专题四方程与方程组
解题方法技巧
本专题主要考查方程思想和转化思想，同时考查学生收集和处理信息的能力、分析和解决实际问题的能力及创新实践的能力．
1．解方程（组）的方法
解方程（组）主要采用加减消元法、代入消元法、因式分解法、公式法、去分母法、换元法等；对于特殊形式的方程（组）可采用对称思想、整体思想、非负数性质、定义法、拆项法等特殊的方法求解．
例1 解方程组
7, 28. x y
x y
+=
?
?
-=?
2．换元法
换元法解方程（组），关键是观察分析出能够换元的整式或分式，有时需要对方程（组）进行整理变形（如因式分解、配方、添拆项等）才能观察出如何换元，
例2 解方程：
2
2
(1)1
20
x x
x x
--
--=．
3．列方程（组）解应用题
列方程（组）解应用题的关键是找到能够表示题目全部含义的相等关系，常见的相等关系有两种：第一种是题目中的关键词语表示的相等关系，例如：“多”“少”“增加”“减少”等；另一种是题目中没有明显给出而题意中又包含着的隐含相等关系，隐含相等关系需结合日常生活常识和自然科学知识才能得到，常用的方法有：（1）译式法；（2）图示法；（3）表格法等．方程（组）常与函数、不等式（组）等知识结合，解决生活中的热点问题．
例3 同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个．要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？热点试题归类
考点1 一元一次方程
1．王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4. 25%，若到期后取出得到本息和（本金+利息）33825元．设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是（）A．x+3×4.25%x=33825 B．x+4.25%x=33825
C．3×4.25%x=33825 D．3（x+4.25%x）=33825
2．已知关于x的方程250
x a
--=的解是2
x=-，则a的值为（）A．1 B．-1 C．9 D．-9
3．湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰
问老人，如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完，设敬老院有x 位老人，依题意可列方程为
．
4．购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么这本书的原价是 元．
5．列方程解应用题：
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？
6．某地为了打造风光带，将一段长为360 m 的河道整治任务交给甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m ，乙工程队每天整治16 m 求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道．
考点2 二元一次方程组
1．为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了10000人，并进行统计分析．结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是 2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人，如果设这10000人中，吸烟者患肺癌的人数为x ，不吸烟者患肺癌的人数为y ，根据题意，下面列出的方程组正确的是（ ）
A ．22,2.5%0.5%10000x y x y -=???+?=?
B ．22,100002.5%0.5%
x y x y -=???+=?? C ．10000,2.5%0.5%22x y x y +=???-?=? D ．10000222.5%0.5%
x y x y +=???-=?? 2．四川雅安地震期间，为了紧急安置60名地震灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好（即不多不少）能容纳这60名灾民，则不同的搭建方案有（ ）
A ．4种
B ．11种
C ．6种
D ．9种
3．陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ）元．
A ．19
B ．18
C ．16
D ．15
4．2533428a b a b x y =----=是二元一次方程，那么a -b = ．
5．某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x ，到瑞金的人数为y ，请列出满足题意的方程组 ．
6．如图所示，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长
度是它的1
3
，另一根露出水面的长度是它的
1
5
．两根铁棒长度之和为
220cm，此时木桶中水的深度是cm.
7．二元一次方程组
21,
3211
x y
x y
+=
?
?
-=
?
的解是.
8．解方程组
1, 28. x y
x y
=+
?
?
+=
?
①
②
9．已知关于x，y方程组
7,
234
mx ny
mx ny
+=
?
?
-=
?
的解为
1,
2,
x
y
=
?
?
=
?
求m，n的值.
10．解方程组：
23,
0.
x y
x y
+=?
?
-=
?
11．已知关于x，y的方程组
2,
2324
x y m
x y m
-=
?
?
+=+
?
①
②
的解满足不等式组
30,
50.
x y
x y
+
?
?
+>
?
≤
求满足条
件的m的整数值.
12．解方程组：
2()1
, 3412 3()2(2) 3.
x y x y
x y x y
-+
?
-=-
?
?
?+--=?
