《二次根式》典型分类练习题

2020-2021初中数学二次根式分类汇编及答案一、选择题1．计算321232⨯÷的结果是（）A．2B．3C．23D．34【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的运算法则，按照运算顺序进行计算即可．【详解】解：3 21232⨯÷1(23)12324=⨯÷⨯÷1186=1326=⨯2=．故选：A．【点睛】此题主要考查二次根式的运算，根据运算顺序准确求解是解题的关键．2．下列计算正确的是（）A．+=B．﹣=﹣1 C．×=6 D．÷=3【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【详解】解：A、B与不能合并，所以A、B选项错误；C、原式= ×=，所以C选项错误；D、原式==3，所以D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．3．a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D【解析】【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．【详解】根据题意得，3a-8=17-2a ，移项合并，得5a=25，系数化为1，得a=5．故选：D ．【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．4．下列各式计算正确的是（ ）A 1082==-= B ．()()236==-⨯-=C 115236==+=D ．54==- 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断．【详解】解：A 、原式，所以A 选项错误；B 、原式，所以B 选项错误；C 、原式C 选项错误；D 、原式54==-，所以D 选项正确． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．5．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |＋2(a b )-的结果是（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a-b 【答案】B【解析】【分析】根据数轴得出0a <，0a b -<，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简．【详解】解：由数轴可知：0a <，0b >，∴0a b -<，∴()()22a a b a b a a b -=-+-=-+， 故选：B ．【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出0a <，0a b -<是解题的关键．6．下列各式计算正确的是( )A ．2＋b ＝2bB 523=C ．(2a 2)3＝8a 5D ．a 6÷ a 4＝a 2【答案】D【解析】解：A ．2与b 不是同类项，不能合并，故错误；B 52不是同类二次根式，不能合并，故错误；C ．（2a 2）3=8a 6，故错误；D ．正确． 故选D ．7．m 18m 的值不可以是（ ）A ．18m = B ．4m = C ．32m = D ．627m = 【答案】B【解析】【分析】 m 18A. 18m =4，是同类二次根式，故此选项不符合题意；B. 4m = ，此选项符合题意C. 32m =，是同类二次根式，故此选项不符合题意；D. 627m =3，是同类二次根式，故此选项不符合题意 故选：B【点睛】本题考查二次根式的化简和同类二次根式的定义，掌握二次根式的化简法则是本题的解题关键.8．a 的取值范围是（ ） A ．a≥-1B ．a≤1且a≠-2C ．a≥1且a≠2D ．a>2【答案】B【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【详解】1-a≥0且a+2≠0， 解得：a≤1且a≠-2．故选：B ．【点睛】 此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．9．如果0,0ab a b >+<，那么给出下列各式=；a =-；正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 【答案】B【解析】【分析】由题意得0a <，0b <，然后根据二次根式的性质和乘法法则逐个判断即可．解：∵0ab >，0a b +<，∴0a <，0b <， ∴a 和b 无意义，故①错误；1a b a b b a b a ⨯=⨯=，故②正确； 2a a ab ab a a a b b⨯=⨯===-，故③正确； 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．10．如果，则a 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】试题分析：根据二次根式的性质1可知：，即故答案为B.. 考点：二次根式的性质.11．下列运算正确的是（ ）A 235+=B 2）﹣1＝22C 2(32)-3 2D 9±3 【答案】B【解析】【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】解：A 23B 、122)-=C 2(32)23-=D 93，故此选项错误；【点睛】此题主要考查了二次根式的加减以及二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．12．婴儿游泳是供婴儿进行室内或室外游泳的场所，婴儿游泳池的样式多种多样，现已知积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据底面积＝体积÷高列出算式，再利用二次根式的除法法则计算可得．【详解】故选：D．【点睛】考核知识点：二次根式除法．理解题意，掌握二次根式除法法则是关键．13．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A B C D【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义即可求解.【详解】=2，故不是最简二次根式；故选C.【点睛】此题主要考查最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的定义.14．当实数x 41y x =+中y 的取值范围是( ) A ．7y ≥-B ．9y ≥C ．9y <-D ．7y <-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义易得x 的取值范围，代入所给函数可得y 的取值范围．【详解】解：由题意得20x -≥，解得2x ≥， 419x ∴+≥，即9y ≥．故选：B ．【点睛】本题考查了函数值的取值的求法；根据二次根式被开方数为非负数得到x 的取值是解决本题的关键．15．下列运算正确的是( )A =B =C 123=D 2=-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质，结合算术平方根的概念对每个选项进行分析，然后做出选择．【详解】A ．≠A 错误；B ．=，故B 正确；C ．=C 错误；D ．2=,故D 错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的化简，熟练掌握运算和性质是解题的关键．16．若a b > ）A ．-B ．-C ．D ．【答案】D【解析】【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a 、b 的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可；【详解】∴-a 3b≥0∵a ＞b ，∴a ＞0，b ＜0=，故选：D ．【点睛】此题考查二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．17．如果m 2+m =0，那么代数式（221m m ++1）31m m +÷的值是（ ）AB ．C + 1D + 2 【答案】A【解析】【分析】先进行分式化简，再把m 2+m =. 【详解】 解：（221m m ++1）31m m +÷ 223211m m m m m+++=÷ 232(1)1m m m m +=⋅+ ＝m 2+m ，∵m 2+m =0，∴m 2+m =∴原式=故选：A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．18．若x2+在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．【详解】2x+∴被开方数x+2为非负数，∴x+2≥0，解得：x≥-2.故答案选D.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.19．2x-有意义的x的取值范围（）A．x＞2 B．x≥2C．x＞3 D．x≥2且x≠3【答案】D【解析】试题分析：分式有意义：分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数．根据题意，得20{30xx-≥-≠解得，x≥2且x≠3．考点：（1）、二次根式有意义的条件；（2）、分式有意义的条件20．2(1)1x x-=-，那么x的取值范围是（）A．x≥1B．x>1 C．x≤1D．x<16【答案】A【解析】【分析】根据等式的左边为算术平方根，结果为非负数，即x-1≥0求解即可.【详解】由于二次根式的结果为非负数可知：x-1≥0，解得，x≥1，故选A.【点睛】本题利用了二次根式的结果为非负数求x的取值范围.。

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题04二次根式一．选择题（共15小题）1．（2022•苏州）下列运算正确的是（）A．√(−7)2=−7B．6÷23=9C．2a+2b＝2ab D．2a•3b＝5ab【分析】直接利用二次根式的性质以及有理数的除法运算法则、合并同类项、单项式乘单项式，分别计算判断即可．【解析】A.√(−7)2=7，故此选项不合题意；B.6÷23=9，故此选项，符合题意；C.2a+2b，无法合并，故此选项不合题意；D.2a•3b＝6ab，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及有理数的除法运算、合并同类项、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．（2022•云南）下列运算正确的是（）A．√2+√3=√5B．30＝0C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a6÷a3＝a2【分析】根据二次根式的加减法判断A选项；根据零指数幂判断B选项；根据积的乘方判断C选项；根据同底数幂的除法判断D选项．【解析】A选项，√2和√3不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；B选项，原式＝1，故该选项不符合题意；C选项，原式＝﹣8a3，故该选项符合题意；D选项，原式＝a3，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次根式的加减法，零指数幂，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，掌握a0＝1（a ≠0）是解题的关键．3．（2022•台州）无理数√6的大小在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【分析】根据无理数的估算分析解题．【解析】∵4＜6＜9，∴2＜√6＜3．故选：B ．【点评】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题关键．4．（2022•眉山）实数﹣2，0，√3，2中，为负数的是（ ）A ．﹣2B ．0C ．√3D ．2【分析】根据负数的定义，找出这四个数中的负数即可．【解析】∵﹣2＜0∴负数是：﹣2，故选A ．【点评】本题主要考查实的分类，区分正负，解题的关键是熟知实数的性质：负数小于零．5．（2022•株洲）在0、13、﹣1、√2这四个数中，最小的数是（ ） A ．0 B ．13 C ．﹣1 D ．√2【分析】根据负数小于0，正数大于0比较实数的大小即可得出答案．【解析】∵﹣1＜0＜13＜√2，∴最小的数是﹣1，故选：C ．【点评】本题考查了实数大小比较，掌握负数小于0，正数大于0是解题的关键．6．（2022•江西）下列各数中，负数是（ ）A ．﹣1B ．0C ．2D ．√2 【分析】根据负数的定义即可得出答案．【解析】﹣1是负数，2，√2是正数，0既不是正数也不是负数，故选：A ．【点评】本题考查了实数，掌握在正数前面添加“﹣”得到负数是解题的关键．7．（2022•金华）在﹣2，12，√3，2中，是无理数的是（ ） A ．﹣2 B ．12 C ．√3 D ．2【分析】利用有理数，无理数的概念对每个选项进行判断即可得出结论．【解析】﹣2，12，2是有理数，√3是无理数， 故选：C ．【点评】本题主要考查了有理数，无理数的意义，掌握上述概念并熟练应用是解题的关键．8．（2022•舟山）估计√6的值在（ ）A ．4和5之间B ．3和4之间C ．2和3之间D ．1和2之间【分析】根据无理数的估算分析解题．【解析】∵4＜6＜9，∴√4＜√6＜√9，∴2＜√6＜3，故选：C ．【点评】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题关键．9．（2022•安徽）下列为负数的是（ ）A ．|﹣2|B ．√3C ．0D ．﹣5【分析】根据实数的定义判断即可．【解析】A ．|﹣2|＝2，是正数，故本选项不合题意；B ．√3是正数，故本选项不合题意；C ．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；D ．﹣5是负数，故本选项符合题意．故选：D ．【点评】本题考查了有理数，绝对值以及算术平方根，掌握负数的定义是解答本题的关键．10．（2022•凉山州）化简：√(−2)2=（ ）A ．±2B ．﹣2C ．4D ．2【分析】根据算术平方根的意义，即可解答．【解析】√(−2)2=√4＝2，故选：D ．【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．11．（2022•泸州）−√4=（）A．﹣2B．−12C．12D．2【分析】根据算术平方根的定义判断即可．【解析】−√4=−√22=−2．故选：A．【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解答本题的关键．12．（2022•泸州）与2+√15最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】估算无理数√15的大小，再确定√15更接近的整数，进而得出答案．【解析】∵3＜√15＜4，而15﹣9＞16﹣15，∴√15更接近4，∴2+√15更接近6，故选：C．【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义以及数的大小关系是正确解答的前提．13．（2022•重庆）估计√3×（2√3+√5）的值应在（）A．10和11之间B．9和10之间C．8和9之间D．7和8之间【分析】先计算出原式得6+√15，再根据无理数的估算可得答案．【解析】原式=√3×2√3+√3×√5=6+√15，∵9＜15＜16，∴3＜√15＜4，∴9＜6+√15＜10．故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．14．（2022•重庆）估计√54−4的值在（）A．6到7之间B．5到6之间C．4到5之间D．3到4之间【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．【解析】∵49＜54＜64，∴7＜√54＜8，∴3＜√54−4＜4，故选：D．【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．15．（2022•天津）估计√29的值在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间【分析】估算确定出所求数的范围即可．【解析】∵25＜29＜36，∴5＜√29＜6，即5和6之间，故选：C．【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及算术平方根，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．二．填空题（共20小题）16．（2022•武汉）计算√(−2)2的结果是2．【分析】利用二次根式的性质计算即可．【解析】法一、√(−2)2＝|﹣2|＝2；法二、√(−2)2=√4＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了二次根式的性质，掌握“√a2=|a|”是解决本题的关键．17．（2022•常德）要使代数式有意义，则x的取值范围为x＞4．√x−4【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解析】由题意得：x﹣4＞0，解得：x＞4，故答案为：x＞4．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．18．（2022•天津）计算（√19+1）（√19−1）的结果等于18．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解析】原式＝（√19）2﹣12＝19﹣1＝18，故答案为：18．【点评】本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．19．（2022•新疆）若√x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为x≥3．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．【解析】∵x﹣3≥0，∴x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．20．（2022•杭州）计算：√4=2；（﹣2）2＝4．【分析】根据二次根式的性质、有理数的乘方法则计算即可．【解析】√4=2，（﹣2）2＝4，故答案为：2，4．【点评】本题考查的是二次根式的化简、有理数的乘方，掌握二次根式的性质是解题的关键．21．（2022•泰安）计算：√8•√6−3√43=2√3．【分析】化简二次根式，然后先算乘法，再算减法．【解析】原式=√8×6−3×2√3 3＝4√3−2√3＝2√3，故答案为：2√3．【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，准确化简二次根式是解题关键．22．（2022•云南）若√x+1有意义，则实数x的取值范围为x≥﹣1．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．【解析】∵x+1≥0，∴x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．23．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|−√(b−1)2+√(a−b)2=2．【分析】根据数轴可得：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，然后即可得到a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，从而可以将所求式子化简．【解析】由数轴可得，﹣1＜a＜0，1＜b＜2，∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴|a+1|−√(b−1)2+√(a−b)2＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）＝a+1﹣b+1+b﹣a＝2，故答案为：2．【点评】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．（2022•滨州）若二次根式√x−5在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≥5．【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣5≥0，求出即可．【解析】要使二次根式√x−5在实数范围内有意义，必须x﹣5≥0，解得：x≥5，故答案为：x≥5．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能得出关于x的不等式是解此题的关键．25．（2022•扬州）若√x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．【解析】若√x−1在实数范围内有意义，则x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．26．（2022•邵阳）若√x−2有意义，则x 的取值范围是 x ＞2 ．【分析】先根据二次根式及分式有意义的条件列出x 的不等式组，求出x 的取值范围即可． 【解析】∵√x−2有意义，∴{x −2≥0x −2≠0，解得x ＞0． 故答案为：x ＞2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．27．（2022•山西）计算：√18×√12的结果为 3 ．【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．【解析】原式=√9=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则√a ⋅√b =√ab ．28．（2022•衡阳）计算：√2×√8= 4 ．【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．【解析】原式=√2×8=√16=4．故答案为：4【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．29．（2022•随州）已知m 为正整数，若√189m 是整数，则根据√189m =√3×3×3×7m =3√3×7m 可知m 有最小值3×7＝21．设n 为正整数，若√300n是大于1的整数，则n 的最小值为 3 ，最大值为 75 ． 【分析】先将√300n 化简为10√3n ，可得n 最小为3，由√300n 是大于1的整数可得√300n 越小，300n 越小，则n 越大，当√300n =2时，即可求解． 【解析】∵√300n =√3×100n =10√3n ，且为整数， ∴n 最小为3， ∵√300n 是大于1的整数， ∴√300n 越小，300n 越小，则n 越大，当√300n =2时， 300n =4，∴n ＝75，故答案为：3；75．【点评】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．30．（2022•宿迁）满足√11≥k 的最大整数k 是 3 ．【分析】根据无理数的估算分析解题．【解析】∵3＜√11＜4，且k ≤√11，∴最大整数k 是3．故答案为：3．【点评】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题关键．31．（2022•湘潭）四个数﹣1，0，12，√3中，为无理数的是 √3 ． 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可解答．【解析】四个数﹣1，0，12，√3中，为无理数的是√3． 故答案为：√3．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽得到的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数．32．（2022•陕西）计算：3−√25= ﹣2 ．【分析】首先利用算术平方根的定义化简，然后加减即可求解．【解析】原式＝3﹣5＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了实数的运算，主要利用算术平方根的定义．33．（2022•重庆）|﹣2|+（3−√5）0＝ 3 ．【分析】根据绝对值的性质和零指数幂的性质计算可得答案．【解析】原式＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算性质是解题关键．34．（2022•南充）若√8−x为整数，x为正整数，则x的值是4或7或8．【分析】利用二次根式的性质求得x的取值范围，利用算术平方根的意义解答即可．【解析】∵8﹣x≥0，x为正整数，∴1≤x≤8且x为正整数，∵√8−x为整数，∴√8−x=0或1或2，当√8−x=0时，x＝8，当√8−x=1时，x＝7，当√8−x=2时，x＝4，综上，x的值是4或7或8，故答案为：4或7或8．【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，二次根式的性质，利用二次根式的性质求得x的取值范围是解题的关键．35．（2022•连云港）写出一个在1到3之间的无理数：√2（符合条件即可）．【分析】由于12＝1，32＝9，所以只需写出被开方数在1和9之间的，且不是完全平方数的数即可求解．【解析】1到3之间的无理数如√2，√3，√5．答案不唯一．【点评】本题主要考查常见无理数的定义和性质，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分．三．解答题（共9小题）36．（2022•武威）计算：√2×√3−√24．【分析】根据二次根式的乘法法则和二次根式的化简计算，再合并同类二次根式即可．【解析】原式=√6−2√6=−√6．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握√a•√b=√ab（a≥0，b≥0）是解题的关键．37．（2022•广元）计算：2sin60°﹣|√3−2|+（π−√10）0−√12+（−12）﹣2．【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的化简，负整数指数幂计算即可．【解析】原式＝2×√32+√3−2+1﹣2√3+1(−12)2=√3+√3−2+1﹣2√3+4＝3．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握a ﹣p =1a p （a ≠0）是解题的关键．38．（2022•宿迁）计算：（12）﹣1+√12−4sin60°． 【分析】先计算（12）﹣1、√12，再代入sin60°算乘法，最后加减． 【解析】原式＝2+2√3−4×√32＝2+2√3−2√3＝2．【点评】本题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂的意义、二次根式的化简及特殊角的函数值是解决本题的关键．39．（2022•娄底）计算：（2022﹣π）0+（12）﹣1+|1−√3|﹣2sin60°． 【分析】先计算零次幂、负整数指数幂，再化简绝对值、代入特殊角的三角函数值算乘法，最后算加减．【解析】原式＝1+2+√3−1﹣2×√32＝1+2+√3−1−√3＝2．【点评】本题考查了实数的运算，掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义及特殊角的函数值是解决本题的关键．40．（2022•台州）计算：√9+|﹣5|﹣22．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解析】√9+|﹣5|﹣22＝3+5﹣4＝8﹣4＝4．【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．41．（2022•新疆）计算：（﹣2）2+|−√3|−√25+（3−√3）0．【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．【解析】原式＝4+√3−5+1=√3．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．42．（2022•株洲）计算：（﹣1）2022+√9−2sin30°．【分析】根据有理数的乘方，算术平方根，特殊角的三角函数值计算即可．【解析】原式＝1+3﹣2×1 2＝1+3﹣1＝3．【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，掌握（﹣1）的偶次幂等于1，（﹣1）的奇次幂等于﹣1是解题的关键．43．（2022•怀化）计算：（3.14﹣π）0+|√2−1|+（12）﹣1−√8．【分析】根据零指数幂，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简计算即可．【解析】原式＝1+√2−1+2﹣2√2＝2−√2．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，考查学生的运算能力，掌握a0＝1（a≠0），a﹣p=1a p（a≠0）是解题的关键．44．（2022•遂宁）计算：tan30°+|1−√33|+（π−√33）0﹣（13）﹣1+√16．【分析】根据特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、零指数幂、负整数指数幂和算术平方根可以解答本题．【解析】tan30°+|1−√33|+（π−√33）0﹣（13）﹣1+√16=√33+1−√33+1﹣3+4＝3．【点评】本题考查实数的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、零指数幂、负整数指数幂和算术平方根，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．。

