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理论力学第3章 力系的平衡条件与平衡方程

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清华大学 李俊峰教授 理论力学 第三章平面力系_

清华大学 李俊峰教授 理论力学 第三章平面力系_
第三章 平面力系 知识点 力的平移定理 作用在刚体上某点 A 的力 F 可平行移动到任意点 B,平移时需附加一个力偶， 该力偶的力偶矩等于力 F 对平移点 B 的力矩。 平面力系的简化 根据力的平移定理，将平面力系向平面内任一点简化，得到一个力和一个 力偶。力的大小、方向等于力系的主矢，力偶的矩等于力系对简化中心的主矩。主矢与简化 中心位置无关，主矩与简化中心位置有关。 3.力系的简化结果归结为计算两个基本物理量--主矢和主矩。它们的解析表达式分别为
。由平衡方程
解得 kN
解得 kN
再取梁 ，受力如图(c)。由平衡方程
解得 由
解得
kN
此题也可在求得 和 后，再取整体为研究对象，求 和 。 例 3-7 图 3-18(a)所示的三铰拱桥由两部分组成，彼此用铰链 联结，再用铰链 和
固结在两岸桥墩上。每一部分的重量
，其重心分别在点 和 E 点。桥上载荷
。求 、 、 三处的约束力。 解：取整体为研究对象，受力如图(b)。由平衡方程
解得
kN，
kN
再取右半桥为研究对象，受力如图(c)所示。由平衡方程
解得 再由整体平衡，有
kN，
kN，
kN（↓）
解得 kN
例 3-8 曲柄冲压机由冲头、连杆、曲柄和飞轮所组成(图 3-19(a))。设曲柄
在水平位置
时系统平衡，冲头 所受的工件阻力为 。求作用于曲柄上的力偶的矩 和轴承的约束力。
的力偶，如图(c)所示。
2. 力系的主矢和主矩 （1）主矢 力系中各力的矢量和称为力系的主矢量，简称主矢，即
它与简化中心位置无关。
（3-1）
（2）主矩 力系中各力对简化中心 之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩，
即

理论力学教程课件-力系的平衡

理论力学教程课件-力系的平衡


FBA

F 2 sin

（2）取挡板C为研究对象
Y 0, FM FCB cos 0
解得
FM

FCB
cos

F 2
cot
B FBA
F B
FBC FBC
FCB
C
FNC FM
A

F

C M
FCB
§3.2 平面力偶系的平衡
若物体在平面力偶系作用下处于平衡， 则合力偶矩等于零
Mi 0
由合力之矩定理：
Ph


dP

x

l
0
q(
x)
x
dx
合力作用线位置：
l
q(x)xdx
h
0 l
0 q(x)dx
☆ 两个特例
(a) 均布荷载 P
q
h
x
l
l
P 0 q(x)dx ql
l
h
q( x) x dx
0 l
q( x)dx

l 2
0
(b) 三角形分布荷载 P q0
h
x
l
Y 0,
FAy FB 0 FAy P
PC
2a M D
解法2
a
FAy
FB
A
B
FAx
解法3
M A( F ) 0, M B( F ) 0, MC( F ) 0,
解上述方程，得
FB 2a M Pa 0 FAy 2a Pa M 0 FAxa FB 2a M 0
Mo=0
X 0
Y 0

理论力学第3章 力系的平衡条件与平衡方程

理论力学第3章 力系的平衡条件与平衡方程

10
例题二的解答
解：选取研究对象：杆CE（带有销 钉D）以及滑轮、绳索、重物组成 的系统（小系统）受力分析如图， 列平衡方程:
M D (F ) 0 M C (F ) 0 M B (F ) 0
( F C cos ) CD F ( DE R ) PR 0 F Dx DC F ( CE R ) PR 0 F BD F ( DE R ) P ( DB R ) 0 Dy
2012年11月3日星期六
北京邮电大学自动化学院
29
滚动摩擦力偶的性质
滚动摩擦力偶Ｍ 具有如下性质（与滑动摩擦力性质类似）： ◆ 其大小由平衡条件确定； ◆ 转向与滚动趋势相反； ◆ 当滚子处于将滚未滚的平衡临界状态时， Ｍ = Ｍ max =δFN
式中：δ —滚动摩擦系数，它的量纲为长度； FN —法向反力（一般由平衡条件确定）。
q (2a b) 2a
2
YA q (2a b)
16
2012年11月3日星期六
北京邮电大学自动化学院
课堂练习3
多跨静定梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成，支撑和荷 载情况如图所示，已知P = 20kN，q=5kN⋅m，α = 45°。求 支座A、C的反力和中间铰B处的反力。
2012年11月3日星期六
x
xC
x
2012年11月3日星期六
北京邮电大学自动化学院
5
平行分布线载荷的简化
Q
q
1、均布荷载 Q=ql
l 2
l 2
Q
q
2、三角形荷载 Q=ql /2
2l 3
l 3
Q
3、梯形荷载 Q=(q1+q2)l /2 (自己求合力的位置)

