复数的概念和运算专项训练

复数的概念和运算专项训练

【例题精选】：

例1 z C z z z ∈=+=

,||,a r g ()..已知求1024π

解法一：设则即解得z x yi x y R x y y x tg x y x y y x y x x y =+∈+=+=+>>???

??

????+==+>+>???????==??

?(,),,,,.

,,,

.

,.2222

102420010202013π 故z i =+13.

解法二：设z r i r z r ri +=+?

? ???>=-??

???+244022222cos sin (),.ππ则代入||z =

10,得222222

2

r r -?? ?

?

?+?? ?

?

?=10，整理，得r r r 2226032--==.解得故 z i =+13.

小结：（1）当z x yi z y x tg

=++=

+=时，与

arg()24

2

4

π

π

是不等价的，必须

附加y x >+>020,的制约条件。

（2）利用||,(cos sin );arg(),z z i z z ==++=

+101024

2

设或利用设θθπ

=+?

? ??

?

r i cos sin ππ44，都可将求复数z 转化为解关于θ或r 的一元方程，使计算简

化。

例2 已知z C z u i z i z ∈==++-,||.()()13434设。 （1）证明u 是实数；（2）求u 的最大值与最小值。

解法一：（1）设z x yi x y R =+∈(,),则

u i x yi i x yi x y x y i x y x y i x y R =+++--=-+++--+=-∈()()()()[()()][()()]

().

343434433443234 （2）由||z =1可知： x y

2

2

1

1+=()

由得u x y =-234()

y x u =

-18

62().

()

将(2)代入(1)，得

10012640322

x ux u -+-=()

因为方程（3）有实根，所以?=-?-=--≥1444100642561000222u u u ()(),

解 得-≤≤1010u .

当即时，取最大值；当即时，取最小值。

x y z i u x y z i u =

=-=

-=-=

=-

+

-354535451035453545

10,,,,

解法二：由||,cos sin .z z i ==+1可设θθ

（1）u i i i i R =+++--=-∈()(cos sin )()(cos sin )cos sin .343468θθθθθθ

（2）因为u =-=+=

=

68103545cos sin cos(),cos ,sin ,θθθ????其中满足

当即时，取最大值；当即时，取最小值。

cos(),,cos(),,θ?θ?θ?θπ?+==-=

-+=-=-=-

+-13545

1013545

10z i u z i u

小结：设定复数z 的不同形式，就应采用相应的方法。本题中，利用||,z z

=1将设成三角形式，对于求u 的最大（小）值是比较方便的。

例3 已知复数z i w =+≤

解：因为z i =+≤

w z z

i i i i i =++=++++=++++=+++=++112212222212

2

(cos sin )(cos sin )

(cos cos )(sin sin )(cos cos )(sin sin cos )(cos )(cos sin ).

θθθθθθθθθθθθθθθθ

（1）|||cos |cos ,,cos ,.

w =+=+≤<≤<--≤

????

??212102343

2212343θθθππθπθπθπ或

当即时，取最大值；

当即或

时，取最小值。

cos ,||cos ,||θθθθππ===-

=

10312

23

43

0w w

（2）设w w i 的辐角为，因为所以，当?θθθθ=+++(cos )(cos sin ),cos 2121

>≤<

<<=+∈=002343

22,(),arg ,即或

时，θππθπ?πθθk k Z w

当即或

时，辐角2102343cos ,θθππ?

+==

可为任意实数，arg w 可为区间

[)02，π内的任意实数；

当即

时，

21023

43

cos ,θπθπ+<<<

w i i =-+--=-++++(cos )(cos sin )(cos )[cos()sin()]2121θθθθπθπθ

或 -+-+-(cos )[cos()sin()].21θθπθπi

所以?πθπθπθπθππθπ=++∈=+<<-≤

?

???

??()(),arg ,,,.

2123

43k k Z w 小结：复数的辐角θπ可在实数范围内取值，辐角主值应在内取值[,).02

例4 证明：两个虚数互为共轭虚数的充要条件是它们的和与积都是实数。

证明：设z x y i z x y i x x y y R y y 11122212121200=+=+∈≠≠,(,,,,,).且 充分性，因为z z x x y y i R y y 121212120+=+++∈+=()(),,所以即 y y 121=-.()

因为z z x x y y x y x y i R 1212121221·所以=-++∈()(), x y x y 122102+=.()

将代入得（又所以()(),).,12002122y x x y -=≠

x x 123=.

