同类二次根式与同类项的异同 专题指导

同类2次根式什么是2次根式在代数学中，2次根式是指一个数的平方根。

平方根是指一个数的平方等于该数的非负实数解。

例如，4的平方根为2，因为2²=4。

同类2次根式的定义同类2次根式是指具有相同根指数和被开方数（即底数）的两个或多个2次根式。

换句话说，同类2次根式具有相同的根指数和底数。

同类2次根式的性质同类2次根式具有以下性质：1.同类2次根式可以进行加法和减法运算：当两个同类2次根式具有相同的底数时，它们可以相加或相减。

例如，√5 + √5 = 2√5。

2.同类2次根式可以进行乘法运算：当两个同类2次根式具有相同的底数时，它们可以相乘。

例如，√3 * √3 = 3。

3.同类2次根式可以进行除法运算：当两个同类2次根式具有相同的底数时，它们可以相除。

例如，√8 / √4 = √(8/4) = √2。

4.同类2次根式可以进行化简：当两个同类2次根式具有相同的底数时，可以将它们合并为一个更简单的形式。

例如，√12 + √3 = 2√3 + √3 = 3√3。

5.同类2次根式可以进行比较大小：当两个同类2次根式具有相同的底数时，它们的大小可以通过比较它们的系数来确定。

例如，对于正实数a和b，如果a > b，则√a > √b。

同类2次根式的运算规则同类2次根式的运算遵循以下规则：1.加法和减法运算：只有当两个同类2次根式具有相同的底数时，它们才能进行加法和减法运算。

在进行运算时，保持底数不变，并将系数相加或相减。

例如，–√5 + √5 = 2√5–3√7 - 2√7 = √72.乘法运算：只有当两个同类2次根式具有相同的底数时，它们才能进行乘法运算。

在进行乘法运算时，保持底数不变，并将系数相乘。

例如，–√3 * √3 = 3–2√5 * 3√5 = 6√25 = 303.除法运算：只有当两个同类2次根式具有相同的底数时，它们才能进行除法运算。

在进行除法运算时，保持底数不变，并将系数相除。

最简二次根式与同类二次根式
《最简二次根式与同类二次根式》
在数学中，二次根式是一种特殊的代数表达式，通常在形式上为一个数和一个根号的乘积。

在二次根式中，有两种特别重要的概念，分别是最简二次根式和同类二次根式。

首先来看最简二次根式。

最简二次根式指的是不能再约分根号内部的数的二次根式，也就是说，根号内的数不能再被开方，且在根号外的系数最小化。

例如，√2和√3就是最简二次根式，因
为它们的根号内部的数不能再被开方，且在根号外的系数也是最小的。

接下来是同类二次根式。

同类二次根式指的是二次根式中根号内部的数相同，根号外的系数也相同的二次根式。

例如，√2和2√2就是同类二次根式，因为它们的根号内部的数都是2，根号
外的系数也都是1。

最简二次根式和同类二次根式在化简和运算中都有其特殊的用途。

化简最简二次根式可以使得计算更加简便，而同类二次根式在加减乘除的运算中也有特定的规则。

总之，最简二次根式和同类二次根式是二次根式中的两个重要概念，它们在数学中有着广泛的应用和重要的意义。

通过对这两个概念的深入理解，我们可以更好地应用二次根式进行化简和运算。

二次根式的加减法(第1课时)教学目标：1．类比同类项概念，了解同类二次根式的意义，学会识别同类二次根式(难点) 2．能熟练进行简单二次根式的运算(重点) 教学重点：⒈同类二次根式的概念 ⒉二次根式加减运算的方法本节的主要内容是讲解二次根式的加减法，而二次根式的加减法的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．二次根式的加减法运算实质是合并同类二次根式，前提是要充分了解同类二次根式的概念，因此同类二次根式的概念是本节的一个重点． 教学难点：二次根式的加减法首先是化简，在化简之后，就是类似整式加减的运算了． 整式加减无非是去括号与合并同类项，二次根式的加减在化简之后也是如此，同类二次根式类似同类项．但是学生初次接触二次根式的加减法，在运算过程中容易出现各种各样的错误，因此熟练掌握二次根式的加减法运算是本节的难点． 教学过程：一、情景导入与练习：1．同类项的特点如何合并同类项2．计算：a +a = ，a +2a = ，a +2b －b +2a = ， 类似地：33+= ，323+= ，223+－32+= ，3．思考并尝试说明：你对以上加减法的理解二、探究与训练：活动1：例题探究，计算：3233-，a a 23+ 学生根据前面的经验体验，讨论尝试，交流互助，达成共识 教师引导学生归纳所感要点：①同类二次根式：根号和根号内的部分完全相同的根式就是同二次根式(分类区别标志，只需看根号内是否相同)②同类二次根式的合并方法：合并同类二次根式时，根号部分(视为一个整体)不变，只需将根号的系数相加减。