13．苏州某旅行社组织甲、乙两个旅游团分别到西安、北京旅游．已知这两个旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人．问甲、乙两个旅游团各有多少人？
14．为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1，2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；
若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．
（1）求1号线、2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？
（2）除1，2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网．据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的
1.2倍，则还需投资多少亿元？
15．夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%.已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？
16
甲乙
进价（元/部）4000 2500
售价（元/部）4300 3000 该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元．预计全部销售后可获毛利润共2.1万元．（毛利润=（售价-进价）×销售量）
（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2
倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全
部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．
17．为了让市民树立起“珍惜水、节约水、保护水”的用水理念，某市从2013年4月起，居民生活用水按阶梯式计算水价，水价计算方式如图所示，每吨水
需另加污水处理费0. 80元．已知小张家2013年4月份用水20吨，
交水费49元；5月份用水25吨，交水费65.4元．（温馨提示：水费
=水价+污水处理费）
（1）求m，n的值；
（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小张计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%. 若小张家的月收入为8190元，则小张家6月份最
多能用水多少吨？
考点3 分式方程
1．解分式方程
22
3
11
x
x x
+
+=
--
时，去分母后变形为（）
A．2(2)3(1)
x x
++=-B．223(1)
x x
-+=-C．2(2)3(1)
x x
-+=-D．2(2)3(1)
x x
-+=-
2．分式方程
21
2
x x
-=
-
的根是（）
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
3．甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米／时，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米／时，由题意列出方程，其中正确的是（）
A．110100
2
x x
=
+
B．
110100
2
x x
=
+
C．
110100
2
x x
=
-
D．
110100
2
x x
=
-
4．分式方程32
1
x x
=
-
的解是（）
A．x=-3 B．
3
5
x=-C．x=3 D．无解
5．方程15121
x x =-+的解为 . 6．方程201
x x x +=+的根是 . 7．方程211x x
=+的解为x = . 8．分式方程
21311x x x
+=--的解是 . 9．杭州到北京的铁路长1487千米，火车的原平均速度为x 千米／时，提速后平均速度增加了70千米／时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程 ．
10．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450机器所需时间相同，现在平均每天生产 台机器． 11．解方程21122x x x
=---. 12．解分式方程：
22142x x x +=--. 13．解方程233x x
=-. 14．列方程或方程组解应用题：
某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．
15．某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款总额为6600元，第二次捐款总额为7260元，第二次捐款人数比第一次多30人，而且两次人均捐款额恰好相等．求第一次的捐款人数．
16．某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍．
（1）若每副乒乓球拍的价格为x 元，请你用含x 的代数式表示该校购买这批乒乓球
拍和羽毛球拍的总费用；
（2）若购买的两种球拍数一样，求x ．
17．解方程：
3511x x x =---. 18．解方程：231.12
x x x x -=-+- 19．为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元，已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．
（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？
20．2013年4月20日，我省雅安市芦山县发生了里氏7.0级强烈地震．某厂接到在规定时间内加工1500顶帐篷支援灾区人民的任务．在加工了300顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务，求原来每天加工多少顶帐篷？ 考点4 一元二次方程
1．已知实数a ，b 分别满足2640a a -+=，2640b b -+=，且a ≠b ，则b a a b
+的值是（ ） 2．已知关于x 的方程2(1)10kx k x +--=，下列说法正确的是（ ）
A ．当k =0时，方程无解
B ．当k =l 时，方程有一个实数解
C ．当k =-1时，方程有两个相等的实数解
D ．当k ≠0时，方程总有两个不相等的实数解
3．下列关于x 的一元二次方程有实数根的是（ ）
A ．210x +=
B ．210x x ++=
C ．210x x -+=
D ．210x x --=
4．方程(2)(3)0x x -+=的解是（ ）
A ．2x =
B ．x=-3
C ．x 1=-2，x 2=3
D ．x 1=-2，x 2=-3
5．若x l ，x 2是一元二次方程2230x x --=的两个根，则x 1x 2的值是（ ）
A ．-2
B ．-3
C ．2
D ．3
6．用配方法解方程2210x x --=时，配方后所得的方程为（ ）
A ．2(1)0x +=
B ．2(1)0x -=
C ．2(1)2x +=
D ．2(1)2x -=
7．据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600元／m 2，2013年同期将达到8200元／m 2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x ，根据题意，所列方程为（ ）
A ．7600（l+x %）2=8200
B ．7600（1-x %）2 =8200
C ．7600（1+x ）2 =8200
D ．7600（1-x ）2 =8200
8．已知b ＜0，关于x 的一元二次方程2(1)x b -=的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．有两个实数根
9．一元二次方程（x +6）2 =16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x +6=4，则另一个一元一次方程是（ ）
A ．x -6=-4
B ．x -6=4
C ．x +6=4
D ．x +6=-4
10．已知x =2是一元二次方程的220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ）
A ．-3
B ．3
C ．0
D ．0或3
11．已知x l ，x 2是一元二次方程220x x -=的两根，则x l +x 2的值是（ ）
A ．0
B ．2
C ．-2
D ．4
12．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范
围是（ ）
A ．k ＞-l
B ．k ＜l 且k ≠0
C ．k ≥-l 且k ≠0
D ．k ＞-l 且k ≠0
13．已知一元二次方程260x x c -+=有一个根为2，则另一根为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
14．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A ．438(l+x )2 =389
B ．389(l+x )2 =438
C ．389 (1+2x )=438
D ．438(1+2x )=389
15．一元二次方程x (x -6)=0的两个实数根中较大的根是 ．
16．某企业2010年底缴税40万元，2012年底缴税48.4万元，设这两年该企业缴税的年平均增长率为x ，根据题意，可得方程 ．
17．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为 ．
18．一元二次方程230x x -=的根是 ．
19．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边长，且S △ABC =3，请写出一个符合题意的一元二次方程 ．
20
．若|1|0b -=，且一元二次方程20kx ax b ++=有实数根，则k 的取值范围是 ．
21．当x 满足条件133,11(4)(4)2
3x x x x +<-???-<-??时，求出方程x 2-2x -4=0的根． 22．已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．
23．解方程：2(21)(32)7x x x -=+-．
24．解方程：2310x x --=.
25．雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率．
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
26．关于x 的一元二次方程为2(1)210m x mx m --++=．
（1）求出方程的根；
（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
27．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
28．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是方程的两个实数根，第三边BC 的长为5．当△ABC
是等腰三角形时，求k 的值．
29．已知关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根x l ，x 2．
（1）求实数k 的取值范围；
（2）是否存在实数k 使得221212
0x x x x --≥成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由.
考点5 方程（组）的综合与创新
1．对于实数a ，b ，定义运算“*”：22(),*().a ab a b a b ab b a b ?-?=?-
≥ 例如：4*2，因为4＞2，所以4*2=12-4×2=8. 若x 1，x 2是一元二次方程x 2-5x +6=0的两个根，则x 1*x 2= .
2．若关于x 的分式方程
32122
x a x x =---有非负数解，则a 的取值范围是 ． 3．在数轴上，点A (表示整数a )在原点O 的左侧，点B (表示整数b )在原点O 的右侧．若
||2013a b -=，且AO =2BO ，则a +b 的值为 ． 4．解方程组：222,20.x y x xy y -=-??--=?