第十六章二次根式（一）【二次根式的性质】1.若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≤32.若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1且x≠2 B．x≥1 C．x≠2 D．x≥1且x≠2 3.如果代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣24.对于二次根式的性质＝中，关于a、b的取值正确的说法是（）A．a≥0，b≥0B．a≥0，b＞0C．a≤0，b≤0D．a≤0，b＜0 5.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1B．x≥﹣1且x≠0C．x＞﹣1且x≠0D．x≠0y==_______.6.已知37.已知＝0，那么（a+b）2015的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．8.已知+＝0，则x的取值范围为（）A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞29.已知＝5﹣x，则x的取值范围是．10.下列各式中，正确的是（）B．C．D．A．（二）【最简二次根式】1. 下列根式为最简二次根式的是（ ） A ．2B ．C ．D ．2. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A ．B ．C ．D ．3. 下列根式中，最简二次根式为（ ）A.x 4B.42-xC.4xD.()24+x4. 在式子、、、中，是最简二次根式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（三）【二次根式的化简】 1. 将化为最简二次根式，其结果是（ ） A ．B ．C ．D ．2. 当x ≤0时，化简|1﹣x |﹣的结果是 ．3. 已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，则化简﹣|a +b ﹣c |的结果为 ．4. 当x ＜0时，化简的结果是（ ）A ．x ﹣1B ．1﹣xC ．（x ﹣1）2D ．x +15. 当m ＜0时，化简的结果是 ．6. 当a ＞0时，化简的结果是 ．7. 当ab ＜0时，化简的结果是（ ） A ．﹣aB ．aC ．﹣aD ．a8. 若ab ＜0，化简二次根式的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．9. 把中根号外的（a ﹣1）移入根号内得 ．10. 已知n 是正整数，是整数，则n 的最小值为 ．（四）【同类二次根式】1.以下二次根式：；是同类二次根式的是（）A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④2.是同类二次根式，则a的值为_______.3.下列各式中，能与合并的是（）A．B．C．D．4.最简二次根式与是同类二次根式，求3a﹣b的值．（五）【二次根式的运算】1.与结果相同的是（）A．3﹣2+1B．3+2﹣1C．3+2+1D．3﹣2﹣12.下列计算正确的是（）A．＝﹣2B．+＝C．D．＝±33.下列计算正确的是（）A．3+4＝7B．×＝C．＝3D．4.下列运算错误的是（）A．B．C．D．5.下列运算错误的是（）A．＝3B．3×2＝6C．（+1）2＝6 D．（+2）（﹣2）＝36.计算的值是．7.估计的运算结果应在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间8. 计算﹣2的结果是 ．9. 计算：＝ ．10. 计算（+）（﹣）＝ ． 11. 计算：（﹣1）•＝12. 计算＝13. 计算 （1）； （2）；（3）． （4）2(23)6-+（5）（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2． （6）（2+）2﹣（+）（﹣）；（7）011238(1)3π-⨯+++（8）．(9)(5＋2)2 015(5－2)2 016. (10)解方程：(3＋1)(3－1)x ＝72－18.1. 若x ＝+1，则代数式x 2﹣2x +2的值为（ ）A ．7B ．4C ．3D ．3﹣22. 若x +y ＝3+2，x ﹣y ＝3﹣2，则的值为（ ） A ．4B ．1C ．6D ．3﹣23. 已知1x =+1x =-22x y xy +的值为______.4. 已知x 1＝3＋2，x 2＝3－2，则x 21＋x 22等于5. 已知：a ＝（）﹣1+（﹣）0，b ＝（+）（﹣），则＝ ．6. 已知x ＝（+），y ＝（﹣），求下列各式的值：（1）x 2﹣xy +y 2； （2）+．7. 已知1a =，化简求值22112a a a a a -+-+-8. （1）已知：x ＝，求x 2﹣x +1的值．（2）已知：y ＝，求代数式的值．①与数轴综合1.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A．2a﹣b B．﹣2a+b C．﹣b D．b2.如图，数轴上A、B两点对应的实数分别是1和，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为（）A．B．1+C．2+D．+13.如图，数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点C为点B关于点A的对称点，设点C所表示的数为x．（1）写出实数x的值；（2）求（x+）2的值．②解答题1.定义：若两个二次根式a、b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．（1）若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝．（2）若2+与4+m是关于2的共轭二次根式，求m的值．2.已知m，n是两个连续的正整数，m＜n，a＝mn，求证：是定值且为奇数．1. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题 （+1）（﹣1）＝1， （+）（﹣）＝1， （+）（﹣）＝1， （+）（﹣）＝1……（1）观察以上规律，请写出第n 个等式： （n 为正整数）． （2）利用上面的规律，计算：+++…+（3）请利用上面的规律，比较﹣与﹣的大小．2. 观察下列分母有理化的计算1===-（1） 请用n 表示你所发现的规律____________________.（2） )...1+1.如图，从一个大正方形中裁去面积为18cm2和32cm2的两个小正方形，则剩余部分（阴影部分）的面积等于（）A．98cm2B．60cm2C．48cm2D．38cm22.某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为+1米，宽为﹣1米．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）3.据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）．（1）求从40m高空抛物到落地时间；（2）小明说从80m高空抛物到落地时间是（1）中所求时间的2倍，他说法正确吗？如果不正确，请说明理由；（3）已知高空坠落物体动能＝10×物体质量×高度，某质量为0.05kg的鸡蛋经过6s后落在地上，这个鸡蛋产生的动能是多少（单位：J）？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的动能）1．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b＝（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）若a+b＝（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简：+．第十六章二次根式（答案）（一）【二次根式的性质】1.若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（A）A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≤32.若代数式有意义，则x的取值范围是（D）A．x＞1且x≠2 B．x≥1 C．x≠2 D．x≥1且x≠2 3.如果代数式有意义，则x的取值范围是（B）A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣24.对于二次根式的性质＝中，关于a、b的取值正确的说法是（B）A．a≥0，b≥0B．a≥0，b＞0C．a≤0，b≤0D．a≤0，b＜0 5.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（C）A．x＞﹣1B．x≥﹣1且x≠0C．x＞﹣1且x≠0D．x≠0y==____2√3___.6.已知37.已知＝0，那么（a+b）2015的值为（B）A．1 B．﹣1 C．0 D．8.已知+＝0，则x的取值范围为（A）A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞29.已知＝5﹣x，则x的取值范围是x≤5 ．10.下列各式中，正确的是（B）B．C．D．B．（二）【最简二次根式】1. 下列根式为最简二次根式的是（ A ） A ．2B ．C ．D ．2. 下列根式中，是最简二次根式的是（ D ） A ．B ．C ．D ．3. 下列根式中，最简二次根式为（ B ）A.x 4B.42-xC.4xD.()24+x4. 在式子、、、中，是最简二次根式的有（ B ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（三）【二次根式的化简】 1. 将化为最简二次根式，其结果是（ D ） A ．B ．C ．D ．2. 当x ≤0时，化简|1﹣x |﹣的结果是 1 ．3. 已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，则化简﹣|a +b ﹣c |的结果为 2c ﹣2a ．4. 当x ＜0时，化简的结果是（ B ）A ．x ﹣1B ．1﹣xC ．（x ﹣1）2D ．x +15. 当m ＜0时，化简的结果是 1 ．6. 当a ＞0时，化简的结果是 ﹣ab ．7. 当ab ＜0时，化简的结果是（ A ） A ．﹣aB ．aC ．﹣aD ．a8. 若ab ＜0，化简二次根式的结果是（ D ）A ．B ．C ．D ．9. 把中根号外的（a ﹣1）移入根号内得．10. 已知n 是正整数，是整数，则n 的最小值为 14 ．（四）【同类二次根式】1.以下二次根式：；是同类二次根式的是（ C ）A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④2.是同类二次根式，则a的值为____3___.3.下列各式中，能与合并的是（D）A．B．C．D．4.最简二次根式与是同类二次根式，求3a﹣b的值．【解答】解：由最简二次根式与是同类二次根式，得，解得，则3a﹣b＝2．（五）【二次根式的运算】1.与结果相同的是（A）A．3﹣2+1B．3+2﹣1C．3+2+1D．3﹣2﹣12.下列计算正确的是（C）A．＝﹣2B．+＝C．D．＝±33.下列计算正确的是（C）A．3+4＝7B．×＝C．＝3D．4.下列运算错误的是（A）A．B．C．D．5.下列运算错误的是（C）A．＝3B．3×2＝6C．（+1）2＝6 D．（+2）（﹣2）＝36.计算的值是 1 ．7.估计的运算结果应在（C）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间8. 计算﹣2的结果是 2 ．9. 计算：＝ 4 ．10. 计算（+）（﹣）＝ 3 ． 11. 计算：（﹣1）•＝ 112. 计算＝13. 计算 （1）； （2）； （1）原式＝2+﹣＝； （2）原式＝×÷＝；（3）． （4）2(23)6-+（3）原式＝（8﹣9）÷（4）2＝﹣1； （5）（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2． （6）（2+）2﹣（+）（﹣）；（5）原式＝﹣+﹣3﹣13+4（6）原式 ＝20+4+3﹣（5﹣2） ＝4﹣2﹣13． ＝23+4﹣3 ＝20+4．（7）011238(1)3π-⨯+++（8）．（7）1223++ （8）原式＝1+++2﹣＝3+．(9)(5＋2)2 015(5－2)2 016. (10)解方程：(3＋1)(3－1)x ＝72－18. (9)5－2 2x ＝62－32x ＝3 2. x ＝322.1. 若x ＝+1，则代数式x 2﹣2x +2的值为（ C ）A ．7B ．4C ．3D ．3﹣22. 若x +y ＝3+2，x ﹣y ＝3﹣2，则的值为（ B ） A ．4B ．1C ．6D ．3﹣23. 已知1x =+1x =-22x y xy +的值为__34____.4. 已知x 1＝3＋2，x 2＝3－2，则x 21＋x 22等于 105. 已知：a ＝（）﹣1+（﹣）0，b ＝（+）（﹣），则＝ 2 ．6. 已知x ＝（+），y ＝（﹣），求下列各式的值：（1）x 2﹣xy +y 2； （2）+． 解：x ＝（+），y ＝（﹣）， x +y ＝（+）+（﹣）＝，xy ＝（+）×（﹣）＝，（1）x 2﹣xy +y 2；＝（x +y ）2﹣3xy ＝（）2﹣3×＝；（2）+＝＝＝＝12．7. 已知1a =，化简求值22112a a a a a -+-+- 11-a 338. （1）已知：x ＝，求x 2﹣x +1的值．（2）已知：y ＝，求代数式的值．【解答】解：（1）∵x ＝＝+1， ∴x 2﹣x +1＝（+1）2﹣（+1）+1＝4+2﹣﹣1+1＝4+； （2）∵1﹣8x ≥0，8x ﹣1≥0，∴x ＝，则y ＝， ∴＝﹣＝＝1．①与数轴综合1.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ A ）A．2a﹣b B．﹣2a+b C．﹣b D．b2.如图，数轴上A、B两点对应的实数分别是1和，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为（A）B．B．1+C．2+D．+13.如图，数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点C为点B关于点A的对称点，设点C所表示的数为x．（1）写出实数x的值；（2）求（x+）2的值．解：（1）由数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点C为点B关于点A的对称点，得＝1，解得，（1）当x＝2﹣时，（x+）2＝4．②解答题1.定义：若两个二次根式a、b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．（1）若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝2．（2）若2+与4+m是关于2的共轭二次根式，求m的值．【解答】解：（1）∵a与是关于4的共轭二次根式，∴a＝4，∴a＝＝2，故答案为：2；（2）∵2+与4+m是关于2的共轭二次根式，∴（2+）（4+m）＝2，∴4+m＝＝＝4﹣2，∴m＝﹣2．2.已知m，n是两个连续的正整数，m＜n，a＝mn，求证：是定值且为奇数．【解答】证明：∵m和n是两个连续的正整数，m＜n，∴n＝m+1，∴a＝mn＝m（m+1），∴＝＝＝（m+1）﹣m ＝1，∴是定值且为奇数1．1. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题 （+1）（﹣1）＝1， （+）（﹣）＝1， （+）（﹣）＝1， （+）（﹣）＝1……（1）观察以上规律，请写出第n 个等式： （+）（﹣）＝1 （n 为正整数）．（2）利用上面的规律，计算：+++…+（3）请利用上面的规律，比较﹣与﹣的大小． 【解答】解：（1）根据题意得：第n 个等式为（+）（﹣）＝1；故答案为：（+）（﹣）＝1；（2）原式＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9；（3）﹣＝，﹣＝， ∵＜，∴﹣＞﹣．2. 观察下列分母有理化的计算1===-（3） 请用n 表示你所发现的规律____________________.（4） )...1+（1）n n nn -+=++111（2）20151.如图，从一个大正方形中裁去面积为18cm2和32cm2的两个小正方形，则剩余部分（阴影部分）的面积等于（C）A．98cm2B．60cm2C．48cm2D．38cm22.某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为+1米，宽为﹣1米．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（）＝2（8+7）＝16+14（米），答：长方形ABCD的周长是16+14（米），（2）通道的面积＝＝56﹣（13﹣1）＝56（平方米），购买地砖需要花费＝6×（56）＝336﹣72（元）．答：购买地砖需要花费336﹣72元；3.据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）．（1）求从40m高空抛物到落地时间；（2）小明说从80m高空抛物到落地时间是（1）中所求时间的2倍，他说法正确吗？如果不正确，请说明理由；（3）已知高空坠落物体动能＝10×物体质量×高度，某质量为0.05kg的鸡蛋经过6s后落在地上，这个鸡蛋产生的动能是多少（单位：J）？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的动能）【解答】解：（1）由题意知h＝40m，t＝＝＝＝2（s），（2）不正确，理由如下：当h2＝80m时，t2＝＝＝4（s），∵4≠2×2，∴不正确，（3）当t＝6s时，6＝，h＝180m，鸡蛋产生的动能＝10×0.05×180＝90（J），启示：严禁高空抛物．1．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b＝（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）若a+b＝（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+7n2，b＝2mn；（2）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简：+．【解答】解：（1）设a+b＝（m+n）2＝m2+7n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+7n2，b＝2mn；故答案为m2+7n2，2mn；（2）∵6＝2mn，∴mn＝3，∵a、m、n均为正整数，∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，当m＝1，n＝3时，a＝m2+3n2＝1+3×9＝28；当m＝3，n＝1时，a＝m2+3n2＝9+3×1＝12；即a的值为为12或28；（3）设+＝t，则t2＝4﹣+4++2＝8+2＝8+2＝8+2（﹣1）＝6+2＝（+1）2，∴t＝+1．。