③利用整体思想和类比方法，合并同类项与合并二次根式实际上是同一种变形。

活动2：例题探究，计算：a b b a 4223-+-3223-，a b b a 2323-+-学生练习研究、分歧及争论教师引导学生叙述所思所得：非同类二次根式不能合并活动3：同类二次根式的识别：指出下列各组二次根式是否同类二次根式：2与22 2 与 －2 a b 与 b a ab b 与 ba a－8与22 b a b 2 与 2ab a (其中a 、b 是正数)8、50 与 －18 b a b 3 与 3ab a (其中a 、b 是正数)讨论：还能简单地认为“只有根号内完全相同的二次根式才是同类二次根式”吗 究竟怎样的式子才是同类二次根式教师点评：同类二次根式是化简后被开方数相同的根式。

专题06 二次根式考点一：二次根式之定义与有意义的条件1. 二次根式的定义：形如()0≥aa的式子叫做二次根式。

2. 二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。

即a中，0≥a。

1．（2022•湘西州）要使二次根式63-x有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵3x﹣6≥0，∴x≥2，故选：D．2．（2022•广州）代数式11+x有意义时，x应满足的条件为（ ）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：代数式有意义时，x+1＞0，解得：x＞﹣1．故选：B．3．（2022•贵阳）代数式3-x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≥3B．x＞3C．x≤3D．x＜3【分析】直接利用二次根式的定义得出x﹣3≥0，进而求出答案．【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，∴x ﹣3≥0，解得：x ≥3，∴x 的取值范围是：x ≥3．故选：A ．4．（2022•绥化）若式子21-++x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞﹣1B ．x ≥﹣1C ．x ≥﹣1且x ≠0D ．x ≤﹣1且x ≠0【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，a ﹣p ＝（a ≠0）即可得出答案．【解答】解：∵x +1≥0，x ≠0，∴x ≥﹣1且x ≠0，故选：C ．5．（2022•雅安）使2-x 有意义的x 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式有意义的条件，得出关于x 的不等式，解不等式，即可得出答案．【解答】解：∵∴x ﹣2≥0，∴x ≥2，故选：B ．6．（2022•菏泽）若31-x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，x ﹣3＞0，解得x ＞3．故答案为：x ＞3．7．（2022•青海）若式子11-x 有意义，则实数x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．【解答】解：由题意得x ﹣1＞0，解得x ＞1，故答案为：x ＞1．8．（2022•包头）若代数式x x 11++在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．【解答】解：根据题意，得，解得x ≥﹣1且x ≠0，故答案为：x ≥﹣1且x ≠0．9．（2022•常德）要使代数式4-x x 有意义，则x 的取值范围为 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x ﹣4＞0，解得：x ＞4，故答案为：x ＞4．10．（2022•邵阳）若21-x 有意义，则x 的取值范围是 ．x 的不等式组，求出x 的取值范围即可．【解答】解：∵有意义，∴，解得x ＞0．故答案为：x ＞2．考点二：二次根式之性质与化简1. 二次根式的性质：①二次根式的双重非负性：二次根式本身是一个非负数，恒大于等于0。