5．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式。
这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．
[研究速算]
提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．
（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或(40+7+3)×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和．即47×43= (40+10)×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速
算方法是（用文字表述）：
[研究方程]
提出问题：怎样图解一元二次方程22350
+-=(x＞0)?
x x
几何建模：
（1）变形：x(x+2)=35．
（2）画四个长为(x+2)，宽为x的矩形，构造图④．
（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，(x+x+2)2或四个长(x+2)，宽x的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积，
即22
++=++.
x x x x
(2)4(2)2
∵(2)35
x x+=，
∴22
++=?+，
x x
(2)4352
∴(2x+2)2 =144．
∵x＞0，∴x=5．
归纳提炼：求关于x的一元二次方程x(x+6)=c(x＞0，b＞0，c＞0)的解.
要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）．
[研究不等关系]
提出问题：怎样运用矩形面积表示(y+3)(y+2)与2y+5的大小关系
（其中y＞0）?
几何建模：
（1）画长(y+3)，宽(y+2)的矩形，按图⑤方式分割．
（2）变形：2y+5=(y+3)+(y+2)．
（3）分析：图⑤中大矩形的面积可以表示为(y+3)·(y+2)；阴影
部分面积可以表示为(y+3)×1，画点部分的面积可表示为
(y+2)．由图形的部分与整体的关系可知，(y+3)(y+2)＞(y+3)+(y+2)，即(y+3)(y+2)＞2y+5．归纳提炼：
当a＞2，b＞2时，表示ab与a+b的大小关系.
根据题意，设a=2+m，b= 2+n(m＞0，n＞0)．要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）．
6．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．
（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天?
（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队单独继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？
三、方程和方程组 1.某河上游的A地，为改善流域环境，把一部分牧场改为林场。改变后，林场与牧场共有162 公顷，牧场面积是林场面积的20％，问退牧还林后林场面积为多少公顷？ 2.某队伍长450m，以1.5m/s的速度行进，一个通讯兵从排尾赶到排头，并立即返回排尾，他 的速度是3m/s，那么往返需要多少时间？ 3.一个容器盛满酒精20L，倒出一部分后又用水加满；第二次又倒出与第一次相同体积的酒精 溶液，再用水加满，这时容器内的水是纯酒精的3倍，求每次倒出溶液的体积。 4.某厂以500万元资金投入生产，在一年中可以得到一定的利润，第二年又以这500万元资金 和上年的利润一并投入生产，结果得利润42.2万元。已知第二年的利润比第一年增加2.5％，求第一年的利润是投产资金的百分之几？ 5.一水池装有A、B两水管，单独打开A管比单独打开B管注满水池多用10小时，现在先打开 B管10小时后，再打开A管，共同注水6小时将水池注满。问同时打开两管注满水池需要几小时？ 6.一船由A港到B港顺流需行6小时，由B港逆流需行8小时。一天船从早晨6点由A港出发 顺流行到B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈。问：（1）若船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时? （2）救生圈是何时掉入水中的？ 7.甲、乙两人分别骑摩托车从A、B两地相向而行。甲行1小时后，乙才出发，又经过4小时两 人在途中的C地相遇。相遇后两人按原来的方向继续前进。乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟。已知乙比甲每小时多行驶4km，求甲、乙两车的速度。 8.某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相 距40km，摩托车的速度为45km/h，运货汽车的速度为35km/h， ？”请将这道作业题补充完整，并列方程解答。 9.某校参加数学竞赛的有120名男生，80名女生；参加英语竞赛的有120名女生，80名男生。 已知该校总共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数是多少人？ 10.果品公司购进苹果5.2万千克，每千克的进价是0.98元，付运费的开支1840元，预计损耗 为1％。如果希望全部销售后能获利17％，问每千克苹果零售价应当定为多少元？ 11.某种商品因换季准备打折出售。如果按定价的七五折出售将赔25元；而按定价的九折出售
专题07 方程与方程组的解法 一、知识点精讲 一元一次方程 ⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a =； ②当0a =，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 二元一次方程 在一个方程中，含有两个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫二元一次方程。 二元一次方程组： （1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法③整体消元法，。 二、典例精析 ①一元高次方程的解法 思想：降次 方法：换元、因式分解等 【典例1】解方程. （1）4213360x x -+= （2）63980x x -+= 【答案】见解析 【解析】 （1）4222 13360(4)(9)02 3.x x x x x x -+=?--=?=±=±或 （2）6333 980(1)(8)1 2.x x x x x x -+=?--?==或 【典例2】解方程.
（1）32+340x x x -= （2）3210x x -+= 【答案】见解析 【解析】 （1）322 +340(34)0(4)(1)04 1.x x x x x x x x x x x -=?+-=?+-?==-=或或 （2 ）33221010(1)(1)1x x x x x x x x x x -+=?--+=?-+-?==或 ②方程组的解法 解方程组的思想：消元 解方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法，③整体消元法等。 【典例3】解方程组. 347(1)295978x z x y z x y z +=??++=??-+=? 3(2)45x y y z z x +=?? +=??+=? 【答案】见解析 【解析】 5 3471(1)29359782x x z x y z y x y z z =?+=???? ++=?=???? -+=??=-? 3(2)45x y y z z x +=??+=??+=?213x y z =?? ?=??=? 【典例4】解方程组22 210 4310x y x y x y --=??-++-=? 【答案】见解析 【解析】 22 2104310x y x y x y --=??-++-=?8115 1115x x y y ? = ?=?????=??= ?? 或 【典例5】解方程组.
