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人教版九年级数学上册圆周角

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人教版数学九年级上册24.1.4：圆周角的概念和圆周角的定理(教案)

人教版数学九年级上册24.1.4：圆周角的概念和圆周角的定理(教案)
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
3.培养学生的数学抽象能力：让学生从具体的圆周角实例中抽象出一般性规律，理解圆周角与圆心角、弧和弦之间的关系，提升数学抽象思维。
4.培养学生的数学建模能力：通过解决与圆周角相关的问题，使学生能够建立数学模型，运用所学知识解决实际问题，提高数学应用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-圆周角的概念：强调圆周角定义中“顶点在圆上，两边分别与圆相交”的特点，以及与圆心角的关系。
a.圆周角定理：圆周角等于其所对的圆心角的一半。
b.圆周角推论：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力：通过观察圆周角与圆心角的关系，使学生能够直观理解圆周角的概念及定理，提高空间想象力和几何直观感知。
2.发展学生的逻辑推理能力：在学习圆周角定理及其推论的过程中，引导学生运用严密的逻辑推理，掌握证明方法，增强解决问题的能力。
-掌握圆周角定理的证明：学生需要掌握如何运用严密的逻辑推理证明圆周角定理，并能够灵活运用。
-圆周角推论的应用：学生需学会将圆周角推论应用于解决实际问题，如求弧长、弦长等。
举例1：针对圆周角定义的难点，教师可通过以下步骤帮助学生理解：
a.展示不同类型的角，让学生辨别哪些是圆周角，哪些是圆心角。
b.通过动态演示，让学生观察圆周角与圆心角的变化关系，加深理解。

人教版数学九年级上册圆周角的概念和圆周角的定理课件(第一课时18张)

人教版数学九年级上册圆周角的概念和圆周角的定理课件(第一课时18张)

1
= 2∠AOD,∠CBD
= 1∠COD,
2
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
A C
●O B
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一
半.
活动三：学以致用
1. 如图1,在圆O中, ∠BOC=50°,则∠BAC = 25°;
2.变式1:如图2,已知∠BCD=120°,则∠AOB= 120; °
3.变式2:如图3,已知圆心角∠AOB=100°，则
⌒ BC所对圆周角是∠ BAC , 圆心角
是∠BOC,
则∠
BAC=
1 2
∠BOC
O
A
C
B
例1.如图：OA、OB、OC都是⊙ O的半径
∠AOB=2∠BOC. ∠ACB=40°，求∠BAC的度数.
证明：∵
∠ACB=
1 2
∠AOB=40
°
∴ ∠AOB= 80 °
∵ ∠AOB=2∠BOC
O
∴ ∠BOC=40 °
特征：① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都和圆相交 （即两边是圆的两条弦）
判别下列各图形中的角是不是圆周角。
×
√
×
√
×
×
×
当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
A C
●O
B
E
D
圆周角: ∠ABC,
∠ADC, ∠AEC.
新人教版九年级上册数学
24.1.4圆周角（第1课时）
问题：请同学们想一想，球员射中球门的难易 与什么有关？
总结：如图所示，球员射中球门的难易与他所在的位置B对球门