()

由可知：(),().1321z z =

必要性，因为z z x x y y 212121===-,,,所以这时

z z x x y y i x R z z x y i x y i x y R 121212112111112

12

2+=+++=∈=+-=+∈()(),()().

·

小结：两复数互为共轭复数是一种重要的关系，两共轭复数的和与积都是实数是一个重要的性质。本题中，两个复数均为虚数是条件与结论构成充要关系的前提条件。

例5 设0212<<∈=-+=+θπθθ,.cos sin ,,a R z i u a ai zu 复数且是纯虚数.

w z =+2

22

zu u w +.试问能是正实数吗？说明理由。

解：假设是正实数，因为所以w w z zu u z u R z u =++=+∈++2222(),是非零

实

数，又

z u i a ai a a i +=-+++=-+++1122

cos sin (cos )(sin ),θθθθ

所以即因为sin ,sin .θθ+==-a a 0

zu i a ai a a a a i

=-++=--++-(cos sin )()

[(cos )sin ][sin (cos )]()

11112

2

2

θθθθθθ

是纯虚数，所以

a a a a 2

210210

3sin (cos ),()(cos )sin ()

θθθθ+-≠--=?????

a zu a ≠==-≠00310(),()sin cos sin 否则所以由得且θθ

θ。将（1）代入，得

-=

--=

-=≤sin sin cos ,cos .cos ,|cos |θθθ

θ

θθ111121即解得与矛盾。因此，

w 不能是正实数。

小结：本题中，由于制约结论的条件较多，采用反证法，推出矛盾使证明获

得成功的可能性较大。a 是本题中的参数，因此消去参数成为推证中的关键步骤。

例6 设复数z i w z z

w w =+<<=

-+=

<

cos sin (),().||,arg ,θθθππ

01133

2

4

4已知

求θ.

分析：由于题设条件与所求结论涉及模和辐角，因此需将w 用三角形式表示。

解：w z z

i i i i =

-+=

--++=

----++1111144144

444

()(cos sin )(cos sin )

cos()sin()

cos sin θθθθθθθθ

=++=++=-?? ???+-?? ?????

??

??=22222222222222222424222sin sin cos cos sin cos sin cos cos sin cos sin ,

||||.

θθθθθθ

θθθθθ

θπθπθθi i tg i i tg i w tg ···

·

因为033233

<<=

=±θπθ,||,.所以由得w tg

当时，或

这时tg w i 23312

712

3366θθπ

πππ==

=

+?? ?

?

?,cos sin ,满足 arg .w <

π

2

当时，或

这时tg w i 233512

1112

33116116θθππππ=-

=

=

+?? ?

?

?

,cos sin ，不满

足arg .w <

π

2

综上所述，或

θπ

π=

12

712

.

小结：根据题目的特点选择合适的形式与运算法则是进行复数运算值得注意

的问题。

例7 已知正方形ABCD 中，顶点A 、C 的坐标分别为(,)(,),0125-，，求顶点B D 的坐标。 分析：利用正方形的性质，可将向量通过旋转与伸缩所得，

因此可归结为复数的乘除运算。 解法一：在正方形ABCD AB AD AC CAB CAD 中所以

,||||||,,==

∠=∠=?22

45

z z z z i B A C A -=--?+-?()[cos()sin()].·

22

4545

将z i z i A C =-=+,25代入，得

z i i i i B =+-??

?

?

?+-=+()().262222224·

同理

z z z i z D C A A

=-?+?+()(cos sin )·

22

4545

=++??

?

?

?+-=-+()().

2622222223i i i i · 故B ，D 两顶点坐标分别是（4，1），（－2，3）。

解法二：设正方形两对角线交于点M ，则||||||||,.M A M B M C M D AC BD ===⊥所以 z z z i z z z z i M A C

B M

C M =

+=+-=--?+-?2

129090.()[cos()sin()].