理论力学-3-力系的平衡

理论力学-3-力系的平衡

z
F2
O
F1
F
z
0
M F 0 M F 0
x y
自然满足，且
M F 0
z
M F 0
O
平面力系平衡方程的一般形式
于是，平面力系平衡 方程的一般形式为： z O y
Fx 0 Fy 0 M F 0 o
其中矩心 O 为力系作用面 内的任意点。
静不定次数：静不定问题中，未知量的个数与独立的平 衡方程数目之差。
多余约束：与静不定次数对应的约束，对于结构保持静 定是多余的，因而称为多余约束。 关于静不定问题的基本解法将在材料力学中介绍。
P A m a B q
解：对象：梁 受力：如图 方程：
C
b
F F
0, FAx P cosq 0, FAx P cosq # FAy FB P sin q 0 1 y 0, M A F 0, m FBa Pa bsinq 0 2
B A
FR FR
x
A
B
FR
A、B 连线不垂直于x 轴
B A
FR
x
3.3 平面力系的平衡方程 “三矩式” M A = 0， MB = 0 , MC = 0。
C B A C B A
FR FR
满足第一式？ 满足第二式？ 满足第三式？
B A
FR
FR
A、B、C 三点不 在同一条直线上
C A
B
M (F ) 0 Fy 0
A
FQ (6 2) FP 2 FB 4 W (12 2) 0
FQ FA FP FB W 0

理论力学：第3 章 力系的平衡

理论力学：第3 章 力系的平衡
第 3 章 力系的平衡
力系平衡是静力学研究的主要内容之一，也是静力学最重要的内容。其中平面力系的平衡又
是重要之重要内容，平面物系的平衡又是重要之重要内容。
事实上我们已经得到力系的平衡条件(充要)：
R

0，M O

0 。下面将其写成代数方程即
平衡方程，用其解决具体问题。
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
受力图如图(c)，列解方程：
Y 0, P cos G sin 0
P
使 P 最小，则

G sin cos

G sin cos( )
cos( ) 1,

arctan 3
3652'
Pmin

G sin

20

3 5

12kN
4
另解：（几何法） 画自行封闭的力三角形，如图(d)，则
Q

G(b
e) 50b a

Hale Waihona Puke 350.0kN∴ 使起重机正常工作的平衡重为：333.3kN≤Q≤350.0kN 注：也可按临界平衡状态考虑，求 Pmin 和 Pmax。 静力学的应用：
学习静力学有何用处？——上面几个例题有所反映。
例 1：碾子问题——满足工作条件的载荷设计。
例 2：梁平衡问题——结构静态设计（一类重要工程问题）。
分由由由图图图析(((：acb)))汽：：：车受平面平行力mmm系EBB(((，FFF))易) 列解000,,,方程。下shl面只给出方程：
例 4 平行力系典型题目，稳定性问题且求范围。 行动式起重机的稳定性极其重要，要求具有很好的稳定裕度，满载时不向右翻倒，空载时不 向左翻倒。已知自重 G = 500kN，最大载荷 Pmax = 210kN，各种尺寸为：轨距 b = 3m，e = 1.5m， l = 10m，a = 6m，试设计平衡重 Q，使起重机能正常工作，且轨道反力不小于 50kN。