人教版九年级上册数学圆周角课件

人教版九年级上册数学圆周角课件
∵OC⊥AB，∴AC= 2 AB= 2（cm）， ∴OC=AC，∴∠AOC=45°，
1 ∴∠AOB=90°，∴∠ADB=2 ∠AOB=45°， ∴∠AEB=180°﹣∠ADB=135°。
∴此弦所对的圆周角等于45°或135°。
例题讲授
例5.已知弦AB、CD相交于E，AC 的度数为90°，BD 的度数为30°，则∠AEC=_6__0_°___。
例题讲授
解：如图，∵∠AOC=160°， ∴∠ABC= 12∠AOC= 12×160°=80°， ∵∠ABC+∠AB′C=180°， ∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°。 ∴∠ABC的度数是：80°或100°。 故选D。
练一练
1.如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心 O，点P是优弧 AMB 上一点，则∠APB的度数为（ ）。 A．45° B．30° C．75° D．60°
1
1
证明：∠A=2 ∠BOC，∠D= 2（360°-∠BOC）
1
1
∴∠A+∠D=2 ∠BOC+ 2（360°-∠BOC）
1
=2 ×360°=180°
∴∠A与∠D互补。
结论：在同圆或等圆中，等弦所对圆周角相等或互补。
探究新知
探究二： 圆的内接多边形
引入概念
探究新知
探究二： 圆的内接多边形
探索圆的内接四边形四个角之间的关系。
解：连接BC， ∵ AC 的度数为90°，BD 的度数为30°， ∴∠ABC=45°，∠BCD=15°， ∴∠AEC=∠ABC+∠BCD=60°。
练一练
等腰△ABC的顶角∠A=120°，腰AB=AC=10， △ABC的外接圆半径等于___1_0___。

24.1.4 圆周角 课件-2024-2025学年人教版九年级数学上册

24.1.4 圆周角 课件-2024-2025学年人教版九年级数学上册
究
与
应
用
[概括新知]
推论:(1)同弧或等弧所对的圆周角 相等
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是
对的弦是
直径
.
直角
.
,90°的圆周角所
探
究
与
应
用
[理解应用]
例2 (教材典题)如图24-1-24,☉O的直径AB为10 cm,弦AC为
6 cm,∠ACB的平分线交☉O于点D,求BC,AD,BD的长.
解:如图,连接OD.
得AB=12 cm,BC=5 cm,则圆形镜面的半径为
图24-1-32
13
2
cm .
谢 谢 观 看！
D.100°
图24-1-27
课
堂
小
结
与
检
测
[本课时认知逻辑]
圆心角
圆周角
的定义
类比
圆周角
圆周角与直
径的关系
圆周角定理
圆周角定理
的推论
课
堂
小
结
与
检
测
[检测]
1.如图24-1-28,△ABC是☉O的内接三角形.若∠ABC=70°,则
∠AOC的度数为
A.140°
B.130°
C.120°
D.110°
( A )
图24-1-28
课
堂
小
结
与
检
测
2.如图24-1-29,BD是☉O的直径,点A,C在圆上,∠A=50°,则
∠DBC的度数是
A.50°
B.45°
C.40°
D.35°
( C )
图24-1-29
课
堂
小
结

人教版初中数学九年级上册圆周角课件

人教版初中数学九年级上册圆周角课件
离为 17CM或7CM
。
4.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的是（ D ）
A．50°
B．60°
C .80°
D．100°
5．如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（ D ）
A．64°
B．58°
C．32°
D．26°
6．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对
几何语言:
෽ =
෽,
∵
∴ ∠ =பைடு நூலகம்
1
∠.
2
结论
同弧或等弧所对的圆周角相等,
都等于该弧所对的圆心角的一半.
例题分析
（
已知：在⊙O中，AB 所对的圆周角是 ∠C，圆心
角是 ∠AOB. 求证： ∠C =
1
2
∠AOB.
证明： ∵ OA=OC
∴∠A=∠C
又 ∠AOB=∠A＋∠C
∴∠AOB= 2∠C
图来证明刚才我们发现的同弧所对的圆周角与圆心角的大小
关系吗?
你能发现几杆类似的“红旗”图案？
这些对该情况下命题的证明有哪些启示？
证一证
A
A
O
O
C D
D
B
作辅助线
分离右旗
分离左旗
∴∠A=∠C.
∵∠BOC是△AOC的外角，
C ∴∠BOC=∠A+∠C.
（“红旗”图案）
撤消辅助线
还原右旗
闪动角
还原左旗
证明∵OA=OC
∴∠BOC=2∠A.
1
即 ∠BAC = 2∠BOC.
学生完成证明过程，思考交流后一种情况的证明思路，在展
示台上展示学生的证明过程，教师做思路和规范性点评）

