八年级同步第2讲：最简二次根式与同类二次根式

二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。

不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。

如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。

如25 可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。

其中a≥0是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。

要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。

二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。

（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。

《二次根式》的知识要点和习题知识要点1、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。

二次根式a 的实质是一个非负数a 的算术平方根。

注意：在二次根式中，被开放数能够是数，也能够是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0是a 为二次根式的前提条件，如5，21x +，等是二次根式，而5-、2x -、12--x 等都不是二次根式；a 的根指数是2, 即2a ，可省略不写；b a 也是二次根式。

当b 为带分数时，要把b 改写成假分数。

538是二次根式，不能写成2532。

2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

如 不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如 ，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。

3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

如 ,,就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。

4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

①的有理化因式为，②的有理化因式为，③的有理化因式为，④的有理化因式为，⑤的有理化因式为5．二次根式的性质：（1）. (a≥0)是一个非负数, 即≥0;（2）.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；（3）.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=（4）.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a≥0,b≥0）。

（5）.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。

6．二次根式的乘除（1）. 二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。

最简二次根式与同类二次根式
《最简二次根式与同类二次根式》
在数学中，二次根式是一种特殊的代数表达式，通常在形式上为一个数和一个根号的乘积。

在二次根式中，有两种特别重要的概念，分别是最简二次根式和同类二次根式。

首先来看最简二次根式。

最简二次根式指的是不能再约分根号内部的数的二次根式，也就是说，根号内的数不能再被开方，且在根号外的系数最小化。

例如，√2和√3就是最简二次根式，因
为它们的根号内部的数不能再被开方，且在根号外的系数也是最小的。

接下来是同类二次根式。

同类二次根式指的是二次根式中根号内部的数相同，根号外的系数也相同的二次根式。

例如，√2和2√2就是同类二次根式，因为它们的根号内部的数都是2，根号
外的系数也都是1。

最简二次根式和同类二次根式在化简和运算中都有其特殊的用途。

化简最简二次根式可以使得计算更加简便，而同类二次根式在加减乘除的运算中也有特定的规则。

总之，最简二次根式和同类二次根式是二次根式中的两个重要概念，它们在数学中有着广泛的应用和重要的意义。

通过对这两个概念的深入理解，我们可以更好地应用二次根式进行化简和运算。

