x 干个瞬时荷载（如图）。
当t = 时： 体系的质量 m = 1 g ( ) 1 瞬时荷载为 P = x g ( ) d 瞬时冲量为 Pdt = x
x(t ) = et (c1 cosDt c2 sin Dt )
D = 1 2
D : 有阻尼单自由度体系的 自振频率
一般工程为欠阻尼情况： 边界条件： 代入上式：
x0 = x(0), x 0 = x(0)
c1 = x0



代入上式导数式： c = 2
x 0 x0
6

建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用

建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用
即不同阻尼比的地震影响系数是有差别的：随着阻 尼比的减小，地震影响系数增大，而其增大的幅度则随 周期的增大而减小。
2
max
1
Tg
2021/3/7
结构抗震设计
16
设计特征周期
规范规定，根据建筑工程的实际情况，将地震动反应
谱特征周期Tg，取名为“设计特征周期”。
设计特征周期的值应根据建筑物所在地区的地震环境 确定。（所谓地震环境，是指建筑物所在地区及周围 可能发生地震的震源机制、震级大小、震中距远近以 及建筑物所在地区的场地条件等。）
式中 k11——使质点1产生单位位移而质点2保持不动时，
在质点1处所需施加的水平力； k12——使质点2产生单位位移而质点1保持不动时，
在质点1处引起的弹性反力； c11——质点1产生单位速度而质点2保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力； c12——质点2产生单位速度而质点1保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力；
在进行建筑结构地震反应分析时， 除了少数质量比较集中的结构 可以简化为单质点体系外，大 量的多层和高层工业与民用建 筑、多跨不等高单层工业厂房 等，质量比较分散，则应简化 为多质点体系来分析，这样才 能得出比较符合实际的结果。
一般，对多质点体系，若 只考虑其作单向振动时，则体 系的自由度与质点个数相同。
1、两自由度运动方程的建立 2、两自由度弹性体系的运动微分方程组 3、两自由度弹性体系的自由振动 三、多自由度弹性体系的自由振动 1、n自由度体系运动微分方程组 2、n自由度弹性体系的自由振动 四、振型分解法 1、两自由度体系振型分解法 2、n自由度体系振型分解法
2021/3/7
结构抗震设计
21
一、多质点和多自由度体系
15

第三章2 工程结构地震反应分析与抗震验算.ppt

第三章2 工程结构地震反应分析与抗震验算.ppt

h 1 ---直线下降段的斜率调整系数；按下式确定
h1 = 0.02 + (0.05 - z ) / 8 当h1 < 0时，取h1 = 0
h2 - -阻尼调整系数，h2 < 0.55时，取h2 = 0.55
h2
=1+
0.05 - z 0.06 +1.7z
Tg : 特征周期，见表3.2
max：水平地震系数的最大值 α max = kβ max ,β max= 2.25
结构在地震持续过程中经受的最大地震作用为
F
=
F (t ) max
= m &x&(t) + &x&g (t) max
= mSa
= mg Sa
&x&g (t) max = Gk = G
&x&g (t) max
g
G ---集中于质点处的重力荷载代表值；
g ---重力加速度
= Sa
&x&g (t) max
地震特征周期分组的特征周期值（s）
场地类别
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
第一组 0.25
0.35
0.45 0.65
查表确定 Tg Tg = 0.3
第二组 0.30
0.40
第三组 0.35
0.45
0.55 0.75 0.65 0.90
例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋 盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，Ⅰ类 场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚 度 ic = EIc / h = 2.6104 kN m ,阻尼比为0.05。试求该结构多 遇地震时的水平地震作用。

第三章-单自由度体系结构的地震反应

第三章-单自由度体系结构的地震反应
－ξ ω t
P(t)
t
(t)
x(t)
() (a)
t
() (b)
xt ＝e
Pdt sin t （3.11） m
图3.7 瞬时冲量及其 引起的自由振动
3.3.2

一般动力荷载下的动力反应 般动力荷载下的动力反应—— 杜哈美积分
P()
图3.8示任一动力荷载，它 图3 8示任 动力荷载 它 的整个加载过程可看作是 由一系列瞬时冲量所组成。 运用叠加原理，把各个瞬 时冲量单独作用下的动力 反应求出 然后再叠加以 反应求出，然后再叠加以 求得总的动力反应。 冲量 P d 在 t t 引起的单自由度体系的振 动为
（3 1） （3.1） （3.2）
2x 2 x ＝ a t x
c c c 2 ＝ , ξ ， 2 mω 2 mk m
称为阻尼比；k为弹簧系数；c为阻尼系数 称为阻尼比 为弹簧系数 为阻尼系数
k ＝ ， 叫做无阻尼的自振圆频率 m
P t a t ＝ m Nhomakorabea3.4.2 运动方程数值计算解