人教版数学九年级上册圆周角的概念和圆周角定理课件

人教版数学九年级上册圆周角的概念和圆周角定理课件
(1)∠D＝____3_5°，理由是 __同__弧__所__对_的__圆__周__角_相__等_____；
(2)∠BOC＝____7_0°，理由是
__同__弧__所__对__的__圆__周__角__等__于__该__弧__所__对_ __的__圆__心__角__的__一__半__.___________.
DAC 1 DOC . 2
∴ DAC DAB 1 (DOC BOD) ， 2
即BAC 1 BOC. 2
议一议
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等。
思考
C
A
O
B
如图,AB是直径,则∠ACB=＿9＿0＿°。 半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90度的圆周角所对的弦是直径。
∵ ∠BAC＝∠BFC （同弧
B
所对的圆周角相等）．
A
D
F
E O
C
请你说一说 这节课你有哪些收获和困惑？ 圆周角定义及定理。
课后作业 课本P89第3题，P90第14题； 练习册P7∠BAC的内部或外部时， BAC 1 BOC 的关系还成立吗?
2
思考与探索
证明：作直径AD．
∵BAD 1 BOD ，
2
DAC 1 DOC． 2
∴ BAD DAC 1 (BOD DOC ) ， 2
即BAC 1 BOC ．
2
思考与探索
证明：作直径AD．
∵BAD 1 BOD ， 2
思考与探索
3．当圆心O在∠BAC的一边上时，圆周角 ∠BAC与圆心角∠BOC之间有怎样的数量关系？ 你能证明你的发现吗?
思考与探索
4．BAC 1 BOC ．
证明：
2

24.1.4 圆周角 人教版数学九年级上册教案

24.1.4 圆周角 人教版数学九年级上册教案

24.1.4 圆周角一、【教材分析】知识技能1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2、掌握圆周角定理的三个推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明.过程方法1、培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；2、渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”，体验分类讨论的数学思想方法.教学目标情感态度敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题.教学重点圆周角定理及定理的三个推论的应用．教学难点圆周角定理的证明，三个推论的灵活应用.二、【教学流程】教学环节问题设计师生活动二次备课情景创设观察与思考：（教师边演示自制教具边介绍，其中底面圆片上标注好有关的字母、线条）假设这是一个圆柱形的房子，同学们可以站在房中通过圆弧形玻璃窗AB向外观看外面的风景，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正创设问题情境，开展学习活动，引起学生学习的兴趣图图c图画出来.3、利用第2题的图形，分别证明图a、图b、图c中的∠B OC=2∠B AC.4、用自己的语言说出圆周角定理的内容是什么？（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；动，归纳出：⑴在圆周角的一条边上(如图a)；⑵在圆周角的内部(如图b)；⑶在圆周角的外部（如图c）.学生自己独立完成图a的证明.对于图b、图c两种情况的证明，我们可以先尝试让学生小组交流，寻找证题方法，教师可以参与小组讨论，及时给予引导、点拨，然后板书展示证明过程，最后全班进行点评，引导学生体会“转换化归”在解决从特殊到一般问题时的应用思路和方法.以小组为单位讨论、探索，教师参与其中，指导帮助学生完成问题的解答.最后归纳通过制作演示折纸，培养学生动手操作的能力，促进学生参与教学的意识的形成.学会分类讨论、转换化归是教学突破的关键通过观察、交流、归纳，锻炼学生的逻辑思维能力，体验分类讨论的数学思想方法C三、【板书设计】四、【教后反思】本节课首先设计了一个问题情境，展示了圆心角与圆周角的位置关系，引出圆周角的概念.然后通过测量、猜想，得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半的结论.接着通过让学生折纸，观察与思考，利用分类讨论的思想方法，分三种情况给出系统的证明及思维过程.至此我们利用迁移、转化的思想方法化未知为已知，将圆周角的问题转化为圆心角来求解.其后为进一步探索圆周角的其他性质，我们又以设置的问题为导线，将学生带入到教学活动中，同时再次通过交流、讨论、合作、归纳出圆周角定理的三个推论，并运用它们进行解题，实现从认识到应用的转化.。

