湖南省长沙一中2015届高三数学上学期第一次月考试卷 理(含解析)

长沙市一中2022届高三月考试卷（一）地理得分本试题卷分选择题和非选择题两部分，共10页。

时量75分钟，满分100分。

第I卷选择题（共48分）一、选择题:本大题共24小题，每小题2分，共48分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

指状砂坝型三角洲为河流入海（湖）后形成的指状砂体与分流间湾系统，指状砂体由河口坝、分流河道和天然堤构成，呈现出河在坝内的河一坝组合样式。

下图为美国墨西哥湾阿拉法拉亚水下三角洲演化模式图。

据此完成1～3题。

A.①—②—③—④B.①—④—②—③C.①—③—④—②D.①—②—④—③A.物源补给、潮汐强弱B.河口形状、河水水位C.海底地形、泥沙粒径D.流域植被、降水强度2021年2月21日，2021年中央一号文件发布。

围绕全面推进乡村振兴加快农业农村现代化，对“三农”工作作出全面部暑。

其中加强乡村公共基础设施建设是乡村振兴战略举措之一。

下图为我国某地乡村村落空间结构变化和新乡村建设一角冬季拍摄的图片。

据此完成4～5题。

A.区位优越，布局合理B.等级有序，设施完善C.邻里和睦，城乡一体D.方便出行，环境舒适5.根据图片信息，图中的新乡村可能位于我国的中国是智能手机生产大国。

智能手机的产业链很长零部件来自世界各地产品销往德国、法国、俄罗斯、印度等20多个国家和地区下图是某智能手机的零部件主要来源地。

据此完成6～7题。

6.中国近年来一直是世界最大的手机生产组装基地，其主要区位因素是①中国手机产业基础好，设施完善②与东南亚相比中国劳动力便宜③中国能研发生产全部手机零部件④中国手机需求量大，市场广阔A.①③B.①④C.②③D.②④7.一般而言，当价格不变时，集成电路可容纳的电子元器件每隔18～24个月就会增加一倍，性能提升一倍。

因此，电子产品的价格是呈下降趋势的，但是，最近几年，国产手机价格却越来越贵。

其原因最可能是A.受国际形势影响，核心技术自由买卖B.面向世界大市场，航空运输成本上升C.争夺下游厂商，增加零部件进货成本D.国产手机品牌升级，科研经费在增加归一化植被指数（NDVI）是反映植被生长状况的一个重要的遥感参数，指数越高，地表植被覆盖度越高。

