最简二次根式和同类二次根式 (1)

16.3 二次根式的加减（1）同步练习姓名：__________班级：__________学号：__________本节应掌握和应用的知识点１.同类二次根式(１)同类二次根式的定义几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式．(２)同类二次根式的合并合并同类二次根式类似于合并同类项,就是将同类二次根式的“系数”合并 ,根指数与被开方数保持不变．２.二次根式的加减(１)二次根式的加减实质是合并同类二次根式,非同类二次根式不能合并．(２)二次根式加减法的一般步骤: ①先把各根式化成最简二次根式; ②找出其中的同类二次根式; ③合并同类二次根式．3. 比较二次根式大小时,可将根号外的非负数(或式子) 移到根号内．基础知识和能力拓展训练一、选择题1．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是( )A. 6和32B. a和2aC. 12和13D. 3和92．下列二次根式中，不能与2合并的是（）A. 12B. 8C. 12D. 183．已知二次根式24a 与2是同类二次根式，则a的值可以是（）A. 5B. 3C. 7D. 84．下列运算正确的是（）A. （﹣a2）3=a6B. （a+b）2=a2+b2C. 8﹣2=2D. 55﹣5=4 5．已知等腰三角形的两边长为23和52，则此等腰三角形的周长为（）A. 43+52B. 23+102C. 43+102D. 43+52或23+102 6．计算|2﹣5|+|4﹣5|的值是（）A. ﹣2B. 2C. 25﹣6D. 6﹣257．计算：32﹣8的结果是（）A. 30B. 2C. 22D. 2.88．实数的值在( )A. 0和1之间B. 1和2之间C. 2和3之间 D . 3和4之间9．设a＝6－2，b＝3－1，c＝231，则a，b，c之间的大小关系是( )A. c＞b＞aB. a＞c＞bC. b＞a＞cD. a＞b＞c10．设的小数部分为，则的值是（）A. B. 是一个无理数C. D. 无法确定二、填空题11．若最简二次根式与是同类二次根式，则a ＝______，b ＝___________．12．若最简二次根式1x +与22x -能合并为一个二次根式，则x =_______。

知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．注意理解：1、定义是从结构形式上定义的，必须含有二次根号。

根指数省略不写。

不能从化简结果上判断，如，都是二次根式。

2、被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子。

但前提条件是必须是大于或等于0.3、如果是给定的式子，就是有意义的。

、4、形如b(a的式子也是二次根式，b与是相乘关系，当b是分数时，写成假分数。

5、式子(a表示的是非负数。

6、+b(a和形式是含有二次根式的式子，不能叫二次根式。

二次根式定义：【例1】下列各式，其中是二次根式的是_________（填序号）．变式练习：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A D2中是二次根式的个数有______个3、下列的式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．4、式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦⑧中是二次根式的代号为（）A．①②④⑥B．②④⑧C．②③⑦⑧D．①②⑦⑧【例2】若是正整数，最小的整数n是（）A．6 B．3 C．48 D．2变式练习：1、已知：是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（）A．0 B．1 C．2 D．52、二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是．注意掌握：1、二次根式具有双重非负性。

(a，2、如果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数，分式中的分母不为0.3、如果式子中含有零指数幂或负整数指数幂，有意义的条件是，度数不为0.【例3】式子有意义的x 的取值范围是变式练习： 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3 B 、x ≥3C 、x>4D 、x ≥3且x ≠42x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 【例4】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=变式练习：12()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。

《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ． 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式m nm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。

1.已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求12a b ++的值。

2.若7-3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。

3.若172+的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ()()a aa 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【例4】若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ．1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。