初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 圆周角定理PPT

初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 圆周角定理PPT

(2)∵BA=BC，∴∠A=∠C. 由圆周角定理得∠A=∠E， ∴∠C=∠E，∴DC=DE.
27
28
知识点三：圆周角定理的推论
合作探究
先独立完成导学案互动探究1、3， 再同桌相互交流，最后小组交流；
1.如图，在⊙O中，弦AB＝3cm，点C在 ⊙O上，∠ACB＝30°.求⊙O直径. 2.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦 ，延长BD到点C，使AC＝AB，BD与CD的 大小有什么关系?为什么?
B A
O A
O B
知识点三：圆周角定理的推论
学以致用
1、如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中
点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( ) C
A.55°B.60°C.65°D.70°
B
A
O
2.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条
弦，且AB＝ 3，则弦AB所对的圆周角的度 A
数为( )D A.30º B.60º C.30º或150 º D.60º或120º
如果AB＝CD，那么∠E和∠F是什么关系？ O1 D
反过来呢？
C
A
F
结合⑴、⑵你能得到什么结论？
O2
B
21
知识点三：圆周角定理的推论
归纳总结
圆周角定理推理1
同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
∵ AB=CD ∴∠E=∠F
在⊙O中∵∠E=∠F ∴AB=CD
E
A
F
O D
对的弧也相等；②两条弦相等，弦所对的弧也相等；③弦
心距弦心距所对的弦相等；④两个圆周角相等，圆周角所
对的弧相等；⑤弧相等弧所对的弦相等；
C
⑥弧相等弧所对的圆周角也相等。

数学人教版九年级上册圆周角定义及性质

数学人教版九年级上册圆周角定义及性质

圆周角和圆心角的关系匡河中学王涛教学目标(一)教学知识点1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角定理的证明．(二)能力训练要求经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想．(三)情感与价值观要求通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法．教学重点圆周角概念及圆周角定理．教学难点认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．教学方法指导探索法．教具准备相关课件教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]前面我们学习了与圆有关的哪种角？它有什么特点？请同学们画一个圆心角．[生]学习了圆心角，它的顶点在圆心．[师]圆心是圆中一个特殊的点，当角的顶点在圆心时，就有圆心角．这样角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？Ⅱ．讲授新课1．圆周角的概念[师]图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？[生]∠ABC的顶点B在圆上，它的两边分别和圆有另一个交点．(通过学生观察，类比得到定义)圆周角定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．[师]请同学们考虑两个问题：(1)顶点在圆上的角是圆周角吗？(2)圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？请同学们画图回答上述问题．[师]通过画图，相互交流，讨论认清圆周角概念的本质特征，从而总结出圆周角的两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．补充练习判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由．答：由圆周角的两个特征知，只有C是圆周角，而A、B、D、E都不是．3．研究圆周角和圆心角的关系．[师]在图(1)中，当球员在B、D、E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？我们知道，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．那么，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？[师]请同学们动手画出⊙O中所对的圆心角和圆周角．观察所对的圆周角有几个？它们的大小有什么关系？你是通过什么方法得到的？所对的圆心角和所对的圆周角之间有什么关系？[生]所对的圆周角有无数个．通过测量的方法得知：所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．[师]对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证，怎么证明呢？说说你的想法，并与同伴交流．[生]互相讨论、交流，寻找解题途径．[师生共析]能否考虑从特殊情况入手试一下．圆周角−−−→特殊一边经过圆心．由下图可知，显然∠ABC＝12∠AOC，结论成立．(学生口述，教师板书)如上图，已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝12 AOC．。