炎德英才大联考长郡中学2015届高三月考试卷（-）数学（文科）【试卷综析】试卷注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用.本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页，时量120分钟，满分150分. 选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1.已知A 、B 均为集合{}1,3,5,7,9U =的子集，且{}(){}3,9u A B C B A ⋂=⋂=则A =A.{}1,3 B.{}3,7,9 C.{}3,5,9 D.{}3,9【知识点】集合.A1【答案解析】D 解析：解：根据韦恩图可知只有A 集合为{}3,9时，才满足已知条件.【思路点拨】由题意作出韦恩图即可得到正确结果. 【题文】2.定义在R 上的偶函数()()1f x f x +=-，且在[]1,0-上单调递增，设()()3,,2a f b fc f ===，则a,b,c 的大小关系是A.a b c >>B.a c b >>C.b c a >>D.c b a >> 【知识点】函数的奇偶性;B4【答案解析】D 解析：解：由题意可得函数为偶函数，所以函数在()0,1上为减函数，再由()()()()12f x f x f x f x +=-∴+=所以函数的周期为2，所可知函数在()1,2上递增在[]2,3上为递减，所以c>b>a ，所以D 正确【思路点拨】由题意求出函数的周期，再比较大小.【题文】3.已知()sin ,ααβαβ=-=均为锐角，则β等于A.512πB.3πC.4πD.6π【知识点】两角和与差的展开式；组合角.C5【答案解析】C 解析：解：0,0022222πππππαββαβ<<<<∴-<-<∴-<-<又()()10310sin cos 1010αβαβ-=-∴-=，525sin cos 55αα=∴=()()()()sin sin sin cos cos sin βααββααβααβααβ=--∴=--=---⎡⎤⎣⎦224πβ=∴=【思路点拨】根据角的取值X 围求出三角函数值，再利用组合角的形式表示出β角,利用公式进行计算. 【题文】4.在等差数列{}n a 中，241,5a a ==，则{}n a 的前5项和5S =A.7B.15C. 20D. 25 【知识点】等差数列的性质；求和公式.D2【答案解析】B 解析：解：()()152415245551522a a a a a a a a S +++=+∴===所以B正确.【思路点拨】由等差的性质与求和公式直接代入求值即可. 【题文】5.已知函数()()()()22ln ,1f x x f x x f ''=+-=则A.1B.2C. 3D. 4 【知识点】导数.B11【答案解析】 B 解析：解：由函数的导数可知()()()122112102f x x f f x ⎛⎫'''=+-∴=⨯+= ⎪⎝⎭，所以B 正确.【思路点拨】根据导数求出导数的值. 【题文】6.已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ϖϕϖπϕπ=+>>-<<的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为A.()12sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()132sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C.()12sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()132sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【知识点】三角函数的图像与性质；C3【答案解析】B 解析：解：由图像可知A=2，31242222T T ππππϖ=+=∴=∴=又()31302sin 2424f f x x πππϕ⎛⎫⎛⎫=∴=∴=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【思路点拨】根据图像求出三角函数的各种参数.【题文】7.某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元，设该设备使用了n(*n N ∈)年后，盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n 等于A.4B.5C.6D.7 【知识点】数列的应用.D2【答案解析】B 解析：解：解：设该设备第n 年的营运费为an ，万元，则数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，则an=2n ，则该设备使用了n 年的营运费用总和为()2222n n n T n n +==+设第n 年的盈利总额为Sn ，则Sn=11n-（n2+n ）-9=-n2+10n-9=-（n-5）2+16，∴当n=5时，Sn 取得最大值16，故选：B ． 【思路点拨】根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论． 【题文】8.若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A.a b +≥B.11a b +>2b a a b +≥ D.222a b ab +>【知识点】不等式.E6【答案解析】C 解析：解：根据不等式的性质可知当两项均为正值时有不等式a b +≥，所以满足条件的不等关系只有C 正确.【思路点拨】由重要的基本不等式可直接判定出结果.【题文】9.已知三个正数a,b,c 满足2,2b a c b a b c a <+≤<+≤，则ab 的取值X 围是 A.23.,32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【知识点】其他不等式的解法；简单线性规划．E1,E5 【答案解析】D 解析：解：三个正数a,b,c 满足2,2b a c b a b c a <+≤<+≤，2212,1,1b c b c b b c b a a a a a a a a ∴<+≤<+≤≤--<-即-不等式的两边同时相加得212b b b a a a <-<-1-2112b b a a b b a a ⎧<-⎪⎪∴⎨⎪-<-⎪⎩1-即22333322b b a b a a ⎧>⎪⎪∴<<⎨⎪<⎪⎩即2332a b ∴<<所以A 正确 【思路点拨】将不等式进行转化，利用不等式的性质建立关于ba 的不等式关系，即可得到结论【题文】10.函数()321122132f x ax ax ax a =+-++的图像经过四个象限，则实数a 的取值X 围是A.316a >-B.63516a -<<-C.65a >-D.63516a -≤≤-【知识点】导数与函数的单调性.B3,B11【答案解析】D 解析：解：∵f′（x ）=ax2+ax-2a=a （x-1）（x+2）．