二次根式练习01一、填空题1、下列和数1415926.3)1( .3.0)2(722)3( 2)4( 38)5(-2)6(π...3030030003.0)7(其中无理数有________，有理数有________（填序号） 2、94的平方根________，216.0的立方根________。

3、16的平方根________，64的立方根________。

4、算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________。

5、若2562=x ，则=x ________，若2163-=x ，则=x ________。

6、已知ABC Rt ∆两边为3，4，则第三边长________。

7、若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积________。

8、已知三角形三边长n n n n n n ,122,22,1222++++为正整数，则此三角形是________三角形。

9、如果0)6(42=++-y x ，则=+y x ________。

10、如果12-a 和a -5是一个数m 的平方根，则.__________,==m a11、三角形三边分别为8，15，17，那么最长边上的高为________。

12、直角三角形三角形两直角边长为3和4，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为________。

二、选择题13、下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ）A. 25,24,6===c b aB. 5.2,2,5.1===c b aC.45,2,32===c b a D. 17,8,15===c b a14、小强量得家里彩电荧屏的长为cm 58，宽为cm 46，则这台电视机尺寸是（ ）A. 9英寸（cm 23）B. 21英寸（cm 54）C. 29英寸（cm 74）D .34英寸（cm 87）15、等腰三角形腰长cm 10，底边cm 16，则面积（ ）A.296cmB. 248cmC. 224cmD. 232cm16、三角形三边c b a ,,满足ab c b a 2)(22+=+，则这个三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形17、2)6(-的平方根是（ ）A .6-B .36C. ±6D. 6±18、下列命题正确的个数有：a a a a ==233)2(,)1(（3）无限小数都是无理数（4）有限小数都是有理数（5）实数分为正实数和岁实数两类（ ） A .1个B. 2个C .3个D.4个19、x 是2)9(-的平方根，y 是64的立方根，则=+y x （ ）A. 3B. 7C.3，7D. 1，720、直角三角形边长度为5，12，则斜边上的高（ ） A. 6B. 8C.1318 D.1360 21、直角三角形边长为b a ,，斜边上高为h ，则下列各式总能成立的是（ ）A. 2h ab =B. 2222h b a =+C.h b a 111=+ D.222111hb a =+ 22、如图一直角三角形纸片，两直角边cm BC cm AC 8,6==，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A.cm 2B.cm 3C.cm 4D.cm 5三、计算题23、求下列各式中x 的值:04916)1(2=-x25)1)(2(2=-x8)2)(3(3-=x27)3()4(3=--x24、用计算器计算:（结果保留3个有效数字）15)1(315)2(π-6)3( 2332)4(-四、作图题25、在数轴上画出8-的点。