24.1.4 .1圆周角定理及其推论课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

24.1.4 .1圆周角定理及其推论课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
则∠D等于( A )
A．25°
B．30°
C．35°
D．50°
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等.
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
（2）圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径.
知识讲解
知识点2 圆周角定理都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：
∠ACB=2∠BAC．
证明：∵∠ACB=


∠AOB，∠BAC=


∵∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC.
∠BOC，
随堂练习
8. 船在航行过程中，船长通过测定角度来确定是否遇到暗礁，如图，A、
B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上
30°
∠AOD=60°，则∠DBC的度数为__________.
随堂练习
3. 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( C )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析：由BD是⊙O直径得∠BCD＝90°.
∵∠CBD＝30°，∴∠BDC＝60°.
∵∠A与∠BDC是同弧所对的圆周角，
证明：连接BE，∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°，
∵AD 是 △ABC 的 高 ， ∴∠ADC ＝ 90° ，
∴∠CAD＋∠C＝90°.
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
【例 4】如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，
AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.

24.1.4 第1课时 圆周角定理 初中数学人教版数学九年级上册课件

24.1.4 第1课时 圆周角定理 初中数学人教版数学九年级上册课件
1.圆 周 角 与 圆心 的 位置 有 以下 几 种关 系 ,试 测 量 各图 中 ∠BOC与∠BAC的关系.
圆心在角 圆心在角 的一边上 的内部
圆心在角的外部
通过测量,可得∠BAC=
1∠BOC
2
2.如图,当圆心O在∠BAC内部时,请说明∠A=12∠BOC.
解:如图,连接AO并延长交☉O于点D. ∵OA=OB,OA=OC, ∴∠B=∠3,∠C=∠4.
2
归纳总结 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的 一半 .
合作探究
圆周角定理的推论
1.(1) 如 图 , 在 ☉O 中 , A෽B = M෾N , 则
∠MDN与∠ACB的大小关系是
.
(2)直径所对的圆周角是多少度?请说径吗?
请说明理由.
解:(1)∠MDN=∠ACB. (2)因为直径所对的圆心角是180°,所以直径所对的圆周 角是90°.(3)90°圆周角所对的弧是半圆,所以90°圆周 角所对的弦是直径.
(2)当点P在使P෽C=A෽B的位置时,有AF=EF. 证明:∵P෽C=A෽B,∴∠EBD=∠C. ∵∠FAE=90°-∠C,∠AEF=∠BED=90°-∠EBD,
∴∠FAE=∠AEF,AF=EF.
圆周角定理、推论的应用 认真阅读课本“例4”,体会圆周角定理、推论的应用,解决下 面的问题. 2.如图,在☉O中,弦AB=3 cm,点C在☉O上,∠ACB=30°.求 ☉O的直径.
(1)当AP=AB时,求证:AE=BE. (2)当点P在什么位置时,AF=EF,证 明你的结论.
解:(1)证明:如图,连接AB,AP. ∵AP=AB,∴∠ABP=∠P. ∵BC为☉O直径, ∴∠BAC=90°. 又AD⊥BC,可证∠BAE=∠C. ∵∠C=∠P,∴∠BAE=∠P, ∴∠ABE=∠BAE,∴AE=BE.

人教版九年级上册数学《圆周角》圆教学说课复习课件

人教版九年级上册数学《圆周角》圆教学说课复习课件

(1)知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它. (2)探究并掌握圆周角定理及其推论. (3)体会“由特殊到一般”“分类”“化归”等数学思想.
推进新课
知识点1 圆周角的定义及圆周角定理
1.圆心角的定义?
C
顶点在圆心的角叫圆心角.
2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？ O
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫圆周角．
125°.
5.如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC，
∠AOC=78°，求∠DAB的度数．
解：∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠B.
又∵∠B=
1 2
∠AOC=39°.
∴∠DAB=39°.
6.如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点 ，且∠ACB=45°，求弦AB的长. 解：连接OA、OB. ∵∠ACB=45°, ∴∠BOA=2∠ACB=90°. 又OA=OB, ∴△AOB是等腰直角三角形.
A
B
图中圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 有怎样
的关系？
C
先猜一猜，再用 量角器量一量.
O
ACB 12AOB
A
B
（1）在圆上任取B⌒C，画出圆心角∠BOC 和圆 周角∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
A A
A
O
O
O
B
B
C
B
C
C
（2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半？
周角所对的弦是直径.
圆内接四边形：圆内接四边形的内角和为360°,并且四边形的对角互补.
1 2
α.
证明：由(1)知∠BOM＝90°-α.
M
又∠C＝β＝ 12∠AOB,
C
∴β＝