可得同理z i i i i B =+-++=+()()();13124

z z z i z i i i i D C M M =-?+?+=+++=-+()(cos sin )()().9090131223· 故，两顶点坐标是B D B D (,),(,).4123-

小结：这是一道解析几何的题目，采用坐标法，将B 、D 两点视为线段AC

的中垂线与以AC 为直径的圆的两交点，通过解方程组也能求得结果，但运算量较大。应用几何变换的观点审视图形的特征，利用复数运算则比较简捷。

例8 复数z w zw iz iw z w i 和满足证明+-+==-221034,||,||是常数，并求此常数。 分析： z w 和是两个变数，分别对应两个动点， ||z =

3

表明动点Z 在以原

点为圆心，半径为34的圆上，求证||w i -为常数的几何意义就是动点W 在以(,)04为圆心，某一定长为半径的圆上，即动点W 的轨迹是圆。 证明：由得所以·zw iz iw z w i iw z w i +-+=+=-+=22102212(),||||||2i ?

w i +

12

.即32212

3222

||.(,),[()]w i w i w x yi x y Z x y +=+

=+∈++=

设则

2

122

2

x y ++?? ??

?.两边平方，整理得x y w i 22

427433+-=-=().||.即

小结：这是一道复数与解析几何的综合题，两复数之差的模表示复平面上两

点间的距离是沟通复数与解析几何的桥梁。

例9 已知复平面中?ABO A B 的顶点、对应的复数分别为

αβαβ、，是原点，、O 同时满足下列两个条件：

||,().αβ-==-+311i a ABO 求?面积的最大值和最小值。

分析：求?A B O 面积的最值，首先要选择自变量，构造以?A B O 面积为因变

量的函数，为此要从已知条件决定的?A B O 有什么性质的研究入手。

解： ||,(,)α-=3130可知点在A 点为圆心，1为半径的圆上，并且||α即此圆

上的点到原点的距离。

∴===-+∴=+∴=

=

∠=

||||(),

(cos

sin

).||||,||||.

.

ααββαππβαπ的最大值，的最小值。又即并且42123434

2234

i a i O B O A A O B

∴=

==

∴===

=S O A O B S S A O B A O B A O B ???123412

222

12

124812

2

22

2

2

||||sin ||||||.

πααα·

的最大值·；的最小值·。

例10 已知方程2022x x c c R c

-+=∈-=()||有两个虚根和，且，求αβαβ的

值，并解此方程。 分析：实系数一元二次方程在判别式?<0时有两个互为共轭虚数的根。

解法一：设由即αβαβ=+=-∈≠+=

=

u vi u vi u v R v u ,(,,).,,012

212解得

u =

14

.由||||||,.αβ-===

=±

22222

vi v v 解得因此，方程的两根是

αβ,,=

±14

22

i c c 2

29

16

98==

=

β,.

解法二：因为αβ,是实系数一元二次方程的两虚根，所以

αβ,().=±

--1184

c i

由||,.,.αβαβ-=

-=

-==

=

±

812

812

298

14

22

c i c c i 解得所以

小结：实系数一元二次方程虚根成对是一个重要性质。

【专项训练】：（100分钟）

1、设w i n N w w n

n

=-

+

∈+12

32

,,.计算

2、解下列方程：（1）||;z z i 2414-=-+ （2）z z z i ++=·12

0.

3、已知复数z z z z 满足求||,arg(),.=-=2743

π

4、设复数z a ai z b b i a b R 1223313=-+=

-+-∈,()(,)。已知||||,

z z 12=

且求的值arg

,,.z z a b 21

2

=

π

5、设z z C z z z z i 12121214123,,||,||,,∈==-=-求z z 12

.

6、求满足z z

R z z +∈-=122,||.且的复数

7、已知z i

i

z z

=

++-++

()(),().13134413

3

求

8、已知z i =+1,（1）设w z z w =+-234,求的三角形式；

（2）如果

z az b z z i a b 2

21

1++-+=-,,.求实数的值

9、解下列方程：z i 3=

10、在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为Z Z Z O O 123,,,(是原点），已知Z 2对应复数z i Z Z 21313=+.,.求对应的复数

11、已知复数z z i z z 满足且求复数||,arg ,--≤≤≤

13203

π

在复平面上对应的

点Z 组成的图形的面积与周长。 12、已知实系数方程x k x k k 2105--+=()的虚根的模等于，求的值，并解此方程。 13、已知||,||z z z =-+132求的最大值与最小值。 14、已知z C z z n N n n n ∈+=-∈>,()(),.111其中且

求证：z ictg

k n

k n =-=-π(,,,).121…

15、已知复数z z z

z 满足求证

+

=-≤≤

+11512

512

,||.