二次根式的混合运算二次根式的运算知识点及经典试题知识点一：二次根式的乘法法则：，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.知识点二、积的算术平方根的性质，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：21．在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.（3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简（4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式②利用积的算术平方根的性质③利用（一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即被开方数中的一些因式移到根号外④被开方数中每个因数指数都要小雨2（5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简知识点三、二次根式的除法法则：，即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：（3）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，其中，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.知识点四、商的算术平方根的性质，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：（1）利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.（2）步骤①利用商的算术平方根的性质②分别对a，b利用积的算术平方根的性质化简③分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化（3）被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简知识点五：最简二次根式1.定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的代分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；(2)被开方数是多项式的要进行因式分解；(3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；(5)化去分母中的根号；(6)约分.3.把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.知识点六、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并知识点七、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；(3)合并同类二次根式.知识点八、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次式之和或差，或是有理式.规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减.(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：；；(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.经典例题透析类型一、二次根式的乘除运算1、计算(1)×；(2)×；(3)×；(4)×.解：(1)×=；(2)×==；(3)×==9；(4)×==.2、计算：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：直接利用便可直接得出答案．解：(1)===2；(2)==×2=2；(3)===2；(4)===2.3、化简(1)；(2)；(3)；(4)；(5).思路点拨：利用直接化简即可．解：(1)=×=3×4=12；(2)=×=4×9=36；(3)=×=9×10=90；(4)=×=××=3xy (5)==×=3.举一反三【变式1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)；(2)×=4××=4×=4=8.解：(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确改正：×=×===＝4.4、化简：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：直接利用就可以达到化简之目的．解：(1)=(2)=(3)=；(4)=.举一反三【变式1】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．思路点拨：式子=，只有a≥0，b＞0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-6＞0，即6＜x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．解：由题意得，即∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．5、计算(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()×(a＞0).解：(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.总结升华：对于最简二次根式的判断，一定要把握其实质，既要注意其中的“似是而非”，还要注意其中的“似非而是”，特别象这样的式子，带有很大的隐蔽性，更应格外小心.7、把下列各式化成最简二次根式.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及进行化简.解：(1) ；(2) ；(3) ；(4)；(5) .类型三、同类二次根式8、如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同.解：根据题意，得解之，得，故选D.总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式1】下列根式中，能够与合并的是( ) A. B. C.D.思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方数是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并.解：合并，故选B.总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.【变式2】若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=•2，2a-b+6=4a+3b．解：首先把根式化为最简二次根式：==|b|·由题意得，∴，∴a=1，b=1.类型四、二次根式的加减运算9、计算(1)+(2)-思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：(1)+=2+3=(2+3)=5(2)-=4-8=(4-8)=-4总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三【变式1】计算(1)3-9+3；(2)(+)+(-)；(3)；(4).解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15；(2)(+)+(-)=++-=4+2+2-=6+；(3)(4)【变式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(结果精确到0.01)解：原式=4---=≈×2.236≈0.45.类型五、二次根式的混合运算10、计算:(1)(+)×(2)(4-3)÷2.思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.11、计算(1)(+6)(3-)；(2)(+)(-).（3）()()200020013232______________-+=思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.（3）略类型六、化简求值12、已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求(+y 2)-(x 2-5x )的值．思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值． 解：4x 2+y 2-4x-6y+10=0 4x 2-4x+1+y 2-6y+9=0 ∴(2x-1)2+(y-3)2=0 ∴x=，y=3原式=+y 2-x 2+5x=2x +-x +5=x+6当x=，y=3时，原式=×+6=+3.举一反三【变式1】先化简，再求值．(6x +)-(4y +)，其中x=，y=27． 解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，当x=，y=27时，原式=-=-.【变式2】.已知2+1，求（22121x x x x x x +---+）÷1x 的值．类型七、二次根式的应用与探究13、一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？解：设底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，x=×=30．答：铁桶的底面边长是30厘米.14、如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)15、探究过程：观察下列各式及其验证过程．(1)2=验证：2=×====(2)3=验证：3=×====同理可得：45，……通过上述探究你能猜测出： a =_______(a ＞0)，并验证你的结论．解：a =验证：a ====.总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力. 【变式1】对于题目“化简求值：1a 2212a a+-，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同． 甲的解答是：1a 2212a a +-=1a 21()a a -1a +1a －a=2495a a -= 乙的解答是：1a 2212a a +-=1a 21()a a-1a +a －1a =a=15 谁的解答是错误的？为什么？跟踪练习21.1 二次根式：1. 使式子4x - 。

二次根式计算题 100 道一、化简类1、√82、√183、√274、√325、√506、√727、√988、√1289、√16210、√200二、计算类11、√2 ＋√812、√3 √1213、2√5 ＋3√2014、4√12 9√2715、√27 √7516、√48 ＋√1217、√18 √32 ＋√218、√24 √6 ＋3√819、2√12 6√1/3 ＋√4820、3√45 √125 ＋5√20三、乘法运算类21、√2 × √822、√3 × √1223、√5 × √2024、√6 × √3025、2√3 × 3√226、3√5 × 2√1027、4√2 × 5√828、5√6 × 6√329、√18 × √2430、√27 × √32四、除法运算类31、√8 ÷ √232、√18 ÷ √333、√24 ÷ √634、√48 ÷ √1235、√50 ÷ √536、√72 ÷ √837、√98 ÷ √738、√128 ÷ √1639、√162 ÷ √1840、√200 ÷ √20五、混合运算类41、（√5 ＋√3)（√5 √3)42、（√2 ＋ 3)（√2 1)43、（2√3 1)（2√3 ＋ 1)44、（3√2 ＋ 2)（3√2 2)45、（√5 2)²46、（√3 ＋ 1)²47、（2√5 3)²48、（4√2 ＋ 1)²49、√（2 √3)²50、√（3 √5)²六、分母有理化类51、 1/（√2 1)52、 1/（√3 √2)53、 2/（√5 ＋√3)54、 3/（√6 √5)55、 4/（√7 √6)56、 5/（√8 √7)57、 6/（√9 √8)58、 7/（√10 √9)59、 8/（√11 √10)60、 9/（√12 √11)七、含参数类61、已知 a ＝√2 ＋ 1，b ＝√2 1，求 a² b²62、若 x ＝ 2 ＋√3，y ＝2 √3，求 x²＋ y²63、设 m ＝√5 ＋ 2，n ＝√5 2，计算 m² n²64、已知 p ＝ 3 ＋√2，q ＝3 √2，求 p² 2pq ＋ q²65、当 a ＝√7 ＋ 2，b ＝√7 2 时，求（a ＋ b)²（a b)²66、若 x ＝√11 ＋ 3，y ＝√11 3，计算 xy67、给定 m ＝2√3 ＋ 1，n ＝2√3 1，求 m²n ＋ mn²68、设 a ＝ 4 ＋√15，b ＝4 √15，求 a²b ab²69、已知 c ＝ 5 ＋2√6，d ＝5 2√6，求 c²/d ＋ d²/c70、当 e ＝3√2 ＋ 1，f ＝3√2 1 时，求 ef/（e ＋ f)八、比较大小类71、√11 与√1372、√15 与 473、2√3 与3√274、√5 ＋ 1 与 375、2√7 3 与 276、√18 √12 与√10 √877、√20 ＋√5 与5√278、3√11 2√7 与4√3 √1979、√17 √13 与√11 √780、5√2 3√3 与4√3 2√2九、求值类81、已知 x ＝√3 ＋ 1，求 x² 2x ＋ 2 的值82、若 y ＝√5 2，求 y²＋ 4y ＋ 4 的值83、当 z ＝2√2 1 时，求 z²＋ 2z ＋ 1 的值84、已知 a ＝√7 ＋ 3，求 a² 6a 7 的值85、若 b ＝√10 1，求 b² 2b 1 的值86、当 c ＝3√3 ＋ 2 时，求 c² 4c 5 的值87、已知 d ＝4√2 3，求 d²＋ 6d ＋ 5 的值88、若 e ＝√13 2，求 e²＋ 4e ＋ 3 的值89、当 f ＝5√2 ＋ 1 时，求 f² 10f ＋ 26 的值90、已知 g ＝6√3 5，求 g² 12g ＋ 40 的值十、综合应用类91、一个直角三角形的两条直角边分别为√12 厘米和√27 厘米，求这个直角三角形的面积。