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】二次根式的加减--知识讲解（基础）责编：康红梅【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、同类二次根式1.（2016•巴中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【思路点拨】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．【答案】B．【解析】A、=3，与不是同类二次根式，故此选项错误；B、=，与，是同类二次根式，故此选项正确；C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；D 、==，与不是同类二次根式，故此选项错误【总结升华】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．举一反三：【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b 的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C. a=1，b=-1D. a=1，b=1【答案】D.根据题意，得解之，得，故选D.类型二、二次根式的加减运算2.计算（1）（2015春•建湖县期末）4﹣+．（2）（2015春•文安县期末）．【答案与解析】解：(1)原式=4×﹣3+2=2﹣3+2=．（2）原式=2+3﹣2=3x【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三：【变式】计算:011(1)()527232π--++-- 【答案】011(1)()527232π--++-- 125332333352332=++--=+--=- 类型三、二次根式的混合运算3.计算:(1) (+)×； 【：高清ID 号： 388064关联的位置名称（播放点名称）：二次根式的混合运算】(2) 22)3223()3223(--+【思路点拨】二次根式的混合运算要注意公式的灵活运用.【答案与解析】(1)(+)×=×+×=+=3226+;(2)=(32233223)(32233223)++-+-+原式=6243246⨯=.【总结升华】二次根式仍然满足整式的运算规律,•所以直接可用整式的运算规律．【：高清ID 号： 388064关联的位置名称（播放点名称）：巩固练习4-5】4、计算： 已知625,625-=+=b a ，则ab =_______,a b +=________.【答案】1；10.【解析】225+26526,5(26)1a b ab ==-=-=Q ，10a b +=【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确. 举一反三：【变式】已知32,32,x y ==求22x xy y -+的值。