1课题：16.2最简二次根式和同类二次根式（1）【学习目标】 理解最简二次根式的概念，会判别最简二次根式；会将非最简二次根式化为最简二次根式.【重点难点】会判别最简二次根式,并能将非最简二次根式化为最简二次根式.【导学提纲】探索活动问题一观察下列所化简得二次根式，比较前后的被开方数发生了怎样的变化？有什么共同特征？18 23 ； 3a 33a )0(92>b ab )0(3>b a a b 得出结论：得出概念：最简二次根式： . 对照二次根式的定义，判断下列根式哪些是最简二次根式，若不是，请说明:32, 1.0,b a 2 , 22b a + 【例题讲解】例1：判断下列二次根式是不是最简二次根式：（1）35a （2）a 42 （3）324x （4）)1()12(32-≥++a a a【当堂反馈】完成书本P 7练习16.2（1）1例2：将下列二次根式化成最简二次根式：(1))0(423>y y x (2))0())((22≥≥+-b a b a b a (3))0(>>-+n m nm n m2【当堂反馈】1. 完成书本P 8练习16.2（1）2,32.化简（1） (y ＞0) （2）(a ＞0) (3) (ab ＞1)【盘点收获】【课堂反馈】1．把下列二次根式化成最简二次根式：（1）_____32=（2）____40=（3）____5.1=（4）____34= 2.化简:(1) (2) 2925xy （x ≥0）（x ≥0）≥0,y ≤0)【拓展提高】 化简二次根式22a a a +-的结果是（ ） A.2--a B.-2--a C.2-a D.-2-a【课后作业】。

专题16.7 二次根式的加减（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.特别说明：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)特别说明：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.特别说明：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.特别说明：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、二次根式➽➼概念➽➼同类二次根式✭✭分母有理化1．判断下列二次根式中哪些是同类二次根式：举一反三：【变式1a的值．【点拨】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义，即“被开方数相同的几个最简二次根式是同类二次根式”正确解答的前提．【变式2】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)(2)2．【阅读材料】把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．．=【理解应用】(1) 化简： ∵∵ (2)2020++ 2020++【点拨】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键．举一反三：【变式1)3x x ≤【变式2【点拨】本题考查根式的运算，解题的关键是熟练掌握根式的运算及根式分母有理化．类型二、二次根式➽➼二次根式的加减运算-+-+．3．计算：38|32|12举一反三：【变式1】计算：6-【变式2】计算：(1)(2) )011+类型三、二次根式➽➼二次根式的混合运算4．计算下列各式．(1)1)举一反三：．【变式1|1【分析】先运用二次根式乘法法则计算，并化简二次根式，去绝对值符号，最后合并同类二次根式即可．【点拨】本题考查二次根式的混合运算，化简绝对值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【变式2】计算：(1)1 (2))21+．类型四、二次根式➽➼二次根式的化简求值5．解答下列各题(1) 已知2x =，2y =．求22x xy y ++的值．(2) 若2y =，求y x 的平方根．【答案】(1) 19; (2) 3±.【分析】（1）分别求出22,,x y xy ，再代入到代数式求值即可；举一反三：【变式1】已知x =y 22205520x xy y ＋＋的值．【点拨】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键．【变式2】已知3x =+3y =-(1) x y +=______；x y -=______；xy =______．(2) 根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算式子223x xy y x y -+--的值．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值问题，正确对所求式子变形是解本题的关键．类型五、二次根式➽➼应用6．阅读材料并回答问题肖博睿同学发现如下正确结论：材料一：若0A B ->，则A B >；若0A B -=，则A B =；若0A B -<，则A B <；材料二：完全平方公式：（1）()2222a ab b a b ++=+；（2）()2222a ab b a b -+=-．(1)(2) 2912x x ++___________()2______2=+；(3) 试比较142x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭与()2y x y -的大小（写出相应的解答过程）． ）解：又32>(322-）解：根据题意，）解：4又()22x y -142x x y ⎛- ⎝【点拨】本题考查利用作差法解代数式比较大小，整式混合运算、合并同类项、完全平方公式因式分解、平方式的非负性等知识，读懂材料，掌握作差法比较代数式大小的方法是解决问题的关键．举一反三：【变式1】设一个三角形的三边分别为a ，b ，c ，p =12（a +b +c ），则有下列面积公式：S S (1) 一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；(2)任选以上一个公式求这个三角形的面积．解题的关键．【变式2】某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为m，宽为1)m．(1)长方形ABCD的周长是多少？(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通通上要铺上造价为2元的地砖，5/m要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？答：购买地砖需要花费660元．【点拨】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．。

二次根式的定义
一般地，形如a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。

当a≥0时，a表示a的算术平方根；当a小于0时，a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。

扩展资料
运算如下：
加减法
1.同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

化简：12等于4的3
2.合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3.二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