若a ＜0，则当x ＜-2或x ＞1时，f′（x ）＜0，当-2＜x ＜1时，f′（x ）＞0，从而有f （-2）＜0，且f （1）＞0，即：8243063115161032a a a a a -++<⎧⎪∴∴-<<-⎨++>⎪⎩若a ＞0，则当x ＜-2或x ＞1时，f′（x ）＞0，当-2＜x ＜1时，f′（x ）＜0，从而有f （-2）＞0，且f （1）＜0，无解，综合以上：63516a -<<-；故答案为B【思路点拨】根据导数与函数的单调性可知函数的变化情况. 二、填空题：本大题5小题，每小题5分，共25分. 【题文】11.在等比数列{}n a 中，已知4848,60S S ==，则12S =【知识点】等差数列的前n 项和的性质.D2【答案解析】63 解析：解：由等比数列的性质可知8412812812484363S S S S S S S S S S --=⇒-=∴=-【思路点拨】根据等比数列的前n 项和的性质.【题文】12.设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数5z x y =+的最大值为4，则m的值为【知识点】线性规划.E5【答案解析】3 解析：解：由题意可知目标函数在1y x y mx +==与的交点处取得最大值，因为交点为1,11m m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，代入目标函数可得3m =. 【思路点拨】根据题意可求出最大值点，再代入目标函数即可求出m 的值.【题文】13.已知命题:,21000,np n N ∃∈>则p ⌝为 【知识点】命题.A2【答案解析】,21000nn N ∀∈≤ 解析：解：根据命题与否命题的关系我们可知:,21000n p n N ⌝∀∈≤【思路点拨】根据命题的关系可直接写出否命题.【题文】14.已知a,b,c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，在ABC中，b =,且sin cos 0B B +=，则角A 的大小为 .【知识点】正弦定理；解三角形.C8【答案解析】6π解析：解：解：∵sinB+cosB=0，∴tanB=-1，∵B ∈（0，π），()()310,sin 0,4sin sin 26a b B B A A A A B ππππ∴∈∴==∴=∈∴=【思路点拨】根据三角形性质与正弦定理可求出角的大小.【题文】15．给出定义：若1122m x m -<≤+(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x m =，在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：①函数()y f x =的定义域为R ，值域10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦②函数()y f x =的图像关于直线()2kx k Z =∈对称③函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1④函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数.【知识点】函数的性质.B1,B3,B4【答案解析】3 解析：解：①中，令x=m+a ，11(,]22a ∈- ∴f （x ）=|x-{x}|=|a|∈10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以①正确；②中∵f （k-x ）=|（k-x ）-{k-x}|=|（-x ）-{-x}|=f （-x ）所以关于2kx =对称，故②正确；③中，∵f （x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f （x ） 所以周期为1，故③正确；④中，12x =-时，m=-1，1122f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭x 12=时，m=0，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以④错误． 故选C【思路点拨】根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域，然后根据解析式易用分析法求出函数的值域；根据f （k-x ）与f （-x ）的关系，可以判断函数y=f （x ）的图象是否关于直线对称；再判断f （x+1）=f （x ）是否成立，可以判断③的正误；而由①的结论，易判断函数y=f （x ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，但要说明④不成立，我们可以举出一个反例．三、解答题：本大题6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【题文】16.(本小题满分12分)已知集合{}{}2|22,|540A x a x a B x x x =-≤≤+=-+≥(1)当3a =时，求A B ⋂;(2)若0a >，且A B φ⋂=，某某数a 的取值X 围. 【知识点】集合与二次不等式.A1,E3 【答案解析】(1){}|114x 5A B x x ⋂=-≤≤≤≤或(2)01a << 解析：解：（1）当3a =时，{}{}{}15,141145A x B x x A B x x =-≤≤=≤≥∴⋂=-≤≤≤≤或或(2){}(){},|220,14A B A x a x a a B x x φ⋂==-≤≤+>=≤≥或21100124a a a a a ->⎧∴∴<>∴<<⎨+<⎩【思路点拨】根据条件直接解出不等式，再按集合的关系求出集合.【题文】17. (本小题满分12分)设向量()8cos 21,cos ,1,5m A A n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ (1)若//m n ，求cos A 的值；(2)若m n ⊥，求tan 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【知识点】向量的运算.F3【答案解析】(1)516-(2)tan 74A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭解析：解：(1)()288//cos 21cos ,2cos cos 55m n A A A A ∴-+=-⋅=即5cos 0cos 16A A ≠∴=-(2)2880,cos 21cos 02cos cos 055m n m n A A A A ⊥∴⋅=+-=∴-=即224cos 0,cos ,sin cos 1,sin 05A A A A A ≠∴=+=>331tan sin ,tan ,tan 75441tan A A A A A π+⎛⎫==+== ⎪-⎝⎭则【思路点拨】根据已知条件利用向量的运算公式进行运算.【题文】18. (本小题满分12分)已知圆内接四边形ABCD 的边1,3, 2.AB BC CD DA ==== (1)求角C 的大小和BD 的长；(2)求四边形ABCD 的面积及外接圆的半径. 