最新北京课改版八年级数学下册16.5三角形中位线定理公开课优质PPT课件(1)

理，找到四边形EFGH的边之间的关系．而四边形ABCD的
对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，
连结AC或BD，构造“三角形的中位线”的基本图形．
课堂小结
１、三角形中位线的定义
2、三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三 边的一半
3、会利用三角形中位线定理解决一些实际 问题
D
E
F
B
DE和边BC关系
C
位置关系： DE∥BC
数量关系： DE= 1 BC. 2
知识讲授
知识讲授
2.三角形的中位线定理
定理：三角形的中位线平行于第三边,
并且等于它的一半.
∵AD=DB,AE=EC
A
符号语言：∴DE∥BC,
D
E
1
DE= BC
2
B
C
知识讲授
已 求知 证：：DDEE∥是B△CA，BCD的E＝中12位B线C
随堂训练
随堂训练
1.如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的中
点， 且AD=10cm，那么OE= 5 cm.
2.三角形的周长为18cm，面积为48cm2 ，这 个三角形的三条中位线围成三角形的周长
是 9cm ，面积是 12cm2 .
思考:
①图中有几个平行四边形？ ②图中有几个三角形？它们有什么关系？
A
A
10
D
E5 O
D
E C
B
C
BF
随堂训练
D B
D
A
3.三角形的中位线__平__行_于__第三边,并 且__等__于__第三边的____一__半______
E 4．如图：在△ABC中，DE是中位 线。 C （1）若∠ADE=60°，则∠B= 60° ;

BC 的中点.
A
（1）DE⊥BC 吗？为什么？ ∵ D、E 分别是 AB、BC 的中点，
∴ DE∥BC.
∵∠C = 90°，∴∠DEC = 90°. ∴ DE⊥BC.
D
（2）若 AB = 10，DE = 4， 求△ABC 的面积.
∵ DE = 4，∴ AC = 8.
∵ AB = 10，AC = 8，∴ BC = 6.
∴SABC
1 2
AC
BC
1 2
8 6
24.
B EC
随堂练习
4.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是 CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为____1_5___．
A
D
O
E
B
C
随堂练习
解：∵▱ABCD的周长为36，
∴2(BC＋CD)＝36，则BC＋CD＝18.
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
随堂练习
1．已知一个三角形的三条中位线的长度分别为2 cm，3 cm，4 cm，求这个三角形的周长为___1_8_cm____．
2．如图，D，E，F分别为△ABC三边 的中点，则图中平行四边形的个数为 ___3__．
随堂练习
3. 如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°， D 是斜边 AB 的中点，E 是
探究新知
证明：如图，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE，
A
∴△ADE≌△CFE， ∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，
D
1E 2
F
∴CF∥AB. ∵BD＝AD，∴CF＝BD，
B

A H
E B F
D
G
C
证明:连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴EF∥AC, EF
1 2
AC .
HG∥AC, HG 1 AC.
2
∴ EF∥HG, EF=HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
A H
E B F
D
G
C
例.如图,在等边三角形 ABC 中,点
D,E 分别是边 BC,AC的中点,过点E作
∴△ADE≌△CFE(SAS).
D
∴AD=CF,∠ADE=∠F.
∴BD∥CF.
∵AD=BD,
B
∴BD=CF. ∴四边形ABCD是平行四边形.
(一组对边平等且相等的四边形是平行四边形)

∴DF∥BC,DF=BC.
∴DE∥BC, DE 1 DF 1 BC.
2
2
A EF C
三角形中位线性质的运用
利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三 边的一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等.
∠A=50° ，∠B=60°,则∠AED 等于（ ）. A
A.70° B.67.5° C. 65° D.60°
2.如图,在▱ABCD 中,AD =4,点 E,F 分别是 BD,CD的中点,则 EF
等于（ ） A
A. 2 B.3 C.4 D.5
3.如图,▱ABCD 的周长为 36,对角线 AC,BD 相交于
已知:如图,DE是△ABC的中位线.
A
求证:DE∥BC, DE 1 BC.
2
D
E
B
C
分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后证明与 BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系,于 是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相等.