初二数学专题练习《二次根式》一．选择题1．式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ．x＜1 B．x≤1 C ．x＞ 1D． x≥ 12．若 1＜x＜2，则的值为（） A ．2x﹣4 B．﹣ 2 C ．4﹣2x D．2 3．下列计算正确的是（） A ．=2B．=C．=x D．=x 4．实数 a ， b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A ．﹣ 2a+b B．2a ﹣b C ．﹣ b D．b5．化简+ ﹣的结果为（） A ． 0 B． 2 C ．﹣ 2 D． 26．已知 x＜1，则化简的结果是（） A ． x﹣ 1 B．x+1 C ．﹣ x﹣1D ． 1﹣ x7．下列式子运算正确的是（） A ．B． C ．D．8．若，则 x3﹣ 3x2+3x 的值等于（）A ．B． C ．D．二．填空题9．要使代数式有意义，则 x 的取值范围是．10．在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简+|a ﹣2| 的结果为．11．计算：=．12 ．化简：=．13．计算：（+）=．14．观察下列等式：第 1 个等式： a 1==﹣1，第 2 个等式： a 2==﹣，第 3 个等式： a 3==2，第 4 个等式： a 4==2，按上述律，回答以下：（ 1）写出第 n 个等式： a n=；（ 2） a 1+a 2+a 3+⋯+a n =．15．已知 a 、b 有理数，m 、n 分表示16．已知： a ＜0，化17．，的整数部分和小数部分，且 amn+bn 2=1 ， 2a+b=．=．，，⋯，．， S=（用含n的代数式表示，其中n 正整数）．三．解答18．算或化：（3+）；19．算：（ 3）（3+）+（2）20．先化，再求：，其中x=3（π 3）0．21．算：（+ ）× ．22．算：×（） +| 2 |+ （）﹣3．23．算：（+1 ）（1）+ （）0．24．如，数 a 、b 在数上的位置，化：．25．材料，解答下列．例：当 a ＞0 ，如 a=6|a|=|6|=6，故此a的是它本身；当a=0 ， |a|=0 ，故此 a 的是零；当a ＜0 ，如 a= 6 |a|=|6|= （ 6），故此 a 的是它的相反数．∴ 合起来一个数的要分三种情况，即，种分析方法渗透了数学的分思想．：（ 1）仿照例中的分的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（ 2）猜想与|a|的大小关系．26．已知： a=，b=．求代数式的．27．下列材料，然后回答．在行二次根式的化与运算，我有会碰上如，，一的式子，其我可以将其一步化：（一）==（二）===1（三）以上种化的步叫做分母有理化．可以用以下方法化：====1（四）（ 1）用不同的方法化．（ 2=；=．（ 3）化：+++⋯+．28．化求：，其中．.参考答案与解析一．选择题1．（ 2016? 贵港）式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ． x＜ 1B．x≤1 C ． x＞1D．x≥1【分析】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x﹣1＞0，据此求得 x 的取值范围．【解答】解：依题意得： x﹣ 1＞ 0，解得 x＞1．故选： C ．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．注意：本题中的分母不能等于零．.2．（ 2016? 呼伦贝尔）若 1＜x＜2，则的值为（）A ． 2x﹣4 B．﹣ 2 C ．4﹣2x D．2【分析】已知 1＜ x＜ 2，可判断 x﹣3＜0，x﹣ 1＞0，根据绝对值，二次根式的性质解答．【解答】解：∵ 1＜ x＜ 2，∴x﹣ 3＜ 0， x﹣ 1＞0，原式 =|x ﹣ 3|+=|x ﹣3|+|x﹣1|=3﹣x+x ﹣ 1=2．故选 D．【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当 a ＞ 0 时，表示a的算术平方根；当 a=0 时，=0 ；当 a 小于 0 时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）．2、性质：=|a|．3．（ 2016? 南充）下列计算正确的是（）A ．=2B．= C ．=x D．=x【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解： A 、=2，正确；B、=，故此选项错误；C 、=﹣x，故此选项错误；D、=|x|，故此选项错误；故选： A ．.【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．4．（ 2016? 潍坊）实数 a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A ．﹣ 2a+b B． 2a ﹣ b C ．﹣ bD ．b【分析】直接利用数轴上 a ，b 的位置，进而得出 a ＜0，a ﹣b ＜ 0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：如图所示： a ＜0，a ﹣b ＜0，则 |a|+=﹣a ﹣（ a ﹣b ）=﹣2a+b ．故选： A ．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．5．（ 2016? 营口）化简+﹣的结果为（）A ． 0 B．2 C ．﹣ 2D． 2【分析】根据根式的开方，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案．【解答】解：+﹣=3 +﹣2=2，故选： D．【点评】本题考查了二次根式的加减，先化简，再加减运算．6．已知 x＜1，则化简的结果是（）A ． x﹣ 1B．x+1 C ．﹣ x﹣1 D．1﹣x【分析】先进行因式分解， x2﹣2x+1= （x﹣1）2，再根据二次根式的性质来解题即可．.【解答】解：==|x ﹣1|∵x＜ 1，∴原式 =﹣（ x﹣ 1） =1﹣ x，故选 D．【点评】根据完全平方公式、绝对值的运算解答此题．7．下列式子运算正确的是（）A ．B． C ．D．【分析】根据二次根式的性质化简二次根式：=|a|；根据二次根式分母有理化的方法“同乘分母的有理化因式”，进行分母有理化；二次根式的加减实质是合并同类二次根式．【解答】解： A 、和不是同类二次根式，不能计算，故 A 错误；B、=2，故B错误；C 、=，故C错误；D、=2 ﹣+2+ =4，故 D 正确．故选： D．【点评】此题考查了根据二次根式的性质进行化简以及二次根式的加减乘除运算，能够熟练进行二次根式的分母有理化．8．若，则x3﹣3x2+3x的值等于（）A ．B． C ．D．.【分析】把 x 的值代入所求代数式求值即可．也可以由已知得（x﹣1）2 =3，即 x2﹣ 2x﹣2=0，则 x3 ﹣3x2+3x=x （x2﹣ 2x﹣2）﹣（ x2﹣2x ﹣2）+3x ﹣ 2=3x﹣ 2，代值即可．【解答】解：∵ x3﹣3x2 +3x=x （ x2﹣3x+3 ），∴当时，原式 =（）[﹣3（）+3]=3+1 ．故选 C ．【点评】代数式的三次方不好求，就先提取公因式，把它变成二次方后再代入化简合并求值．二．填空题9．（ 2016? 贺州）要使代数式有意义，则x的取值范围是x≥﹣ 1 且 x≠0．【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于 0，列不等式组求解．【解答】解：根据题意，得，解得 x≥﹣ 1 且 x≠0．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．本题应注意在求得取值范围后，应排除不在取值范围内的值．10．（ 2016? 乐山）在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简+|a ﹣2| 的结果为3．【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：由数轴可得： a ﹣5＜0，a ﹣ 2＞ 0，则+|a ﹣ 2|=5﹣a+a ﹣2=3．.【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键．11．（ 2016? 聊城）计算：= 12 ．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：=3×÷=3=12 ．故答案为： 12．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．12．（ 2016? 威海）化简：=．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式 =3﹣2=．故答案为：．【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．13．（ 2016? 潍坊）计算：（+）=12．【分析】先把化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算．【解答】解：原式 = ?（+3）=×4=12 ．.【点】本考了二次根式的算：先把各二次根式化最二次根式，再行二次根式的乘除运算，然后合并同二次根式．在二次根式的混合运算中，如能合目特点，灵活运用二次根式的性，恰当的解途径，往往能事半功倍．14．（ 2016? 黄石）察下列等式：第 1 个等式： a 1= = 1，第 2 个等式： a 2= = ，第 3 个等式： a 3= =2，第 4 个等式： a 4= = 2，按上述律，回答以下：（ 1）写出第 n 个等式： a n= = ；；（ 2） a 1+a 2+a 3+⋯+a n = 1 ．【分析】（ 1）根据意可知，a 1= = 1，a 2 = = ，a 3= =2，a4==2，⋯由此得出第 n 个等式： a n = = ；（ 2）将每一个等式化即可求得答案．【解答】解：（1）∵第 1 个等式： a 1= = 1，第 2 个等式： a 2= = ，第 3 个等式： a 3= =2 ，第 4 个等式： a 4= =2，∴第 n 个等式： a n= = ；（2） a 1+a 2+a 3+⋯+a n=（1）+（）+（2）+（2） +⋯ +（）故答案为=﹣；﹣1．【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．15．已知 a 、b 为有理数， m 、n 分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5．【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分 a ，其小数部分用﹣a表示．再分别代入 amn+bn 2=1 进行计算．【解答】解：因为 2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把 m=2 ，n=3 ﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化简得（ 6a+16b ）﹣（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，所以 6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．所以 2a+b=3 ﹣0.5=2.5 ．故答案为： 2.5．【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．16．已知： a ＜0，化简=﹣2．【分析】根据二次根式的性质化简．【解答】解：∵原式 =﹣=﹣又∵二次根式内的数为非负数∴a=0∴a=1 或 1∵a ＜0∴a= 1∴原式 =0 2= 2．【点】解决本的关是根据二次根式内的数非数得到 a 的．17．，，，⋯，．， S=（用含n的代数式表示，其中n 正整数）．【分析】由 S n =1++===，求，得出一般律．【解答】解：∵ S n =1++===，∴==1+=1+，∴S=1+1+1++⋯ +1+=n+1==．故答案：．【点】本考了二次根式的化求．关是由S n形，得出一般律，找抵消律．三．解答（共11 小）18．（ 2016? 泰州）算或化：（ 3+）；【解答】解：（1）﹣（ 3 + ）=﹣（ + ）=﹣﹣=﹣；【点评】本题考查了二次根式的加减法以及分式的混合运算，正确化简是解题的关键．19．（ 2016? 盐城）计算：（ 3﹣）（3+）+（2﹣）【分析】利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式 =9 ﹣7+2﹣ 2=2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．（ 2016? 锦州）先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把化简后x 的值代入进行计算即可．【解答】解：，=÷，=×，=．x=﹣3﹣（π﹣3）0，=× 4﹣﹣1，=2 ﹣﹣1，=﹣1．把 x=﹣1代入得到：==．即=．【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．21．计算：（+）×．【分析】首先应用乘法分配律，可得（+）×合运算顺序，先计算乘法，再计算加法，求出算式（【解答】解：（+）×= ×+×；然后根据二次根式的混+）×的值是多少即可．=×+×=1+9=10【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．22．计算：×（﹣）+|﹣2|+ （）﹣3．【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8 ，然后化简后合并即可．【解答】解：原式 =﹣+2 +8=﹣3 +2 +8=8﹣．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运.算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、23．计算：（+1 ）（﹣1）+﹣（）0．【分析】先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式=3﹣ 1+2﹣1，然后进行加减运算．【解答】解：原式 =3﹣ 1+2﹣1=1+2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．24．如图，实数 a 、b 在数轴上的位置，化简：．【分析】本题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉算术平方根的定义．【解答】解：由数轴知， a ＜0，且 b ＞0，∴a ﹣b ＜0，∴，=|a| ﹣|b|﹣[﹣（a﹣b）]，=（﹣ a ）﹣ b+a ﹣b ，=﹣2b ．【点评】本小题主要考查利用数轴表示实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变形等基础知识，考查基本的代数运算能力．观察数轴确定 a 、 b 及 a ﹣ b 的符号是解答本题的关键，本题巧用数轴给出了每个数的符号，渗透了数形结合的思想，这也是中考时常考的知识点．本题考查算术平方根的化简，应先确定 a 、b 及 a ﹣b 的符号，再分别化简，最后计算．25．阅读材料，解答下列问题．例：当 a ＞0 时，如 a=6 则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；当a=0 时， |a|=0 ，故此时 a 的绝对值是零；当a ＜0 时，如 a= ﹣ 6 则|a|=| ﹣ 6|= ﹣（﹣ 6），故此时 a 的绝对值是它的相反数．∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．问：（ 1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（ 2）猜想与|a|的大小关系．【分析】应用二次根式的化简，首先应注意被开方数的范围，再进行化简．【解答】解：（1）由题意可得=；（ 2）由（ 1）可得：=|a|．【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：①当 a ＞0 时，=a ；②当 a ＜ 0 时，= ﹣ a ；③当 a=0 时，=0．26．已知： a=，b=．求代数式的值．【分析】先求得 a+b=10 ，ab=1 ，再把求值的式子化为 a 与 b 的和与积的形式，将整体代入求值即可．【解答】解：由已知，得 a+b=10 ，ab=1 ，∴===．【点】本关是先求出a+b 、ab 的，再将被开方数形，整体代．27．下列材料，然后回答．在行二次根式的化与运算，我有会碰上如，，一的式子，其我可以将其一步化：（一）==（二）===1（三）以上种化的步叫做分母有理化．可以用以下方法化：====1（四）（ 1）用不同的方法化．（ 2=；=．（ 3）化：+++⋯+．【分析】（1 ）中，通察，：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到分的目的；（ 2）中，注意找律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出抵消的情况．【解答】解：（1）=，=；.（2）原式 =+⋯+=++⋯+=．【点】学会分母有理化的两种方法．28．化求：，其中．【分析】由 a=2+，b=2，得到a+b=4，ab=1，且a＞0，b＞0，再把代数式利用因式分解的方法得到原式 =+，分后得+，接着分母有理化和通分得到原式=，然后根据整体思想行算．【解答】解：∵ a=2+＞0，b=2＞0，∴a+b=4 ，ab=1 ，∴原式 =+=+=+=，当 a+b=4 ，ab=1 ，原式 =×=4．【点】本考了二次根式的化求：先把各二次根式化最二次根式，再合并同二次根式，然后把字母的代入（或整体代入）行算．。

专题04 二次根式【四大题型】二次根式有意义的条件（2023•海淀区校级期中）1x 的取值范围是（ ）A ．x ≠﹣2B ．x ≥﹣2C ．x ≥2D ．x ≤﹣2（2023•东城区校级期中）2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．3x >B ．3x <C ．3x ³D ．3x £（2023•海淀区校级期中）3在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ．1x ¹B ．3x >-且1x ¹C ．3x ³-D ．3x ³-且1x ¹（2023•东城区校级期中）4x 的取值范围是 ．（2023•西城区校级期中）5x 的取值范围是 ．（2023•西城区校级期中）-=．6．已知x、y为实数，且4y=+，则x y最简二次根式（2023•海淀区校级期中）7．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A B C D（2023•西城区校级期中）8A B C D（2023•海淀区校级期中）9．写出一个你喜欢的最简二次根式．（2023•朝阳区校级期中）10的被开方数相同，则a值为．同类二次根式（2023•海淀区校级期中）11）A B C D（2023•丰台区校级期中）12）A B C D（2023•昌平区校级期中）13x的值为（ ）A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3（2023•延庆区校级期中）14是同类二次根式的最简二次根式：．（2023•海淀区校级期中）15a = ．（2023•丰台区校级期中）16．若最简二次根式2a -2a ﹣b ＝ ．分母有理化（2023•东城区校级期中）17 ）A ．2B ．2C ．2-D ．2-（2023•西城区校级期中）18．如果2a b ==，那么a 与b 的关系是（ ）A ．a b <且互为相反数B ．a b >且互为相反数C ．a b>D ．a b =（2023•西城区校级期中）19…回答下列问题：（1（2 ．（2023•丰台区校级期中）20．观察下列等式：第1个等式：11a ==-，第2个等式：2a ==，第3个等式：32a ==，第4个等式：42a =，¼ 按上述规律，回答以下问题：请写出第n 个等式：n a = ______．123n a a a a +++×××+= ______．1．B【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得，x +2≥0，解得，x ≥﹣2，故选：B ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，明确根号下为非负数是解题的关键．2．D【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，根据二次根式有意义得到30x -³，求出不等式解集即可．【详解】解：Q 在实数范围内有意义30x \-³，3x \£，故选：D ．3．D【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数，大于等于0，进行求解即可．【详解】解：根据题意得，30x +³且10x -¹，解得3x ³-且1x ¹．故选：D ．【点睛】本题考查代数式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0，二次根式的被开方数，大于等于0，是解题的关键．4．12x ³【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求解即可．【详解】解：∵∴210x -³，解得12x ³，故答案为：12x ³．【点睛】本题考查二次根式成立的条件、解一元一次不等式，熟知二次根式的被开方数是非负数是解答的关键．5．1x ³-且0x ¹【分析】本题考查了了分式和二次根式有意义的条件，根据分式和二次根式有意义的条件求解即可，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：根据题意，得：100x x +³ìí¹î，解得：1x ³-且0x ¹，故答案为：1x ³-且0x ¹．6．5【分析】根据二次根式有意义的条件可得90x -³且90x -³，得x 和y 的值，即可求解．【详解】解：∵4y =+，∴9090x x -³ìí-³î，解得9x =，∴4y =，∴5x y -=，故答案为：5．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，根据题意得到90x -³且90x -³是解题的关键．7．B【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】解：A 3=，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；B 是最简二次根式，符合题意；C =D 故选：B ．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．8．D【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【详解】A ＝BC ，不合题意；D 故选D ．【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的判定方法是解本题的关键．9【分析】根据题意可得直接解答即可．【详解】解：由题意可得．（答案不唯一）【点睛】本题考查了最简二次根式的定义（ 1.被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2；2.被开方数不含分母），解决本题的关键是掌握最简二次根式．10．1-【分析】本题考查二次根式，解一元二次方程，根据题意列一元二次方程2412a a -=-，求出根后，判断被开方数是否大于0，即可得出答案．【详解】解：的被开方数相同，∴2412a a -=-，即：2230a a --=，解得：1a =-或3a =，1a =-时，1230a -=>，符合题意，而3a =时，1250a -=-<，故不合题意，舍去，故a 值为1-．故答案为：1-．11．C【分析】化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．【详解】解：选项A=合并，不符合题意；选项B=合并，不符合题意；选项C=合并，符合题意；选项D=故选：C．【点睛】本题主要考查了同类二次根式，关键是掌握被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．12．C【详解】试题解析：A==A 选项错误；B==被开方数不同，故不是同类二次根式，故B选项错误；C C选项正确；D==被开方数不同，故不是同类二次根式，故D选项错误．故选C．考点：同类二次根式．13．D【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可．【详解】解：∵∴x+3＝2x，解得：x＝3，故选：D．【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键．14．答案不唯一，如【分析】根据同类二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】同类二次根式的定义：化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式.答案不唯一，如15．4【分析】本题主要考查了最简二次根式、同类二次根式、一元一次方程等知识，理解并掌握最简二次根式和同类二次根式的定义和性质是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得关于a 的一元一次方程，求解即可获得答案．【详解】解：∵∴∴3123a a -=+，解得4a =．故答案为：4．16．9【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．【详解】解：∵最简二次根式2a -∴2a ﹣4＝2，3a +b ＝a ﹣b ，解得：a ＝3，b ＝﹣3．∴2a ﹣b ＝2×3﹣（﹣3）＝9．故答案为：9．【点睛】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．17．A【分析】将分子分母同时乘以2+【详解】原式2=+ 故选：A ．【点睛】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键．18．B【分析】本题考查了分母有理化．根据平方差公式，可对b 分母有理化，根据相反数的定义、有理数的大小比较，可得答案．【详解】∵22a b ====-∴2a =2b =-a b>答案：B19．（1（2）11)2【详解】试题分析：根据分母有理化的性质，由各式的特点，结合平方差公式化简计算即可.试题解析：（1；（2+¼=11)2（．20=1-【分析】根据题意可知，12312a a a ======，42a ==×××，由此得出第n 个等式：n a =；将每一个等式化简即可求得答案．【详解】解：Q 第1个等式：11a ==，第2个等式：2a ==，第3个等式：32a ==，第4个等式：42a =，\第n 个等式：n a ==；123na a a a +++×××+答案第7页，共7页)()122=+++++L 1=，1=-．【点睛】本题考查二次根式的运算、数字的变化规律以及分母有理化，熟练掌握以上知识点，根据题目中所给的式子得出规律是解此题的关键．。