C·A上传 【理论力学】第三章 力系的平衡

C·A上传 【理论力学】第三章 力系的平衡
BE CE FDC =0 0; ∑ Fix =FDB DB DC
FDC FDB
P
BE = CE DB = DC 则:FDB = FDC
DO DO DO ∑ Fiy FDB = 0; FDC FDA =0 DB DC DA
cm DB = 20 3, , DA = 20 5;cm
FDA
EO AO 0; ∑ Fiz = FDB 2 FDA P=0 DB DA
汇交力系
√2 FA = FC = — F = FB 力多边形自行封闭
2
r F r F
C
B
r FB
例3-2:已知物体的重量为 .求:(a)平衡时铅垂力 , - :已知物体的重量为P )平衡时铅垂力F, (b)维持平衡时 的最小值及其相应方向.不计构件自重. )维持平衡时F 的最小值及其相应方向.不计构件自重. 讨论题
3 联立求解 FDA = P = 745N , 3 FDB = FDC = 289N
避免解联立方程 改变坐标方向
立柱AB与绳 与绳BC 例3-8:起重机起吊重量 =1kN.求:立柱 与绳 ,BD,BE - :起重机起吊重量P . x' 的受力. 的受力.
解: B点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交
§3-1 汇交力系的平衡 -
汇交力系简化的结果
汇交力系平衡的充要条件: 汇交力系平衡的充要条件: 充要条件 力系的合力等于零
r FR = 0
各力全部 汇交力系平衡的几何条件 力多边形自行封闭 首尾相连 几何条件: 汇交力系平衡的几何条件: 仅适用于平 力多边形法则 解析条件: 汇交力系平衡的解析条件 平衡方程 汇交力系平衡的解析条件: 面汇交力系 几何法 空间汇交力系: 合力投影定理

理论力学第3章

理论力学第3章
Pz Psin45 Pxy Pcos45 Px Pcos45sin60 Py Pcos45cos60
理论力学
中南大学土木建筑学院
7
mz (P )mz (P x )mz (P y )mz (P z )6Px (5Py )0 6Pcos45sin605Pcos45cos6038.2(Nm)
mx (P )mx (P x )mx (P y )mx (P z )006Pz 6Psin4584.8(Nm)
由 mA (Fi ) 0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0
XA 0
Y 0
YB NB P0,
YA
P 3
理论力学
中南大学土木建筑学院
22
二、平面平行力系平衡方程 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影恒 等于零，即 X 0 恒成立， 所以只有两个独立方程，只能 求解两个独立的未知数。
一、空间任意力系的平衡充要条件是：
R '0F 0 M O mO (Fi )0
又 R' (X )2 (Y )2 (Z )2
MO (mx (F ))2 (my (F ))2 (mz (F ))2
所以空间任意力系的平衡方程为：
X 0,mx (F )0 Y 0,my (F )0 Z 0,mz (F )0
再研究轮
mO (F )0
SAcosRM 0 X 0
X O SAsin 0
Y 0
S Acos YO 0
M PR XO P tg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
理论力学
中南大学土木建筑学院

大学理论力学__空间力系的平衡方程

大学理论力学__空间力系的平衡方程

二力矩式
X 0
M A 0
MB 0
条件是：AB两点的连线不能与 x 轴或 y 轴垂直
三力矩式
M A 0
MB 0
条件是：ABC三点不能共线
M C 0
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
平面平行力系的平衡条件和平衡方程
如图：物体受平面平行力系F1 ，
y
F2 ， …， Fn的作用。
如取 x 轴与各力垂直，不论力系是否
3.1.1平衡条件
从空间力系的简化结果可得到空间力系平衡 的必要和充分条件是力系的主矢和对任一点的主 矩为零，即：
'
FR 0
M0 0
3.1.2空间任意力系的平衡方程
Xi 0 ,Yi 0 , Zi 0
M x( Fi ) 0, M y( Fi ) 0, M z( Fi ) 0
空间力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系 中各力在直角坐标系每一坐标轴上投影的代数和为零， 对每一坐标轴之矩的代数和为零。
解得：F 15.01kN Ax
FAy 5. 3 kN
F 17.33 kN
BC
A
D
B
E
3m
1m
2m
C
X 0，
FAx FBC cos30 0
FAy
M A(F ) 0，FBC AB sin30 P AD Q AE 0
A
M B (F ) 0，P DB Q EB FAy AB 0
距为4m。平衡荷重P3，到机中心
距离为6m。求：
P3
（1）保证起重机在满载
6m
和空载时都不致翻倒，平
衡荷重P3 为多少？
P1
P2
12m
（2）当平衡荷重P3 =180KN时，求满载时轨道A 、

cly理论力学-第三章

cly理论力学-第三章
M w 1bh. . b 2
理论力学
1 1 M q .gh.1h. h 2 3
（1） 侧墙不绕A点倾倒时Mw kq MqMA0
b 1 1 M w kq M q 1bh. . 1.4 . gh.1h. h 0 2 2 3
解得：b=0.9，根据条件知 b 0.9
力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴之矩。
Mz(F)= MO(Fxy)=±Fxyd=2S△OA′ B′
是代数量，正负规定 单位为 N· m + –
z
性质：
(1) 当力的作用线与轴平行或相交 时，力对于该轴之矩为零。 (2) 当力沿其作用线平移时， 它对于轴之矩不变。
F A O
d
B
B′
xy
A′ Fxy
1、直接投影法(一次投影法)
x
方向余弦
Fx=Fcosα, Fy=Fcosβ, Fz=Fcosγ
2、 二次投影法(间接投影法)
Fx=Fcosθcos , Fy=Fcosθsin , Fz=Fsinθ
C LY
系 列 一
理论力学 说明: (1) 力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及 力在坐标平面上的投影是矢量。 (2) 已知力在坐标轴上的投影，则大小及方向余弦为：
(3) 合力对于任一轴之矩等于各分力对于同一轴之矩的代 数和，此即力对轴之矩的合力矩定理。
C LY
系 列 一
理论力学 三、力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系 1、力矩关系定理
力F对O点的矩矢大小为：
z MO(F)
γ
|MO(F)|=2S△OAB (a)
力F对于通过O点的z轴的矩矢大小为：
B
A F