证法三：延长DE到点F，
使EF=DE， 连结AF、CF 、CD
D
E
F C
B
返回
证法二
证法一
三角形中位线定理
A
用符号语言表示：
D
E
∵ DE是△ABC的中位线
1 ∴ DE∥BC， DE= BC 2
B
C
用 途
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条 1 线段的2倍或 2
你现在知道蛋糕为什么 这样分了吗？ A
A D F E
3 个平行四边形 B (3)图中有 _____
(4)若△ ABC 的面积为 24,△ DEF 的 6 面积是 _____
C
A
E B
H
D G C
如图，在四边形ABCD中， E、F、G 、H 分别是AB、 BC、CD、DA的中点。四 边形EFGH是平行四边形吗？ 为什么？
F
小结：
A
定义：
北师大版《义务教育教科书》
八年级下册数学 第六章
三角形的中位线
情境引入：
1、你怎样把一块三角 形蛋糕平均分给两个 小朋友？ 2、如果要把一块三角 形蛋糕平均分给四个 小朋友，怎么分呢？
A
B
E
D
F
C
3、若要把一块三角形 蛋糕分成大小相等、 形状相同的四块，你 能实现吗？
A D B E
F
C
获取新知： 什么叫三角形的中位线？
D E
B
F
C
定理应用：
A 、 B 两点被建筑物隔开 , 如何测量 A 、 B 两点距离呢 ？
B E A D F G C
1.若DE的长为36米,则
AB的长为多少? 2.若DE之间还有阻隔, 你又有什么办法解决 呢?

G
证明：如图，连接CD，取CD中点M，连接ME、MF.
∵在△ADC中，M、F分别为CD、AD中点，
A

∴MF∥AC，MF= AC,
F

D
又∵在△BDC中，E、M分别为CB、CD中点，

M
∴EM∥BD，EM= BD，

B
∵ EM∥AB， MF∥AC ，
E
C
∴∠GFA=∠FEM，∠G=∠EFM
∵ AF=AG
猜想： 关系
位置
DE∥BC
D
A
E
数量
B
追问：如何证明？
C
探索新知
已知：在三角形ABC中，D，E分别为AB，AC边上的中点.
求证：DE∥BC，
.
中位线
A
倍长
构造全等
三角形
平行四边形
D
B
E
F
C
探索新知
已知：在三角形ABC中，D，E分别为AB，AC边上的中点.
求证：DE∥BC，
.
证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连接CF.
C
情景引入
问题：请问你们是如何进行分割的？分割线段是怎样形成的？面积
相等的理由是什么？
A
A
E
D
B
D
E
F
方案一
C
B
A
F
D
C
方案二
追问3：如何说明方案三中四个三角形全等？
B
E
F
方案三
C
探索新知
中位线概念：连接三角形两边中的线段叫做三角形的中位线.
问题：根据刚才的操作你能发现中位线与底边有关系？
即中位线DE和第三边BC之间有怎么样的关系？

1
求证：DE∥BC且DE= BC
2
A
分析：
1
D
要证明DE= 2 BC，可
以证明2DE=BC，所以，B
延长DE到F，使
DF=2DE，证明它与BC
相等，
E
F
C
要证明DE∥BC，只要 证明四边形BCFD是平 行201四9/9/1边9 形。
三角形中位线定理：
联结三角形两边中点的线段平行于第三边，并且 等于第三边的一半。
D
E
F
四边形BCFD是平行四边形 B
C
以下同例
2019/9/19
定理证明方法的探索：
延长中位线到点F，使得EF=DE，联结DC、AF、CF 根据对角线互相平分
A
∴四边形ADCF是平行四边形
D
∴AD∥=CF
B
以下同例
E
F
C
当一个命题有几种证法时，选取较简捷的方法。
2019/9/19
解决问题：
估测A、B间的距离：先在AB外 选一点C，然后步测出AC、BC的 中点M、N，并测出MN的长，由 此就知道了A、B间的距离。你能 说说其中的道理吗？ 三角形中位线定理
我们把DE叫做三角形中位线，那么你能给它下 一个严谨的定义吗？
A
DE
定义：
B
C
联结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
2019/9/19
三角形中线 C
D
E
A
F
B
三角形中位线 C
D
E
A
FB
三角形有三条中线，它们相交于一点。 三角形有三条中位线，它们组成一个三角形；
2019/9/19
议一议：
猜想：联结三角形两边中点的线段平行于第三边，