最简二次根式和同类二次根式学习目标1．经历最简二次根式和同类二次根式的概括过程，体会比较与分析的思维方法；通过合并同类二次根式，体会类比与迁移的认知方法.2．理解最简二次根式的概念，会判别最简二次根式；会将非最简二次根式化为最简二次根式.3．理解同类二次根式的概念，会判断几个二次根式是否是同类二次根式.内容剖析知识点一 最简二次根式观察下列二次根式及其化简所得结果，比较每组两个二次根式里的被开方数前后发生了什么变化可以看到，化简后的二次根式里： （1）被开方数中各因式的指数都是1； （2）被开方数不含分母.被开方数同时满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如二次根式ab 3、42y x +、a bm 3等都是最简二次根式.判断下列二次根式是不是最简二次根式.（1）35a； （2）a 42； （3）324x ； （4）)12(32++a a .将下列二次根式化成最简二次根式.（1）)0(423>y y x ；（2）()())0(22≥≥+-b a b a b a；例1 例2 123233a 3a)0(3>b a ab )0(92>b ab（3）)0(>>-+n m nm nm ；（4）)00(36423><-y x y x z ，.基础过关11．满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式① ； ② .2．下列二次根式：51、b a 22、a 1.0、22y x +、3ab 、xy 32、11+x ，其中是最简二次根式的有 .3．化简：=-321a . 4．化简：=<+-)21(1442x x x .5．当x 时，x x 35)53(2-=-成立. 6．)0(245>+x x x 化成最简二次根式是 . 7．若1562+>x x ，则x 的取值范围是 .知识点二 同类二次根式 把二次根式a 8与a21化成最简二次根式，所得结果有什么相同之处？ 通过化简，得a a 228=；a aa 22121=. 可见，两个最简二次根式里的被开方数都是a 2.几个同类二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.我们知道，在多项式中，遇到同类项就可以合并.类似地，同类二次根式也可以合并.下列二次根式中，哪些是同类二次根式？12、24、271、b a 4、2)0(3>a b a 、)0(3>-a ab例3若最简二次根式b a b a 7752+-+和b a 3+是同类二次根式，求b a +的值的平方根.合并下列各式中的同类二次根式.（1）323132122++-； （2）xy b xy a xy +-3.基础过关21．几个二次根式化成 后，如果 相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式.2．若最简二次根式12+x 与23-x 是同类二次根式，则=x . 3．二次根式213a 与a 9- 同类二次根式.（填“是”或“不是”） 4．若0<x ，0<y ，计算=+yxx y. 5．有四个根式2、5、501、32， 其中是同类二次根式. 6．若最简二次根式b a a +5和b a 3+是同类二次根式，则=-a b .综合培优培优练习一一、选择题1. 不改变原来式子的值，把aa 1-中根号外的因式移入根号内后，计算正确的是（ ） A.a - B. a -- C. a - D.a2. 下列化简中，正确的是（ ）A.32123= B. 3327= C. b a a b ⋅=214 D. 23192= 例4 例53. 在122132、、、a ab 中，最简二次根式有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 下列化简正确的有（ ）个.①a a a -=-3；②x x x x x 45=-；③ab b a b a a 2326=；④6106124=+. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 二、解答题 5. 计算：（1）3636 （2）3)(48t s -（3）)00(1122<<-b a b a ab ， （4）)10()1(1422<<--x x x x x6. 已知44.0-=x ，求二次根式321x x x --+的值.7. 已知23+=x ，21-=y ，求41249622+--++y x y xy x 的值.8. 小杰在化简二次根式时发现：322322=，833833=，15441544=，24552455= 你能根据这些式子总结出一般规律吗？证明你总结出的规律.9. 先观察下列各式，再回答问题.211211112111122=-+=++；611312113121122=-+=++；1211413114131122=-+=++. （1）根据上述的计算，猜想2251411++的结果. （2）由此猜想22)1(111+++n n （n 为自然数，1>n ）的结果，并说明等式成立的理由.10. 若s b a 、、满足753=+b a ；b a s 32-=，求s 的最大值和最小值.培优练习二一、选择题1. 下列各二次根式中，与24是同类二次根式的为（ ）A.18B.30C.48D.54 2. 下列各组根式中的几个根式，是同类二次根式的是（ ）A.20，45，51 B.55bc a ，233c b a ，abc C.325x ，229y x ，xy 2-D.54，12.0，65 3. 下列计算中，正确的是（ ）A.853=+B.y x y x +=+22C.a a a 555253=+D.y x y x -=-2)(二、解答题 4. 计算：（1）6148294256+-（2）()20125.023155.03--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-（3）)0(327527333>+-x xy x y x y y x x（4）)00(2>>--++y x xyy x x yy x ，5. 分别按下列条件化简：x b x a x b a 222)(--+.（1）0>a ，0>b .（2）0<a ，0<b .（3）0<a ，0>b ，且b a >.6. 化简：625625--+.7. 已知实数x 满足x x x =-+-199198，求x 的值.8. 当x 取什么最小正整数时，52+x 与3是同类二次根式.。

龙文教育数学学科教师个性化辅导学案教师： 学生： 时间: 年 月 日 时段： 课 题教学目标教学重点、难点教学方法教学内容最简二次根式是一种特殊形式的二次根式，如果一个二次根式不是最简二次根式，应根据积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质将其化为最简二次根式.被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式。