理论力学3

理论力学3

第3章 力系的平衡
3.4 例 题 分 析
Theoretical Mechanics
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第3章 力系的平衡
3.4 例 题 分 析
例3-1 外伸梁ABC上作用有均布载荷q=10 kN/m，集中力 F=20 kN，力偶矩m=10 kNm，求A、B支座的约束力。
解：画受力图
m A F 0 FNB 4 q 4 2 m F sin 6 0
m = 0
三力平衡汇交定理 刚体受不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用线 必共面，且汇交于一点。
Theoretical Mechanics
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第3章 力系的平衡
3.1.5 静定问题与超静定问题
3.1 主要内容
•物体系统：由若干个物体通过适当的约束相互连 接而成的系统 。 •静定问题：单个物体或物体系未知量的数目正好 等于它的独立的平衡方程的数目。
M y F 0
Fx 0, Fy 0, Fz 0
结论：各力在三个坐标轴上投影的代数和以及 各力对此三轴之矩的代数和都必须同时等于零。
Theoretical Mechanics
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第3章 力系的平衡
1. 空间汇交力系 如果使坐标轴的原点与各力的汇交点重合，则有 Mx≡My≡Mz≡0，即空间汇交力系平衡方程为
F
F
选刚架为研究对象 画受力图
FA FD
Theoretical Mechanics
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第3章 力系的平衡
解：几何法
F
3.4 例 题 分 析
选刚架为研究对象 画受力图
FA FD FA
作力多边形，求未知量
选力比例尺F=5 kN/cm作封

力系的平衡条件与平衡方程资料课件

力系的平衡条件与平衡方程资料课件

然后，利用微分性质和平衡条 件求解微分方程。
最后，将微分方程的解代回原 方程进行验证。
积分法求解平衡方程
积分法是通过对方程进行积分，然后 利用积分性质和平衡条件求解平衡方 程的方法。
然后，利用积分性质和平衡条件求解 积分方程。
首先，将平衡方程表示为积分方程。
最后，将积分方程的解代回原方程进 行验证。
空间力系平衡方程的形式
空间力系平衡方程的一般形式为FX=0、FY=0和FZ=0，其中FX、FY和FZ分别表示X轴、Y 轴和Z轴上的合力矩。
特殊力系的平衡方程
01
特殊力系平衡方程 的概念
特殊力系平衡方程是在研究特殊 情况下物体受力情况时，根据力 的平衡条件建立起来的方程。
02
特殊力系平衡方程 的建立方法
THANKS
感谢观看
3
平衡方程
对于特殊力系，需要结合具体问题进行分析和求 解。
03
平衡方程的建立
平面力系的平衡方程
01
平面力系平衡方程的概念
平面力系平衡方程是在研究平面物体受力情况时，根据力的平衡条件建
立起来的方程。
02
平面力系平衡方程的建立方法
通过分析物体的受力情况，列出所有力的正负号，然后根据力的平衡条
件建立方程。
弹性力学问题
弹性力学问题主要研究物体在受到外力作用时发生的形变 和应力分布情况。平衡方程在弹性力学问题中同样发挥着 重要的作用。
弹性力学问题中，平衡方程的应用包括分析物体的形变情 况、求解物体的应力分布和应变等参数，以及判断物体的 稳定性和平衡状态等。
05
平衡方程的求解方法
代数法求解平衡方程
01
空间力系的平衡条件
空间力系中，所有力的矢量和为零，即合力为零。