第02讲 《二次根式》章节分类总复习考点一 二次根式有意义的条件 知识点睛：1. 二次根式的定义：非负数a 的算术平方根a 叫做二次根式 ☆：二次根式的判断不需要化简，直接根据定义判断即可， 易错类型：因为24=，误认为4不是二次根式2. 二次根式有意义的条件a 中a 叫做被开方数，其中二次根式有意义的条件就是a ≥0；☆1：当二次根式和分式结合时，要注意分式的分母≠0 ☆2：a 的双重非负性⎩⎨⎧≥≥0.0.本身②被开方数①a a ；故有：a 前无“-”，a 本身值不可能是负的 类题训练1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：，，，（x ＞0），，，﹣，，（x ≥0，y ≥0）．【分析】一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式．结合所给式子即可作出判断． 【解答】解：符合二次根式的定义；是三次根式；是分式，不是二次根式； （x ＞0）符合二次根式的定义； 是二次根式； 是四次根式； ﹣符合二次根式的定义； 是分式，不是二次根式；（x ≥0，y ≥0）符合二次根式的定义．2．（2021春•下城区期末）已知二次根式，当x ＝1时，此二次根式的值为（ ） A ．2 B ．±2 C ．4D ．±4【分析】将x的值代入二次根式，然后利用二次根式的性质化简求解．【解答】解：当x＝1时，原式＝，故选：A．3．（2021春•阳谷县期末）已知是整数，则正整数n的最小值是【分析】因为是整数，且＝2，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．【解答】解：∵＝2，且是整数，∴2是整数，即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故答案为：6．4．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是．【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即10﹣5x≥0，从而解得x的取值范围．【解答】解：∵是二次根式，∴10﹣5x≥0，∴x≤2．故答案为：x≤2．5．（2021春•余杭区期中）当x＝时，的值最小．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：当x＝3时，此时2x﹣6＝0，的最小值为0，故答案为：36．已知二次根式．（1）求x的取值范围；（2）求当x＝﹣2时，二次根式的值；（3）若二次根式的值为零，求x的值．【分析】（1）根据二次根式的定义得出3﹣x≥0，解之可得答案；（2）将x＝﹣2代入计算可得；（3）当被开方数为0时，二次根式的值即为0，据此列出关于x的方程求解可得．【解答】解：（1）根据题意，得：3﹣x≥0，解得x≤6；（2）当x＝﹣2时，＝＝＝2；（3）∵二次根式的值为零，∴3﹣x＝0，解得x＝6．7.已知x、y为实数，且满足，求5x+|2y﹣1|﹣的值．【分析】先根据二次根式的性质列出不等式组，求出x的取值，再把x的值代入所求代数式即可解答．【解答】解：则；＝＝2．考点二二次根式相关概念知识点睛：1.最简二次根式：满足以下2个条件的二次根式成为最简二次根式①被开方数的因数是整数，因式是整式；②不含开的尽方的因数或因式☆：判断最简二次根式，被开方数的字母部分次数最高为1次，且不含分母二次根式的运算，最后结果都要求必须化为最简二次根式2.同类二次根式：所含被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式类题训练1．（2021秋•桐柏县期中）下列二次根式中的最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．B、原式＝3，故B不符合题意．C、是最简二次根式，故C符合题意．D、原式＝2，故D不符合题意．故选：C．2．把下列根式化成最简二次根式．（1）5（2）6（3）（a＞0）（4）（n＜0）【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（4）直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：（1）5＝5×2＝10；（2）6＝6×＝6×＝；（3）（a＞0）＝5a；（4）（n＜0）＝×＝﹣．3．（2021春•岳麓区校级期末）下列式子能与合并的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝＝4，能与合并，符合题意；B 、＝2，不能与合并，不符合题意；C 、＝，不能与合并，不符合题意；D 、＝，不能与合并，不符合题意；故选：A ． 4．如果最简二次根式与2是同类二次根式，则a ＝ ．【分析】根据同类二次根式的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：∵最简二次根式与2是同类二次根式，∴3a ﹣8＝17﹣2a ， 解得，a ＝5， 故答案为：5．考点三 二次根式的运算知识点睛：二次根式乘法公式：()）（③②）（①0b ,0··)0()0(022≥≥=⎩⎨⎧≤-≥==≥=a b a b a a a a a a a a a a 二次根式除法公式：()()()()ba b a c b a b a b a c ba ca aa ab b ab b a b a b a ba ba --=-+-=+=≥==≥=)0(1)0,0()0,0(＞＞变形公式：＞④类题训练1．（2021秋•拱墅区期中）下列计算正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】根据平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【解答】解：A 、原式＝0.3，故A 不符合题意．公式①、②、③常用于以下两种题型：（1）化简求值（2）无理数比较大小常见比较大小的三种方式：（1）利用近似值比较大小（2）把系数移到根号内比较（3）分别平方，然后比较大小以上方法注意两数的正负号公式④及其变形常用于分母有理化的化简，即分式的分子分母同乘分母的无理化因式，使分母变为整数。