同类最简二次根式什么是二次根式？在代数学中，二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

简单来说，二次根式就是开平方的结果。

二次根式的性质1.二次根式可以表示一个非负实数。

例如，√4 = 2，√9 = 3。

2.二次根式可以进行加、减、乘、除运算。

例如，√4 + √9 = 2 + 3 = 5，√4 × √9 = 2 × 3 = 6。

3.同类最简二次根式可以合并为一个更简单的表达式。

合并同类最简二次根式的方法合并同类最简二次根式的关键在于确定是否存在相同的底数。

底数即开方号下面的数字。

合并同类项当两个或多个二次根式具有相同的底数时，可以将它们合并为一个更简单的表达式。

例如： - √5 + √5 = 2√5 - √7 - √7 = 0 - √3 + √8 - √8 = √3化简复杂表达式当一个表达式中有多个不同底数但是可以化简的项时，我们可以先将同类项合并，然后再进行化简。

例如： - √2 + √8 - √18 = √2 + 2√2 - 3√2 = 0乘法运算当两个二次根式相乘时，可以使用分配律进行展开和化简。

例如： - (√3 + √5) × (√3 - √5) = (√3 × √3) - (√3 × √5) + (√5 × √3) - (√5 × √5) = 3 - √15 + √15 - 5 = -2除法运算除法运算涉及到有理化的过程。

我们需要将除号两边的二次根式分别乘以其共轭形式，从而消去分母中的二次根式。

例如： - (4√7)/(√7) = (4√7)/(√7) × (√7)/(√7) =(4×√7×√7)/(√7×√7) = (4×7)/7 = 4总结同类最简二次根式是指具有相同底数且已经化简到最简形式的二次根式。

我们可以通过合并同类项、化简复杂表达式、乘法运算和除法运算来处理和求解这些问题。

同类二次根式与最简二次根式在学习二次根式的过程中，我们经常会遇到同类二次根式和最简二次根式这两个概念。

它们在二次根式的化简和比较大小中起着重要的作用。

下面我们就来详细了解一下同类二次根式和最简二次根式的概念以及它们的应用。

一、同类二次根式同类二次根式是指具有相同根指数和相同根式的二次根式。

通俗地说，就是两个或多个二次根式中的根指数相同，且根式也相同，那么它们就是同类二次根式。

如下面的例子所示：√5 和√20 就是同类二次根式，因为它们都是根指数为2，根式为5的二次根式；√7 和√15 也是同类二次根式，因为它们都是根指数为2，根式为7的二次根式。