哈工大理论力学教案 第三章

哈工大理论力学教案 第三章

求: A,B处的约束力.
解: 取整体,画受力图.
M 0 12FBy 10P 6P1 4P2 2P 5F 0 F 0 FAy FBy 2P P1 P2 0 F 0 FAx F FBx 0
A
y
x
FAy 72.5kN
FBy 77.5kN
3
P （2） 3 180kN，轨道 AB给起重机轮子的约束力。
解： 取起重机，画受力图.
满载时， FA 0,
为不安全状况
MB
0
P3min 8 2P 10P2 0 1
解得
P3 min 75kN
空载时， FB 0, 为不安全状况
M
A
0
4 P3 max 2 P 0 1
q 20 kN m , F 400kN , l 1m
求： 固定端 A 处约束力. 解： 取 T 型刚架，画受力图. 1 F1 q 3l 30kN 其中 2
Fx 0 FAx F1 F sin 60 0
Fy 0 FAy P F cos 60 0
M A 0 M B 0 M 0 C
三矩式 三个取矩点，不得共线
2.平面平行力系的平衡方程
Fx 0
Fx 0
Fy 0
0 0 0 0
F1 cos θ F2 cos θ F3 cos θ 0
F1 sin θ F2 sin θ F3 sin θ 0
自重与摩擦,系统在图示位置平衡; 力偶矩 M 的大小，轴承 O 处的约 束力，连杆 AB受力，冲头给导 轨的侧压力. 取冲头 B ,画受力图.

理论力学3—空间力系

理论力学3—空间力系

r r ur
uur uur r
i jk
M O (F ) r Fuur = x y z
z MO(F)
kr Oj
ih x
Fx Fy Fz
r
r
ur
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
B F
A(x,y,z) y
3.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投
偶系，如图。
z F1
z M2
z
Fn O
x F2
＝ M1
y
O
x F'n
F'1
＝ MO
Mn y
O
F'2
x
F'R y
uur uur
uFuri Fuiur uur
M i M O (Fi ) (i 1, 2,L , n)
3.4.1 空间力系向一点的简化
空间汇交力系可合成一合力F'R：
uur uur uur FR Fi Fi
如图所示，长方体棱长为a、b、c，力F沿BD，求力F对AC之矩。
解：
uur uur uur M AC (F ) M C (F ) AC
uur uur
M C (F ) F cos a
Fba
a2 b2
B
C
F
D
c
A
a
b
uur uur uur
M AC (F ) M C (F ) cos
Fabc a2 b2 a2 b2 c2
(F ) uur
[M O (F )]y M y (F )
uur uur
uur
[M O (F )]z M z (F )

理论力学：第3章 力系的平衡

理论力学：第3章 力系的平衡

1第3章 力系的平衡 3.1 主要内容空间任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩等于零，即 0=R F 0=O M 空间力系平衡方程的基本形式 0,0,0=∑=∑=∑z y x F F F 0)(,0)(,0)(=∑=∑=∑F F F z y x M M M空间汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力 0=R F空间汇交力系平衡方程的基本形式0,0,0=∑=∑=∑z y x F F F空间力偶系平衡的必要和充分条件是：各分力偶矩矢的矢量和 0=∑i M空间力偶系平衡方程的基本形式 0)(,0)(,0)(=∑=∑=∑F F F z y x M M M平面力系平衡的必要和充分条件:力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零，即：0=∑='F F R;0)(=∑=F O O M M 平面力系的平衡方程有三种形式：基本形式： 0)(,0,0=∑=∑=∑F M F F O y x二矩式： 0)(,0)(,0=∑=∑=∑F M F M F B A x （A 、B 连线不能与x 轴垂直）三矩式： 0)(,0)(,0=∑=∑=∑F M F M M C B A （A 、B 、C 三点不共线）平面力系有三个独立的平衡方程，可解三个未知量。

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零，即0=∑=F F R 平衡的解析条件：各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即0,0=∑=∑y x F F两个独立的平衡方程，可解两个未知量。

平面力偶系平衡的必要和充分条件为：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即∑=0Mi一个独立的平衡方程，可解一个未知量。

3.2 基本要求1．熟练掌握力的投影，分布力系的简化、力对轴之矩等静力学基本运算。

2．能应用各种类型力系的平衡条件和平衡方程求解单个刚体和简单刚体系统的平衡问题。

对平面一般力系的平衡问题，能熟练地选取分离体和应用各种形式的平衡方程求解。

3．正确理解静定和超静定的概念，并会判断具体问题的静定性。

郭新柱 理论力学(第三章)