一、选择题1．若a 是最简二次根式，则a 的值可能是（ ） A ．2-B ．2C ．32 D ．82．二次根式1x -中字母x 的取值可以是( ) A ．2B ．0C ．12-D ．-13．下列各式中，无意义的是（ ） A ．23-B ．()333-C ．()23-D ．310-4．下列各式中，运算正确的是（ ） A ．2(2)-＝﹣2B ．2＋8＝10C ．2×8＝4D ．22﹣2＝25．设等式()()a x a a y a x a a y -+-=---在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y+--+的值是( ) A ．3B ．13C ．2D ．536．已知2225152x x ---=，则222515x x -+-的值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．67．已知：a=123-，b=123+，则a 与b 的关系是（ ） A ．相等 B ．互为相反数C ．互为倒数D ．平方相等8．以下运算错误的是（ ）A ．3535⨯=⨯B ．2222⨯=C ．169+=169+D ．2342a b ab b =（a ＞0）9．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．18B ．13C 24D 0.310．751m +m 的值为（ ） A ．7B ．11C ．2D ．1二、填空题11．化简并计算：()()()()()()()...112231920xx x x x x x x +=+++++++________．（结果中分母不含根式）12．设a ﹣b=2+3，b ﹣c=2﹣3，则a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=_____．13．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值；⑵根据以上规律写出n a 的表达式．14．已知3x x+=，且01x <<，则2691x x x =+-______．15．已知a ＝﹣73+，则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 16．化简：-32=_________,1x=________. 17．若a 、b 为实数，且b ＝2211a a -+-+4，则a+b ＝_____． 18．化简(322)(322)+-的结果为_________.19．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()222a b a b -+-＝_____．20．2a ·8a (a ≥0)的结果是_________.三、解答题21．先观察下列等式，再回答问题： 2211+2+()1=1+1=2； 2212+2+()212=2 12； 2213+2+()3=3+13=313；…（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n （n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．【答案】（1=144+=144；（2=211n n n n++=，证明见解析． 【分析】（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，=414+=414；（2=n 211n n n++=”，再利用222112n n n n++=+（）（）开方即可证出结论成立．【详解】（1=1+1=2=212+=212；=313+=313；里面的数字分别为1、2、3，= 144+= 144．（2=1+1=2，=212+=212=313+=313=414+=414= 211n n n n++=．证明：等式左边==n 211n n n++==右边．=n 211n n n++=成立． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律=n 211n n n++=”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．22．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如3、3+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：535==33333⨯⨯；22(31)2(31)=313+1(3+1)(31)(3)1⨯-⨯-==--- . 以上这种化简过程叫做分母有理化.3+1还可以用以下方法化简：22(3)1(3+1)(31)=313+13+13+13+1--===-. （1）请用其中一种方法化简1511-；（2）化简：++++3+15+37+599+97.【答案】(1) 15＋11；(2) 311－1. 【分析】(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为1511－；（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案. 【详解】 （1）原式==；（2）原式=+++…=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1=3﹣1【点睛】本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.23．计算下列各题（1）12126233⎛÷ ⎝（2）2(53)(53)(232)-【答案】(1)1;(2)6． 【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可； (2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可.【详解】(1)原式=1；(2)原式+2)． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.24．计算下列各式：（1；（2【答案】（12 ；（2） 【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可. 【详解】（1）原式2=-2=；（2）原式==. 【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握性质是解答本题的关键(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩，)0,0a b =≥≥=（a ≥0，b >0）.25．一样的式子，其实我==3==，1===；以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：221111===-=（12）化简：2n+++【答案】（1-2.【解析】试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．试题解析：（1）=====（2）原式2n+++=12.考点：分母有理化．26．（1）计算：21)-（2）已知a，b是正数，4a b+=，8ab=【答案】（1）5-2【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：（1）原式21)=-(31)(23)=---5=-；（2）原式=== a ，b 为正数， ∴原式=把4a b +=，8ab =代入，则原式== 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．27．计算：（1）()22131)()2---+（2【答案】（1）12；（2） 【分析】（1）按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可； （2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式＝ 9－1＋4＝12（2） 【点睛】本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是关键．28．化简求值：212(1)211x x x x -÷-+++，其中1x =．【解析】分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 详解：原式2112,2111x x x x x x -+⎛⎫=÷- ⎪++++⎝⎭2112,211x x x x x -+-=÷+++ ()211,11x x x x -+=⋅-+ 1.1x =+当1x =时，11x ==+ 点睛：考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】∴a ≥0，且a故选项中-2，32，8都不合题意， ∴a 的值可能是2． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．2．A解析：A 【分析】根据二次根式有意义，被开方数非负列出不等式，求解，再依此选择合适的选项． 【详解】解：由题意得： x-1≥0 解之：x≥1.1>． 故选：A ． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．