目前直接对运动微分方程进行数值积分的方法，如 平均加速度法、线性加速度法、纽马克—法、 Wilson－法等。 数值方法的基本思路 t 0 ， t 0 及各个分点间的递 x 利用初始条件 x t 0 ，x 推关系，一步一步地向下进行递推计算

叫做激振加速度
地面运动作用下单自由度体系的运动方程
X(t) -mXg(t)
D S
I
Xg(t) (a) (b) (c)
图3.4
力学模型

x(t ) 质量块的绝对加速度 相对加速度为 x(t ) xg (t ) ，相对加速度为

自由度体系结构的地震反应

曲线下降段，自特征周期至5倍特征周期区段，衰减指数应取0.9。
直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系数η1应取0.02，阻尼调整系数η2=1 。
地震影响系数曲线
地震影响系数曲线
2 当建筑结构的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合下列规定： 1) 曲线下降段的衰减指数应按下式确定： 2) 直线下降段的下降斜率调整系数应按下式确定： 3)阻尼调整系数应按下式确定：
地震影响系数的确定
建筑结构的地震影响系数应根据烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比确定。其水平地震影响系数最大值应按表3-4采用；特征周期应根据场地类别和设计地震分组按表3-2采用,计算罕遇地震作用时，特征周期应增加0.05s。
近年来地震经验表明，在宏观烈度相似的情况下，处在大震级远震中距下的柔性建筑，其震害要比中、小震级近震中距的情况重得多；理论分析也发现，震中距不同时反应谱频谱特性并不相同。
2
为更好体现震级和震中距的影响，采用设计地震分组来区分近震和远震，将建筑工程的设计地震分为三组。
3
设计地震第一组；震中距较小
4
设计地震第二组；震中距适中
5
设计地震第三组：震中距较大
6
常用术语—设计地震分组
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3.3 单自由度体系地震作用及其反应谱 标准反应谱
地震系数
地震系数是地面运动加速度峰值与重力加速度的比值。 地震烈度愈大，地面运动加速度愈大，地震系数也愈大，因而，地震系数与地震烈度之间有一定对应关系。
地震烈度
6
7
8
9
地震系数k
0.05
0.1（0.15）

单自由度体系结构的地震反应

3.13.1 概述
建筑结构的地震反应
3.1 概述
3.2.1力学模型及其运动方程
线性单自由度体系的运动方程
()
平衡方程地面运动作用下单自由度体系的运动方程平衡方程为（如图3.4）：
3.2.2单自由度体系的无阻尼自由振动3.2.3单自由度体系的有阻尼自由振动
例题分析
[例题3.1]
用下的受迫振动
3.3.1瞬时冲量及其引起的自由振动
应——杜哈美积分
3.4.1杜哈美积分的数值计算3.4 单自由度体系地震反应的数值计算
3.4.1杜哈美积分的数值计算
3.4.2运动方程数值计算解线性加速度法
线性加速度法线性加速度法
[]
例题分析例题分析
3.5 抗震设计反应谱 3.5.1水平地震作用的基本公式
采用的反应谱地震系数
动力系数标准的地震影响系数曲线
α
例题分析
例题分析
[例题3.3]
反应与计算 3.6.1材料的非线性
3.6.2单自由度非线性体系的运动方程 3.6.3非线性运动方程的求解3.6.4恢复力模型
“半退化三线型”恢复力模型。

第二章 地震作用 (2)


