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分数阶傅里叶变换FRFT研究-PPT课件

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傅里叶变换经典

傅里叶变换经典

2
2
T
T
{ {
O 1 2 3
n-1n
令 n n1 2 T (与n无关)，T 2 0 T ,此时视n为(连续变量)
21
现在是21页\一共有56页\编辑于星期三
f
t
lim
T
1 T
n
T
f2
TT
2
e jn
d
e
jnt
lim 1
2 n 0
n
T
f2
TT
2
e jn
因此
0
cos t 2
sin 2
t
d
0 /
2
et
t 0 t 0 t 0
2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要
研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电
流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的
情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的
情况.
fT
t
是以T为周期的函数，在
T2
T ,
2
上满足
Dirichlet条件：
fT t 连续或只有有限个第一类间断点；
fT t 只有有限个极值点；
fT t 可展开成Fourier级数，且在连续点t处成立：
x
12
前面计算出
cn
1 2
sinc
n
n 0, 1, 2,
n
n
n
2
T
n

分数阶傅里叶变换的离散算法PPT教案学习

分数阶傅里叶变换的离散算法PPT教案学习

jtu csc
假定p∈[-1,1],经过量纲归一化ห้องสมุดไป่ตู้信号x(t）的分数阶傅里叶变换， 可以分解为以下三个步骤：
（1）用chirp信号调制信号f(x):
式1
（2）调制信号与另一个chirp信号卷积:
式2
（3）用chirp信号调制卷积后的信号：
式3
1
tan
1
sin
tan(
2
)
第9页/共22页
具体细节：第一步：将函数，f (x) 与线性调频函 数相乘(式1)。
第4页/共22页
ω v
α α
u t
第5页/共22页
三、离散分数阶傅立叶变换的计算
目前DFRFT的四种离散化算法
3
1.利用FFT计离散FRFT的变换核 F p ai ( p)W i j0
2.根据FRFT的定义，将其分解为信号的卷积，再 利用FFT计算。 3.利用矩阵的特征值和特征向量计算。 4.直接离散化计算。
Wx(t, w) 2e2 juv X ( )X*(2u )e2 jv d
由以上可得，等式的右边是 Xp( ) 的Wigner-Ville分布， 左边是 X (t) 的Wigner-Ville分布 也就是说 Xp() 的Wigner-Ville分布， 是由 X (t) 的Wigner-Ville分布旋转а角得到。
圆内。若令
，则与chirp信号乘积后的信号
x(t )e j cot 在频域具有带宽Δx。可以用Shannon插值表示
N
j (cot ) n2
x(t)e j cot
x( )e n 2x
( 2 x )2
sin
c[2x(t
n 2x
)]

《傅里叶变换经典》PPT课件

《傅里叶变换经典》PPT课件
F 1[AF BG ] AF 1[F ] BF 1[G ]
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理

分数阶傅立叶变换

分数阶傅立叶变换


其中： p 2
讨论： 变换核的性质：
1.变换核是p的连续函数。
有 lim p2n
Kp

K2n
lim
p2n1
K
p

K 2 n 1
2. K p (t, u) K p (u, t)
3. K p (t, u) K *p (t, u)
4. K p (t, u) K *p (t, u)
sin
2
2
sin
分数阶傅立叶变换的运算性质：
(7).积分特性
F p[
t
s(t)dt](u)
a
sec e ju2 tan u F p[s(t)](u)e ju2 tan du]n a
常见信号的分数阶傅立叶变换
F p[ (t t0 )](u)
1 j tan e u2 j[
02
2
tan
u0
sec
]
其中： k , k Z。
2
常见信号的分数阶傅立叶变换
F p[e jct2 / 2 ](u)
1 j tan
j[ u2 ctan ]
e 2 1c tan
1 c tan
其中： arctan c k , k Z。
j2 u cot 1 j cot s(t) exp( j2 t2 u2 cot j2 tu )dt
2
2
sin
j2 1 （ 1 j cot ts(t) exp( j2 t2 u2 cot j2 tu )dt)
sin

F ps(u) K p (t,u)s(t)dt
我们得到：

分数阶傅里叶变换的幻灯片

分数阶傅里叶变换的幻灯片

得信号
dx(t) dt
jF 2[ X (u)u](t) 2
和
tx(t) F 0[ X 0(u)u](t)

j
dx(t) dt

1
2 sin
{F [ X

(u)u](t)