理解二次根式有意义，被开方数非负是解题关键．3．A解析：A 【分析】直接利用二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质分析得出答案． 【详解】AB ，有意义，不合题意；CD 、33110=10-，有意义，不合题意； 故选A. 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质，正确把握二次根式的定义是解题关键．4．C解析：C 【分析】根据二次根式的性质对A 进行判断；根据二次根式的加减法法则对B 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断． 【详解】A 、原式＝2，故该选项错误；B ＝，故该选项错误；C 4，故该选项正确；D 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则是解题关键．5．B解析：B 【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x ，把y=-x 代入原式即可求出答案． 【详解】由于根号下的数要是非负数，∴a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0， a （x-a ）≥0和x-a≥0可以得到a≥0， a （y-a ）≥0和a-y≥0可以得到a≤0， 所以a 只能等于0，代入等式得，所以有x=-y ， 即：y=-x ，由于x ，y ，a 是两两不同的实数， ∴x ＞0，y ＜0． 将x=-y 代入原式得： 原式=()()()()2222313x x x x x x x x +---=--+-． 故选B ． 【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a 、x 、y 的值和代入求分式的值是解此题的关键．6．C解析：C 【解析】2=，2222251510x x =-=--+=，5=. 故选C.7．C解析：C 【解析】因为1a b ⨯==,故选C. 8．C解析：C【分析】利用二次根式的乘法法则对A、B进行判断；利用二次根式的化简对C、D进行判断．【详解】A．原式=所以A选项的运算正确；B．原式＝所以，B选项的运算正确；C．原式==5，所以C选项的运算错误；D．原式＝2，所以D选项的运算正确．故选C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．9．B解析：B【详解】A不是同类二次根式，故此选项错误；B3C=不是同类二次根式，故此选项错误；D=不是同类二次根式，故此选项错误；10故选B．10．C解析：C【分析】几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式即为同类二次根式.【详解】解=m=7时==，故A错误；当m=11时==B错误；当m=1时=故D错误；当m=2时=故C正确；故选择C.【点睛】本题考查了同类二次根式的定义.二、填空题11．【分析】根据=，将原式进行拆分，然后合并可得出答案．【详解】解：原式==．故答案为．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观【分析】-，将原式进行拆分，然后合并可得出答案． 【详解】解：原式====220400x x x-．【点睛】 此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观察．12．15【解析】根据题意，由a ﹣b=2+，b ﹣c=2﹣，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a2+b2+c2﹣ab ﹣bc ﹣ac=====15.故答案为：15.解析：15【解析】根据题意，由a ﹣b ﹣c=2，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac=2222222222a b c ab ac bc ++﹣﹣﹣=2222222222a ab b b bc c a ac c +++++﹣﹣﹣=222()()()2a b b c a c -+-+-=15. 故答案为：15.13．（1）a2＝，a3＝2，a4＝2；（2）an ＝（n 为正整数）．【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC ＝1，∠B＝90°．∴在Rt△ABC 中，AC ＝＝＝．同理：AE ＝2，EH ＝2，解析：（1）a 2，a 3＝2，a 4＝；（2）a n n 为正整数）．【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°．∴在Rt △ABC 中，ACAE ＝2，EH ＝，…，即a 2a 3＝2，a 4＝（2）an n 为正整数）．14．．【分析】利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算．【详解】∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴原式．故答案是：．【点睛】本题考查二次根式的运解析：12．【分析】，再把它们相乘得到1xx-，再对原式进行变形凑出1xx-的形式进行计算．【详解】3=，∴221239xx=++==，∴17xx+=，∴212725xx=-+=-=，∵01x<<，=，∴1xx=-=-∴原式====．故答案是：12．【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．15．-4【分析】先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可. 【详解】解：当a＝－＝－＝－3时，原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(解析：-4【分析】先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.【详解】－3时，解：当a原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(a+3)2－7a+3＝7a－7－7a+3＝－4．故答案为：－4．【点睛】本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.16．【解析】根据二次根式的性质，化简为：-=-=-4；==.故答案为； .解析：【解析】根据二次根式的性质，化简为：故答案为；17．5或3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a的值，b的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由被开方数是非负数，得，解得a＝1，或a＝﹣解析：5或3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由被开方数是非负数，得221010a a ⎧-≥⎨-≥⎩， 解得a ＝1，或a ＝﹣1，b ＝4，当a ＝1时，a +b ＝1+4＝5，当a ＝﹣1时，a +b ＝﹣1+4＝3，故答案为5或3．【点睛】本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．18．1【分析】根据平方差公式进行计算即可.【详解】原式=.故答案为：1.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键.解析：1【分析】根据平方差公式进行计算即可.【详解】原式=(223981-=-=.故答案为：1.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键. 19．﹣2a【分析】首先根据实数a 、b 在数轴上的位置确定a 、b 的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．【详解】依题意得：a ＜0＜b ，|a|＜|b|，∴=-a-b+b-a=-解析：﹣2a【分析】首先根据实数a、b在数轴上的位置确定a、b的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．【详解】依题意得：a＜0＜b，|a|＜|b|，．故答案为-2a．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，其中正确利用数轴的已知条件化简是解题的关键，同时也注意处理符号问题．20．4a【解析】【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.【详解】===4a，故答案为4a.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.解析：4a【解析】【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.)0a≥===4a，故答案为4a.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。