16、设非零复数z z 12,对应复平面上的点

Z Z z z z z z z O

12122

122

2

240和，满足,,-+=为原点。

（1）判定?Z OZ 12的形状； （2）若z z i Z OZ 121221-=-+,.求的面积? 17、若a z z z az i ≥++=00,||.在复数集中解关于的方程

【答案】： 1、当n k k N w w n k k N w w n n n n =∈+=≠∈+=-3231();().时，当时， 2、（1）z i z i 122222=+-=--,;

（2）-

-=+∈1212

i z x yi x y R .(,).提示：设

3、5343

31243

2

27+-=+??

?

??=++

=i z r i z r ri z .cos

sin

,.||,设即由得π

π

r r r 2

41202+-==,.解得

4、a b ==-312

.根据题设条件可知z z i b b i 21313=-+-=

.()即

().23-

+a ai i

5、18

38

41231212±

=+=+-=-i z i z i z z i .cos sin ,(cos sin ),,设代入ααββ

得取两式平方和，得cos cos ,sin sin ,cos(),αβαβαβ-=-=--=

4142312

sin().αβ-=±

32

6、设则由得或由得

z

x yi x y R z z

R y x

y z =+∈+∈=+=-=(,),,.||101222

2

().,;,;.x y x y x y z z i -+=====±

==

±

244014154

4141542

2

解方程组，得或故或

7、z i i z z z z

=

-

=

-?? ???+-?? ?????????==-+=-14

34

1233181818333

3

cos sin ,(),().ππ 8、（1）z i w z z i i =+=+-=--=+?

? ??

?1341254542.cos sin .ππ

（2）z i z az b z z a a b i i a b =+++-+=+-+=-=-=11

21122

2,

()().,.解得

9、z i z i 1233212=-=±+,.,

10、z z i i 122244312

312

=-?? ???+-?? ?????

??

??=++

-·cos sin ;ππ

z z i i 322244132132

=+?? ???=-++·

cos sin .ππ

11、如图，满足||(,)z i z C --≤13213的对应的点组成以为

圆心，半径为2的圆及其内部，此圆过原点，满足

03

≤≤

∠arg z xO C π

是的内部。

12、设x u vi u v k u vi u vi x x =++==+-=-+,()(),则，即原方程为22

25545

=0,解得x i =±2.

13、设z i z z =+-+=-++-cos sin ,||(cos cos )(sin sin )θθθθθθ则22223232

=-+=-?

? ??

?

+

-+=

12851213113

3333

2

2

2

cos cos cos ,||,min θθθz z

||.max z z 2

35-+=

14、z z z z k n

i k n

k n n

+-?? ?

?

?

=+-=+=-11111

22121,

cos

sin

(,,,),ππ…

z k n i k n k n

i k n

k n k n i k n k n k n i k n

ictg k n

=

++-++=+--=-12212222cos

sin

cos

sin

cos (cos sin )

sin

(sin

cos

)

.ππππππππ

π

π

π

15、设z r i z z r r i r r z z

=++=+?? ???+-?

? ???+=(cos sin ),cos sin .θθθθ则由得11111

r r r r r r

+?? ???+-?? ???=+=-≤111112232

22

222

cos sin ,cos ,θθθ即解得 3522

-≤≤r

35

2

512

512

+-≤≤

+,

.r

16、方程变形得z z z z 122

12240?? ?

?

?

-?? ?

?

?+=,解得

z z i 12

13=±

=±?? ???+±?? ?????

????233cos sin ,ππi

故||||.z z 122= （1）|||||()|||,Z Z z z i z z z Z O Z 121222212133=-=±-=

故是直角三角形；

?

（2）由解得z z i z i z z i i

z 121222211311322

-=-+=±=-+-±

=

,(),||.