在进行运算时，我们可以将同类二次根式进行合并。

具体方法是将它们的根式相加或相减，而根指数保持不变。

举个例子，对于√5 + √20，我们可以将它们合并为√(5+20)，即√25，最终结果为5√1。

二、最简二次根式最简二次根式是指在同类二次根式中，系数为1且根式中的数不能再进行开方的二次根式。

也就是说，最简二次根式的系数是1，而且根式中的数是不可再开方的。

比如，√5 就是最简二次根式，因为根式中的数5是不可再开方的；而√20不是最简二次根式，因为根式中的数20可以进一步开方为2√5。

化简二次根式的一个重要原则就是将其化为最简二次根式。

这样可以使得二次根式的表达更加简洁，并且便于进行比较和运算。

三、应用举例在实际应用中，同类二次根式和最简二次根式经常用于比较大小和进行运算。

下面举几个例子来说明其应用。

例1：比较大小比较√5和√20的大小。

我们将它们化为最简二次根式。

√5已经是最简二次根式，而√20可以进一步化简为2√5。

因此，√5 < 2√5。

例2：合并同类项将4√3 - 2√3 + 3√3进行合并。

我们可以看出这三项都是同类二次根式，因为它们的根指数和根式都相同。

然后，我们将系数相加：4 - 2 + 3 = 5。

将根式保持不变，得到最终结果：5√3。

通过这个例子，我们可以看到合并同类项的步骤：先将系数相加，然后保持根指数和根式不变。

最简二次根式与同类二次根式【知识梳理】一．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．二．同类二次根式同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．【知识拓展】同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【考点剖析】一．最简二次根式（共5小题）1．（2022秋•黄浦区月考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义即可求解．【解答】解：A．＝＝3，选项A不符合题意；B．＝＝，选项B不符合题意；C．是最简二次根式，选项C符合题意；D．＝＝a2，选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．2．（2018秋•松江区期末）化为最简二次根式：＝．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是最简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键．3．（2022秋•长宁区校级期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，＝2，＝|x|是最简二次根式，故答案为：．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．4．（2022秋•虹口区校级月考）在，，，，中，最简二次根式有个．【分析】根据二次根式的定义即可得出答案．【解答】解：最简二次根式有，共1个．故答案为：1．【点评】此题考查了最简二次根式，最简根式应满足的条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数的因式的指数必须小于根指数．5．（2019秋•宝山区校级月考）将式子﹣（m﹣n）化为最简二次根式．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：m﹣n＜0，∴n﹣m＞0，∴原式＝﹣（m﹣n）＝故答案为：【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．二．同类二次根式（共11小题）6．（2021秋•金山区期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．【解答】解：＝2，A、原式＝2，故A不符合题意．B、原式＝2，故B不符合题意．C、原式＝，故C符合题意．D、原式＝，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式的定义，本题属于基础题型．7．（2021秋•宝山区校级期中）最简二次根式3与是同类二次根式，则x的值是．【分析】根据同类二次根式：二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同列方程，解出即可．【解答】解：∵最简二次根式3与是同类二次根式，∴2x﹣5＝7﹣x，解得x＝4；故答案为：4．【点评】本题考查同类二次根式、最简二次根式，掌握同类二次根式的定义，根据定义列方程是解题关键．8．（2022秋•虹口区校级期中）若两最简根式和是同类二次根式，则a+b的值的平方根是．【分析】根据同类二次根式的概念列出二元一次方程组，解二元一次方程组求出a、b，根据平方根的概念解答即可．【解答】解：由题意得：，整理得：，解得：，则a+b＝8，∵8的平方根为±2，∴a+b的平方根为±2，故答案为：±2．【点评】本题考查的是同类二次根式的概念、平方根的概念、二元一次方程组的解法，掌握同类二次根式的概念是解题的关键．9．（2022秋•黄浦区期中）若最简二次根式和是同类二次根式，那么a+b的值是．【分析】由同类二次根式的概念即可求解．【解答】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，∴b﹣1＝2，1﹣2a＝7，∴a＝﹣3，b＝3，∴a+b＝0．故答案为：0．【点评】本题考查同类二次根式的概念，关键是掌握：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．10．（2022秋•青浦区期中）下列各根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】把各选项中式子化为最简二次根式，利用同类二次根式定义判断即可．【解答】解：A、＝，与为同类二次根式；B、＝与不是同类二次根式；C、＝4与不是同类二次根式；D、＝2与不是同类二次根式；故选：A．【点评】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握同类二次根式定义是解本题的关键．11．（2022秋•嘉定区校级月考）最简二次根式与是同类二次根式，则a+b＝．【分析】根据根指数及被开方数分别相同可列出方程，解出后可得出a和b的值，代入可得出答案．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得：，则a+b＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了同类二次根式及的知识，属于基础题，要熟练掌握最简同类二次根式的根指数相同，且被开方数相同．12．（2022秋•青浦区期中）如果最简二次根式和是同类二次根式，则ab＝．【分析】先根据同类二次根式的定义求出a，b的值，进而可得出结论．【解答】解：由题意得，，解得，所以ab＝0．故答案为：0．【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．13．（2022秋•徐汇区校级期中）如果最简二次根式与2是同类二次根式，则x的值是．