中考复习专题——方程和方程组及其应用 基础知识点： 一、方程有关概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程：求方程的解或判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 （1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0） （2）一元一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0） （3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。 （4）一元一次方程有唯一的一个解。 2、一元二次方程 （1）一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （其中x 是未知数，a 、b 、c 是已知数，a ≠0） （2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 （3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。 （4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=? 当Δ ＞0时?方程有两个不相等的实数根； 当Δ =0时?方程有两个相等的实数根； 当Δ < 0时?方程没有实数根，无解； 当Δ≥0时?方程有两个实数根 注：常用公式 配方式
（5）一元二次方程根与系数的关系： 若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根， （6）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 例1、解下列方程： （1）2)3(2 12=+x ；（2）1322=+x x ；（3）22)2(25)3(4-=+x x 分析：（1）用直接开方法解；（2）用公式法；（3）用因式分解法 （4）配方法 [规律总结]如果一元二次方程形如)0()(2≥=+n n m x ，就可以用直接开方法来解；利用公式法可以解任何一个有解的一元二次方程，运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式。 例2、解下列方程： （1）)(0)23(2为未知数x b a x a x =+--； （2）08222=-+a ax x 分析：（1）先化为一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解。 [规律总结]对于带字母系数的方程解法和一般的方程没有什么区别，在用公式法时要注意判断△的正负。 例3、已知关于x 的方程：032)1(2=+++-p px x p 有两个相等的实数根，求p 的值。 分析：由题意可得?=0，把各系数代入?=0中就可求出p ，但要先化为一般形式。 [规律总结]对于根的判别式的三种情况要很熟练，还有要特别留意二次项系数不能为0 例4、已知a 、b 是方程0122=--x x 的两个根，求下列各式的值： （1）22b a +；（2）b a 11+ 分析：先算出a+ b 和ab 的值，再代入把（1）（2）变形后的式子就可求出解。 [规律总结]此类题目都是先算出两根之和和两根之积，再把要求的式子变形成含有两根之和和两根之积的形式，再代入计算。但要注意检验一下方程是否有解。 例5、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程052=--x x 的两个根小3 分析：先出求原方程的两根之和21x x +和两根之积21x x 再代入求出)2()3(21-+-x x 和)3)(3(21--x x 的值，所求的方程也就容易写出来。解：略 [规律总结]此类题目可以先解出第一方程的两个解，但有时这样又太复杂，用根与系数的关系就比较简单。 三、分式方程 （1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 （2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。 特殊方法：换元法。 （3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就
2019-2020 年中考数学总复习专题基础知识回顾六方程与方程组一、单元知识网络 二、考试目标要求 1.能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数 学模型 . 2. 经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程. 3. 会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程( 方程中的分式不超过 两个 ). 4. 理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程. 5. 能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理. 三、知识考点梳理 考点一：等式性质 1.等式的两边都加上 ( 或减去 ) 同一个整式，结果仍是等式 . 2.等式的两边都乘以同一个数，结果仍是等式. 3.等式的两边都除以同一个不等于零的数，结果仍是等式.
考点二：方程及相关概念 1.方程定义 含有未知数的等式叫做方程 . 2.方程的解 使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解( 一元方程的解也叫做根). 3.解方程 求方程的解的过程，叫做解方程. 考点三：一元一次方程 1.一元一次方程定义 只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程. 2.一元一次方程的一般形式 : . 3.解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母； (2) 去括号； (3) 移项； (4) 合并同类项； (5) 系数化成 1；(6) 检验 ( 检验步骤可以不写出来 ) 考点四：二元一次方程组 1.二元一次方程组定义 两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组 . 2. 二元一次方程组的一般形式: 3.二元一次方程组的解法： (1)代入消元法； (2)加减消元法 . 考点五：分式方程 1.分式方程定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程与整式方程的联系与区别： 分母中是否含有未知数 .
专题四 方程与方程组 一. 填空题： 1. 方程 2x ＋y ＝5 的所有正整数解为＿＿＿＿ 2. 若 ? ??==2y 1x 是方程3ax －2y ＝2 的解，则 a ＝＿＿＿＿ 3. 当 a ＿＿＿＿时，方程 （a －1） x 2 ＋x －2＝0 是一元二次方程。 4. 方程 x 111x 122 +=--的解为＿＿＿＿ 5. 如果方程x 2m 12x 1x -=+-+有增根，那么m ＝＿＿＿＿ 6. 3名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一场，一共需要＿＿场比赛，则5名同学一共需要＿＿＿＿比赛。 7. 如图，四个一样大的小矩形拼成一个大矩形，如果大矩形的周长为12cm ，那么小矩形的周长为＿＿＿＿cm 。 8. 长20m 、宽15m 的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的 21，若四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为＿＿＿＿。 二. 选择题： 1. 下列方程中，属于一元一次方程的是（ ） A. x ＝y ＋1 B. 1x 1= C. x 2＝x －1 D. x ＝1 2. 已知3－x ＋2y ＝0，则2x －4y －3的值为（ ） A. －3 B. 3 C. 1 D. 0 3. 用“加减法”将方程组? ??-=+=-1y 4x 29y 3x 2中的x 消去后得到的方程是（ ） A. y ＝8 B. 7y ＝10 C. －7y ＝8 D. －7y ＝10 4. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. x ＋3＝5 B. xy ＝3 C. 0x 1x 2=+ D. 2x 2－1＝0 5. 若关于x 的方程 11x a x 2=--无解，则a 的值等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