【知识点】解三角形.C8【答案解析】(1)60,C BD =︒=(2)S =2sin 603BD R ==︒解析：解：(I)连结BD ，由题设及余弦定理得2222cos 1312cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅=-①2222cosA54cosBD AB DA AB DA C=+-⋅=+②由①②得1 cos2C=故60,C BD=︒=(2)四边形ABCD的面积11sin sin22S AB DA A BC CD C=⋅+⋅=，四边形ABCD的外接圆半径2sin60BDR==︒【思路点拨】利用余弦定理求出边长及角，分割法出求面积，再利用正弦定理求出半径. 【题文】19.(本小题满分12分)某公司是专做产品A的国内外销售企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图①中的拆线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系，图②中的抛物线表示是国内市场的日销售量与上市时间的关系：图③中折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）(1)分别写出国外市场的日销售量()f t，国内市场的日销售量()g t与第一批产品A上市时间t的关系式：(2)第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过6300万元？【知识点】函数的应用，导数.B10,B11【答案解析】(1)()()22,03036,0406240,304020t tf tg t t t tt t≤≤⎧==-+≤≤⎨-+<≤⎩(2) 第24，25，26，27，28，29天解析：解(I)()()22,03036,0406240,304020t tf tg t t t tt t≤≤⎧==-+≤≤⎨-+<≤⎩(2)每件产品A的销售利润()h t与上市时间t的关系为()3,02060,2040t th tt≤≤⎧=⎨<≤⎩设这家公司的日销售利润为()F t，则()()()()2223362,0202036062,20302036066240,304020t t t t tF t f t g t h t t t t tt t t t⎧⎛⎫-++≤≤⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=+=-++<≤⎡⎤⎨ ⎪⎣⎦⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+-+<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩222338,020203608,203020360240,304020t t t t t t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩当020t ≤≤时，()22727484802020F t t t t t ⎛⎫'=-+=-≥ ⎪⎝⎭，故()F t 在[]0,20上单调递增，此时()F t 的最大值是()2060006300F =<当2030t <≤时，令23608630020t t ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭解得70303t <<，当3040t <≤时，()223360240603024063002020F t t ⎛⎫⎛⎫=-+<-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答：第一批产品A 上市后，在第24，25，26，27，28，29天，这家公司的日销售利润超过6300万元.【思路点拨】根据题意列出函数关系式，再利用导数求出值的大小.【题文】20.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==，（1）求数列{}n a 的通项公式；(2)设31323log log log n nb a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【知识点】数列的通项公式；裂项求和法.D1.D4【答案解析】(1)13n n a =(2)21nn -+解析：解：(1)设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得22349a a=，所以219q =，由条件可知各项均为正数，故13q =，由1211112312313a a a a q a +=+=∴=得，故数列{}a n 的通项公式为13nn a =(2)()()313231log log +log 122n n n n b a a a n +=++=-++=-故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭则12111111112122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+【思路点拨】根据数列的性质求出数列的通项，再根据通项的特点求出数列的和. 【题文】21.已知函数()1x f x e ax =--(e 为自然对数的底数).(1)求函数()f x 的单调区间：(2)当0a >时，若()0f x ≥对任意的x R ∈恒成立，某某数a 的值:(3)求证：()()()22222232323ln 1ln 1ln 12313131n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯⎢⎥⎢⎥++++++<⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦【知识点】导数；函数的单调性.B3,B11. 【答案解析】略 解析：解：(1)()()()00,x f x e a a x f x ''=-∴≤>时,f 在R 上高、单调递增.()()()0,ln 0,a x a f x f x '>∈-∞<时，时，单调递减.()()()ln ,0,x a f x f x '∈+∞>时，单调递增.(2)由(1)，()()()min 0ln ,ln 0,a alna 10a f x f a f a >=∴≥--≥时，即记()()()()g a alna 101ln 1ln a a g a a a '=-->=-+=-()g a '∴在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，()()10g a g ∴≤=，故()0g a ∴=得1a =（3）证明：()()()()2212332323111,,22313131333131nn n n nn n nn n n -⨯⨯⨯==≥<=-------时时，()212331122223131knn k k n =⨯≥<+-<--∑时，【思路点拨】根据函数的导数判定单调性，再利用导数与函数值求出参数的值，最后证明不等式.word。