S z z Z O Z ?121

23

34

12=

=

||||sin

.··π

17、原方程化为z i

z a z z yi y =

-+=<||,,()为纯虚数设0代入原方程得y ay 2

1-- =0,解得y a a z a a i =-

+=

-

+2

2

42

42

,.

高考数学新版一轮复习教程学案：第58课复数的概念及其运算

高考数学新版一轮复习教程学案 第58课 复数的概念及其运算 1. 了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件. 2. 理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算. 1. 阅读：选修 22 第109～117页. 2. 解悟：①数系的扩充；②复数的四则运算与共轭复数；③与加法一样，复数的乘法也是一种规定.课本114页例2还可以让学生先计算后两个复数的积，再与第一个复数相乘，从而验证复数乘法满足结合律；④根据复数相等的充要条件，应用待定系数法求复数，是常用的方法之一. 3. 践习：在教材空白处，完成第118～119页习题第2、3、6、12题. 基础诊断 1. 若复数z ＝(1＋m i )(2－i )(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为 －2 . 解析：由题意得，z ＝(1＋m i )(2－i )＝2＋m ＋(2m －1)i .因为复数z 是纯虚数，所以2＋m ＝0，且2m －1≠0，解得m ＝－2. 2. 设复数z ＝m ＋3i 1＋m i (m>0，i 为虚数单位)，若z ＝z ，则m 解析：z ＝m ＋3i 1＋m i ＝（m ＋3i ）（1－m i ）（1＋m i ）（1－m i ）＝4m ＋（3－m 2）i 1＋m 2.因为z ＝z ，所以3－m 2＝0，解得m ＝±3.因为m>0，所以m ＝ 3. 3. 已知复数z ＝ 11＋i ，其中i 是虚数单位，则|z|＝ 2 . 解析：z ＝11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－1 2i ，所以|z|＝ ????122＋????122 ＝22 . 4. 设复数z 满足(1＋2i )·z ＝3(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为 3 5 . 解析：因为(1＋2i )·z ＝3，所以z ＝3 1＋2i ＝3（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝3－6i 5，所以复数z 的实 数为3 5 . 范例导航 考向? 复数的基本运算 例1 (1) （－1＋i ）（2＋i ） i 3 ； (2) 1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2 ； (3) (－1＋3i )3；

名词的复数练习题

名词的复数练习题 1．给下列的名词加上复数的形式： thriller documentary comedy action movie life knife fry leaf photo radio piano zoo tomato potato bus watch box book map cat film door month 0horse picture class boy tooth woman eye tooth German Chinese man football child classroom monkey tree egg coat Frenchman 2.将下列词组译成汉语： [1]三杯牛奶[2] 一袋大米 [3]三篮子苹果 [4]一碗面条[5]四盒子书[6]七套英语书 [7]五袋子大米[8]三听橘汁[9]八条新闻 [10]一箱香蕉 3. 选择填空： [1].They are________ A:man doctor B:men doctors C:men doctor D:man doctors [2]There are five_____ in the hill. A:sheep B:sheeps C: goose D:deers [3] Those white socks____small. A:are B:is C: am D:do [4]We have many_____in our school. A:woman teacher B:women teachers C: woman teachers D:women teacher [5]Do you like _____? A:vegetable B: vegetables C:an vegetable [6]How many_____do they have? A:picture B: pictures C:a picture [7]There are six ____in the room. A:volleyball B:volleyballs C:a volleyball D:volleyballs [8]Are these ____teachers? A:woman B:women C:womans [9]It is ____. A:milk B:a milk C:an molk D:milks [10]It’s a ____.It isn’t an ____. A:apple, egg B;cake,egg C:egg,orange, D:egg,cake [11]Tom and Jim are ___. A:friends B:friend C:brother D:sister [12]Where are his ____?___the dresser. A:keys ,They are on B:key, They are on C:keys, It is at D:key,It is in [13]Are those your ____? A:bookes B:boxs C:apples D:apple [14]There is ____in our room. A:a picture and five maps B:five maps and a picture C:two pictures and five maps D: two picture and five map