16.5
三角形中位线定理
和林中学
刘红迁
猜想
• 把任意一个三角形分成四个全等的 三角形.
做法:连接每两边的中点.
你认为这种做法对吗?
三角形的中位线
• 定义:
连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. A
D E
B
C
如图:在△ABC中,D,E分别是两边
的中点,则DE是△ABC的中位线.
如图:在△ABC中,D,E分别是两边 的中点,则DE是△ABC的中位线. D
D B E C
定理:经过三角形一边中点与另一边平行的 直线平分第三边.
• 小结:1、三角形的中位线平行于 第三 并 且等于第三边的 一半 。2、经过三角形 一边中点与另一边 中点的直线平行于第 三边
达标检测： 1.如图：EF是△ABC 的中位线，BC=20， 则EF= （ 10 ）；
变式训练：在△ABC中,中线CE、BF相交点O、 M、N分别是OB、OC的中点，则EF和MN的关 A 系是( 平行且相等 )
M
验证
• 把任意一个三角形分成四个全等的 A 三角形.
D B E C
F
做法:连接每两边的中点. 你认为这种做法对吗?
• 讨论：三角形共有几条中位线？其中任 意两条中位线与原来的三角形的某部分 可以组合成什么图形？所有中位线连接 起来的三角形与原来的三角形成什么关 系？请用实例说明。
思考:若点D是△ABC的边AB的中点，作 DE∥BC交AC于点E,你认为点E一定是AC的 A 中点吗？为什么？
D B
A
F
C E
变式训练，已知：如图，在ABCD中，E是CD
的中点，F是AE的中点，FC与BE交与G. 求证：GF=GC.

感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣三角形中位线定理的数量关系， 将证明线段的倍数关系转化为证明 OF 是△ ABC 的中位线 .
感悟新知
证明：如图 6-3-2，连接 BE. ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AB ∥ CD， AB=CD，点 O 是 AC 的中点 . ∵ E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边延长线 上的一点，且 CE=DC， ∴ AB ∥ CE， AB=CE. ∴四边形 ABEC 是平行四边形 .
感悟新知
知1－讲
2. 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等 于第三边的一半 . 几何语言： 如图 6-3-1，∵ AD=BD， AE=EC，
∴
DE
∥
BC，且
Hale Waihona Puke DE=1 2BC.
感悟新知
3. 三角形中位线的应用
知1－讲
(1) 三角形中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的
双重关系：一是位置关系，可以用来证两直线平行；
感悟新知
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
知1－练
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.
∴∠ADE＝∠AED.∴AD＝AE.∴DB＝EC.
∵点 F，G，H 分别为 BE，DE，BC 的中点，
∴FG 是△EDB 的中位线，FH 是△ BCE 的中位线．
∴FG＝12BD，FH＝12CE.∴FG＝FH.
感悟新知
特别提醒
知1－讲
◆一个三角形有三条中位线 .
◆三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形， ▲▲ 三个面积相等的平行四边形 . ▲▲
◆三角形的中位线与三角形的中线的区别：
三角形的中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，

又∵△OAB 的周长是18 cm，
∴OA＋OB＋AB＝18 cm，∴AB＝6 cm.
又∵点E，F 分别是线段AO，BO 的中点，
∴EF＝
1 2
AB＝3
cm.
此题易错之处在于忽视运用整体思想求OA，OB
的长度和，从而导致求不出中位线长．
1 如图，△ABC 的面积是12，点D，E，F，G 分别是BC， AD，BE，CE 的中点，则△AFG 的面积是( A )
总结
证明线段倍分关系的方法： 由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要
证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常 考虑三角形中位线定理．
1 已知三角形的各边长分别为8 cm，10 cm和12 cm， 求以各边中点为顶点的三角形的周长.
解：以各边中点为顶点的三角形的周长为 1 (8＋10＋12)＝15(cm)． 2
A．5 B．7 C．9 D．11
知识点 2 三角形中位线在四边形中的应用
议一议 如图，任意画一个四边形，以 四边的中点为顶点组成一个新 四边形，这个新四边形的形状 有什么特征？请证明你的结论， 并与同伴交流.
中点四边形的定义： 依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形称为中
点四边形． 拓展：
不管四边形的形状怎样改变，中点四边形始终是平行 四边形．
3 如图，要测定被池塘隔开的A，B 两点的距离，可以在 AB 外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点 D，E，连接ED. 现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝ 24 m，则AB＝( B )
A．50 m B．48 m C．45 m D．35 m
4 如图，在△ABC 中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E， F 分别为AB，BC，AC 的中点，连接DF，FE，则四边 形DBEF 的周长是( B )