郭新柱 理论力学(第三章)
即平面力系向点 B 简化得到一力和一力偶，该力过点 B ，其大小和方向与力系的主矢 F 相
同。该力偶的力偶矩等于主矩 M B ，如图 b
y
y
MC
A B
F
3、向 C 点简化的主矩
D C
x
F
A (-3,0) B
D Cx
利用两点之矩的关系计算 M C M B M C F 3 Fy 2 5KN
o 1 1 2
（2）、求合力及其作用线位置。
Mo 2355 d 3.3197m ' FR 709.4
d x 3.514m 0 0 cos 90 70.84
（3）、求合力作用线方程
' ' M o M o FR x FRy y FRx x FRy y FRx
FR 0 FR 0
MO 0 MO 0 MO 0 MO 0
FR
与简化中心的位置无关
与简化中心的位置无关
简化
FR
简化 中心
①
=0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 FR
简化
M=MO
简化 中心
=0 FR
② FR =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, M=MO 此时刚体等效于只有一个力 偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时， 主矩与简化中心O无关。
2 2
Fx 2 2 5 cos F 5 5
F 的解析式
5 cos F 5 5
Fy
1
F 2i 1 j
y
A
Fx MB Fy
D B Cx
2 向 B 点简化的主矩
F

平面任意力系的平衡条件和平衡方程

平面任意力系的平衡条件和平衡方程

理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（3）任何第四个方程只是前三个方程的线 性组合，因而不是独立的。
我们可以利用这个方程来校核计算的结果。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
四、平面平行力系
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
1．平面平行力系是平面任意力系的一种特 殊情形。 2．如图3-10 所示，设物体受平面平行力系 F1，F2，…，Fn 的作用。如选取 x 轴与各力 垂直，则不必力系是否平衡，每一个力在 x 轴上的投影恒等于零，即 。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
解： （1）选梁AB为研究对象 梁 AB 所受的主动力有： 均布载荷 q， 重力 P 和矩为 M 的力偶。 梁AB所受的约束力有： 铰链 A 的两个分力 Fax 和 FAy ，滚动支 座 B 处铅直向上的约束力FB。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）列平衡方程
取坐标系如图3-6 所示，列平面任意力 系的平衡方程，即
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（3）求解方程
求解以上方程，得
FB 为负值，说明它的方向与假设的方向相 反，即应指向左。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
b．如果力系对另一点 B的主矩也同时为 零，则这个力系或一合力沿 A，B 两点的连 线，或者平衡（图3-9）。 c．如果再加上 ，那么力系如 有合力，则此合力必与 x 轴垂直。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-9
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

理论力学第三章 任意力系的简化与平衡条件

理论力学第三章 任意力系的简化与平衡条件

例3-2 已知：涡轮发动机叶片轴向力F=2kN，力偶矩
M=1kN.M, 斜齿的压力角=20 ,螺旋角 。 =10 ,齿轮节圆半径 r=10cm。不计发动 机自重。 O1O2=L1=50cm, O2A=L2=10cm. 求： FN, O1,O2处的约束力。
。
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
3
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
1 3 1 FRy F1 F2 F3 = -161.6(N) 2 10 5
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
解：(1)先将力系向O点简化，求主矢和主矩。 FRx FRy =466.5(N) 2 2 FR
Xi 0 F x F2x Fr 0 1
F y F2y F 0 1
Zi 0
F z Fa F 0 1
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
例3-2 解： 3、列平衡方程
Mx (F) 0
F2 y L1 F (L1 L2 ) 0
y
100 1
F
80
3
Байду номын сангаас
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
例3-1 (1)先将力系向O点简 解： 化，求主矢和主矩。 1 1 F2 FRx F1 10 2 2 F3 5 = -437 .6（N）
y
100 1
F

理论力学第3章力系平衡方程及应用

理论力学第3章力系平衡方程及应用

a
分布力(均布载荷) 合力作用线位于AB
中点。
3.1 平面力系平衡方程
a
【解】
y M=qa2 a
2qa
F3
C
FAx
A
aFAy
45
B
D
x
2a FB a
F3 2qa
MA 0
q 2 2 a q a a F B 2 a 2 q sa 4 i 3 n a 5 0
FB 2qa
Fx 0 FAx2qcao4s50 FAx qa
C
【解】 F2
构件CGB（ 图b）
F2
构件AED
（图c）
C
R
D
45
FC
FD
D
G
45
F1
E
a
F1
E
a
A
B
G 图b
FBy
图c A FAx
MA
FAy
构件CD（图a ）
3个未知量 B FBx
4个未知量
F'C
3个独立方程
3个独立方程
【基本思路】
C R
杆CGB受力图计算FCAED受力图
计算A处的反力(偶)；CGB受力图计算
3.2 平面物体系平衡问题
q
C
B
30
FC FBy
l
l
【解】 杆CB
FBx
MB 0
FCco3s0l qll/2 0
FC
3 ql 30.5kN/m 2m 0.577kN
3
3
3.2 平面物体系平衡问题
【解】整体
FAy
l
l
l
Fx 0
MA
A
FAx