人教版数学九年级上册课件圆周角

人教版数学九年级上册课件圆周角
.
③在圆周角的外部（如图3）
圆心O在∠BAC的外部.
∵由①可知：
∠DAC=
， ∠BAD=
∴∠DAC-∠BAD= ______
∴∠BAC=
.
再次体验
.
归纳结论:
圆周角的定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对
圆心角的一半。
几何语言：
෽ 所对的圆心角，
∵∠AOB是
෽ 所对的圆周角
∠ACB是
∴ ∠AOB = 2∠ACB
1
2
理解圆周角的概念；
理解圆周角的定理，理解圆周角
定理的推论.
合作探究
知
识
点
一
问题1、顶点在 圆上 ，并且两边都与圆 相交
的角叫做圆周角．
问题2、圆周角定义的两个特征：
（1）顶点都在 圆上 ；
（2）两边都与圆 相交 ．
练一练
判断下列图形，指出哪个是圆周角，并
说明理由
×
×
√
×
×
合作探究
෽ 所对的圆周角是 ∠ACB ，所对
∴∠ADC=∠CBE=90°.
∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°,
∠CEB+∠CBE+∠BCO=180°,
∴∠ACD=∠BCO.
归纳小结
1、顶点在 圆上，并且两边都与圆 相交 的角
叫做圆周角．
2、圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一般
.
3、推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等.
∠COE = 500
，∠DOE = 500 .
2、如下右图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，若
∠CAB＝∠CBA，则∠COB=∠ COA ,AC= BC .

人教版初中九年级上册数学课件 《圆周角》圆(第1课时圆周角及其定理)

人教版初中九年级上册数学课件 《圆周角》圆(第1课时圆周角及其定理)

A．140° C．60°
B．70° D．40°
8
5．某小区新建一个圆形人工湖，如图所示，弦 AB 是湖上一座桥，已知桥 AB 长为 200 m，测得圆周角∠ACB＝45°，则这个人工湖的直径 AD 长为___2_0_0__2_____m.
9
6．如图，在⊙O 中，弦 AC＝2 3，B 是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O 的 半径 r＝___6___.
17
解：(1)∵∠APC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，∴∠ABC ＝∠BAC＝60°，∴△ABC 为等边三角形．
(2)PC＝PA＋PB．证明：在 PC 上截取 PD＝PA，连接 AD．∵∠APC＝60°，∴ △APD 是等边三角形，∴AD＝PA＝PD，∠ADP＝60°，∴∠ADC＝120°.又∵∠APB ＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB．又∵∠ACP＝∠ABP，∴△APB≌△ ADC(AAS)，∴PB＝DC．又∵PD＝PA，∴PC＝PA＋PB．
18
︵ (3)在AB上任取一点 P，过点 P 作 PE⊥AB，垂足为点 E，过点 C 作 CF⊥AB，垂足 为点 F.∵S△APB＝12AB·PE，S△ABC＝12AB·CF，∴S 四边形 APBC＝12AB·(PE＋CF)．当点 P
︵ 为AB的中点时，PE＋CF＝PC 最长，即 PC 为⊙O 的直径，此时四边形 APBC 的面 积最大．又∵⊙O 的半径为 1，∴易得等边三角形的边长 AB＝ 3，∴四边形 APBC 的最大面积为 S 四边形 APBC＝12×2× 3＝ 3.
A．16° B．32°
C．58° D．64°
分析：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠A＝90°－ ∠ABD＝32°，∴∠BCD＝∠A＝ 32°.