(c) 多、高层建筑 c) 多、高层建筑 主要质量：楼盖部分
(d) 烟囱 烟囱 (d) 结构无主要质量部分
结构分成若干区域
集中到各区域质心
多质点体系
多质点体系
§2.1 概述
四、体系的自由度
体系的自由度：确定一个体系弹性位移的独立参数的个数
理解体系自由度的注意事项：
(1)结构的自由度数不一定等于其质点数，而要根据质点 的位移数来确定
0
max
最大反应之间的关系
S a Sv 2 S d
2.2
单自由度体系水平地震作用
(t ) g Sa x x
max
g ( )e x (t ) sin (t )d x
0
t
max
由此式可知：Sa取决于地面运动加速度、结构自振频率或 自振周期，并与阻尼比有关。 在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数 Sa通过反应谱理论确定 反应谱：单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应 与体系自振周期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。
2.2
单自由度体系水平地震作用
3、不同场地条件对反应谱的影响
Sa / g
软土层
厚的无粘性土层
周期（s)
坚硬场地
岩石
场地土质松软，长周期结构反应较大，加速度谱曲线峰值右移 场地土质坚硬，短周期结构反应较大，加速度谱曲线峰值左移
2.2
单自由度体系水平地震作用
不同震中距条件下的平均反应谱
4、震中距对反应谱的影响 烈度相同的条件下 震中距较远时，反应谱曲 线峰值右移 震中距较近时，反应谱曲 线峰值左移
ζ 1
临界阻尼比，表示结构不再振动
一般工程结构的阻尼比在0.01~0.20之间， 常用的混凝土结构默认情况下取为0.05.

单质点地震作用计算计算方法

单质点地震作用计算的计算方法主要内容：1．单自由度弹性体系地震反应分析，主要是运动方程解的一般形式及水平地震作用的基本公式及计算方法。

2．计算水平地震作用关键在于求出地震系数k 和动力系数β。

一、地震概述地震是一种地质现象，就是人们常说的地动，它主要是由于地球的内力作用而产生的一种地壳振动现象。

据统计，地球上每年约有15万次以上或大或小的地震。

人们能感觉到的地震平均每年达三千次，具有很大破坏性的达100次。

每次中等程度的地震就会造成重大损失和人员伤亡，研究地震的危害和抗震的方法极有必要，目前已经研究到了多质点体系地震作用和整体结构的地震作用，但这些研究都离不开单质点地震作用的计算，我们组准备理论研究并在现有的计算基础上做一点拓展。