湖南省长沙一中2015届高三月考试卷（一） 数学（理）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、若集合M ={}1,2，N ={}1,2,3，P ={},,x x ab a M b N =∈∈，则集合P 的元素个数为（ ）C A 、3 B 、4 C 、5 D 、62、在南京青运会体操跳马比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次。

设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员没有站稳”可表示为（ ）DA 、p q ∨ Ｂ、()p q ∨⌝ C 、()()p q ⌝∧⌝ D 、()()p q ⌝∨⌝3、如右图所示方格纸中有定点O 、P 、Q 、E 、F 、G 、H ，则OP OQ + 等于（ ）DA 、OGB 、OHC 、EOD 、FO【解析】如图，以O 为坐标原点建立直角坐标系，则OP OQ +()()()2,24,12,3=--+-=-=FO 。

4、复数()()32m i i +-+（m R ∈，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（ ）B A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限5、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入某个正整数n 后， 输出的()31,72S ∈，则n 的值为（ ）BA 、5B 、6C 、7D 、8 6、若()112xf x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，0x 是()0f x =的一个实根，()10,x x ∈-∞， ()20,0x x ∈，则（ ）AA 、()10f x >，()20f x <B 、()10f x >，()20f x >C 、()10f x <，()20f x >D 、()10f x <，()20f x <7、若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位得到()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）CA 、8πB ．4π C 、38π D 、34π8、设,x y R ∈，p ：x y >，q ：()sin 0x y x y -+->，则p 是q 的（ ）CA 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【解析】构造函数()sin f x x x =+，则()1cos 0f x x =+≥＇恒成立，于是()f x 在R 上单调递增； 而()00f =，所以()00f x x >⇔>。