一、最简二次根式的判别方法1．被开方数不能含有开得尽方的因数例1:化简3632．被开方数不能含有小数或分数例2:化简：(1).315)2(;72.03．被开方数不能含有开得尽方的因式例3:化简3532x y判断最简二次根式就是注意两点：一是被开方数中不能含有分母或小数; 二是被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式.二、同类二次根式的判别方法判别几个根式是否为同类二次根式，其依据的同类二次根式的定义，若几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式.例4:下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？（1）18，31； （2）32，8； 例5:下列二次根式中，哪些与32是同类二次根式？271,50,54,48,3.0． 例6：如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a 、b 的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1练习：若最简根式与根式是同类二次根式，求a 、b 的值．【课内习题精练】一、精心选一选1．在根式①ab ；②5x ；③xy x -2；④abc 27中，最简二次根式是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①④2．下列二次根式中与3是同类二次根式的是（ ）A ．18B ．3.0C ．30D ．3003．若b ＜－1，则化1+b a 为最简二次根式得（ ） A ．)1(11++b a b B ．－)1(11++b a b C ．－)1(1+b a aD ．b ＋1)1(+b a4．下列四组二次根式中，可以化为同类二次根式的是（ ）A ．a a 和a 21 B ．2x y 和y 2y 1 C ．23a 和a 8 D ．222y xy x +-和2)(3y x -5．下列各式中计算正确的是（ ）A ．3＋2＝5B ．3＋2＝32C ．m b －n b ＝（m －n ）bD ．1162523250=-=- 6．下列说法中正确的是（ ）A ．22b a -不是最简二次根式B ．12,75,34是同类二次根式 C ．32,121,181是同类二次根式 D ．a 51和212ab 是同类二次根式 二、耐心填一填7．根式15，a 20，76，ab 41，35y ，22y x +中，最简二次根式有________； 8．化简：（1）10001＝________（2）2413＝________． 9．若py x mn -是最简二次根式，则m ＝________，n ＝________，p ＝________（其中m ，n ，p 不为0） 10．当x ＝________时，102+x 有最小值是________，当x ＝________时，225x -有最大值是________．11．当x ＝________，y ＝________时，最简二次根式y y x +和y x 23-是同类二次根式．三、二次根式的加减运算二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.1.二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；(3)合并同类二次根式.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并例1：计算(1)3-9+3；(2)(+)+(-)；(3)；(4).例2：已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值．四、学生对于本次课的评价：○特别满意○满意○一般○差学生签字：五、教师评定：1、学生上次作业评价：○非常好○好○一般○需要优化2、学生本次上课情况评价：○非常好○好○一般○需要优化教师签字：教导主任签字：课后作业：。