专题二不等式与方程 次方程2x 3y 6的解，贝卩k的值为 4.如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相 等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 6.如果关于x的一元二次方程k2x2（2k 相 等的实数根，那么k的取值范围是（ A. k > k 0； 7.已知a、b、c分别是三角形的三边，则关于x的一元二 一、选择题 1.已知4x4m y 3m 与5x n y是同类项，贝卩与的值分别 2.列哪个不等式组的解集在数轴上表示如图所示 A. B. ：21 C. x x 2 D. x 2 1 x 1 第2题图3 . 若关于X, y的二元一次方程组: x 5k, 9k 的解也是二元 A. 20g.30g ) 的结果是（ 82 4 - K2~ 2 - K 5.解方程 =-2 =2 =4 D. 无解 A. 3 B. 3 C. D. 1)x 1 0有两个不 ) 1 ; D. k -且 4 4 1 ; B. k > 1且k 0; C. k v 4 4
A . -1 B . 1 C . 2 D . -2 11.三角形两边的长是3和4 ,第三边的长是方程 x 2 12x 35 0 的根，则该三角形的周长为（ ） A . 14; B . 12; C . 12 或 14; D.以上都不对 12.直线 y = kx + b 与直线 y = k ?x + c 直角坐标系中的图象如图所示，则关于 等式ky + bv k 2x + c 的解集为（ ） > 1 v 1 C.x >— 2 v- 2 二、填空题 1.关于 x 的方程（a 2 -4 ） x 2 +（a-2）x+6=0. a 满足 时，是一元一次方程，当 a 满足 ________ 时，是一元二次 方程。 次方程（a + b ）x 2 + 2cx + （a + b ） = 0的根的情况是（ ） A .没有实数根 B.可能有且只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 8. 某服装厂准备加工400套运动服，在加工完160套后， 采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了 20%结果 共用了 18天完成任务。问：计划每天加工服装多少套在 这个问题中，设计划每天加工 x 套，则根据题意可得方程 （ ） A. 9. 在某次聚会上，每两个人都握了一次手，所有人共握手 100次, 设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ） x (x - 1) x (x + 1) (x-1)=100 ―j — 二 100 D. ―j — 二 100 10. 若(3x 4y 1)2 3y 2x 5 0 则 x ( ) 160 400 = 18 {1 + 10 18 C. 160 400 - "0 x 咖 18 400 一 + 400 - 160 (1 + 20V x 18 B 400-160 (1 + 20%) X ~
中考数学总复习专题基础知识回顾六方程与方程组 一、单元知识网络 二、考试目标要求 1.能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的 数学模型. 2.经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程. 3.会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过 两个). 4.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程. 5.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理. 三、知识考点梳理 考点一：等式性质 1.等式的两边都加上(或减去)同一个整式，结果仍是等式. 2.等式的两边都乘以同一个数，结果仍是等式. 3.等式的两边都除以同一个不等于零的数，结果仍是等式.
考点二：方程及相关概念 1.方程定义 含有未知数的等式叫做方程. 2.方程的解 使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). 3.解方程 求方程的解的过程，叫做解方程. 考点三：一元一次方程 1.一元一次方程定义 只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程. 2.一元一次方程的一般形式: . 3.解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化成 1；(6)检验(检验步骤可以不写出来) 考点四：二元一次方程组 1.二元一次方程组定义 两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 2.二元一次方程组的一般形式: 3.二元一次方程组的解法： (1)代入消元法； (2)加减消元法. 考点五：分式方程 1.分式方程定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程与整式方程的联系与区别： 分母中是否含有未知数. 3.分类:
专题四方程与方程组 解题方法技巧 本专题主要考查方程思想和转化思想，同时考查学生收集和处理信息的能力、分析和解决实际问题的能力及创新实践的能力． 1．解方程（组）的方法 解方程（组）主要采用加减消元法、代入消元法、因式分解法、公式法、去分母法、换元法等；对于特殊形式的方程（组）可采用对称思想、整体思想、非负数性质、定义法、拆项法等特殊的方法求解． 例1 解方程组 7, 28. x y x y += ? ? -=? 2．换元法 换元法解方程（组），关键是观察分析出能够换元的整式或分式，有时需要对方程（组）进行整理变形（如因式分解、配方、添拆项等）才能观察出如何换元， 例2 解方程： 2 2 (1)1 20 x x x x -- --=． 3．列方程（组）解应用题 列方程（组）解应用题的关键是找到能够表示题目全部含义的相等关系，常见的相等关系有两种：第一种是题目中的关键词语表示的相等关系，例如：“多”“少”“增加”“减少”等；另一种是题目中没有明显给出而题意中又包含着的隐含相等关系，隐含相等关系需结合日常生活常识和自然科学知识才能得到，常用的方法有：（1）译式法；（2）图示法；（3）表格法等．方程（组）常与函数、不等式（组）等知识结合，解决生活中的热点问题． 例3 同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元． （1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？ （2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个．要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？热点试题归类 考点1 一元一次方程 1．王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4. 25%，若到期后取出得到本息和（本金+利息）33825元．设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是（）A．x+3×4.25%x=33825 B．x+4.25%x=33825 C．3×4.25%x=33825 D．3（x+4.25%x）=33825 2．已知关于x的方程250 x a --=的解是2 x=-，则a的值为（）A．1 B．-1 C．9 D．-9 3．湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰
中考专题复习方程与方程组 一. 教学目标： 1. 掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程的定义， 2. 使学生掌握解方程的基本思想、方法、步骤。并能熟练运用各技巧解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程。 3. 列一元一次方程二元一次方程组、一元二次方程、分式方程解应用题。 二. 教学重点与难点 1. 一元二次方程、分式方程的解法及其运用 2. 列方程解决生活实际中的问题 三.知识要点 知识点1、方程（组）的解（整数解）等概念。使等式左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 知识点2、一元一次方程及二元一次方程组的定义 只含有一个未知数并且未知数的次数是1系数不为0的方程叫做一元一次方程 几个二元一次方程组成一组，叫做二元一次方程组 知识点3、一元一次方程、二元一次方程组的解法 一元一次方程的解法是：去分母，去括号，移项，合并同类，系数化为1 二元一次方程组的解法是：通过加减，代入消元转化为一元一次方程 知识点4、一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系 当为二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求x的值。从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值。 知识点5、一元二次方程的定义 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），a，b，c均为常数，尤其a不为零要切记。 知识点6、一元二次方程的几种解法 如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。 知识点7、分式方程的解法 （1）去分母，把分式方程转化为整式方程 （2）解整式方程 （3）检验 知识点8、解分式方程要验根的原因 解分式方程时我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式. 因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验. 知识点9、关于行程、工程、储蓄、打折销售等基本类型应用题的分析 掌握生活中问题的数学建模的方法，多做一些综合性的训练。 例题精讲 例1. 选择题 1、小明的父亲到银行存入20000元人民币，存期一年，年利率为1.98%，到期后应交纳所获利息的20%的利息税，那么小明的父亲存款到期交利息税后共得款（） A. 20158.4元 B. 20198元 C. 20396元 D. 20316.8元 2、我国股市交易中每买卖一次需交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买入上海某股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者实际盈利为（） A. 2000元 B. 1925元 C. 1835元 D. 1910元 3、一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元，设这件商品的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（） A. x·40%×80%＝240 B. x（1＋40%）×80%＝240 C. 240×40%×80%＝x D. x·40%＝240×80%
方程与不等式专题。 一．选择题（共12小题） 1．使得关于x的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的m的和是（） A．﹣1 B．2 C．﹣7 D．0 2．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（） A．k＜1且k≠0 B．k≠0 C．k＜1 D．k＞1 3．不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13总是（） A．非实数B．正数C．负数D．非正数 4．关于x的分式方程﹣=1有增根，则m的值为（） A．1 B．4 C．2 D．0 5．有一个底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 6．某商店出售两件衣服，每件卖了200元，其中一件赚了25%，而另一件赔了20%，那么商店在这次交易中（） A．赚了10元B．亏了10元C．赚了20元D．亏了20元 7．已知关于x的方程x﹣=﹣1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（） A．12 B．36 C．﹣4 D．﹣12 8．方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（） A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜1 C．0＜a＜1 D．＜a＜1 9．按国家2011年9月1日起实施的有关个人所得税的规定个人月工资（薪金）中，扣除国家规定的免税部分3500元后的剩余部分为应纳税所得额，全月应纳税所得额不超过1500元的税率为3%，超过1500元至4500元部分的税率为10%，若小明妈妈某月缴了145元的个人所得税，则她的月工资是（）
1、一次方程 【知识梳理】 1.方程的分类 2.方程的有关概念 （1）方程：含有 的等式叫方程。 （2）方程的解： 叫做方程的解。 （3）解方程： _叫做解方程。 （4）一元一次方程：___________________________________叫做一元一次方程。 （5）分式方程：___________________________________中含有未知数的方程。 3．①解方程的理论根据是：_________________________ ②在解_____方程，必须验根.要把所求得的解代入______进行检验； 【 1. 若(32)x -∶2＝(32)x +∶5，则x ＝ 。 2. 如果 235x -与2 33 x -的值互为相反数，则x ＝ 。 3. 若单项式421 m a b -+与2723 m m a b +-是同类项，则m ＝（ ） A.2 B.±2 C.－2 D.4 ?????? ???? ??__________ ________________________方程 方程方程整式方程方程
4. 若2x+1= 7，则x 的值为（ ） A ．4 B 、3 C 、2 D 、－3 5. 有一个密码系统，其原理由下面的框图所示：→→ 当输出为10时，则输人的x ＝______ 6. 三个连续奇数的和是15，那么其中最大的奇数为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 7. 已知2x+5y ＝3，用含y 的代数式表示x ，则x=___________；当y=1时，x=________ 8. 解方程：（1）12733)1(2-=-++x x x 1.80.80.030.025 1.20.032 x x x ++--= （2） 9. 已知a b 、0b =，解关于x 的方程：2 (2)1a x b a ++=- 10.若关于x 的方程：(3)(2)10354 k x k x x +-- =- 与方程1252(1)3x x --+=的解相同，求k 的值。