长郡中学2015届高三月考试卷(一)数 学(理科)【试卷综析】试卷注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.【题文】1.如果复数212bii -+(其中i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b =( )B. 23C. 23-D. 2【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．L4【答案解析】C 解析：由222(4)125bi b b i i ---+=+,依题有2240b b ---=,即23b =-.选C.【思路点拨】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi （a ，b ∈R ）的形式，利用实部和虚部互为相反数，求出b ． 【题文】2.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体m 被抽到的概率为( )A. 1100B. 120 C. 199 D. 150【知识点】简单随机抽样．I1【答案解析】B 解析：由抽样的公平性可知,每个个体入样的概率均为5110020P ==.选B.【思路点拨】依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为5，可以看成是抽5次，从而可求得概率．【题文】3.设偶函数满足()24(0)xf x x =-≥,则{|()0}x f x >=( ) A. {|24}x x x <->或 B. {|04}x x x <>或 C. {|22}x x x <->或 D. {|06}x x x <>或【知识点】函数的奇偶性.B4【答案解析】C 解析：当0x ≥时,由()240xf x =->,得2x >,由图象对称性可知选C.【思路点拨】由函数的奇偶性解不等式可得结果.【题文】4.若21()nx x -展开式中的所有二项式系数之和为512,则该开式中常数项为( )A. 84-B. 84C. 36-D. 36【知识点】二项式定理系数的性质.J3【答案解析】B 解析：由二项式系数之和为2512n=,即9n =,又18319(1),r r r r T C x -+=- 令1830r -=,则6r =故常数项为784T =.选B.【思路点拨】结合二项式定理，通过令x=-1，即可求出展开式的所有二项式系数的和，然后求出n 的值，利用二项式的通项，求出常数项即可．【题文】5.设条件:|2|3p x -<,条件:0q x a <<,其中a 为正常数.若p 是q 的必要不充分条件,则a 的取值X 围是( )A. (0,5]B. (0,5)C.[5,+∞)D. (5,+∞)【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案解析】A 解析：由条件p 对应的集合为(1,5)A =-,条件q 对应(0,)(0)B a a =>.且依题意A B=≠=⊃,可知5a ≤,又0a >,故05a <≤.选A.【题文】6.按照如图所示的程序运行,已知输入的x 的值为21log 3+,则输出y 的值为( )A. 112B. 38C. 712D. 1124【知识点】程序框图．L1【答案解析】A 解析：由于输入的初始值为21log 34+<,故221log 312log 3x =++=+,即2log 3211111()()224312y =⨯=⨯=.故选A.【思路点拨】本题考查了选择结构的程序框图，根据框图流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．【题文】7.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的体积为( )正视图1 12222 侧视图A.B.D.【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】B 解析：由该几何体的三视图可以借用长方体将其还原为直观图如右所示,(由简到繁)，由俯视图→侧视图→正视图→直观图,其为四棱锥P ABCD-,所以13P ABCD ABCDV S-=矩,选B.【思路点拨】几何体是四棱锥，结合其直观图，利用四棱锥的一个侧面与底面垂直，作四棱锥的高线，求出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算．【题文】8.设2(),0,()1,0x a xf xx a xx-≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩,若(0)f是()f x的最小值,则a的取值X围为( ) A. [-1,2] B. [-1,0] C. [1,2] D. [0,2]【知识点】分段函数的应用．B10【答案解析】D 解析：当0a<时,显然(0)f不是()f x的最小值,当0a≥时,可知0x≤时, 2()(0)f x f a≥=,而当0x>时,1()2f x x a ax=++≥+,依题意22a a+≥,得12a-≤≤,所以02a≤≤即求. 选D.【思路点拨】分别由f（0）=a，1()2f x x a ax=++≥+，22a a+≥综合得出a的取值X围．【题文】9.已知锐角A是ABC∆的一个内角,,,a b c是三角形中各角的对应边,若221sin cos2A A-=,则下列各式正确的是( )A. 2b c a+= B. 2b c a+< C. 2b c a+≤D. 2b c a+≥【知识点】正弦定理.C8【答案解析】C 解析：由221sin cos2A A-=得,1cos22A=-,又A为锐角,故02Aπ<<, 于是223Aπ=,即3Aπ=.于是由余弦定理有2222()3a b c bc b c bc=+-=+-,即22223()()()44b c a b c b c +≥+-+=,解得2a b c ≥+,选C. 【思路点拨】事实上在ABC ∆中,如果三边,,a b c 成等差或等比数列,即22b a c b ac =+=或,那么我们都可以结合重要不等式知识得到60B ≤.本题考查的是其逆向问题. 【题文】10.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点, 角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示 为=【知识点】函数的图像与性质.B10【答案解析】C 解析：由OP HM PM OM ⋅=⋅,于是HM PM OM =⋅,由三角函数线有,1|sin ||cos ||sin 2|2HM x x x =⋅=,于是1()|sin 2|2f x x =的最大值为1,22T π=,故选C. 【思路点拨】先由三角函数线得1()|sin 2|2f x x =，再求最大值.二、填空题:本大题共5小题,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.【题文】11.已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+=,则极点到直线的距离为 .【知识点】简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段．N3H2【答案解析】 解析：由sin()4πρθ+=化为直角坐标方程为1x y +=,于是极点 (0,0)O 到该直线的距离为d ==,故答案为2 【思路点拨】先将原极坐标方程sin()4πρθ+=中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．【题文】12.设,,x y z 均为正数,满足230x y z -+=,则2y xz 的最小值是 .APM H Ox【知识点】基本不等式．E6【答案解析】3 解析：∵230x y z -+=，∴32x zy ＝，∴2229666344y x z xz xz xzxzxzxz ＝，当且仅当x=3z 时取“=”．故答案为3．【思路点拨】由x-2y+3z=0可推出32x zy ＝，代入2y xz 中，消去y ，再利用均值不等式求解即可．【题文】13.数列{}n a 的前n 项和为n S ,若*111,3,n n a a S n N +==∈,则2014a = .【知识点】数列递推式.D1【答案解析】201234⨯ 解析：由*111,3,n n a a S n N +==∈……①,可推出,21133,3,2n n a a a S n -===≥……②①-②式得,14,2n n a a n +=≥,于是224n n a a -=⨯,2n ≥,故2012201434a =⨯.