第4讲 最简二次根式与同类二次根式【学习目标】最简二次根式和同类二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，是进一步研究二次根式运算的的知识基础．重点是最简二次根式、同类二次根式的判断，难点是同类二次根式的合并及最简二次根式的化简．【基础知识】1、最简二次根式的概念：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母． 被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2、同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．【考点剖析】考点一：最简二次根式的概念例1．判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1）42a ； （2）324x ；（3）a b -；（4）22a b +．【难度】★【答案】（1）是；（2）不是；（3）是；（4）是．【解析】（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母． 同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，所以（1）（3）（4）是最简二次根式．【总结】本题考查了最简二次根式的概念．例2．判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1）； （212x - （3 1.5()a b +．【难度】★【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是．【解析】（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母． 同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，所以这三个二次根式均不是最简二次根式．【总结】本题考查了最简二次根式的概念．例3．判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1）23(21)(1)a a a ++≥-；（2）22()()(0)x y x y x y --≥≥；（3）2961a a ++． 【难度】★【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是．【解析】（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，因为已知的三个二次根式中，每个被开方数里都含有指数为2的因式，所以这三个二次根式均不是最简二次根式．【总结】本题考查了最简二次根式的概念．例4．将下列二次根式化成最简二次根式：（1）12；（2）324(0)x y y >； （3）（0a <，0b <，0c <）．【难度】★【答案】（1）23； （2）2xy x ； （3）233abc ac ．【解析】（1）1223=； （2）3242x y xy x =； （3）32522733a b c abc ac =． 【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简．例5．将下列二次根式化成最简二次根式：（12248xy y -0y <）； （222()()(0)a b a b a b -+≥≥；（3322(1)x x x x -+>．【难度】★★【答案】（1）22y x --； （2）()a b a b +- （3）(1)x x - 【解析】（1222484(2)22xy y y x y x ----； （2222()()()()()a b a b a b a b a b a b -++-+- （33222(1)(1)x x x x x x x -+=--．【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简．例6．将下列二次根式化成最简二次根式： （1）；（2）31.5a ；（3）23b a（0b <）（4）（0a >，0b >，0c >）．【难度】★★ 【答案】（1）263； （2）62a a ； （3）33b aa-； （4）． 【解析】（1）；（2）333361.5==222a a a a a a =； （3）223==333b b b aa a a-； （4）．【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简．例7．将下列二次根式化成最简二次根式：（1）2(0)()a ba b a b +<<-；（2）(0)m nm n m n+>>-； （3）53(2)(2)(2)a a a +>-．【难度】★★【答案】（1）； （2）22m n m n --； （3）222(2)4(2)a a a +--． 【解析】（1）；（2）22==m n m n m n m n m n m n++----； （3）55222323(2)(2)(2)2(2)4===(2)(2)(2)2(2)a a a a a a a a a a a +++++------． 【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号．例8．如果174a ++2311a a +【难度】★★【答案】．【解析】12a +=，1a ∴=；原式=2311211+=． 【总结】本题考查了二次根式的化简以及最简二次根式的概念．简二次根式是特殊的二次根式，他需要满足： （1）被开方数的因数是整数版，字母因式是整式； （2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式 所以把式子化成最简二次根式时1、当被开方数是整数或整数的积时，一般是先分解因数，再运用积的算术平方根的性质进行化简2、当被开方数是数的和差时，应先求出这个和差的结果再化简3、当被开方数是单项式时，应先把指数大于2的因式化为（a?）2或者（a?）2·a 的形式再化简；当被开方数是多项式时，应先把多项式分解因式再化简，但需注意，被移出根号的因式是多项式的需加括号.4、被开方数是分式时，应先把分母化为平方的形式，再运用商的算术平方根的性质化简；当被开方数是分式的和差时，要先通分，再化简 考点二：同类二次根式的概念：例1．判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ （1）24，48，；（2）4x y ，33(0)x y x <，32(0)xy y -<．【难度】★【答案】（1）不是； （2）不是． 【解析】（1）24=26；48=43；13=126．（2）42=x y x y ；333x y x xy =-；322xy y xy -=．【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，先化简再判断．例2．判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？师生总结1、 满足最简二次根式的条件是什么？2、如何将一个二次根式化成最简二次根式？（1）和；（2）22345+和．【难度】★【答案】（1）是； （2）不是．【解析】（1）26279a abb b =；．（2）223415+=；115496-=． 【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，先化简再判断．例3．合并下列各式中的同类二次根式： （1）112232323-++； （2）3xy a xy b xy -+；（3）；（4）．【难度】★ 【答案】（1）72332+； （2）(3)a b xy -+； （3）342； （4）(3)2b a ab b b ab +--． 【解析】（1）11723223232332-++=+ （2）； （3）； （4）．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．例4．判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ （1）32a a a +和；（2）和．【难度】★★【答案】（1）不是； （2）不是． 【解析】（1）3221a a a a a +=+；． （2）；2323232a a ab a b a b+=++．【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，先化简再判断．例5．若最简二次根式2a b a b +-3a b -+是同类二次根式，求a 、b 的值．【难度】★★【答案】53a b ==-，． 【解析】由题意得：，解得：．【总结】本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的概念，然后根据题意列出方程组并求解．例6．当3x =-时，二次根式2257m x x ++的值为5，求m 的值．【难度】★★ 【答案】．【解析】把3x =-代入得：105m =，解得：22m =． 【总结】本题主要考查二次根式的化简求值．例7．合并下列各式中的同类二次根式： （1）12112127333-+；（2）1(40.540.125)2123--+； （3）4223141361234xy x x y x x+-． 【难度】★★ 【答案】（1）233； （2）4323+； （3）452x ．【解析】（1）；（2）122343(40.540.125)212=2242323433--+-⨯-+=+； （3）4223141361234xy x x y x x+-= ．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．例8．计算：（132775282x =+ （2）773549x x +【难度】★★ 【答案】（1）116x =； （2）57x <． 【解析】（1）63656116x ==； （2）772x ->- 572x ->， 57x <．【总结】本题主要考查利用二次根式的性质求解不等式和方程．【过关检测】1.（2019宝山实验10月考17）【答案】D；【解析】解=答案选D.2.（市西2020期末1）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）【答案】C【解析】解：A. 与不是同类二次根式; B. 与不是同类二次根式;C.=;故选C.=2x3.（嘉定区2019期中16）B.【答案】C【解析】解：A BC D C．4.（浦东新区2020期末1）下列各式中，属于同类二次根式的是（）B. C. 3 D.【答案】C【解析】解：A所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；B、C、3它们是同类二次根式；故本选项正确；D C．5.（徐汇龙华2019期中16）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）C.【答案】D【解析】解：A 、20a =4×5a ，被开方数含有能开的尽方的因数，不是最简二次根式，所以本选项不符合题意；B 、被开方数含有分母，不是最简二次根式，所以本选项不符合题意；C 、a 2b 4=（ab 2）2，被开方数含有能开的尽方的因数，不是最简二次根式，所以本选项不符合题意；D D.6（浦东四署2019期中3 ）【答案】A ；【解析】解：A =B能合并；C D A.7.（徐教院附2019期中15）化简0)y <=________ 【答案】【解析】解：由二次根式的概念可知，20xy -≥，∴0x -≥，又∵y <0=-8.（西延安2019期中3222=2.9. （2019大同10月考7中，最简二次根式是 .【解析】解中被开方数含分母，3a 指数不是1.10. （松江区2019期中3）若最简二次根式122-x 和x 334-是同类二次根式，那么=x ________． 【答案】7；【解析】解：因为最简二次根式是同类二次根式，所以21343x x -=-，解得x=7.11.（2019浦东四署10月考15）是同类二次根式，则ab 的值是 . 【答案】18；22534a b b =⎧⎨+=-⎩，解得，所以ab=18.。