理论力学第三章平面任意力系

理论力学第三章平面任意力系

m
B (F ) 0

Q(6 2) P 2 W (12 2) FA ( 2 2) 0
Q 75 kN
[例] 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求： ①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ ②当Q=180kN时，求满载时 轨道A、B给起重机轮子的反力？
3-3 物体系的平衡 静定与超静定问题
物系平衡的特点：
1、物系中每个单体也必平衡。
2、每个单体可列3个平衡方程，整个系统可
列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法： 由整体 局部， 由局部 整体
[思考题:P61 3-9]
三、例题分析 [例1] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P 时，求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？ 解：1）研究B
MO
M
i 1
n
O ( Fi )


(x Y
i 1
n
i i
yi X i )
其 中 ， i，y i 为 力Fi 作 用 点 的 坐 标 。 x
大小： MO 主矩MO
（转动效应）
m
O ( Fi )
方向：
方向规定
+
—
简化中心： (与简化中心有关，必须指明 力系是对于哪一点的主矩)
[思考题:P61 3-6]

② F R '=0,MO≠0

即简化结果为一合力偶M, M=MO 。
若为O1点，如何?
力偶可以在刚体平 面内任意移动， 故此时主矩与简化中心O无关。

' ③ F R ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力F ' 。
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P P
4m
A
8m
B
由几何关系，
sin 5 5 , cos
5 2
2 5 5
A

y
B
RA
YB
解得
2012年11月3日星期六
RA
P , YB
1 2
x
P
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21
历史回顾之第2章 例题三
求图示简支梁的支座反力。
A
m 2 m1
m3 B
解：以梁为研究对象，受 力如图。
由此得物体的平衡范围： 0≤ FS ≤ F max（保证不滑动） 0≤ Ｍ ≤ Ｍ max（保证不滚动）
2012年11月3日星期六 北京邮电大学自动化学院 30
空间力系及其简化
2012年11月3日星期六
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31
空间力系的简化
(F1,F2,......Fn)<＝>(F1‘,F2’,......Fn‘)＋(Ｍ1＋Ｍ2......Ｍn) 其中: Fi ’＝Fi ，Ｍi＝ＭO（Fi），（i＝1,2,.....n） 将此两个简单力系合成，得： 一个力(空间力系的主矢)： F R
7
例题一
题： 单个物体的平衡
已知：梁AD 的支承及受 力如图所示。F ＝500 N， FA＝1000 N，q ＝1000 N/m，Ｍ＝2000 N · ， m a=2m
求： 反力 支座B、C 的约束
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8
例题一的解答
步骤１：选取研究对象：梁AD。 步骤２：受力分析如图所示： 步骤３：取坐标系，列平衡方程：
m
mR N
Fm
由图可知，角 m与静滑动摩擦系数 f 的关系为：
tg m
2012年11月3日星期六
Fm N

fN N
f
26
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自锁
自锁：如果主动力的合力的 作用线在摩擦角（锥）之 内， 则不论合力大小如何，物体 总能平衡，这 种情况称为自 锁。如图所示。与主动力的 大小无关而只与摩擦角有关 的这一平衡条件， 称为自锁 条件：即 φ ≤φm
解之得： X
YB
A
P cos
YA m Pb sin a
15
m P sin ( a b ) a
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课堂练习2
组合结构的荷载和尺寸如图所示，求 支座反力和各链杆的内力。
q
A
E
1 2
B F
3
解：先以整体为研究对象，受力如图， 建立如图坐标。
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4
平行分布线载荷的简化
若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则 称此力系为平行分布线载荷，简称线载荷。
y
q(x)
1. 合力的大小等于线载荷 所组成几何图形的面积。
Q
2. 合力的方向与线载荷的 方向相同。
3. 合力的作用线通过荷载 图的形心。
'


F
'