【思路点拨】借助于*111,3,n n a a S n N +==∈，可得14,2n n a a n +=≥，进而得到结果.【题文】14.若,x y 满足约束条件10,22,2x y y x y +-≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩,且z kx y =+取得最小值的点有无数个,则k = .【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】1k =或 2-解析：先作出可行域如右图: 又目标函数:()l y k x z =-+,依题意0k -≠,所以①当0k ->,即0k <时,依题意有目标直线//l BC 时,当其运动 至与BC 重合时,最优解有无数个,符合题意,即2k -=,即2k =-; ②同理当0k -<,即0k >时,必有//l AB ,即1k -=-,即1k =, 综上①②可知,1k =或 2-为所求.【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使z=kx+y 取最小值的最优解有无穷多个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a 的值．【题文】15.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为,过椭圆上一点M 作直线MA MB 、分别交椭圆于A B 、两点,且斜率为12k k 、,若点A B 、值为 .【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．H5 H8【答案解析】1213k k ⋅=-解析：由222619b e a =-=,得2213b a =,如右图所示 取BM 中点D ,连结OD ,则由几何意义知,2213OD BMb k k a ⋅=-=-,又//OD AM ,故1OD k k =,即1213k k ⋅=-【思路点拨】本题有一般性结论,即过椭圆2222:1()x y a b a b Γ+=≠的中心的任一条直线l 交椭圆Γ于A B 、两点,P 是椭圆Γ上异于A B 、的任意一点,且当PA PB k k 、都存在时,则有22PA PB b k k a ⋅=-.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)2014年巴西世界杯的志愿者中有这样一组志愿者:有几个人只通晓英语,还有几个人只通晓俄语,剩下的人只通晓法语,已知从中任抽一人恰是通晓英语的概率为12,恰是通晓俄语的人的概率为310,且通晓法语的人数不超过3人.(Ⅰ)求这组志愿者的人数;(Ⅱ)现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1人,若甲通晓俄语,乙通晓法语,求甲和乙不全被选中的概率;(Ⅲ)现从这组志愿者中抽取3人,求3人所会的语种数X 的分布列. 【知识点】概率的应用．K6【答案解析】(Ⅰ)10 (Ⅱ)56 (Ⅲ)见解析解析：(Ⅰ)设通晓英语、俄语、法语人分别有,,x y z 人,且*,,,3x y z N z ∈≤;则依题意有1,23,10x x y z y x y z ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪++⎩,即,733,x y z y x z =+⎧⎨=+⎩…………………………………………2分消去x 得,*32zy N =∈,当且仅当2z =时,3y =符合正整数条件,所以5x =,也即这组志愿者有10人;………………………………………………………3分 (Ⅱ)记事件A 为“甲、乙不全被选中”,则A 的对立事件A 表示“甲、乙全被选中”,于是1155()1()15326P A P A ⨯⨯=-=-=⨯⨯;…………………………………………………7分(Ⅲ)随机变量X 的可能取值为1,2,3,且由古典概型知33212121535537283310101179(1),(2)120120C C C C C C C C P X P X C C +++======11153231030(3)120C C C P X C ===.………………………………………………………………11分: . ……………………………………………………………12分【思路点拨】（I ）设通晓英语的，通晓俄语的，通晓法语的人数，根据通晓英语的人的概率为12，是通晓俄语的人数的概率为310，列出关于所设的人数的表示式，解出结果．（II ）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件有C51C31C21种结果，甲通晓俄语，乙通晓法语，则甲和乙不全被选中的对立事件是全被选中，先做出两个人全被选中的概率，用对立事件的概率公式得到甲和乙不全被选中的概率．（III ）随机变量X 的可能取值为1，2，3，求出相应的概率，进而可求3人所会的语种数X 的分布列．【题文】17.(本小题满分12分)如图,点A 是单位圆与x 轴的正半轴的交点,点1(2B -. (Ⅰ)若AOB α∠=,求sin2α;(Ⅱ)设点P 为单位圆上的动点,点Q 满足,OQ OA OP =+2(),62AOP ππθθ∠=≤≤()f OB OQ θ=⋅,求()f θ的取值X 围.【知识点】三角函数中的恒等变换应用；任意角的三角函数的定义．C1 C7【答案解析】(Ⅰ)32 (Ⅱ)1[0,]2解析：(Ⅰ)由三角函数定义可知1sin 2y x r r αα====-,所以1sin 22sin cos 2()2ααα==-=,即求…………………………………5分(Ⅱ)由三角函数定义知(cos2,sin 2)P θθ,所以(1cos 2,sin 2),OQ OA OP θθ=+=+所以11()(1cos2)2sin(2)262f OB OQ πθθθθ=⋅=-++=--, 又因62ππθ≤≤,故52666πππθ≤-≤,即1sin(2)126πθ≤-≤,于是10()2f θ≤≤,所以()f θ的取值X 围是1[0,]2.……………………………………12分【思路点拨】(Ⅰ) 直接结合三角函数的定义求解sinα，cosα的值，然后，根据二倍角公式进行求值；(Ⅱ) 首先求解f （θ），然后根据62，确定f （θ）的取值X 围．【题文】18.(本小题满分12分)直三棱柱111ABC A B C -中,5,4,3,AB AC BC ===14AA =,点D 在AB 上.(Ⅰ)若D 是AB 中点,求证:1//AC 平面1B CD ;(Ⅱ)当13BD AB =时,求二面角1B CD B --的余弦值. 【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．G4G11【答案解析】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)解析：(Ⅰ)连接1BC 交1B C 于点E ,连接DE ,ACDBC 1 A 1B 1ACC 1A 1B 1 E因为直三棱柱中侧面11BCC B 为矩形,所以E 为1BC 的中点,又D 是AB 中点,于是1//DE AC ,且DE ⊂面1B CD ,AC1⊄平面B1CD 所以1//AC 平面1B CD ;…………………………6分 (Ⅱ)由5,4,3,AB AC BC ===知90ACB ∠=,即AC CB ⊥, 又直三棱柱中1AA ⊥面ABC ,于是以C 为原点建立空间 直角坐标系C xyz -如右图所示,于是1(3,0,0),(3,0,4)B B又13BD AB =,由平面几何易知4(2,,0)3D ,显然平面BCD 的一个法向量为1(0,0,1)=n , 又设平面1B CD 的一个法向量为2(,,)x y z =n ,则由212(3,0,4),4(2,,0),3CB CD ⎧⊥=⎪⎨⊥=⎪⎩n n ,得340,4203x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得4,23x y =-=,取1z =,则24(,2,1)3=-n ,设二面角1B CD B --的平面角为θ, 则1212|||cos |||||θ⋅===⨯n n n n ,又由图知 为锐角,所以其余弦值为.…………………………………………………………………12分【思路点拨】(Ⅰ) 通过作平行线，由线线平行证明线面平行；(Ⅱ) 建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值． 