八年级上册方程组专题 一、填空题 1、已知x+y=5，且x-y=1，则xy=_________。 2、已知???==5 ,3y x 是方程ax －2y ＝2的一个解,那么a 的值是． 3、已知2x －3y ＝1，用含x 的代数式表示y ，则y ＝． 4、已知二元一次方程组45 ax by bx ay +=?? +=?的解是21x y =??=?,则a+b 的值为________。 5、若532+y x b a 与x y b a 2425-是同类项，则x=,y=. 6、如右图，已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于 点P ，则根据图象可得，关于y ax b y kx =+?? =?的二元 一次方程组的解是. 7、一次函数y=x-1与y=2x-1的交点坐标是. 8、若2x m+n －1－3y m －n －3+5=0是关于x ，y 的二元一次方程，则m=_____，n=_____． 9、在式子3m+5n －k 中，当m=－2，n=1时，它的值为1；当m=2，n=－3时，它的值是_____． 10、若方程组026ax y x by +=??+=?的解是12x y =??=-?，则a+b=_______． 11、已知方程组325(1)7 x y kx k y -=??+-=?的解x ，y ，其和x+y=1，则k_____． 12、已知x ，y ，t 满足方程组23532x t y t x =-??-=? ，则x 和y 之间应满足的关
系式是_______． 13、若方程组2x y b x by a +=??-=?的解是10 x y =??=?，那么│a －b │=_____． 14、某营业员昨天卖出7件衬衫和4条裤子共460元，今天又卖出9件衬衫和6条裤子共660元，则每件衬衫售价为_______，每条裤子售价为_______． 二、选择题 1、二元一次方程3x+2y=15在自然数范围内的解的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2、无论m 为何实数，直线y=2x+m 与y=－x+4的交点不可能在（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 3、下列方程组的解中是二元一次方程组225x y x y +=?? -+=?的解是（） A.16x y =??=? B.14x y =-??=? C.32x y =-??=? D.32x y =??=? 4、若2,1x y =?? =-?是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（ ） A 、35,1x y x y +=??+=?B 、3,25x y y x =-??+=?C 、2,31x y x y =??=+?D 、25,1x y x y -=??+=? 5、我校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x 人，组数为y 组，则列方程组为（ ） A 、???=++=x y x y 5837 B 、???=-+=x y x y 5837 C 、???+=-=5837x y x y D 、? ??+=+=5837x y x y 6、以方程组21 y x y x =-+?? =-?的解为坐标的点(,)x y 在平面直角坐标系中的位置是（）
方程与方程组 教学准备 一. 教学目标： 1. 掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程的定义， 2. 使学生掌握解方程的基本思想、方法、步骤。并能熟练运用各技巧解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程。 3. 列一元一次方程二元一次方程组、一元二次方程、分式方程解应用题。 二. 教学重点与难点 1. 一元二次方程、分式方程的解法及其运用 2. 列方程解决生活实际中的问题 三.知识要点 知识点1、方程（组）的解（整数解）等概念。 使等式左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 知识点2、一元一次方程及二元一次方程组的定义 只含有一个未知数并且未知数的次数是1系数不为0的方程叫做一元一次方程 几个二元一次方程组成一组，叫做二元一次方程组 知识点3、一元一次方程、二元一次方程组的解法 一元一次方程的解法是：去分母，去括号，移项，合并同类，系数化为1 二元一次方程组的解法是：通过加减，代入消元转化为一元一次方程 知识点4、一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系 当为二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求x的值。从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值。 知识点5、一元二次方程的定义 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），a，b，c均为常数，尤其a不为零要切记。 知识点6、一元二次方程的几种解法 如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。 知识点7、分式方程的解法 （1）去分母，把分式方程转化为整式方程 （2）解整式方程 （3）检验 知识点8、解分式方程要验根的原因 解分式方程时我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式. 因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验. 知识点9、关于行程、工程、储蓄、打折销售等基本类型应用题的分析 掌握生活中问题的数学建模的方法，多做一些综合性的训练。
专题四方程与方程组 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（每小题2分，共20分） 1．（2011年铜仁）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15 km，可早到10分钟，每小时骑12 km就会迟到5分钟，问他家到学校的路程是多少千米？设他家到学校的路程是x km，则据题意列出的方程是( ) A． 105 15601260 x x +=-B． 105 15601260 x x -=+ C． 105 15601260 x x -=-D．105 1512 x x +=- 2．（2011年宿迁）方程 2 1 x x+ 的解是( ) A．－1 B．2 C．1 D．0 3．（2011年福州）一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 4．（2011年哈尔滨）若x＝2是关于x的一元二次方程x2－m x＋8＝0的一个解，则m的值是( ) A．6 B．5 C．2 D．－6 5．（2011年安徽）一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( ) A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2 6．（2011年江西）已知x＝1是方程x2＋bx－2－0的一个根，则方程的另一个根是( ) A．1 B．2 C．－2 D．－1 7．（2011年滨州）某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率均为x，则下面所列方程中正确的是( ) A．289(1－x)2＝256 B．256(1－x)2＝289 C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289 8．（2011年威海）关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是( ) A．0 B．8 C．4±22D．0或8 9．（2011年黄石）设一元二次方程(x－1)(x－2)＝m(m>0)的两根分别为α、β，且a<β，则a，β满足( ) A．1