【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，可得x2+7＝4x+3，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵最简二次根式与2是同类二次根式，∴x2+7＝4x+3，∴x2﹣4x+4＝0，∴（x﹣2）2＝0，∴x﹣2＝0，∴x＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．14．（2022秋•虹口区校级月考）在二次根式①；②；③；④；⑤中，与是同类二次根式的有．（填写编号）【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：∵①＝2，②＝，③＝2，④＝5，⑤＝a ，∴与是同类二次根式的有②⑤．故答案为：②⑤．【点评】本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的性质与化简，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．15．（2018秋•普陀区校级月考）若最简二次根式与是同类二次根式，求a，b的值．【分析】直接利用同类二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得：．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．16．（2022秋•宝山区校级期中）若最简二次根式与是同类根式，则2a﹣b＝．【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．【解答】解：∵最简二次根式与是同类根式，∴2a﹣4＝2，3a+b＝a﹣b，解得：a＝3，b＝﹣3．∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．【过关检测】一、单选题【答案】C【分析】将各选项化简，不能化简的即为答案．A不符合题意；=，所以B不符合题意；C符合题意；==D不符合题意．a故选：C．【点睛】本题主要考查了最简二次根式，即被开方数中不含能被开方的数或式子．【答案】D【分析】先根据同类二次根式的定义，列方程求出a 的值，再根据二次根式的定义列出不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】解：∵∴61822a a −=−，∴4a =，∴420a x −≥，∴1620x −≥，∴8x ≤，故选：D ．【点睛】本题考查了同类二次根式的概念及二次根式的性质：概念：化成最简二次根式后，被开方数相同的根式叫同类二次根式；性质：被开方数为非负数．【分析】先判断a 和b 的符号，然后根据二次根式的符号化简即可． 【详解】解：20ba −≥0b ∴≤0ab >所以a 和b 同号，0,0a b ∴<<，a a ==−故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质；熟练掌握性质是解答本题的关键．【答案】D【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：0)m >有意义， ∴0n <=−故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．【答案】C【分析】根据同类二次根式的概念逐个判断即可．【详解】A2A 选项不符合题意； B2=B 选项不符合题意；C 和C 选项符合题意；D D 选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查同类二次根式，正确理解同类二次根式的概念是解题的关键．【答案】A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式将4x =代入得，原式1=.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母二、填空题1【分析】根据分母有理化进行化简,然后判断出整数部分和小数部分,相乘解出即可.【详解】∵,23< ,∴536< ,∴532<< ,∴2m = ,2n == ,∴1mn . 【点睛】本题考查分式的有理化,熟悉定义是本题关键.【答案】②⑤/⑤②【分析】先将各项化简成最简二次根式，再利用同类二次根式的性质判断即可作答．【详解】===②和⑤， 故答案为：②⑤．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．2/2−【分析】将分子和分母同时乘以(2 ，再运用平方差公式进行化简即可得到结果．2====．2【点睛】本题主要考查二次根式的化简，当分母为含有二次根式的多项式时，可利用平方差公式进行“分母有理化”，掌握此方法是解此题的关键．【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．，==【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【答案】【详解】解：原式==．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．【答案】2或0【分析】根据二次根式和同类二次根式的定义列方程求出x、y的值，再计算x y+．【详解】由题意得，12+=y，22311x x+=−，解得1y =，1x =±，∴当11x y ==，时，112x y +=+=； 当11x y =-=，时，110x y +=−+=； 故答案为2或0．【点睛】本题考查二次根式和同类二次根式的定义，二次根式省略的根指数为2，化成最简二次根式之后，若被开方数相同，称为同类二次根式，掌握基本概念是关键．【答案】2/0.5【分析】根据同类二次根式的被开方数相同，得出关于a 的方程，解出即可得出答案．【详解】解：∵ ∴223+=a ， 解得：12a =．故答案为：12【点睛】解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握同类二次根式的被开方数相同．【答案】5【分析】利用同类二次根式的概念即可求出．【详解】∵两个最简二次根式只有同类二次根式才能合并，∴38172,5a a a −=−=． 故答案为：5．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，掌握同类二次根式的概念为关键．当变形后移至根号内得______．【分析】根据二次根式的性质可得110a −>，则a<0，据此即可求解．【详解】解：∵∴110a −>，则a<0，∴==【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．【答案】±【分析】根据同类二次根式的定义，列出方程，求解即可，【详解】解：由题意可得：722573a b a b a b +=⎧⎨+−=+⎩，解得91a b =⎧⎨=−⎩8a b +=8的平方根为±故答案为：±【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．【答案】3−【分析】根据同类二次根式的定义，即可求出a 、b 的值，然后计算a+b 的值即可.【详解】解：∵最简二次根式b +是同类二次根式， ∴1422a +=，12b +=，∴4a =−，1b =， ∴413a b +=−+=−； 故答案为：3−.【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的定义，正确求出a 、b 的值.【答案】2a −【分析】根据二次根式性质：被开方式非负得到430a b −≥，解得0b ≤a 化简即可得到答案．2a =430a b −≥，∴0b ≤，∴2a2a =−∴2a =−故答案为：2a −a及去绝对值运算等知识，熟练掌握二次根式是解决问题的关键．