F[X

(u)u](t)}
tx(t)

1
2 cos
{F
[ X

(u)u](t)

F[X

F

2
[
X


2
(u)u](t)


j
dX dt
(t)
（7）
这就把

2
阶的FRFT 域的滤波表示为
阶
FRFT 的微分。
由FRFT 的性质可得：
F [x(u)u](t) (t cos j sin D)F[x(u)](t)（8）
F [x (u)u](t) (t cos j sin D)x(t)
3.分数阶Fourier 变换的优势
1)分数阶Fourier 变换是一种统一的时频变换, 随着阶数从0 连续增长到1,分数阶Fourier 变换展示出信号从时域逐步变 化到频域的所有变化特征, 可以为信号的时频分析提供更大 的选择余地；
2)分数阶Fourier 变换可以理解为chirp 基分解, 因此,它十分 适合处理chirp类信号。
分数阶傅立叶变换
分数阶傅立叶变换
分数阶Fourier 变换是对经典Fourier 变换的推广。 最早由Namias以数学形式提出, 并很快在光学 领域得到了广泛应用。而其在信号处理领域的 潜力直到20世纪90年代中期才逐渐得到发掘。 尽管分数阶Fourier 变换的定义式直观上看仅是 chirp 基分解, 而实质上分数阶Fourier 变换更具 有时频旋转的特性, 它是一种统一的时频变换, 随着变换阶数从0连续增长到1而展示出信号从 时域逐步变化到频域的所有特征，可以为信号 的时频分析提供更大的选择余地。

傅里叶变换专题教育课件

傅里叶变换专题教育课件

Ω
-
2
３双边奇指数信号
et
f
(t )
e t
旳傅里叶变换为 ：
t 0 t 0
f (t) 1
0
t
F () f (t)e jt dt
-1
0 et e jt dt et e jt dt
0
1
j
2 2 2
| F() |
其幅度频谱和相位频谱为
|
F
()
|
2
2
||
2
() 2
2
0 0
2.在任何有限区间内，只有有限个最大值和最小值。
3.在任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在 每个不连续点上信号都必须取有限值，这时傅里叶 变换收敛于间断点两边函数值旳平均值。
常见非周期信号旳傅里叶变换
１矩形脉冲信号
f(t)
E
E f (t )
0
| t |
2
| t |
2
-
0
t
2
2
E：脉冲幅度，τ：脉冲宽度。其傅里叶变换为
信号可进行傅里叶变换旳条件： 一般来讲，若信号函数满足绝对可积条件，即：
f (t) dt
则信号可进行傅里叶变换。注：此式只是信号函数进行傅里叶变换 旳充分条件。在引入广义函数后，有些不满足此式旳信号函数也能够 进行傅里叶变换。
周期信号旳傅里叶变换：
设有周期性矩形脉冲信号f(t)，
E
f (t )
“非周期信号都能够用正弦信号旳 加权积分来表达”——傅里叶旳第 二个主要论点
§3 傅里叶变换
3.2信号旳傅里叶变换 傅里叶变换有下列积分定义：
： 傅里叶正变换公式
F () F [ f (t )] f (t )e jt dt

第五章 快速傅立叶变换(FFT)PPT课件


N /2 1
M 2 1
X (k) x1(l)W N k/2 lW N k x2(l)W N k /2 (2l 1) (5.3.1)
l 0
n 奇数
7
第五章 快速傅立叶变换(FFT)
(5.3.1)式说明，按n的奇偶性将x(n)分解为两个N/2长的 序列x1(l)和x2(l)，则N点DFT可分解为两个N/2点DFT来计算。 用X1(k)和X2(k)分别表示
(N 2)22N 2N 2(N1)|N1 N 22
总的复数加法次数为 (N1)N2N2N2 2 22 2
11
第五章 快速傅立叶变换(FFT)
X (0)
x(0 )
1
x(2 )
N/2点 X1(1 )
x(4 )
X1(2 ) DFT
x(6 )
X1(3 )
x(1 )
X2(0 )
W
0 N
x(3 )
N/2点
X2(1 )
N/21
X1(k)DF [x1T (l)N ]/2点 x1(l)W N k/2l
l0
N/21
X2(k)DF [x2T(l)N ]/2点 x2(l)W N k/2l
l0
k0,1,..N .,1 2
k0,1,..N .,1 2
将(5.3.2)式和(5.3.3)式代入(5.3.1)式， 和X1(k)、 X2(k)的隐含周期性可得到：
A(3)
W
2 N
A(4)
A(5)
A(6)
W
0 N
A(7)
W
2 N
A(0)
A(1)
A(2)
A(3)
A(4)
W
0 N
A(5)
W