二次根式练习题一．选择题（共4小题）1．要使式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣12．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥13．下列结论正确的是（）A．3a2bBCD4A．a≠5．使67．已知8．若代数式+9|+=a10．若a=114n+y=，求此三角形的周长12．已知x，y为等腰三角形的两条边长，且x，y满足413．已知a、b、c满足+|a﹣c+1|=+，求a+b+c的平方根．14．若a、b为实数，且，求．15．已知y＜++3，化简|y﹣3|﹣．16．已知a、b满足等式．（1）求出a、b的值分别是多少？（2）试求的值．17．已知实数a满足+=a，求a﹣20082的值是多少？参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2016?荆门）要使式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞故x﹣1解得：x则x故选：C2．（A．x＜解得x故选：C3．（A．3a2bBCD．若分式的值等于单项式﹣x的系数是﹣使式子有意义的若分式故选：B．4．（2016?博野县校级自主招生）要使式子有意义，则a的取值范围是（）A．a≠0 B．a＞﹣2且 a≠0 C．a＞﹣2或 a≠0 D．a≥﹣2且 a≠0【解答】解：由题意得，a+2≥0，a≠0，解得，a≥﹣2且 a≠0，故选：D．二．选择题（共5小题）5．（2017?德州校级自主招生）使有意义，则x的取值范围是x≥﹣且x≠0 ．【解答】解：根据题意得，3x+2≥0且x≠0，解得x≥﹣且x≠0．故答案为：x≥﹣且x≠0．6．（2016?永泰县模拟）若代数式有意义，则x的取值范围为x≥2且x≠3 ．是正整数，则实数的取值范围为x≥|+=a+=a解得b≥7且b≤7，a=3，所以，==4．11．（2016?富顺县校级模拟）已知，求（m+n）2016的值？【解答】解：由题意得，16﹣n2≥0，n2﹣16≥0，n+4≠0，则n2=16，n≠﹣4，解得，n=4，则m=﹣3，（m+n）2016=1．（2016春?微山县校级月考）已知x，y为等腰三角形的两条边长，且x，y满足y=++4，12．求此三角形的周长．【解答】解：由题意得，3﹣x≥0，2x﹣6≥0，解得，x=3，则y=4，当腰为3，底边为4时，三角形的周长为：3+3+4=10，当腰为4，底边为3时，三角形的周长为：3+4+4=11，答：此三角形的周长为10或11．13．（+|+，求c的平方根．所以，b所以，解得所以，a+b+c=1所以，a的平方根是±．14．（．解：根据题意得：，解得：则a=3则原式=15．（2015春?荣县校级月考）已知y＜++3，化简|y﹣3|﹣．【解答】解：根据题意得：，解得：x=2，则y＜3，则原式=3﹣y﹣|y﹣4|=3﹣y﹣（4﹣y）=﹣2y﹣1．16．（2014春?富顺县校级期末）已知a、b满足等式．（1）求出a、b的值分别是多少？（2）试求的值．【解答】解：（1）由题意得，2a﹣6≥0且9﹣3a≥0，解得a≥3且a≤3，所以，a=3，b=﹣9；（2）﹣+，=﹣+，=6﹣9﹣3，=﹣6．17．（+=a 少？∴a﹣∴2008∴a﹣=2008。

2021年人教版八年级数学下册《第16章二次根式》期末综合复习知识点分类训练（附答案）一．二次根式的定义及其意义1．下列各式中是二次根式的是（）A．B．C．﹣D．22．下列各式一定是二次根式的是（）A．B．C．D．3．若是二次根式，则a的值不可以是（）A．4B．C．90D．﹣24．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤25．若式子有意义，则x的取值范围为（）A．x＞4B．x＜4C．x≥4D．x≤46．使代数式有意义，则a的取值范围为（）A．a≥﹣2且a≠1B．a≠1C．a≥﹣2D．a＞﹣27．设x，y为实数，且，则|y﹣x|的值是（）A．1B．9C．4D．58．若a，b为实数，且b＝++4，则a+b的值为（）A．﹣13B．13C．﹣5D．5二．二次根式的性质与化简9．下列各式中正确的是（）A．＝﹣2B．＝2C．＝2D．＝±210．下列各组数中互为相反数的是（）A．﹣2与B．﹣2与C．2与（﹣）2D．|﹣|与11．若，则a的取值范围是（）A．a B．a＞C．a＜D．a12．若3＜a＜4，则﹣|a﹣4|等于（）A．2a﹣7B．﹣1C．7﹣2a D．113．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（）A．﹣b B．b C．﹣2a﹣b D．﹣2a+b三．最简二次根式与二次根式的乘除14．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．15．下列式子是最简二次根式的是（）A．B．C．D．16．化简：＝；＝；（2）2＝．17．计算÷的结果是．18．计算：＝．四．二次根式的加减19．计算﹣的结果是．20．计算﹣+2的结果是．21．如果最简二次根式与可以合并，则x＝．22．若与最简二次根式3可以合并，则a＝．23．如果最简二次根式和可以合并，则ab＝．五．二次根式的混合计算与化简求值24．下列计算正确的是（）A．＝B．＝2C．＝D．（3﹣）2＝7 25．下列计算：①（）2＝2，②＝﹣2，③（﹣2）2＝12，④＝2，⑤﹣＝，⑥（）（﹣）＝﹣1，其中结果正确的个数为（）A．1B．2C．3D．426．下列各式计算正确的是（）A．2﹣＝2B．2×＝2C．＝2D．﹣＝27．计算：＝．28．计算（2﹣3）÷＝．29．已知a＝，b＝，求ab的值为．30．已知a＝3+，b＝3﹣，则代数式的值是．31．已知x＝﹣1，则代数式x2﹣5x﹣6＝．32．已知（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则a+的值是．33．已知m+n＝10，则的最小值＝．六．分母有理化与二次根式的应用34．分母有理化：＝．35．已知长方形的面积为18，一边长为2，则长方形的另一边为．36．若x＝+1，y＝﹣1，则的值为．37．若直角三角形的边长分别是3，m，5．（1）求m；（2）先化简再求值．38．（1）已知a＝3+2，b＝3﹣2，求代数式a2b﹣ab2的值．（2）（﹣）÷，其中x＝﹣2．39．阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①＝＝；②＝＝＝+1等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算：+++…+＝．40．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积为S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在△ABC中，a＝5，b＝3，c＝4．（1）求△ABC的面积；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．参考答案一．二次根式的定义及其意义1．解：A、是三次根式，不合题意；B、根号下部分是负数，无意义，不是二次根式，不合题意；C、﹣，符合二次根式的定义，符合题意；D、2不是二次根式，不合题意．故选：C．2．解：A、x＜0时，不是二次根式，故A不符合题意；B、是二次根式，故B符合题意；C、二次根式的被开方数是非负数，故C不符合题意；D、，根指数不是2，不是二次根式，故D不符合题意；故选：B．3．解：∵是二次根式，∴a≥0，故a的值不可以是﹣2．故选：D．4．解：由题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，故选：B．5．解：∵式子有意义，∴x﹣4＞0，解得x＞4，即x的取值范围为x＞4，故选：A．6．解：由题意得a+2≥0且a﹣1≠0，解得a≥﹣2且a≠1，故选：A．7．解：∵，∴5﹣x≥0，5﹣x≤0，∴5﹣x＝0，解得x＝5，∴y＝4，∴|y﹣x|＝|4﹣5|＝1．故选：A．8．解：由题意得：，解得a＝9，∴b＝4，∴a+b＝9+4＝13．故选：B．二．二次根式的性质与化简9．A．算术平方根具有非负性，不符合题意；B．负数的立方根是负数，不符合题意；C．负数的平方等于正数，符合题意；D．算术平方根只有一个，不符合题意．故选：C．10．解：∵＝2，2与﹣2互为相反数，故A选项符合题意；＝﹣2，故B选项不符合题意；（﹣）2＝2，故C选项不符合题意；|﹣|＝，故D选项不符合题意．故选：A．11．解：∵，∴3﹣2a≥0，解得：a≤．故选：D．12．解：∵3＜a＜4，∴﹣|a﹣4|＝a﹣3﹣（4﹣a）＝a﹣3﹣4+a＝2a﹣7．故选：A．13．解：由数轴可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，则a﹣b＜0，故原式＝﹣a+b﹣a＝﹣2a+b．故选：D．三．最简二次根式与二次根式的乘除14．解：A，，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B，，是最简二次根式，故此选项符合题意；C，被开方数不是整数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D，＝，被开方数含有开的尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．故选：B．15．解：A.＝＝，不符合题意；B.＝2，不符合题意；C.是最简二次根式，符合题意；D.＝，不符合题意．故选：C．16．解：＝3；＝；（2）2＝12．故答案为：3，，12．17．解：÷＝＝＝2，故答案为：2．18．解：原式＝4÷5×＝×＝＝．故答案为：．四．二次根式的加减法19．解：原式＝﹣2＝﹣．故答案为：﹣．20．解：原式＝（+2）﹣＝3﹣．故答案为：3﹣．21．解：∵最简二次根式与可以合并，∴2x+1＝5，∴x＝2．故答案为：2．22．解：∵＝2，∴3＝4﹣2a，∴a＝，故答案为：．23．解：最简二次根式和是同类二次根式，∴b+1＝2且2a+3＝a+3b，解得a＝0，b＝1，∴ab＝0．故答案为：0．五．二次根式的混合计算与化简求值24．解：A、+＝3+，故此选项错误；B、﹣＝2，故此选项正确；C、＝＝，故此选项错误；D、（3﹣）2＝9+2﹣6＝11﹣6，故此选项错误；故选：B．25．解：①（）2＝2，故①正确．②＝2，故②错误．③（﹣2）2＝12，故③正确．④＝，故④错误．⑤与不是同类二次根式，故⑤错误，⑥（）（﹣）＝2﹣3＝﹣1，故⑥正确．故选：B．26．解：A、原式＝，故A错误．B、原式＝2，故B正确．C、原式＝＝，故C错误．D、与不是同类二次根式，故不能合并，故D错误．故选：B．27．解：原式＝﹣2＝2﹣2．故答案为2﹣2．28．解：原式＝2﹣3＝8﹣9＝﹣1．故答案为﹣1．29．解：a＝，b＝，∴ab＝（）（）＝3﹣2＝1．故答案为：1．30．解：∵a＝3+，b＝3﹣，∴a+b＝（3+）+（3﹣）＝6，ab＝（3+）（3﹣）＝9﹣5＝4，∴＝＝＝2，故答案为：2．31．解：∵x＝﹣1，∴x2﹣5x﹣6＝（x+1）（x﹣6）＝（﹣1+1）（﹣1﹣6）＝（﹣7）＝5﹣7．故答案为5﹣7．32．解：由题意可知：a﹣3＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∴原式＝3+2＝5，故答案为：5．33．解：如图，∠CAB＝∠DBA＝90°，AB＝10，AC＝5，BD＝7，设AP＝m，BP＝n，则PC＝，PD＝，∵PC+PD≥CD（当且仅当C、P、D共线时取等号），∴PC+PD的最小值为CD，过D点作DE⊥AC于E，如图，易得四边形ABDE为矩形，∴AE＝BD＝7，DE＝AB＝10，在Rt△CDE中，CD＝＝＝2，∴的最小值为2．故答案为2．六．分母有理化与二次根式的应用34．解：＝＝＝2．故答案为：2﹣．35．解：∵长方形的面积为18，一边长为2，∴长方形的另一边为：18÷2＝3．故答案为：3．36．解：∵x＝+1，y＝﹣1，∴x+y＝（+1）+（﹣1）＝2，则＝＝＝＝，故答案为：．37．解：（1）当m为斜边时，m＝；当m为直角边时，m＝＝4．综上，m的值为4或；（2）原式＝＝|m﹣3|﹣|m﹣7|，当m＝4时，原式＝m﹣3﹣7+m＝2m﹣10＝2×4﹣10＝﹣2；当m＝时，原式＝m﹣3﹣7+m＝2m﹣10＝2×﹣10＝2﹣10，综上原式的值为﹣2或2﹣10，38．解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，∴ab＝（3+2）（3﹣2）＝1，a﹣b＝（3+2）﹣（3﹣2）＝4，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）1×4＝4；（2）原式＝（﹣）×＝×＝，当x＝﹣2时，原式＝＝．39．解：原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1．故答案为：﹣1．40．解：（1）∵a＝5，b＝3，c＝4，∴p＝＝6，∴△ABC的面积S＝＝6；（2）如图，∵△ABC的面积＝BC•AD，∴×5×AD＝6，∴AD＝．。