A E
B
A
G
E
H
E
H
BD
BA
C
F
D
G
C
G
F
G
C
D
F
对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线相等且垂直的四
边形
菱形
矩形
正方形
1.三角形的中位线定义. 2.三角形的中位线定理. 3.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第 三边的关系，而且给出了他们的数量关系，在 三角形中给出一边的中点时，要转化为中位线.
动手操作、讨论交流，展示拼图方法。
A
D
EF
A
D
EF
B
C
如 图，延 长DE 到 F， 使EF=DE ，连 结CF.
B
C
证法二：过点C作AB 的平行线交DE的延长线 于F
A
D
E
证法三：如图，延长DE F 至F,使EF=DE，
连接CD、AF、CF
B A
D
B
F
C G
E C
证法四：如图，过E作 AB的平行线交BC于F ，过点A作BC的平行 线交FE于G
北师大版数学八年级下
第六章 平行四边形 6.3三角形的中位线
智力竞猜
已知:如图,△ABC的周长是c,以它的三边中
点为顶点组成一个新三角形;以这个新三角形
三边中点为顶点又组成一个小三角形…… 依
次画下去 (1)求这两个小三角形的周长。
A
(2)第n个小三角形的周长。
D GE
KH
B
F
C
学习目标
1.理解三角形中位线的概念，掌握 它的性质．
的距离。
C
小明是这样做的：先在AB外选 一点C，然后测出AC，BC的中点

12题．
若点A1、B1、C1是△ABC三边的中点，点A2、B2、C2是
三角形的中位线平行于第 又可以用平行四边形知识研究三角形的问题.
2、找出这个三角形任意两条边的中点
三角形中位线定理：
三边，且等于它的一半。 3、我们主要用了什么方法证明平行四边形的性质和判定的？
1、平行四边形有哪些性质？
D
若点A1、B1、C1是△ABC三边的中点，点A2、B2、C2是
（1）本节课你学习了什么知识？ 如图：在△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，BP=PC
B
度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论．
又可以用平行四边形知识研究三角形的问题.
求证：四边形EFGH是平行四边形．
一个三角形有几条中位线？
程，进一步发展推理论证的能力．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
四边形BCFD是平行四边形吗？为什么？
（3）连接MN、MP、NP ，图中有几个平行四边形 ？为什么？有几个小三角形？他们全等吗？为什么？
探索新知
书写证明过程
A
D
E
B
C
已知，如图，D、E分别是△ABC的边AB、
AC的中点. 求证：DE∥BC， D E 1 B C ． 2
探索新知
作业：教科书第49页练习第1，2，3题；
N
（2）若MN=8cm，
C 则BC= 16 cm，为什么？
（3）连接MN、MP、NP ，图中有几 个平行四边形 ？为什么？有几个小三 角形？他们全等吗？为什么？
巩固练习
例题：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别 是AB、BC、CD、DA中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形．

D
C
E
A
知识小结
通过这节课的学习你有什么收获吗？
1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2.三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
课堂小结
小结与思考 通过本节课的学习你有什么收获？ 你还有什么疑惑？ 请与同伴交流！
课堂总结
你有什么收获？
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
《三角形的中位线》
趣味导入
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友， 要求四人所分的大小相同，请设计合理的解决方案。
新知导航
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友， 要求四人所分的大小相同，请设计合理的解决方案。
新知导航
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
两层含义:
为（ 6 ）。
A
D B
E C
仿练夯基
练习2：在三角形ABC中，D是AB中点，DE//BC，若三角 形ADE的周长为6，则三角形ABC的周长为（ 12 ）。
A
D
E
B
C
仿练夯基
练习3：在直角三角形ABC中，∠A=30°，BC=1，点D,E分 别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（ √5 )。
2
B
B
C
∴CF∥AB
∵AD=BD
∴CF=BD
∴四边形DBCF是平行四边形
∴DF∥BC,DF=BC
新知导航
如图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关
系吗？
D
B
A
E
C
猜想：位置关系：DE//BC
数量关系：DE＝12BC