【国家自然科学基金】_分数阶fourier变换(frft)_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802


科研热词 推荐指数 分数阶傅里叶变换 7 分数阶fourier变换 4 线性调频信号 2 特征提取 2 水声通信 2 双基地mimo雷达 2 参数估计 2 分数阶fourier变换(frft) 2 分数傅里叶变换 2 信噪比 2 frft-music算法 2 频谱切割 1 非bragg散射 1 采样定理 1 酉变换 1 被动时间反转镜 1 线调频小波原子 1 线性调频扩频技术 1 线性调频 1 线性系统 1 笑脸识别 1 空时自适应处理(stap) 1 瞬时频率 1 相近参数多分量lfm信号 1 甚小频偏线性调频信号 1 正交频分复用(ofdm) 1 正交多载波 1 欠采样 1 机载预警雷达 1 机动目标 1 最佳旋转角度 1 最优阶 1 最优滤波 1 时变海面 1 故障诊断 1 提取 1 探地雷达 1 平均散射功率 1 局域二值模式算子 1 子波 1 多普勒频移 1 多普勒频率 1 多普勒系数 1 多普勒效应 1 复合调制 1 地震信号 1 图像加密 1 去噪 1 分数阶功率谱(fps) 1 分数域滤波 1 信道均衡 1 低截获概率雷达 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
科研热词 推荐指数 分数阶fourier变换 2 线性调频信号 1 离散分数阶傅立叶变换 1 数字信号处理器 1 均匀圆阵 1 参数估计 1 动目标检测 1 分数阶傅里叶变换(frft) 1 分数阶傅里叶变换 1 分数阶傅立叶变换 1 傅立叶变换 1 二维波达方向估计 1 lfm信号 1 dpca 1 doa估计 1

傅里叶变换Fouriertransform33页PPT


-0.5
-0.75
1
2
3
S1 1
0.5
-3
-2
-1
-0.5
-1
1
2
3
S2
0.75 0.5
0.25
-3
-2
-1
-0.25
-0.5
-0.75
1
2
3
S3
0.75 0.5
0.25
-3
-2
-1
-0.25
-0.5
-0.75
1
2
3
S6
0.75 0.5
0.25
-3
-2
-1
-0.25
-0.5
-0.75
1
2
3
S12
0.75 0.5
傅立叶级数
傅立叶展开
傅立叶展开定理：
• 周期为2π的函数f(x) 可以展开为三角级数， • 展开式系数为
a n1 f(x)cn ox s , b d n x 1 f(x)sinnxd x
狄利克雷收敛定理
• 收敛条件 • 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； • 在一个周期内至多只有有限个极值点。
• 理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示； • 应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。 • 例如：对称方波的傅立叶展开
/4, 0x f(x)/4, x0
Sm(x)
m
n1
sin2(n1)x 2n1
m l im Sm(x)f(x)
f 0.75
0.5 0.25
-3
-2
-1
-0.25
0.25
-3
-2
-1
-0.25

《傅里叶变换》课件

特点
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
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电信工程学院
11
二.FRFT的基本概念
核概念及性质 设p为任意实数,我们定义广义Fourier变换: p p p 其中核函数为:
2 2
=p/2 1 1 u cot ut csc t cot ) jcot j(1 2 e2 , 若 n 2 K t,u ) ( t u ), 若 2 n p( ( t u ), 若 ( 2 n 1 )