2022中考真题分类——二次根式(参考答案)1.(2010·四川眉山()A．3B．−3C．±3D．92.(2022·辽宁大连)下列计算正确的是()A2= =B3=−C．=D．21)33.(2022·四川雅安)有意义的x的取值范围在数轴上表示为()A．B．C ．D ． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件可得20x −≥，求出不等式的解集，然后进行判断即可. 【详解】解：由题意知，20x −≥，解得2x ≥，∴解集在数轴上表示如图，故选B ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示解集.解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件.4.(2022·湖北黄石)函数11y x =+−的自变量x 的取值范围是( ) A ．3x ≠−且1x ≠B ．3x >−且1x ≠C ．3x >−D ．3x ≥−且1x ≠【答案】B【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案. 【详解】解：依题意，3010x x +>⎧⎨−≠⎩ ∴3x >−且1x ≠故选B【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键.5.(2022·辽宁丹东)在函数y x 的取值范围是( ) A ．x ≥3B ．x ≥−3C ．x ≥3且x ≠0D ．x ≥−3且x ≠0 【答案】D【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可得到答案.【详解】解：由题意得：x +3≥0且x ≠0，解得：x ≥−3且x ≠0，故选：D ．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键.6.(2022·广东广州)x 应满足的条件为( ) A ．1x ≠−B ．1x >−C ．1x <−D ．x ≤−1 【答案】B【分析】根据分式分母不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解.【详解】解：由题意可知：10x +>，∴1x >−，故选：B ．【点睛】本题考查了分式及二次根式有意义的条件，属于基础题.7.(2022·湖北恩施)函数y =的自变量x 的取值范围是( ) A ．3x ≠B ．3x ≥C ．1x ≥−且3x ≠D ．1x ≥−8.(2022·黑龙江绥化)2x −在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ．1x >−B ．1x −C ．1x −且0x ≠D ．1x −且0x ≠ 【答案】C【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0，计算求值即可；【详解】解：由题意得：x +1≥0且x ≠0，∴x ≥−1且x ≠0，故选： C ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂的定义，掌握其定义是解题关键.9.(2022·内蒙古)实数a 1|1|a +−的化简结果是( )A ．1B ．2C ．2aD ．1−2a10.(2022·四川遂宁)实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简1a +=______.11.(2022·四川广安)若(a−3)2，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________.+=__________.12.(2022·广西贺州)若实数m，n满足50∣∣，则3m n−−=m n13.(2022·贵州黔东南)若()2250x y+−=，则x y−的值是________.14.(2022·内蒙古·)已知x，y是实数，且满足y18的值是______.15.(2022·四川眉山)2，…，2，，4；…若2的位置记为(1,2)的位置记为(2,3)，则________.32故答案为：(4,2)【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力.被开方数全部统一是关键.。

二次根式练习题及答案二次根式练题及答案（一）一、选择题（每小题2分，共24分）1.若在实数范围内有意义，则 $\sqrt{x-3}$ 的取值范围是（）A。

$x\geq 3$ B。

$x>3$ C。

$x\leq 3$ D。

$x<3$2.在下列二次根式中。

$\sqrt{x-2}$ 的取值范围是 $x\geq2$ 的是（） A。

$\sqrt{x-2}$ B。

$\sqrt{2-x}$ C。

$\sqrt{2+x}$ D。

$\sqrt{4-x^2}$3.如果 $x\geq 1$，那么 $\sqrt{x^2-2x+1}$ 的值是（）A。

$1$ D。

无法确定4.下列二次根式，不能与$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 合并的是（）A。

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ B。

$\sqrt{2}-\sqrt{3}$ C。

$\sqrt{3}-\sqrt{2}$ D。

$\sqrt{3}+\sqrt{2}$5.如果最简二次根式 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 与 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 能够合并，那么 $a$ 的值为（）A。

2 B。

3 C。

4 D。

56.已知 $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，则 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 的值为（）A。

$\sqrt{3}-\sqrt{2}$ B。

$\sqrt{2}-\sqrt{3}$ C。

$\sqrt{3}+\sqrt{2}$ D。

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$7.下列各式计算正确的是（）A。

$\sqrt{8}+\sqrt{12}=4\sqrt{2}+2\sqrt{3}$ B。

$\sqrt{5}+\sqrt{20}=3\sqrt{5}$ C。

$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{5}$ D。

$\sqrt{6}+\sqrt{3}=\sqrt{18}$8.等式 $\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}=2$ 成立的条件是（）A。

专题04 二次根式【考点归纳】一、考点01二次根式的概念--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02二次根式有意义的条件----------------------------------------------------------------------------------------------------------1三、考点03二次根式的性质--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2四、考点04二次根式的运算--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3五、考点05二次根式的估值--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4考点01 二次根式的概念一、考点01二次根式的概念1．（2024·内蒙古包头·）A．3B C．D．±2．（2024·上海·1，则x=．3．（2022·广西桂林·）A．B．3C．D．24．（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与）A B C D5．（2024·四川德阳· ，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是（）A．B．C D．6．（2022·广西·=．考点02 二次根式有意义的条件二、考点02二次根式有意义的条件7．（2023·江西·a 的值可以是（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．68．（2024·云南·在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．0x ≥C ．0x <D ．0x ≤9．（2023·山东·x 的取值范围是（ ）A ．2x ≠B ．0x ≥C ．2x ≥D ．0x ≥且2x ≠10．（2023·湖北黄石·中考真题）函数y =x 的取值范围是（ ）A ．0x ≥B ．1x ≠C ．0x ≥且1x ≠D ． 1x ＞11．（2022·江苏徐州·中考真题）使式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．2x ≥C ．2x <D ．2x ≤12．（2023·四川绵阳·有意义的整数x 有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个13．（2023·辽宁·a 的取值范围是．14．（2024·北京·x 的取值范围是 ．15．（2023·江苏徐州·中考真题）要使代数式有意义，则x 的取值范围是 ．16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数12y x =++中，自变量x 的取值范围是 ．17．（2024·山东烟台·x 的取值范围为 ．18．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数y =中，自变量x 的取值范围是 ．考点03 二次根式的性质三、考点03二次根式的性质19．（2023·湖南·=是（ ）A ．0,0a b >>B ．0,0a b <<C ．0,0a b ≤≤D ．0,0a b ≥≥20．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x 的方程()222210x k x k --+-=有两个实数根，则2的化简结果是（ ）A ．1-B ．1C ．12k--D ．23k -21．（2024·四川乐山·中考真题）已知12x <<2x +-的结果为（ ）A ．1-B ．1C ．23x -D ．32x-22．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数,a b 在数轴上的对应位置如图所示，()2b a --的化简结果是（ ）A ．2B ．22a -C ．22b -D ．-223．（2023·内蒙古·中考真题）实数m =．考点04 二次根式的运算四、考点04二次根式的运算24．（2024·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．356a a a +=B ．632a a a ÷=C ．()22a a -=D a=25．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．642x x x ÷=B =C ．325()x x =D ．222()x y x y +=+26．（2023·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（ ）A =B ．2-=C =D 32=27．（2024·山东威海·=．28．（2023·河北·中考真题）若a b ==（ ）A ．2B ．4C D 29．（2023·上海·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．523a a a ÷=B ．336a a a +=C ．()235a a =D a=30．（2023·浙江杭州·= ．31．（2024·天津·中考真题）计算)11的结果为 ．32．（2024·贵州·的结果是 ．33．（2023·天津·中考真题）计算的结果为．34．（2023·江苏连云港·中考真题）计算：2= ．35．（2023·广东·=．36．（2024·北京·中考真题）计算：()052sin 30π-︒+-37．（2024·甘肃兰州·-．38．（2024·云南·中考真题）计算：12117sin3062-⎛⎫++--- ⎪⎝⎭．39．（2024·上海·中考真题）计算：102|124(1+．40．（2024·甘肃·．41．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：()()22254x y x y x y -+--，其中x =，y =．42．（2023·江苏宿迁·中考真题）先化简，再求值：21111x x x-⎛⎫-⋅⎪+⎝⎭，其中1x =43．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：()()()2(2)5x y x y x y x x y ++-+--，其中1x =-，1y =．考点05 二次根式的估值五、考点05二次根式的估值44．（2024·湖南· ）A ．B ．C ．14D45．（2024·重庆·的值应在（ ）A ．8和9之间B ．9和10之间C ．10和11之间D ．11和12之间46．（2024·江苏盐城·，设其面积为2cm S ，则S 在哪两个连续整数之间（ ）A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和547．（2023·山东临沂·中考真题）设m =m 所在的范围是（ ）A ．5m <-B ．54m -<<-C ．43m -<<-D ．3m >-专题04 二次根式（解析版）【考点归纳】一、考点01二次根式的概念-----------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02二次根式有意义的条件--------------------------------------------------------------------------------------------------3三、考点03二次根式的性质-----------------------------------------------------------------------------------------------------------7四、考点04二次根式的运算-----------------------------------------------------------------------------------------------------------9五、考点05二次根式的估值---------------------------------------------------------------------------------------------------------15考点01 二次根式的概念一、考点01二次根式的概念1．（2024 ）A ．3BC ．D ．±2．（20241=，则x = ．【答案】1【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知210x ->，则可得出211x -=，求出x 即可．【详解】解：根据题意可知：210x ->，∴211x -=，解得：1x =，故答案为：1．3．（2022的结果是（）A．B．3C．D．24．（2023）A B C D5．（2024 ，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是（）A．B．C D．【答案】C【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从6．（2022= ．考点02 二次根式有意义的条件二、考点02二次根式有意义的条件7．（2023a 的值可以是（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．68．（2024在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．0x ≥C ．0x <D ．0x ≤A ．2x ≠B ．0x ≥C ．2x ≥D ．0x ≥且2x ≠10．（2023·湖北黄石·中考真题）函数y =x 的取值范围是（ ）A ．0x ≥B ．1x ≠C ．0x ≥且1x ≠D ． 1x ＞11．（2022·江苏徐州·中考真题）使式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．2x ≥C ．2x <D ．2x ≤12．（2023有意义的整数x有（）13．（2023有意义，则实数a的取值范围是．14．（2024x的取值范围是．x≥【答案】9【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．x-≥，【详解】解：根据题意得90x≥．解得：9x≥故答案为：9【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．15．（2023x 的取值范围是 ．16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数12y x =+中，自变量x 的取值范围是 ．+【答案】3x ≥/3x≤【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．【详解】解：根据题意得，30x -≥，且20x +≠，解得，3x ≥，故答案为：3x ≥．考点03二次根式的性质三、考点03二次根式的性质19．（2023=件是（ ）A ．0,0a b >>B ．0,0a b <<C ．0,0a b ≤≤D ．0,0a b ≥≥20．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x 的方程()222210x k x k --+-=有两个实数根，则2的化简结果是（ ）A ．1-B ．1C ．12k --D ．23k -21．（2024·四川乐山·中考真题）已知12x <<2x +-的结果为（ ）A ．1-B ．1C ．23x -D ．32x-22．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数,a b ()2b a --的化简结果是（ ）A ．2B ．22a -C ．22b -D ．-2【答案】A【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得32a <<-，01b <<，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可．23．（2023·内蒙古·中考真题）实数m =．考点04 二次根式的运算四、考点04二次根式的运算24．（2024·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．356a a a +=B ．632a a a ÷=C ．()22a a -=D a=【答案】C【分析】题目主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方运算、二次根式的化简，根据相应运算法则依次判断即可【详解】解：A 、3a 与5a 不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意；B 、633a a a ÷=，选项错误，不符合题意；25．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．642x x x ÷=B =C ．325()x x =D ．222()x y x y +=+26．（2023·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（ ）A +=B ．2-=C =D 32=27．（2024= ．28．（2023·河北·中考真题）若a b==（）A．2B．4C D29．（2023·上海·中考真题）下列运算正确的是（）A．523a a a÷=B．336a a a+=C．()235a a=D a= 30．（2023=．11的结果为．31．（2024·天津·中考真题）计算)【答案】10【分析】利用平方差公式计算后再加减即可．=-=．【详解】解：原式11110故答案为：10．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键．32．（2024的结果是．33．（2023·天津·中考真题）计算+-的结果为．34．（2023·江苏连云港·中考真题）计算：2=．故答案为：5．【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．35．（2023= ．36．（2024·北京·中考真题）计算：()052sin 30π-+︒+-38．（2024·云南·中考真题）计算：2117sin3062⎛⎫++--- ⎪⎝⎭．【答案】2【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值化简是解题的关键．根据相关运算法则分别进行计算，再进行加减运算，即可解题．41．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：()()22254x y x y x y -+--，其中x ，y =．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键．42．（2023·江苏宿迁·中考真题）先化简，再求值：21111x x x -⎛⎫-⋅⎪+，其中1x =43．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：()()()2(2)5x y x y x y x x y ++-+--，其中1x =，1y =．考点05 二次根式的估值五、考点05二次根式的估值44．（2024 ）A ．B ．C ．14D故选：D45．（2024的值应在（ ）A ．8和9之间B ．9和10之间C ．10和11之间D ．11和12之间46．（2024，设其面积为2cm S ，则S 在哪两个连续整数之间（ ）A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和5A ．5m <-B ．54m -<<-C ．43m -<<-D ．3m >-。