六年级奥数专题讲义：方程与方程组 方程与方程组1 内容概述 二元、三元一次方程组的代入与加减消元法．各种可通过列方程与方程组解的应用题,求解时要恰当地选取未知数,以便于将已知条件转化为方程． 典型问题 1．一个分数,分子与分母的和是122,如果分子、分母郡减去19,得到的分数 约简后是15 ．那么原来的分数是多少? 【分析与解】方法一：设这个分数为122a a -,则分子、分母都减去19为19191==(122)191035 a a a a -----,即5-95=103-a a ,解得33a =,则122-33=89．所以原来的分数是3389 方法二：设这个分数为变化后为5a a ,那么原来这个分数为19519 a a ++,并且有(19)(519)a a +++=122, ,解得。=14．所以原来的分数是 3389． 2．有两堆棋子,A 堆有黑子350和白子500个,B 堆有黑子400个和白子100个．为了使A 堆中黑子占50％,B 堆中黑子占75％,那么要从B 堆中拿到A 堆黑子多少个?白子多少个? 【分析与解】 要使A 堆中黑、白子一样多,从B 堆中拿到A 堆的黑子应比白子多150个,设从B 堆中拿白子x 个,则拿黑子(x +150)个． 依题意有 400(15).400100(2150) x x -++-+=75％, 解得x =25. 所以要拿黑子25+150=175个．白子25个 ．
3．A种酒精中纯酒精的含量为40％,B种酒精中纯酒精的含量为36％,C种酒精中纯酒精的含量为35％．它们混合在一起得到了纯酒精的含量为38．5％,的酒精11升,其中B种酒精比C种酒精多3升．那么其中的A种酒精有多少升? 【分析与解】设c种酒精x升,则B种酒精戈x+3升,A种酒精ll-x-(x+3) 升.有：[11-x-(x+3)] +4％+( x +3)×36％+ x×35％=11×38．5％解得x =0.5． 其中A种酒精为11-2x-3=7(升)． 4.校早晨6：00开校门,晚上6：40关校门。下午有位同学问老师现在的时间,老师说：从开校 门到现在时间的1 3 加上现在到关校门时间的 1 4 ,就是现在的时间．那么现在的时间是下午几点? 【分析与解】设现在为下午x点．那么上午6：00距下午x点为6+x小时；下午x点距下午 6：40为62 3 x -小时． 有：112 (6)6 343 x x x ?? ?++-= ? ?? ,解得x=4．所以现在的时间为下午4点． 5．如图18—2中的短除式所示,一个自然数被8除余1,所得的商被8除余1,再把第二次 所得的商被8除后余7,最后得到的一个商是a．图18-3中的短除式表明：这个自然数被17除余4,所得的商被17除余15,最后得到的一个商是a的2倍．求这个自然数． 【分析与解】由题意知()() 878181172174, a a +?+?+=+++ ?? ??整理得512a+457=578a+259,即66a=198,a=3．
专题四 方程与方程组 一. 填空题： 1. 方程 2x ＋y ＝5 的所有正整数解为＿＿＿＿ 2. 若 ? ??==2y 1x 是方程3ax －2y ＝2 的解，则 a ＝＿＿＿＿ 3. 当 a ＿＿＿＿时，方程 （a －1） x 2 ＋x －2＝0 是一元二次方程。 4. 方程x 111x 122 +=--的解为＿＿＿＿ 5. 如果方程x 2m 12x 1x -=+-+有增根，那么m ＝＿＿＿＿ 6. 3名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一场，一共需要＿＿场比赛，则5名同学一共需要＿＿＿＿比赛。 7. 如图，四个一样大的小矩形拼成一个大矩形，如果大矩形的周长为12cm ，那么小矩形的周长为＿＿＿＿cm 。 8. 长20m 、宽15m 的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的 21，若四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为＿＿＿＿。 二. 选择题： 1. 下列方程中，属于一元一次方程的是（ ） A. x ＝y ＋1 B. 1x 1= C. x 2＝x －1 D. x ＝1 2. 已知3－x ＋2y ＝0，则2x －4y －3的值为（ ） A. －3 B. 3 C. 1 D. 0 3. 用“加减法”将方程组? ??-=+=-1y 4x 29y 3x 2中的x 消去后得到的方程是（ ） A. y ＝8 B. 7y ＝10 C. －7y ＝8 D. －7y ＝10 4. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. x ＋3＝5 B. xy ＝3 C. 0x 1x 2=+ D. 2x 2－1＝0 5. 若关于x 的方程 11x a x 2=--无解，则a 的值等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
二元一次方程组专题复习与回顾 ■专题一：二元一次方程（组）有关概念 1、二元一次方程（组）的识别（二元一次方程组是指含有两个未知数，且含未知数的项的次数是1的方程组。） 例1 下列方程组是二元一次方程组的是（ ） A 、23x y y z +=??+=?； B 、23 25 x y x y ?=???+=? ；C 、226y x y =??-=?；D 、236x y xy +=??=?。 2、方程组的解 例2 方程组379475 x y x y +=?? -=?的解是（ ） A ．21x y =-??=? ； B ．237x y =-???=??； C ．237x y =???=-??； D ．2 37x y =??? =?? 。 ■专题二：利用二元一次方程组求字母系数的值 例1 若单项式2 2m x y 与31 3 n x y -是同类项，则m n +的值是 ． 例2解方程组51542ax y x by +=?? -=-?时，甲由于看错系数a ，结果解得3 1x y =-??=-? ；乙由于看错系数b ，结果解得54x y =??=?，则原 来的a=______，b=______. 练习： 1、若 22(1)0m n ++-=，则2m n +的值为（ ） A ．4- B ．1- C ．0 D ．4。 2、若2a b x y +与231a x y +是同类项,则a －b 的值等于______. 3、如果关于x 、y 的方程组27282x y k x y k +=+??-=-?的解满足3x+y=5，求k 的值。 4、如果关于x 、y 的方程组62x y ax y b -=??+=?的解与3 8x ay x y +=??+=? 的解相同，求a 、b 的值。 ■专题三：解二元一次方程组 1、求二元一次方程的整数数 例1 求方程2x+5y=50的所有正整数解。 2、解二元一次方程组 例2 解方程组1(1) 32(1)6(2) x y x y ?+=???+-=? 。 练习： 1、解方程组3325 3 2x y x y x y x y +-?-=???+-?+=??时,可设3x y +=m,2x y -=n,则原方程组可化为关于m 、n 的方程组是______. 2、下列方程组适用代入法消元的是( ) A.()11 2 325 y x y x y ? =-+???-=?；B.536x y x y =??-=?；C.231327x y x y -=??+=?；D.234345x y x y +=??+=?. 3、方程组1 3 225 x y x y ?+=???+=?的解是( ) A.无解； B.只有一个解； C.有两个解； D.有无数多个解. 4、一个两位数,其十位上的数与个位上的数的和等于1,这个两位数是______. 5、求方程3x+7y=20的正整数解。 6解方程（组）24 5 x y x y +=?? -=?。 ■专题四：二元一次方程组的应用 1、二元一次方程的应用 例1 小明口袋里有5角和1元的硬币若干枚，面值6.50元，问5角和1元的各有多少枚？ 2、二元一次方程组的应用 例2 汶川大地震发生后，为了不担误孩子们的学习，一所所帐篷学校在废墟旁悄然兴起，热心的张老板知道这些孩子们的课作业本都被埋在了倒塌教室的瓦砾下，急需笔记本做作业，于是购买一批笔记本送到某个救灾点的帐篷学校，在分发时发现，如果每人分发放2本，则可剩余180本；如果每人分发放3本，则不足80本。问这所帐篷学校共有多少名孩子？张老板买了多少本笔记本？