《二次根式》教学设计
第2课时
一、教学目标
1.掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.
2.会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.
3.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则、运算律在实数范围内正确计算，培养类比学习的能力.
4.增强学生的符号、应用意识，培养学生合作交流、合情推理、表达能力。

二、教学重难点
重点：掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.
难点：会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
a a
(a≥0，b>0)
=
b b
思考长方形的面积是20，它的长是5，宽是多少？
教师追问：该怎么计算呢？
教师提示：这一节我们根据之前学过的二次根式的性质来解决二次根式的四则运算问题吧.
a b=a b(a≥0
a
(a≥0，b>0)
=
b
加法、减法法则：
先化为最简二次根式.
35
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：。

最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。

2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。

3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。

4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。

5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。

6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。

知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。

2) 注意每一步运算的算理。

3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。

2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。

3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。

2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。

例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。

A。

$-3$；B。

$x$；C。

$x^2+1$；D。

$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。

最简二次根式和同类二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，是进一步研究二次根式运算的的知识基础．要点是最简二次根式、同类二次根式的判断，难点是同类二次根式的归并及最简二次根式的化简．1、最简二次根式的观点：（1）被开方数中各因式的指数都为 1；（ 2）被开方数不含分母被开方数同时切合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．．【例 1】判断以下二次根式是不是最简二次根式：（ 1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★【答案】（ 1）是；（ 2）不是；（ 3）是；（ 4）是．【分析】（ 1）被开方数中各因式的指数都为1；（ 2）被开方数不含分母．同时切合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，因此（ 1）（3）（ 4）是最简二次根式．【总结】此题考察了最简二次根式的观点．【例 2】判断以下二次根式是不是最简二次根式：（ 1）；（2）；（3）．【难度】★【答案】（ 1）不是；（ 2）不是；（ 3）不是．【分析】（ 1）被开方数中各因式的指数都为1；（ 2）被开方数不含分母．同时切合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，因此这三个二次根式均不是最简二次根式．【总结】此题考察了最简二次根式的观点．【例 3】判断以下二次根式是不是最简二次根式：（ 1）；（2）；（3）．【难度】★【答案】（ 1）不是；（ 2）不是；（ 3）不是．【分析】（ 1）被开方数中各因式的指数都为1；（ 2）被开方数不含分母．同时切合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，由于已知的三个二次根式中，每个被开方数里都含有指数为 2 的因式，因此这三个二次根式均不是最简二次根式．【总结】此题考察了最简二次根式的观点．【例 4】将以下二次根式化成最简二次根式：（1）；（2）；（3）（，，）．【答案】（ 1）；（2）；（3）．【分析】（ 1）；（ 2）；（ 3）．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简．【例 5】将以下二次根式化成最简二次根式：（1）（）；（2）；（3）．【难度】★★【答案】（ 1）；（2）；（3）．【分析】（ 1）；（2）；（3）．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简．【例 6】将以下二次根式化成最简二次根式：（ 1）；（2）；（ 3）（）（4）（，，）．【难度】★★【答案】（ 1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（2）；（3）；（4）．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简．【例 7】将以下二次根式化成最简二次根式：（ 1）；（2）；（ 3）．【答案】（ 1）；（2）；（3）．【分析】（ 1）；（2）；（3）．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号．【例 8】假如是最简二次根式，求的值．【难度】★★【答案】．【分析】，；原式 =．【总结】此题考察了二次根式的化简以及最简二次根式的观点．【例 9】已知，求的值．【难度】★★★【答案】．【分析】，又，原式 =．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简，注意整体思想的运用．1、同类二次根式的观点：几个二次根式化成最简二次根式后，假如被开方数同样，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．【例 10】判断以下各组的二次根式能否为同类二次根式？（1），，；（2），，．【难度】★【答案】（ 1）不是；（2）不是．【分析】（ 1）；；．（2）；；．【总结】此题主要考察同类二次根式的观点，先化简再判断．【例 11】判断以下各组的二次根式能否为同类二次根式？（1）和；（2）和．【难度】★【答案】（ 1）是；（2）不是．