二次根式 50 题（含解析）1.计算：2．先分解因式，再求值：b2－2b+1－a2，其中a=－3，b=+4．3．已知，求代数式（x+1）2－4（x+1）+4的值．4．先化简，再求值：．5．（1）计算：；（2）化简，求值：，其中x=－1．6．先化简、再求值：+，其中x=，y=．7．计算：（1）（－2）2+3×（－2）－（）－2；（2）已知x=－1，求x2+3x－1的值．8．先化简，再求值：，其中．9．已知a=2+，b=2－，试求的值．10．先化简，再求值：，其中a=+1，b=．11．先化简，再求值：，其中，．12．先化简，再求值：，其中a=－1．13．先化简，再求值：（x+1）2－2x+1，其中x=．14．化简，将代入求值．15．已知：x=+1，y=－1，求下列各式的值．（1）x2+2xy+y2；（2）x2－y2．16．先化简，再求值：，其中．17．先化简，再求值：，其中．18．求代数式的值：，其中x=2+．19．已知a为实数，求代数式的值．20．已知：a=－1，求的值．21．已知x=1+，求代数式的值．22．先化简,再求值：，其中x=1+，y=1－．23．有这样一道题：计算－x2（x＞2）的值，其中x=1005，某同学把“x=1 005”错抄成“x=1 050”，但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由．24．已知：x=，y=－1，求x2+2y2－xy的值．25．已知实数x、y、a满足：，试问长度分别为x、y、a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．26．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．27．（1）计算28.（2）解不等式组．29．已知a=+2，b=－2，则的值为（）30．已知a=2，则代数式的值等于（）31．已知x=，则代数式的值为（）32．已知x=，则•（1+）的值是（）33．若，则的值为（）34．已知，则的值为（）35．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a=．36．若最简根式与是同类二次根式，则ab=．37．计算：①= ；②=．38．化简－= ．39．化简－的结果是．40．计算：= ．41．计算：+=．42．化简：= ．43．化简：－+=．44．计算：= ．45．先化简－（－），再求得它的近似值为（精确到0.01，≈1.414，≈1.732）．46．化简：的结果为．47．计算：= ．48．化简：= ．49．化简：+（5－）=．50．计算：= ．解析：1．解：原式=2+（2+）－（7+4）=－－5．2．当a=－3，b=+4时，原式=×（+6）=3+6．3．解：原式=（x+1－2）2=（x－1）2，当时，原式==3．4．解：原式=－===．当时，=．5．解：（1）原式=4－－4+2=；（2）原式===x+1，当x=－1时，原式=．6．解：原式=－===x－y，当x=，y=时，（2）方法一：当x=－1时，x2+3x－1=（－1）2+3（－1）－1=2－2+1+3－3－1=－1；方法二：因为x=－1，所以x+1=，所以（x+1）2=（）2即x2+2x+1=2，所以x2+2x=1所以x2+3x－1=x2+2x+x－1=1+x－1=－1．8．解：原式====－x－4，当时，原式===．9．解：∵a=2+，b=2－，∴a+b=4，a－b=2，ab=1．而=，∴===8．10．原式==，∵∴．11．解：===，把，代入上式，得原式=．12．解：====；当a=－1时，原式====－（－1）=1．13．解：原式=x2+2x+1－2x+1=x2+2；当．14．解：原式=•=x－3；当x=3－，原式=3－－3=．15．解：（1）当x=+1，y=－1时，原式=（x+y）2=（+1+－1）2=12；（2）当x=+1，y=－1时，原式=（x+y）（x－y）=（+1+－1）（+1－+1）=4．16．解：===x－2；当时，原式=．17．解：原式=a2－3－a2+6a=6a－3，当a=时，原式=6+3－3=6．18．解：原式=+=+=；当x=2+时，原式==．19．解：∵－a2≥0∴a2≤0而a2≥0∴a=0∴原式=．20．解：原式=，当a=－1时，原式=．21．解：原式=－==，当x=1+时，原式=．22．解：原式===；当x=1+，y=1－时，原式=．23．解：原式==+－x2=－x2=－2．∵化简结果与x的值无关，∴该同学虽然抄错了x的值，计算结果却是正确的．24．解：当时，x2+2y2－xy==．25．解：根据二次根式的意义，得，解得x+y=8，∴+=0，根据非负数的意义，得解得x=3，y=5，a=4，∴可以组成三角形，且为直角三角形，面积为6．26．解：（1）S=，=；P=（5+7+8）=10，又S=；（2）=（－）=，=（c+a－b）（c－a+b）（a+b+c）（a+b－c），=（2p－2a）（2p－2b）•2p•（2p－2c），=p（p－a）（p－b）（p－c），∴=．（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）27．解：27.（1）原式=3－－+1=3－－+1=+1；28.（2）由①得x+1＞3－x，即x＞1；由②得4x+16＜3x+18，即x＜2；不等式组的解集为1＜x＜2．29．解：原式=====5．30．解：当a=2时，=2－=2－=2－3－2=－3．31．解：=．32．当x=时，=－1，∴原式=1－（）=2－．33．解：原式==•－•=a－b，34．解：∵a==，b==，∴==5．35．解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴3a－8=17－2a，解得：a=5．36．解：∵最简根式与是同类二次根式，∴，解得：，∴ab=1．37．解：①×===4；②－=2－=．38．解：原式=2－3=－．39．解：原式=2－=．故答案为：．40．解：原式=3－4+=0．41．解：原式=2+=3．42．解：原式=4－=3．43．（2010•聊城）化简：－+=．44．解：原式=2－=．45．解：原式=－（－）=－（－）=－+=3≈3×1.732≈5.196≈5.2046．解：原式=－20=－14．47．解：原式=2－3=－．48．解：=5．49．解：原式=+5－=5．50．解：原式=2－+=2．。

《二次根式》分类练习题二次根式的定义：【例1】下列各式.1)22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K] 举一反三： 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=举一反三：1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。

已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求12a b ++的值。

若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。

若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【例4】若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。

2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）A ．3B ．– 3C ．1D ．– 13、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.4、若1a b -+与24a b ++互为相反数，则()2005_____________a b -=。

专题06二次根式(24题)一、单选题1(2024·湖南·中考真题)计算2×7的结果是()A.27B.72C.14D.14【答案】D【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键．直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【详解】解：2×7=14，故选：D2(2024·内蒙古包头·中考真题)计算92-62所得结果是()A.3B.6C.35D.±35【答案】C【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可．【详解】解：92-62=81-36=45=35；故选C．3(2024·云南·中考真题)式子x在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A.x>0B.x≥0C.x<0D.x≤0【答案】B【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：∵式子x在实数范围内有意义，∴x的取值范围是x≥0．故选：B4(2024·黑龙江绥化·中考真题)若式子2m-3有意义，则m的取值范围是()A.m≤23B.m≥-32C.m≥32D.m≤-23【答案】C【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得2m-3≥0，即可求解．【详解】解：∵式子2m-3有意义，∴2m-3≥0，解得：m≥3 2，故选：C．5(2024·四川乐山·中考真题)已知1<x<2，化简x-12+x-2的结果为()A.-1B.1C.2x -3D.3-2x【答案】B【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据a 2=a 化简二次根式，然后再根据1<x <2去绝对值即可．【详解】解：x -1 2+x -2 =x -1 +x -2 ， ∵1<x <2，∴x -1>0,x -2<0，∴x -1 +x -2 =x -1+2-x =1，∴x -12+x -2 =1，故选：B ．6(2024·重庆·中考真题)已知m =27-3，则实数m 的范围是()A.2<m <3B.3<m <4C.4<m <5D.5<m <6【答案】B【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出m =27-3=12，即可求出m 的范围．【详解】解：∵m =27-3=33-3=23=12，∵3<12<4，∴3<m <4，故选：B ．7(2024·江苏盐城·中考真题)矩形相邻两边长分别为2cm 、5cm ，设其面积为Scm 2，则S 在哪两个连续整数之间()A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5【答案】C【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积S ，再利用放缩法估算无理数大小即可．【详解】解：S =2×5=10，∵9<10<16，∴9<10<16，∴3<10<4，即S 在3和4之 间，故选：C ．8(2024·安徽·中考真题)下列计算正确的是()A.a 3+a 5=a 6B.a 6÷a 3=a 2C.-a2=a 2D.a 2=a【答案】C【分析】题目主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方运算、二次根式的化简，根据相应运算法则依次判断即可【详解】解：A、a3与a5不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意；B、a6÷a3=a3，选项错误，不符合题意；C、-a2=a2，选项正确，符合题意；D、当a≥0时，a2=a，当a<0时，a2=-a，选项错误，不符合题意；故选：C9(2024·重庆·中考真题)估计122+3的值应在()A.8和9之间B.9和10之间C.10和11之间D.11和12之间【答案】C【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可．【详解】解：∵122+3=26+6，而4<24=26<5，∴10<26+6<11，故答案为：C10(2024·四川德阳·中考真题)将一组数2,2,6,22,10,23,⋯,2n,⋯，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是()A.72B.82C.58D.47【答案】C【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，归纳类推得：第七行共有1+2+3+4+5+6+7=28个数，则第八行左起第1个数是2×29=58，故选：C．二、填空题11(2024·江苏连云港·中考真题)若式子x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【答案】x≥2【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使x-2在实数范围内有意义，必须x-2≥0，∴x≥2．故答案为：x≥212(2024·江苏扬州·中考真题)若二次根式x-2有意义，则x的取值范围是．【答案】x≥2【详解】解：根据题意，使二次根式x-2有意义，即x-2≥0，解得：x≥2．故答案为：x≥2．【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．13(2024·贵州·中考真题)计算2⋅3的结果是．【答案】6【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算．【详解】解：原式=2×3=6，故答案为：6．【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法的运算法则a⋅b=ab(a≥0，b>0)是解题关键．14(2024·北京·中考真题)若x-9在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．【答案】x≥9【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：根据题意得x-9≥0，解得：x≥9．故答案为：x≥9【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．15(2024·天津·中考真题)计算11-1的结果为．11+1【答案】10【分析】利用平方差公式计算后再加减即可．【详解】解：原式=11-1=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键．16(2024·四川德阳·中考真题)化简：-32=．【答案】3【分析】根据二次根式的性质“a2=a ”进行计算即可得．【详解】解：-32=-3=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了化简二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质．17(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)在函数y=x-3x+2中，自变量x的取值范围是．【答案】x≥3/3≤x【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．【详解】解：根据题意得，x-3≥0，且x+2≠0，解得，x≥3，故答案为：x≥3．18(2024·山东烟台·中考真题)若代数式3x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围为．【答案】x>1/1<x【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：x-1>0，解得：x>1；故答案为：x>1．19(2024·山东威海·中考真题)计算：12-8⋅6=．【答案】-23【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解．【详解】解：12-8⋅6=23-43=-23故答案为：-23．20(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)在函数y=13+x+1x+2中，自变量x的取值范围是．【答案】x>-3且x≠-2【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：由题意可得，3+x>0 x+2≠0，解得x>-3且x≠-2，故答案为：x>-3且x≠-2．三、解答题21(2024·内蒙古包头·中考真题)(1)先化简，再求值：x+12-2x+1，其中x=22．(2)解方程：x-2x-4-2=xx-4．【答案】(1)x2-1，7；(2)x=3【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的运算，解分式方程等知识，解题的关键是：(1)先利用完全平方公式、去括号法则化简，然后把x的值代入计算即可；(2)先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可．【详解】解：(1)x+12-2x+1=x2+2x+1-2x-2=x2-1，当x=22时，原式=222-1=7；(2)x-2x-4-2=xx-4去分母，得x-2-2x-4=x，解得x=3，把x=3代入x-4=3-4=-1≠0，∴x=3是原方程的解．22(2024·上海·中考真题)计算：|1-3|+2412+12+3-(1-3)0．【答案】26【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．【详解】解：|1-3|+2412+12+3-(1-3)0=3-1+26+2-3(2+3)(2-3)-1 =3-1+26+2-3-1=26．23(2024·甘肃·中考真题)计算：18-12×3 2．【答案】0【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】18-12×32=18-12×32=18-18=0．24(2024·河南·中考真题)(1)计算：2×50-1-30；(2)化简：3a-2+1÷a+1a2-4．【答案】(1)9(2)a+2【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是：(1)利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质，零指数幂的意义化简计算即可；(2)先把括号里的式子通分相加，然后把除数的分母分解因式，再把除数分子分母颠倒后与前面的结果相乘，最后约分化简即可．【详解】解：(1)原式=100-1=10-1=9；(2)原式=3a-2+a-2 a-2÷a+1a+2a-2=a+1 a-2⋅a+2a-2a+1=a+2．。