7.2二次根式的加减法【学习目标】1、了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式。

2、会利用二次根式的加减运算法则进行计算。

3、通过学习加强学生的运算能力，培养学生的学习兴趣。

【学习重点】二次根式加减法运算。

【学习难点】熟练进行二次根式加减法的运算。

【教具】多媒体课件、精选例题。

【教法与学法】自主学习、合作探究【教学过程】一、复习回顾1、什么是同类项？怎样合并同类项？2、如何进行整式的加减运算？3、计算：（1）2x-3x+5x（2）2223a b ba ab+-二、提出问题1、什么是二次根式？什么是同类二次根式？什么是最简二次根式？2、判断是否同类二次根式时应注意什么？3、如何进行二次根式的加减运算？三、自主学习自学课本第10—11页内容，完成下面的题目：1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：（1）2322与（2）32与（3）205与（4）1218与从中你得到：。

2、几个二次根式化成_______________后，如果它们的________相同，那么这几个二次根式称为同类二次根式。

3、同类二次根式可以像________那样进行合并。

4、二次根式相加减，应先把各个二次根式化成___________,然后把_____________分别合并。

5、自学课本例1，例2后，仿例计算：（1（2（3）3四、展示反馈小组交流结果后，再合作计算，看谁做的又对又快！ (1) )27131(12-- (2) )512()2048(-++(3) y y xy x x 1241+-+ （4）)461(9322xx x x x x --五、合作交流被开方式不同的几个二次根式，一定不是同类二次根式？六、精讲点拨1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。

2、二次根式的加减分三个步骤：①化成最简二次根式；②找出同类二次根式；③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。

七、拓展延伸1、已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23-（x ）的值．2、化简二次根式：-3、已知+ 则2xy=( )4、若x=( )八、课堂达标：1、选择题（1）二次根式：① ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④（2）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．A ．C(3)下列计算：=②22+=；③-=； ④=， 其中错误的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、计算：（1） （2）x x xx 1246932-+3、选择 ：如果最简二次根式b ）A ．a=2,b=2 C ．a=2,b=1B ．a=1,b=2 D ．a=1,b=14、比较下列数的大小（1）8.2与432（2）7667--与九、作业必做题、课本11习题A 组1、2、3题。

二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：同类、最简二次根式（1）定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式。