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12
X ( u ) { F [ x ( t )]} ( u ) K ( t , u ) x ( t ) dt
二.FRFT的基本概念
核函数具有以下性质:
1.互换性 2. 3.
K ( t , u ) K ( u , t ) p p * K ( t , u ) K ( t , u ) p p
若 n 若 2n 若 x (2n1 )
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15
二.FRFT的基本概念
方波的几种分数阶Fourier变换. 实线: 实部
虚线: 虚部
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16
二.FRFT的基本概念
图(a): 三角函数rect(x/2)* rect(x/2)的幅值（实线） 和p=0.5的FRFT的幅值 （虚线） 图(b):图(a)的相位，三角函数 （实线），FRFT（虚线） 图(c):有限长正旋函数 e j2x rect(x/20)的实部 图(d):图(c):有限长正旋函数的 FRFT(p=0.5)的实部 图(e):线性调频函数e -j2x2的 实部 图(f):图(e)的FRFT (p=2arctan(-2)/ +1)
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3
相关术语
FRFT:Fractional Fourier Transform 广义Fourier变换: Fractional Fourier Transform STFT:Short-Time Fourier Transform MSTFT:Modified Short-Time Fourier Transform WD: Wigner Distribution LFM: 线调频信号
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14
二.FRFT的基本概念
p
X ( u ) { F x }( u ) x ( t ) K ( t , u ) dt p p
1 2 12 j u cot j t cot 1 j cot 2 jutcsc 2 e x ( t ) e e dt , 2 x(t), x(t),
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6
一.问题的提出
有用信号为 2 (t-4) 高斯信号e
干扰为 2 -j t 线性调频信号e .
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7
一.问题的提出
信号:高斯包络的线调频信号(LFM) 干扰为加性实值白噪声.
电信工程学院
8
一.问题的提出
LFM信号可广泛应用于各种信息系统 通信 雷达 声纳 地质勘探
4.积分相加性（完备性）
p
K ( t , u ) K ( t , u ) p p
q p q
( t , z ) K ( z , u ) dz K ( t , u ) K
5.正交性
( t , u ) K ( t , u ' ) dt ( u u ' ) K来自电信工程学院9
二.FRFT的基本概念
传统Fourier变换的定义及性质
两个函数g(t)与G(w)为Fourier变换对 G(w)= g(t) e-jwtdt /√2 g(t)= G(w) ejwtdw /√2
G(w)=F(g(t)) F2(g(t))=F[F(g(t)] =g(-t) F3(g(t))=G(-w) F4(g(t))=F[F3(g(t)] =g(t)
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10
二.FRFT的基本概念
分数阶的Fourier变换的定义 Fourier变换可以看成时域与频域的关系，在时频平面上为 旋转/2,我们定义一个实数=p/2,其中p为任意实数，那么是 否存在旋转角度为的Fourier变换？ 旋转角度不为/2的整数倍的情况下,存在什么样的变换呢? 如果存在,则我们称之为分数阶的Fourier变换. 它应具有的基本性质: 1. 零旋转 R0=I 2. 与Fourier变换等价 R /2=F 3. 旋转相加性 RR=R + 4. 恒等变换 R2 =I
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4
主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9 问题的提出 FRFT的基本概念 FRFT的基本性质 一些常见信号的FRFT FRFT的计算方法 FRFT的二维表示 FRFT的应用 FRFT域内的算子 我的想法
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5
一.问题的提出
信号的时频滤波 时域滤波 频域滤波 时频域滤波
p * p
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13
二.FRFT的基本概念
广义Fourier变换的两个特例 1.以传统的Fourier变换为例,我们可 以看出,传统的Fourier变换为广义 Fourier变换的一个特例, 在广义 Fourier变换中,令p=1即为传统的 Fourier变换. 此时广义Fourier变换的核函数即为传 统的Fourier变换中的标准正弦正交基函数 2.在广义Fourier变换中,令p=0即为输入的时间函数 x(t),p=0 =0核函数为(t-u) 3.传统的Fourier变换为广义Fourier变换的一个特例 4.核函数为p的连续函数
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17
二.FRFT的基本概念
信号重构:可逆无损失的变换，仅仅改变信号的形式， 并不改变信号的内容，因而信号通过正变换由一个域 变换到另一个域，而通过反变换又回到原始域。 有的信号重构不需要条件,有的信号重构有时需要一 定的条件。 比如， （1）FFT与IFFT(无条件）
分数阶FROURIER变换
电信工程学院
1
本小组人员
李耀民
张咏梅
张陆勇 张风山 王春光 邓天乐
朱雪田 孙华明
电信工程学院
2
分数阶FROURIER变换
目标： FRFT 的本质特征之一：旋转不变性 FRFT 的本质特征之二：FRFT的内涵 FRFT特别适用于LFM信号的分析与处理 FFT为FRFT的一个特例