F
M
o
M 一个力偶（空间力系的主矩）： o
M
i

( Fi )
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32
空间力系的平衡
当FR'=0，Ｍ0 =0，空间力系平衡
X 0 Y 0 Z 0 mx (F ) 0 m y (F ) 0 mz (F ) 0
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14
课堂练习1
求图示梁的支座反力。
解：以梁为研究对象，受力如 图，建立如图所示的坐标。
y
A
m
P B
a
XA
A
m
X 0:X
A
P cos 0
P B
b
Y 0 : Y A Y B P sin 0
YA
x
YB
m A ( F ) 0 : Y B a P sin ( a b ) m 0
2012年11月3日星期六 北京邮电大学自动化学院 9
例题二
题：物系的平衡 已知：构架如图所示,重物重P ＝10kN,AD ＝DB ＝2m，CD ＝DE ＝1.5m，滑轮半径为R，不计摩擦及杆、滑轮的重量。 求：杆BC 所受的力和杆AB 作用于销钉D 的力。
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m 0 : R Al m1 m 2 m 3 0
l
m 2 m1
解之得： m1 m 2 m 3 RA RB l
A
RA
m3 B
RB
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22
静定与静不定的概念
静定问题： 未知量个数 = 独立的平衡方程个数 静不定问题：未知量个数 > 独立的平衡方程个数
M
A
x
12
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例题四
2012年11月3日星期六
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13
讲解： 例题3-8 课本第63页 讨论图3-8 （d）（e）的错误之处！
例题3-9 课本第65页 讨论图3-9 （d）（e）的错误之处！
给出更一般的求解方法；
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Xi 0
Yi 0
M
B
(F ) 0

F Bx F 0
F By F C F q F A 0
M F A a FC a F q ( a 2 a / 3 ) 0
步骤４： 求解，得：
F Bx 500 N F By 666 . 7 N F C 1666 . 7 N
工程实例：千斤顶、固定螺 纹等都是自锁条件的利用。
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27
滚动摩擦
滚动摩擦：是指一物体沿另 一物体表面相对滚动（或有 相对滚动趋势）时接触面间 产生的一种阻碍物体相对滚 动的阻力偶，称为滚动摩擦， 或称为滚阻。一般用Ｍ 表 示。
2012年11月3日星期六
X 0:X
A
a a
D
b
C
RD 0
a
q
m A (F ) 0 : RD a
Y 0 : YA q (2a b) 0
1 2
q (2a b) 0
2
XA A YA RD
D
B E
1 2
F
3
解之得：
RD q (2a b) 2a
2
C
X
A

第
3
章
力系的平衡条件与平衡方程
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1
平衡
若平面力系的主矢及对任一点的主矩等于零，即： FR‘＝0
｝＝>平衡
ＭO＝0
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2
平面力系的平衡条件和平衡方程
平面力系平衡的必要且充分条件是：力系的主矢以及力系对 任一点的主矩都等于零。即：FR'＝0，ＭO＝0 而 FR'＝((∑Fxi）2+（∑Fyi）2 )1/2 ，ＭO＝∑ＭO（F i ） 于是得：平面力系的平衡方程（基本形式） ∑Fxi ＝0 ∑Fyi ＝0 ∑ＭO（F i）＝0 即：力系中各力在任选的两直角坐标轴上投影的代数和都等 于零，以及力系中各力对任一点之矩的代数和也等于零。
l
6
刚体系统的平衡
刚体系统的平衡: 是指组成系统的每一个刚体都处于平衡状态。这类问题是常 见的工程实际问题。 在研究刚体系统平衡问题时，应区分两种力： 外力：刚体系统以外的物体作用在系统上的力； 内力：组成系统的物体间相互作用的力。
关键：建立方程组的概念！
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q (2a b) 2a
2
YA q (2a b)
16Hale Waihona Puke 2012年11月3日星期六
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课堂练习3
多跨静定梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成，支撑和荷 载情况如图所示，已知P = 20kN，q=5kN⋅m，α = 45°。求 支座A、C的反力和中间铰B处的反力。
2012年11月3日星期六
2012年11月3日星期六
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3
平衡方程的其他形式
平面力系平衡方程除上面基本形式外，还可以写成如下两 种形式: ∑ＭA（F i ）＝0 ∑ＭB（F i ）＝0 ∑Fix ＝0 附加条件：X 轴不垂直于A、B 二点的连线。 两矩一投影： ∑ＭA（F i ）＝0 ∑ＭB（F i ）＝0 ∑ＭC（F i ）＝0 附加条件：A、B、C 三点不共线。 必须指出：平面力系的平衡方程只有三个独立方程，因此 只能求解三个未知量！ 三矩式：
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17
2012年11月3日星期六
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18
历史回顾之第2章 例题一
已知：悬臂式起重机 OB =AB,θ =45.,重物 D 重 G =5kN, 梁重 OA不计。 求：钢索BC 的拉力 及铰链O 的反力
2012年11月3日星期六
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19
历史回顾之第2章 例题一：解
解：1、选取研究对象：梁OA 2、画梁OA 的受力图：G、FB 、 FO， 构成一平面汇 交力系，汇交点 为E 点。 3、解析法，取坐标轴如图，列平 衡方程：