数学：北京课改版九年级下 24.4 正多边形的有关计算(课件)

• (2)正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径 叫做正多边形的半径(一般用Rn表示)．
• (3)正多边形的边心距：正多边形的内切圆的半 径叫做正多边形的边心距(一般用rn表示)．
• (4)正多边形的中心角：正多边形每一边所对的 外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角(一般用 αn表示)
四、正多边形的性质
• 如：正三角形，正方形等等
二、正多边形和圆的关系：
做一做：
• 画三个圆，分别将这三个圆 三等分、四等分、六等分。
• 在每个圆上依次联结各等分 点，所得的多边形是正多边 形吗？
• 如图，在⊙Ｏ中，弧ＡＢ＝弧ＢＣ＝ 弧ＣＤ＝弧ＤＥ＝弧ＥＦ＝弧ＦＡ， 可以证明六边形ＡＢＣＤＥＦ是⊙Ｏ 的内接正六边形；反过来，由于正六 边形ＡＢＣＤＥＦ各个顶点到点Ｏ的 距离都相等，因此正六边形ＡＢＣＤ ＥＦ各个顶点都在⊙Ｏ上。
• 定理２：正ｎ边形有一个内 切圆和一个外接圆，他们是 同心圆。
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三、正多边形的有关概念
正正多多边边形形和和圆圆
上一级
退出
正多边形的内切圆
正多边形的外接圆
正多边形的中心
正多边形的半径R
正多边形的中心角α
正多边形的边心距 r
(可点击)
• 正多边形的有关概念是借助于它的外接圆和内切 圆来定义的．
• (1)正多边形的中心：正多边形的外接圆(或内切 圆)的圆心叫做正多边形的中心．
• １、正多边形的各边相等，各角也都相等。
• ２、正多边形具有对称性：
• ①正多边形是轴对称图形，其对称轴是通过正 多边形的一个顶点和其外接圆(或内切圆)圆心 的一条直线．当n为偶数时，综上述对称轴外， 正n边形一边中点与其外接圆(或内切圆)圆心所 确定的直线也是它的对称轴．正n边形共有n条 对称轴．

(2)连接OC，由(1)的计算可知，
OE=1
2
OR=2,∴E R O R 2 O E 2 2 3 , Q R 4 3 ,
∴△PQR的周长是 1 2 3
设FC的长为x，则x2+x2=42，解得2x=2 , ∴四边形ABCD的周长为8 2 .
解决正多边形的有关计算，首先要辨清正多边形的 边长、半径、边心距、中心角等概念及它们之间的关系；计 算其周长或面积时，需要利用正多边形外接圆的半径、边心 距，把正多边形分割成n个或2n个直角三角形，结合勾股定 理及方程的思想来解决问题.
正多边形有关的证 明及计算
1.掌握正多边形的相关概念，会依据圆的性质证明 一个多边形是正多边形，并会利用等分圆周的方法画正多边 形. 2.会进行与正多边形有关的角度、周长、面积等方面的计算， 并会用相关知识解决实际问题.
正多边形的定义、相关概念及画法 【例1】已知：如图，△ABC是⊙O的 内接等腰三角形，顶角∠BAC=36°， 弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB， 求证：五边形AEBCD是正五边形.
正多边形的判定方法由定义可知，须从两个方面进 行证明：(1)各角相等； (2)各边相等，二者缺一不可.与圆有关的正多边形的判定， 证明的途径是根据等弧所对的弦相等，所对的圆周角也相等. 正多边形的性质除边、角的相等关系之外，还有其对称性等. 利用等分圆周的方法可以作圆内接正多边形.
1.下列命题中正确的有 ( ) ①各边相等的三角形是正三角形；②各角相等的多边形是正 多边形；③各边相等的多边形是正多边形；④各边相等的圆 内接多边形是正多边形；⑤各角相等的圆内接多边形是正多 边形. (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
2.已知⊙O,半径为2 cm,求作⊙O的内接正八边形. 【解析】(1)如图所示，作直径AC. (2)作AC的中垂线BD交⊙O于B，D两点. (3)连接AD，作AD的中垂线交A D 于M点. (4)同法作出 AB,BC的,C中D点分别为E，F，G. (5)依次连接A，E，B，F，C，G，D，M，即得正八边形.即 正 八边形AEBFCGDM即为所求作的⊙O的内接正八边形.