【题文】19.(本小题满分13分)在数列{}n a 中,已知*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈. (Ⅰ)求证:{}n a n -是等比数列;(Ⅱ)令,2nn n n a b S =为数列{}n b 的前n 项和,求n S 的表达式.【知识点】数列的求和；等比关系的确定．D3 D4【答案解析(Ⅰ) 见解析(Ⅱ) 222n n n S n +=--解析：(Ⅰ)证明:由*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈可得11(1)2(),120n n a n a n a +-+=--=-≠所以数列{}n a n -以是-2为首项,以2为公比的等比数列………………………………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)得:1222n n n a n --=-⨯=-,所以2nn a n =-,12n n nb =-所以12221212(1)(1)(1)()222222n n n n n nS b b b n =+++=-+-++-=+++-令212222n n n T =+++,则2311122222nn n T +=+++,两式相减得2311111111122222222n n n n n n nT ++=+++-=--,所以222n n n T +=-,即222nn n S n +=--…………………………………………………13分【思路点拨】(Ⅰ)此证明题应从结论中找方法，要证明数列{an-n}是等比数列，将题设中的条件an+1=2an-n+1变形为an+1-（n+1）=2（an-n ）即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)结论可求出bn ，由通项公式的形式可以看出，本题宜先用分组求和的技巧，然后对其一部分用错位减法求和．最后将结果综合起来．【题文】20.(本小题满分13分)已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -,焦点在x 轴上.若右焦点到直线0x y -+=的距离为3.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设椭圆与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同的两点M N 、.当||||AM AN =时,求m 的取值X 围.【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．H5 H8【答案解析】(Ⅰ) 2213x y += (Ⅱ) 122m <<解析：(Ⅰ)依题意可设椭圆方程为2221x y a +=,右焦点22(,0),1F c c a =-,3=,得c =故2213a c =+=;故椭圆的方程为2213x y +=………5分(Ⅱ)如右图所示,设1122(,),(,)M x y N x y ,MN 的中点为00(,)P x y , 可化为212(1)()2(1)0k x x k m ++++=,且120x x +≠……①…………………………8分 且122031x x k +=-≠+,得0m ≠③式代入①式得,226(1)2(1)031kmk k m k -+++=+, 化简得2231m k =+1>,得12m >,又代入②式得,22m m <,解得02m <<,综上可得122m <<,即为所求...…………………………………………………………13分 【思路点拨】(Ⅰ)依题意可设椭圆方程为2221x y a +=3=解得a2=3，故所求椭圆的方程为2213x y +=．(Ⅱ)设P 为弦MN 的中点，由(0)y kx m k =+≠,2213x y +=,得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推导出m 的取值X 围． 【题文】21.(本小题满分13分) 已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45,对于任意的[1,2]t ∈,函数32()[()]2m g x x x f x '=++在区间(,3)t 上总不是单调函数,求m 的取值X 围;(Ⅲ)求证:*ln 2ln3ln 4ln 1(2,)234n n N n n ⨯⨯⨯⨯<≥∈.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．B12【答案解析】(Ⅰ) 见解析(Ⅱ) 3793m -<<- (Ⅲ)见解析解析：(Ⅰ)由(1)()(0)a x f x x x -'=>,.………………………………………………………1分①当0a >时,显然01x <<时,()0f x '>,当1x >时,()0f x '<,所以此时()f x 的单调递增区间为(0,1),递减区间为(1,)+∞, ②同理当0a <时,()f x 的单调递增区间为(1,)+∞,递减区间为(0,1),③当0a =时,()3f x =-不是单调函数;.……………………………………………………4分(Ⅱ)由题知,(2)12a f '=-=,得2a =-,所以()2ln 23f x x x =-+-.所以32()(2)2,02mg x x x x x =++->,且2()3(4)2,0g x x m x x '=++->,……………6分令()0g x '=时,可知2(4)240m ∆=++>恒成立,即()0g x '=一定有两个不等实根12,x x , 且注意到1223x x =-<,所以不妨设120x x <<,又0x >,于是可知 20x x <<时,()0g x '<,又2x x >时,()0g x '>即()g x 在2(0,)x 上递减,在2(,)x +∞上递增,依题意可知2(,3)x t ∈,于是只须2()03(4)20(3)03370g t t m t g m '<++-<⎧⎧⇔⎨⎨'>+>⎩⎩,…………………………………………7分又以上事实对[1,2]t ∈恒成立.故(1)50(2)21803370g m g m m '=+<⎧⎪'=+<⎨⎪+>⎩,得3793m -<<-;……………9分(Ⅲ)分析:要证*ln 2ln3ln 4ln 1(2,)234n n N n n ⨯⨯⨯⨯<≥∈成立,即证ln 2ln3ln 4ln 123(1),2n n n ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯-≥,也即证,ln 1,n n n <-≥2成立,而这是我们众所周知的超越不等式,下面用综合法证明. 证明过程:由(Ⅰ)知当1a =-时,()ln 3f x x x =-+-在(1,)+∞上递增,所以()ln 3(1)2ln 1,1f x x x f x x x =-+->=-⇔<->………………………………11分 也所以在上式中分别令2,3,4,,x n =得,ln21,ln32,ln43,,ln 1,2n n n <<<<-≥,以上同向正数不等式相乘得ln 2ln3ln 4ln 123(1),2n n n ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯-≥两边同除以!n 得,*ln 2ln3ln 4ln 1(2,)234n n N n n ⋅⋅⨯⨯<≥∈,即证.…………………13分【思路点拨】利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x ）；②解f′（x ）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的(Ⅰ)在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a 的讨论情况；(Ⅱ)点（2，f （2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a 值，代入得g （x ）的解析式，由t ∈[1，2]，且g （x ）在区间（t ，3）上总不是单调函数可知：(1)50(2)21803370g m g m m '=+<⎧⎪'=+<⎨⎪+>⎩，于是可求m 的X 围．(Ⅲ)是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n 有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．。