24.1.4 圆周角 人教版九年级数学上册第1课时课件

24.1.4 圆周角 人教版九年级数学上册第1课时课件

∠BAD= 1∠BOD,
2
∴∠BAC=∠2 CAD-∠BAD= (∠1 COD-∠BOD)= ∠B10C.
2
2
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等 于它所对的圆心角的一半.
数学思想方法：分类思想、化归思 想、由特殊到一般的数学方法.
共同探究2
思考： 1.同弧所对的圆周角是否相等？ 2.如果改为等弧，那么所对的圆周角还
（2）如图（2）圆心O在∠BAC的内部上时.
作直径AD，则由（1）可得∠BAD= 1 ∠BOD,
∠CAD= 1 ∠COD,
2
∴∠BAC=2∠BAD+∠CAD= (∠1 BOD+∠COD)
= 1 ∠BOC.
2
2
证明：
（3）如图（3） ，圆心O在∠BAC的外部上时.
作直径AD，则由（1）可得∠CAD= 1 ∠COD,
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交， 我们把这样的角叫做圆周角.
观察下列图形中的角都是圆周角吗？
O
共同探究1
动手操作：
1.画⊙O，在⊙O上任意画弧AB,分别画出弧AB所
对的圆心角和圆周角.
2.你能画出几个弧AB所对的圆心角和圆周角？
3.分别测量所画圆心角和圆周角的度数，它们之 间有什么关系？
思考：
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角(第1课时)
问题思考
足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进
行无人防守的射门训练如图，甲、乙两名运动员
分别在C、D两处，他们争论不休，都说在自已所
在的位置对球门AB的张角大，如果你是教练，请
评一评他们两个人谁的位置对球门AB的张角大？
为什么？
A
B
C D

人教版九年级数学上册第24章第1节《圆周角》优秀课件

人教版九年级数学上册第24章第1节《圆周角》优秀课件
1.什么叫圆心角?
回忆
顶点在圆心的角叫圆心角
O.
2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的 A
B
一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等， 那么它们所对应的其余两个量都分别相等。
探究
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察 得到的∠ACB有什么特征？
C
O.
也可以看成经过折叠而成折痕与圆周角的关系.swf
分析论证
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)
上时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小
关系. ∵ OA=OC
A
∴∠A=∠C
O
又 ∠BOC=∠A＋∠C
B
C
∴∠BOC=2∠A
即∠A= 1 ∠BOC 2
分析论证
你能证明第2种情况吗？
B
A D
O C
巩固练习
2.如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=40°，求∠OBC的度数。
练一练
3、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
A
则∠AOC等于（ D ）
A、50°；
B、80°；
C、90°；
D、100°
BO C
4、如图，△ABC是等边三角形，
C
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ B ）
A、70°； C、90°；
B、100°； D、120°
B
C
练习:1,如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上 的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿5＿00＿＿＿ .
D
A
O 40° B
C
3,如图所示，AB，AC是⊙O的弦，AD⊥BC 于D，交⊙O于F，AE与⊙O的直径，试问 两 弦 BE 与 CF 的 大 小 有 何 关 系 ， 说 明 理 由．