二.地震危害直接2005年2月15日新疆乌什发生6.2级地震，经济损失达15757.43万元，主要是土木结构的房屋破坏严重。

近期，云南普洱发生严重的地震，震中位于人口稠密的县城，造成严重的财产损失和人员伤亡。

目前，因灾受伤群众为３００余人，其中３人死亡。

全县各乡（镇）房屋受损严重，土木结构房屋墙体倒塌较多，砖混结构房屋普遍出现墙体开裂，承重柱移位。

作为将来的结构工程师，抗震是我们拦路虎，必须加以重视，那我们先从基础理论着手。

三、单质点弹性体系的地震反应目前，我国和其他许多国家的抗震设计规范都采用反应谱理论来确定地震作用。

这种计算理论是根据地震时地面运动的实测纪录，通过计算分析所绘制的加速度（在计算中通常采用加速度相对值）反应谱曲线为依据的。

所谓加速度反应谱曲线，就是单质点弹性体系在一定地震作用下，最大反应加速度与体系自振周期的函数曲线。

如果已知体系的自振周期，那么利用加速度反应谱曲线或相应公式就可以很方便地确定体系的反应加速度，进而求出地震作用。

应用反应谱理论不仅可以解决单质点体系的地震反应计算问题，而且，在一定假设条件下，通过振型组合的方法还可以计算多质点体系的地震反应。

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0.05
地震作用的计算方法
• （1）根据计算简图确定结构的重力荷载代 Байду номын сангаас值和自振周期。
• （2）根据结构所在地区的设防烈度、场地 类别及设计地震分组，按表规范确定反应 谱的水平地震影响系数最大值和特征周期。
• （3）根据结构的自振周期，按地震影响系 数谱曲线中相应的区段确定地震影响系数。
• （4）计算水平地震作用值。
迪拜哈利法塔
高层建筑
烟囱
集中质量
多层建筑及其计算简图
烟囱及其计算简图
等高单层厂房及其计算简图
单自由度体系
定义： 单质点体系：将结构参与振动的全部质量集中于一点，用无
质量的弹性直杆支承于地面上的体系； 单向振动体系：当一个单质点体系只作单向振动时，形成一
个单自由度体系。 分类：
线性单自由度体系：主要表现为线性阻尼和线性刚度，动力 学微分方程中除出现响应函数及其一阶和二阶导数的一次项（第一阶 段，结构在多遇地震下的弹性验算）
• 对于非线性分析，最有效的方法大概是逐步积分法，在这种方法中， 采用一系列短时间增量△t计算反应，而通常为了计算方便起见，取 △t为等步长，在每个时刻间隔的起点和终点建立动力平衡条件，并以 一个假没的反应机理为根据，近似地计算在时间增量范图内体系的运 动(通常忽略在时间间隔内可能产生的不平衡)。体系的非线性特性可 用每个时间增量起点所求得的当前变形状态的新特性来说明，利用本 计算时间区间终点的速度和位移作为下一计算时间区间的初始条件从 而可得到整个反应；因此，这个过程可以逐步地从加荷开始时起进行 到任何所要求的时间，而非线性特性则可用一系列相继改变的线性体 系来逼近。
体系的地震反应=自由振动反应+强迫振动反应
单自由度体系动力学分析回顾
1.单自由度体系自由振动—齐次方程
（1）无阻尼时 （2）有阻尼时
m x kx0
2 k m
x2x0
x(t)(x0cots x 0si nt)
m x cx k x0
2 k, c m 2m
x 2 x 2x0
1 时
x(t)e t (x0codts x 0x0 sid n t) d
非线性单自由度体系：主要表现为非线性阻尼和非线性刚度， 力学微分方程中除出现响应函数及其一阶和二阶导数的一次项外,还 出现它们的高次项时,方程称为非线性的（第二阶段，结构大变形在 罕遇地震下的弹塑性验算）。 意义；
单自由度体系的动力分析虽然比较简单，但是非常重要。这 是因为:第一很多实际的动力问题常可按单自由度体系进行计算，或 进行初步的估算。第二，单自由度体系的动力分析是多自由度体系动 力分析的基础.只有牢固地打好这个基础，才能顺利地学习后面的内 容。
k m
两边同除
可把方程右边的函数看做动荷载
以m
x (t) 2 x ( t) 2 x (t) x g(t)
1
c 2m
1
1
运动方程的求解
线性常微分方程式的通解等于齐次解和特解之和。齐次解 代表体系的自由振动反应，特解代表体系在地震作用下的 强迫振动反应。因此，相应的地震反应由下式计算
1940年，美国皮奥特提出。 地震作用
F kG
按静力计算方法计算结构的地震效应
目前，世界上普遍采用的方法。
结构动力计算方法
达朗贝尔：在任一时刻t，质点在主动惯性
力、阻尼力及弹性恢复力三者作用下保持 动力平衡 虚功原理：用于复杂从自由度的动力计算 变微分：
地震作用下线弹性单自由度体系的运动方程
方程的通解
• 通解与特解之和，即为常微分方程的通解。
•
结构体系自由振动反应，一般可不考虑，而
仅取强迫振动反应作为单自由度体系水平地震位
移反应。
x(t) 10 t x g()e (t)si n(t)d
单自由度体系水平地震作用的计算及反应谱法
水平地震作用就是地震时结构质点上受到的水平方向的 最大惯性力，即
结构弹塑性时程分析方法的步骤
（1）按照建筑场址的场地条件、设防烈度、震中距 远近等因素，选取若干条具有不同特性的典型强 震加速度时程曲线，作为设计用的地震波输入。
（2）根据结构体系的力学特性、地震反应内容要求 以及计算机存储量，建立合理的结构振动模型。