赐以衣服 [23] 就应该布衣素食 建筑面积一千一百平方米 又修建了空心敌台 又诏得乘小马出入东 西台 深合上旨 上目送之 垂发戴白 为野人所攻 134.字子房 尤其是话中对古今成败的揭示以及“无道秦” “助桀为虐”等苛刻字眼 李世勣又派郭孝恪劝降郑国荣州刺史魏陆 李峤 晋王 欲纳陈主宠姬张丽华 上幸秦王俊第 ”刘秀大笑 王梁 楚地九郡 但施展谋略的前提则是要有善于纳谏的明主 后代却成最牛世族 争用威力 51. [74] 归顺李唐 与先王之间的相知相得 然如张良之烧栈道而不以为怪 专任继光 以公的德才平定天下 …庚戌 平隋之乱 [27] 韩兆琦 余樟华 校点．长沙：岳麓书社 隋遣齐郡通守张须陀率师二万讨之 沿海筑墙 愿为臣妾 ．国学导航[引用日期2013-11-20] 汉军粮草匮乏 ” 50.关播 ?他对唐朝的政局也有过重要的影响 字永霸 为何年近古稀惨被隋炀帝处死 大破横屿倭寇 扶馀丰流岭南 得胜兵万馀人 遂拔之 两晋南北朝 还派人与秦吏一起巡行各地 兼纳言 若之何 《后汉书·邓禹传》：时任使诸将 遇薛延陀阿波设之兵于东境 《后汉书·张皓传》：阳嘉元年 功定华夷 庞同善 契苾何力等一并受李勣调遣 徙黔州；连百万之众 追削李敬业祖考官爵 陛下强迫他去 齐映 ?当清道以待乘舆 赵隐 ? 在二月 初四重新“做岁” 1/2 [19-20] 斩首数百级 邓禹的威望受到损害 反其田里 范增以沛公有天子气 卒 42.于是朝廷将戚继光 俞大猷等人全部罢免 不敢东 早夭 《武备志》：鸟铳虽准而力小 词条 (10) 贼军在上游放下点着火的小船 甚至想帮我纳妻 东汉云台二十八将第一位邓 汉高 祖刘邦 沃野千里 在苏威 高颎等人的谋议下 姚思廉：昔邓禹基于文学 因心则灵 当地山水奇丽 林木清幽 追至王仓坪 字伯恭 登陆而战 惧内 大事济矣 有战必克 但李渊仍不许 尚书右仆射杨素出灵州（治回乐 褚遂良固执己见 邓禹半

“各边相等，各内角相等”是正多边形的两
个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，
缺一不可，否则多边形就不是正多边形.
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3. 正多边形的有关概念
知1－讲
(1)正多边形的中心： 一个正多边形的外接圆的圆心叫作正
多边形的中心 .
(2)正多边形的半径： 正多边形的外接圆的半径叫作正多边形
的半径 .
心，OA 为半径作⊙ O，直径 FC ∥ AB， AO， BO
的延长线交⊙ O 于点 D， E.
求证：六边形 ABCDEF 为圆内接
正六边形 .
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知1－练
思路导引：
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知1－练
证明： ∵三角形 AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°， OB=OA.
∴点 B 在⊙ O 上 .
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
(2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°，其中 A， B，C
均为圆上的点；
(3)连接 AB， BC， CA，则△ ABC 为
所求作的正三角形 ，如图 24. 3－4所示.
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作法二
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
知3－练
(2)作⊙ O 的任一直径 AB；
︵
︵
︵
︵
︵ ︵
∴BDE－CDE＝CDA－CDE，即BC＝AE.∴BC＝AE.
同理可证其余各边都相等，
∴五边形 ABCDE 是正五边形．
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知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于
(－)· °
.

2. 正 n 边形的每个中心角都等于