【分析】（ 1）；．（2）；．【总结】此题主要考察同类二次根式的观点，先化简再判断．【例 12】归并以下各式中的同类二次根式：（ 1）；（2）；（ 3）；（ 4）．【难度】★【答案】（1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）（2）；（3）；（4）．【总结】此题主要考察二次根式的加减运算，注意先化简后归并．【例 13】判断以下各组的二次根式能否为同类二次根式？（1）和；（2）和．【难度】★★【答案】（ 1）不是；（2）不是．【分析】（ 1）；．（2）；．【总结】此题主要考察同类二次根式的观点，先化简再判断．【例 14】若最简二次根式与是同类二次根式，求、的值．【难度】★★【答案】．【分析】由题意得：，解得：．【总结】此题主要考察最简二次根式和同类二次根式的观点，而后依据题意列出方程组并求解．【例 15】当时，二次根式的值为，求的值．【难度】★★【答案】．【分析】把代入得：，解得：．【总结】此题主要考察二次根式的化简求值．【例 16】归并以下各式中的同类二次根式：（1）；（2）；（3）．【难度】★★【答案】（ 1）；（2）；（3）．【分析】（ 1）；（2）；（3） =．【总结】此题主要考察二次根式的加减运算，注意先化简后归并．【例 17】计算：（ 1）；（2）．【难度】★★【答案】（ 1）；（2）．【分析】（ 1）；（2），，．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质求解不等式和方程．【例 18】若最简二次根式和是同类二次根式，求的值？【难度】★★★【答案】．【分析】由题意得：，解得：，．而后依据题意列出方程组并求【总结】此题主要考察最简二次根式和同类二次根式的观点，解．【习题 1】判断以下二次根式是不是最简二次根式：（ 1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★【答案】（ 1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）不是；【分析】（ 1）被开方数中各因式的指数都为1；（ 2）被开方数不含分母．同时切合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，【总结】此题考察了最简二次根式的观点．【习题 2】将以下二次根式化成最简二次根式：（ 1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★【答案】（ 1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（ 2）；（ 3）；（ 4）．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简．【习题 3】将以下二次根式化成最简二次根式：（ 1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★【答案】（ 1）；（ 2）；（ 3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（2）；（ 3）；（4）．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号的议论．【习题 4】以下二次根式，哪些是同类二次根式：（1），，，，，．【难度】★【答案】与是同类二次根式；与是同类二次根式．【分析】；；；；；．【总结】此题主要考察同类二次根式的观点，注意先化简再判断．【习题 5】将以下二次根式化成最简二次根式：（ 1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★★【答案】（ 1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（ 2）；（ 3）；（4）．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号的议论．【习题 6】已知最简二次根式和是同类根式，求的值．【难度】★★【答案】．【分析】由题意得：，解得：．【总结】此题主要考察最简二次根式和同类二次根式的观点，而后依据题意列方程并求解．【习题 7】归并以下各式中的同类二次根式并计算．（1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★★【答案】（ 1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（2）；（3）；（4）．【总结】此题主要考察二次根式的加减运算，注意先化简后归并．【习题 8】归并以下各式中的同类二次根式：（ 1）；（2）；（ 3）；（4）（）．【难度】★★★【答案】（ 1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（2）；（3）；（4）．【总结】此题综合性较强，主要考察二次根式的加减运算，注意先化简后归并．【作业 1】以下式子中是最简二次根式的是：（ 1）；（2）；（3）．【难度】★【答案】（ 1）不是；（2）不是；（3）不是；【分析】（ 1）被开方数中各因式的指数都为1；（ 2）被开方数不含分母．同时切合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，【总结】此题考察了最简二次根式的观点．【作业 2】以下各组二次根式，是不是同类二次根式．（1），，；（2），，；（3），，．【难度】★【答案】（ 1）是；（ 2）不是；（ 3）是．【分析】（ 1）；；．（2）；；．（3）；；．【总结】此题主要考察同类二次根式的观点，注意先化简再判断．【作业3】归并以下二次根式中的同类二次根式：（1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★【答案】（ 1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（2）；（3）；（4）．【总结】此题主要考察二次根式的加减运算，注意先化简后归并．【作业4】若，则化简得（）（A ）；（B）；（ C）；（ D）．【难度】★★【答案】．【分析】．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号．【作业 5】将以下二次根式化成最简二次根式．（ 1）；（ 2）；（ 3）；（ 4）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（2）；（ 3）；（4）．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号．【作业 6】将以下二次根式化成最简二次根式．（1）；（ 2）；（3）；（ 4）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（ 2）；（ 3）；（ 4）．【总结】此题主要考察利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号．【作业 7】归并以下各式中的同类二次根式．（1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★★【答案】（ 1）；（2）；（3）；（ 4）．【分析】（ 1）；（2）；（3）；（4）．【总结】此题主要考察二次根式的加减运算，注意先化简后归并．。