人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角

人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角

O
BAC
BAD DAC
B
C
D
1
1
(BOD DOC ) BOC.
2
2
探究新知
圆心O在∠BAC的外部 证明：连接AO并延长交⊙O于点D.
D
A O
C B
究新知
圆周角定理
一条弧所对的圆周 角等于它所对的圆心角 的一半；
探究新知
互动探究
问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是上
任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC 相等吗？请说明理由.
D
答：相等.
证明：在⊙O中，∵BAC
1 2
BOC
,
BDC 1 BOC ,
2
∴∠BAC=∠BDC.
探究新知
问题2 如图，若 CD EF，∠A与∠B相等吗？
答：相等.
证明：连接OC，OE，OD，OF，
CD EF，
AB E
O
COD EOF .
C
F
A 1 COD，B 1 EOF，
D
2
2
A B.
成立
想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么 CD EF 成立吗？
(2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？ 90°
探究新知
圆周角定理的推论
A2
同弧或等弧所对的
A1
A3
圆周角相等.
探究新知
试一试
如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在 点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35º.
B
C
A
O·
A
A
C O·
√ C （1） A
顶点（不2）在圆上 B
B 边A（C3没）有和圆相交
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又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
D
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
2
2
8/5/2020
练习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那
么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为
直径的圆.）
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB
2
分别量一下图中 AB所对的两个
C
圆周角的度数，比较一下，再
变动点C在圆周上的位置，圆 D
周角的度数有没有变化？你能
·O
发现什么规律吗？
再分别量出图中 AB所对的圆周 A
B
角和圆心角的度数，比较一下，
你什么发现？
同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数
恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．
练习
A
O·
B
C
∵OA=OC， ∴∠A=∠C． 又∠BOC=∠A+∠C
∴∠BOC=2∠A 即 A 1 BOC
2
（2）在圆周角的内部．
圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（１）的
结果，有
BAD 1 BOD
A
2
DAC 1 DOC
O·
2
1
B
C
BAD DAC (BOD DOC)
D
2
BAC 1 BOC 2
七、例题解析
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC 为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，
求BC、AD、BD的长．
C
A
O
B
D
解：∵AB是直径， ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
C
BC AB2 AC2 102 62 8
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
A
O
B
∴AD=BD.
8/5/2020
作业
1. 习题24.1
求证： △ABC 为直角三角形.
C
A
·
B
O
证明：以AB为直径作⊙O， ∵AO=BO，CO= 1 AB, 2 ∴AO=BO=CO
.∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
A
∴∠ACB= 1 ×180°= 90°.
2
∴ △ABC 为直角三角形.
C
·
B
O
8/5/2020
课堂小结
1、圆周角的定义； 2、圆周角定理及证明； 3、圆周角定理的运用。
（3）在圆周角的外部．
圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的
结果，有
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
DAC DAB 1 (DOC DOB) 2
A
O·
D
C
B
BAC 1 BOC 2
五、定理
定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
C2 C1
推论 C3 半圆（或直径）所对的圆周角
A
·O
是直角;
B
90°的圆周角所对的弦是直径．
练习
2.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多 少种方法？与同学交流一下．
方法一
A
B
C
O
方法二
D
A
Hale Waihona Puke ·B方法三
O
方法四
O
六、
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它 们所对的弧一定相等．
他们的视角（∠AOB 和∠ACB） 丁E
B
有什么关系？如果同学丙、丁
分别站在他靠墙的位置D和E，
他们的视角（ ∠ADB 和
∠AEB ）和同学乙的视角相同
吗？
思考
D
AOB是AB所对的圆心角
A
C
ACB是AB所对的圆周角
O
ADB是AB所对的圆周角
E
B
AEB是AB所对的圆周角
它们之间有什么关系呢？
三、探究
24.1.4 圆周角
一、概念
什么叫做圆周角？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
D
A
试找出图中的圆周角 C
O·
E
B
二、观察
如图是一个圆柱形的海洋馆的
丙D
横截面的示意图,人们可以通
过其中的圆弧形玻璃AB 观看
A
窗内的海洋动物,同学甲站在 乙C
甲O
圆心的O 位置，同学乙站在
正对着玻璃窗的靠墙的位置C，
1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形 ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中
哪些是相等的角？
∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8 ∠2 = ∠7 ∠3 = ∠6
A1
2
C
8 7
3
4
B
6 5
D
四、同弧所对的圆周角和圆心角的关系
为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O任取一个 圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和 ∠BAC的顶点A．由于点A的位置的取法可能不同， 这时折痕可能会:（1）在圆周角的一条边上；