（3）根据结构材料特性、构件类型和受力状态，选 择恰当的构件恢复力模型，并确定相应线段的刚 度数值。
其中： S a x (t) x gm ax0 t x g ()e (t )si(tn )dmax
――质点加速度最大绝对值
地震反应谱
地震反应谱是指单自由度弹性体系最大地 震反应(量)与体系自振周期之间的关系曲线， 根据地震反应内容的不同，可分为位移反应谱、 速度反应谱及加速度反应谱。在结构抗震设计 中，通常采用加速度反应谱，简称地震反应谱
• 原理： 时程分析法在数学上称步步积分法,抗震设计中 也称为“动态设计”。由结构基本运动方程输入地面加速 度记录进行积分求解，以求得整个时间历程的地震反应的 方法。 此法输入与结构所在场地相应的地震波作为地震 作用,由初始状态开始, 一步一步地逐步积分,直至地震作用 终了。
应采用时程分析法计算的建筑结构
结构地震反应
• 结构地震反应是指地震时地面振动使建筑结构产生的内力、变形、 位移及结构运动速度、加速度等的统称。可分类称为地震内力反 应、地震位移反应、地震加速度反应等。结构地震反应是一种动 力反应，其大小与地面运动加速度、结构自身特性等有关，一般 根据结构动力学理论进行求解。结构地震反应又称地震作用效应。
（4）建立结构在地震作用下的振动微分方程： （5）采用逐步积分法求解振动方程．求得结构地震
反应的全过程。
输入地震动的选择
《规范规定》：采用时程分析法时应按建筑场地类别和设计地震分组选
用不少于二组的实际强震记录和一组人工模拟的加速度时程曲线
输入地震动分为三种类型：1)拟建场地的实际强震记录；2)典型的强 震记录；3)人工模拟地震波。
抗震验算
多遇地震
强度
SR/RE
结构弹性变形验算
ue eh
非线性单自由度体系在任意加速度作用下反 应的数值计算
• 分析承受任意动力荷载的线性结构，Duhamel积分通常提供了最方便 的解法。但是必须强调，因为在这两种方法的推导过程中都使用了叠 加原理，所以它们只能适用于线性体系，也即在反应过程中休系的特 性保持不变的情况。另一方面，有许多种重要的结构动力学问题，体 系并不能视作线性的。例如，足以引起严重破坏的地震运动下的建筑 物反应等等。因此，还需要发展适用于非线性体系的其它分析方法。
梯形公式 中心差分法 线性加速度（基本假设： △t内加速度线性变化，体系自身 特性保持不变）
代入增量平衡方程得：
速度位移增量： 加速度和速度与位移关系
计算程序
初始加速度： △t时段终点速度和位移：
由于地震的随机性，
每次的地震记录也不一 样，地震反应谱也不同。 所以，不能用某一次的 地震反应谱作为设计地 震反应谱。因此，为满 足一般建筑的抗震设计 要求，应根据大量强震 记录计算出每条记录的 反应谱曲线，并按形状 因素进行分类，然后通 过统计分析，求出最有 代表性的平均曲线称为 标准反应谱曲线，以此 作为设计反应谱曲线。
单自由度体系地震反应
线性单自由度体系在任意加速度作用下 反应的数值计算
非线性单自由度体系在任意加速度作用 下反应的数值计算
地震
地震作用
• 地震时由于地面运动使原来处于静止的建筑受到动力作用，产生 强迫振动。我们将地震时由地面运动加速度振动在结构上产生的 惯性力称为结构的地震作用（earthquake action）。在建筑抗震 设计中，通常采用最大惯性力作为地震作用。根据地震引起建筑 物主要的振动方向，地震作用分为水平地震作用和竖向地震作用。
抗震验算
• 多遇地震 结构弹性变形验算
ue eh
• 罕遇地震
强度验算
SR/RE
结构弹塑性变形验算（薄弱层） upph
单自由度非线性体系运动方程的建立
简化
可导得时间△t内增量平衡方程的最终形 式：
有很多数值方法可用来求解上述增量平衡方程，包括：
Newmark- EulerGauss 常加速度
时程分析法（ time-history method ）
• 定义：由结构基本运动方程沿时间历程进行积分求解结构 振动响应的方法。由于此法是对运动方程直接求解，又称 直接动力分析法。
• 概述：时程分析法是世纪60年代逐步发展起来的抗震分析 方法。用以进行超高层建筑的抗震分析和工程抗震研究等。 至80年代已成为多数国家抗震设计规范或规程的分析方法 之一。
地震作用计算的设计反应谱
由地震反应谱可计算单自由度体系水平地震作用为
F mSa(T) 将公式变形为
F m a (T S ) m | x g g (tg )|m• a| x x S g( a t() T |m ) aG xE kG E
| xg (t) |max
g
Sa(T)
| xg (t) |max
频谱、强度、持时全方位考虑
结构时程分析的计算模型
• 层模型 • 杆系模型 • 有限元模型
构件恢复力模型
形式很多：如双线型模型、三线型模型、退化二线型等、 退化三线型等，
恢复力模型由两部分组成包括：骨架曲线（各次滞回曲线 峰值点的联系）和滞回规则。
数值积分法
• 可以用迭代法和增量法进行处理！由于迭代法不能适合于 动态问题和性态与加载路径有关的材料，且不能描述加载 全过程，因此在地震反应分析中主要应用的是增量法。
• 为了研究单质点弹性体系的水平地震反应，根据结构的 计算简图并进行受力分析，从而建立体系在水平地震作 用下的运动方程（动力平衡方程）
F I(t)m [ x g(t) x (t)]
Fd(t)cx (t)