三、解答题【答案】1a =，1b =．【分析】根据同类二次根式的定义列方程即可求出． 【详解】解：最简二次根式122543a a a b +=⎧∴⎨+=+⎩解得：11a b =⎧⎨=⎩ 即1a =，1b =．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．【答案】【分析】根据二次根式的性质和非负数的性质可得关于x 、y 的方程，解方程即可求出x 、y 的值，然后代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x2﹣12x+＝0，∴x2﹣0，∴（x ﹣6）0，∴x ﹣6＝0，y+4＝0，解得：x ＝6，y ＝﹣4，=【点睛】本题考查了二次根式的性质和非负数的性质以及二次根式的化简求值，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题关键．【答案】【分析】先把原式的前两项化为最简二次根式，再合并即得结果． 【详解】解：原式=2334⋅⋅==【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，属于基本题型，熟练掌握二次根式的加减运算法则是关键． 【答案】【分析】根据二次根式的性质先化简二次根式，再约分化简即可．【详解】解：原式25c ==． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和分式的乘法，属于常见题型，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【答案】−【分析】根据二次根式的性质进行化简各二次根式后，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：由题意知，00，x y <<62=2623y x ⨯=2623y x ⨯==−【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．【答案】3x ≤【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，结果化为最简二次根式即可．−≥≥合并同类项得：x ≥系数化1得：x ≤，∴x ≤，∴3x ≤，∴原不等式解集为3x ≤．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，以及二次根式的化简，熟练掌握一元一次不等式的解法以及二次根式的运算法则是解答本题的关键．【答案】（1（2）（3）m=a ＋b ，n=ab【分析】观察上述例子可发现，通过把被开方数变成一个完全平方式，再利用二次根式性质化简即可， 需注意完全平方公式中的a2＋b2在被开方数中被合并，可以通过2ab 去判断a 、b 的值.【详解】解：（1，（2（3）通过以上规律不难发现：m=a ＋b ，n=ab.【点睛】此题考查的是利用完全平方公式化简同类二次根式，找出其中的规律是解决此题的关键.【答案】(1)6 (2)1023【分析】（1）根据同类二次根式的性质列出等式即可求解a ； （2）代入a 的值，根据新定义的运算法则即可求解． 【详解】（1）∵∴2216a a −=−+， ∴6a =， （2）当6a =时 (2[])a a −※※ 26)[6](=−※※866==14646==−※542234==⨯ 1023=．【点睛】本题考查了同类二次根式的性质、新定义下的实数的运算等式，理解新定义的运算法则是解答本题的关键．【答案】(1)313(1)1,,212(1)n n n n +++ ;(2)221n n n ++【分析】（1）分别求出S1，S2，…的值，再求出其算术平方根即可；（2）根据（1）的结果进行拆项得出1+12+1+112+⋯+1+()11n n +，求出答案即可．【详解】（1）∵S1=1+22119124+= ，32=； ∵S2=1+2211492336+=，76=； ∵S3=1+221116934144+=，1312； ∵Sn=1+()()()22222211111n n n n n n+++=++，()n n 11n n 1)+++（；（2）解：S=()()11371326121n n n n +++++⋯++=()1111111126121++++++⋯+++n n=1111111n 1223341n n ⎛⎫+−+−+−+⋯+− ⎪+⎝⎭1n 11n =+−+=221n nn ++【点睛】本题考查二次根式的化简和数字类规律，解题的关键是掌握二次根式的化简运算和数字类规律基本解题方法．【答案】（1（22；（3）【分析】（1）观察题中给的例子，我们将10拆成22+与−根式的性质化简即可；（2）将10拆成222+与−（312拆成22+与接下来按照二次根式的性质化简即可.【详解】（1（22；（3=.【点睛】本题考查了二次根式化简与完全平方式的综合运用，通过题干得出相应的方法是解题关键.。

二次根式一考点、热点回顾1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。

4.二次根式的性质：1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0;2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0,b≥0）。

5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab=a ·b （a≥0，b≥0）；b b aa=（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 二 典型例题例1下列各式(1)x21, 1)2(-, 5)3(2+x , 2)3()4(-, 44)5(2+-x x其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x (3)121--x x例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ）A ．1) 2)B ．3) 4)C ．1) 3)D ．1) 4) 例4、计算32)2145051183(÷-+的值例5、要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足（ ）A.321≤≤x B. 3≤x 且21≠x C.21 ＜x ＜3 D.21 ＜x ≤3例6. 将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.； B. －； C. －； D.例7. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式 例8、已知x 满足xx x =-+-20112010，那么22010-x 的值为_____________例9、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---三 课后练习一、填空题1．在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个． 2. 当x = 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为 3. 化简82-的结果是_____________4. 计算： 若22m n +-和3223m n -+都是最简二次根式，则_____,______m n ==。