教案撰稿人完稿时间审核人审核时间课程进度课程标题学生对象：教学目标教学安排一览时间1235678910创新三维学习法，高效学习加速度知识精要一、最简二次根式1. 化简二次根式把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为化简二次根式,通常把形如)0m a a≥的式子叫做二次根式。

2. 化简后的二次根式中：(1)被开方数中各因式的指数都为1；(2)被开方数不含分母。

3.最简二次根式必须满足二个条件：(1)被开方数中各因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。

二、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式。

同类二次根式可以合并.注：要判断几个根式是否为同类根式，不一定非要化成最简形式，实际上只要化成某一种形式后，在这种形式下，被开方数相同就可以了。

创新三维学习法，高效学习加速度创新三维学习法，高效学习加速度 精解名题例1.化简下列二次根式 (1) 48 24343=⨯=;(2)532 252101032288⨯===⨯; (3) 28(0)x x ≤()()00220x x x ⎧=⎪=⎨-<⎪⎩; (4)327a -,解：因为0a <则原式=()2233a a ⨯⨯⨯-33a a=-33a a =--;(5) ()345380a b c a < 解：因为a<0, 所以0c ≤，则原式=c c b a a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯222222)()(223 ac c b a 2)(2322⨯⨯⨯-⨯⨯= ac c ab 2622-= 例2.化简二次根式的结果是（ ）A. B.- C. D.解：因为,创新三维学习法，高效学习加速度所以-(a+1),即a原式=所以应该选B例3化简：0293618(32)(12)23+--+-+-． 解：0293618(32)(12)23+--+-+- 3322(12)1|12|2=--+++-． 3322121212=---++-．3212=- 例4 最简二次根式(1)下列各式中,是最简二次根式的是( ) A18 B12x C2x y + D 221x x ++ 解：A 18=32 B 18x =23x D 221x x ++=所以，应选C(2) 3445x y 解：因为0x ≥，则原式()222235x x y =⨯⨯⨯⨯35xy x =(3) y x x解：有式子可直接得：00x xy ≠≥且， 则原式2yx xx = 2xy x x=xy =))00x xy x xxy x xy x ⎧>⎪==⎨-<⎪⎩;(4) 已知,02x <<,22442222x x x x+++-创新三维学习法，高效学习加速度解：原式()()222222x x xx+-=2222x x x x =++-222222x x x x x x +-=22x x =例5 同类二次根式(1)下列根式中,与3是同类二次根式的是( )A. 24B. 12C.32D. 18解：A. 242462626⨯=⨯=B. 122432323⨯=⨯=C.32= 32622⨯=⨯ D. 18=2923232⨯=⨯=所以选B(2)219334x x x23x x x =x =例6. 已知a ＝21,b ＝41,求b a b -－ba b +的值． 解 原式ab b ab b +-+=2ba b=-， 将a ＝21,b ＝41代入得，原式=2创新三维学习法，高效学习加速度热身练习1．若最简二次根式132-+b a 与a b -4是同类二次根式，则a=____，b=___。