新概念名词变复数练习题

新概念英语测试题Lesson 17-18 姓名____________ 学号_____________ 得分_____________ 一.R ead this dialogue. Fill in the missing words.填空。(30分) 二.M r. Jackson: Please come and our employees．You: you, Mr. Jackson．Mr. Jackson: This is Nicola and _________ is Claire．Nicola and Claire: How do you do？ You: ？Mr. Jackson: These are very hard-working．You: What jobs? Mr. Jackson: They’re operators. What’s your ？You: I’m student. And I’m very ,too！ 二.What are their jobs? Choose and write in the best word. 用括 号中正确的词填空。(12分) 三.1What’s her job? –She’s a . (engineer/ housewife） 2 What’s his job? –He’s a ．（policewoman/ postman） 3 What are their jobs? –They’re ．（policeman/ policemen）

4 What’s Michael’s job? –He’s a . (sales rep/ keyboard operators） 5 What’s Mary’s job? –She’s an . (air hostesses/ office girl） 6 What are Mike and Ji m’s jobs? –They’re . (sales rep/ sales reps） 三.Write these numbers in figures.用阿拉伯数字表示以下数词。（12分） two hundred four hundred and two six hundred eight hundred and ten nine hundred a thousand and one 四.Write these regular plural words in the correct columns.根据复数的读音将以下规则的名词复数填入表内。（11分） office assistants sales reps employees office girls jobs keyboard operators mechanics Customs officers air hostesses engineers taxi drivers Plural with a /s/ sound Plural with a/z/ sound Plural with an /iz/ sound 五.Write in the irregular plurals of these nouns.写出以下不规则名词的复数形式。（5分） Housewife - man - woman Postman - policewoman - 六.Complete these sentences using He, She, We or They.完成以下

复数的概念5

复数的概念 1、复数1z ＝3＋i ，2z =1－i,则21z z z ?=在复平面内对应的点位于 （ ） A 第一象限内 B 第二象限内 C 第三象限内 D 第四象限内 2、若复数z 满足i z z 2110||-=-，则z ＝ （ ） A －3＋4i B －3－4i C 3－4i D 3＋4i 3、设z 为复数，则“|z|=1”是“z z 1 +∈R ”的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 不充分不必要条件 4、复数)2(sin cos 1παπαα<

复数的概念及运算 知识点+例题 全面分类

[例2] 设复数z 满足)1)(23(i i iz -+=-，则.______=z i 51+ [巩固1] 复数 i i a 212+-是纯虚数，则实数a 的值为________.4 [巩固2] 如果 )(112R m mi i ∈+=-，那么._____=m 1 [例3] 已知i z 34+-=，则._______2=-z i 36+ [巩固1] 已知复数i z 211+=，i z 322-=，则21z z +的共轭复数是___________.i +3 [巩固2] 已知i 是虚数单位，R n m ∈，，且ni i m -=+22，则 ni m ni m -+的共轭复数为_________.i [例4] 计算：（1）3)2)(1(i i i ++-（2）22)1(1)1(1i i i i -+++- [巩固] 计算： （1）)1()2()23(i i i +---++；（2）)2)(1(2013i i i -+?；（3）i i 4321-+

1．复平面：我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2．复数的模：22b a bi a z +=+= 3．bi a z +=1，di c z +=2，则2221)()(d b c a z z -+-= - 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离. [例1] 已知复数i i z -+= 12，则._____=z 210 [巩固1] 复数)0(21<+= a i ai z ，其中i 为虚数单位， 5=z ，则a 的值为__________.-5 [巩固2] 若2=z ，求i z 43-+取最大值时的. ______=z i 5 856- [例2] 复数)(23)1(2R a i a a i z ∈++--= （1）若z z =，求z ； （2）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围. 知识模块3复数的模 精典例题透析

复数的定义

第十四章 复数 一 、复数的概念 1. 虚数单位：i 规定：（1）21i =-；（2）虚数单位i ，可以与实数进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立。 2. 复数:形如a bi +，,a R b R ∈∈的数叫做复数，a 叫实部，b 叫虚部。 3. 复数集：所有复数构成的集合，复数集{},,C x x a bi a R b R ==+∈∈. 4. 分类：0b =时为实数；0b ≠时为虚数，0,0a b =≠时为纯虚数，且R üC . 5. 两个复数相等：a bi c di a c +=+?=且(,,,)b d a b c d R =∈ 例1 下面五个命题 ①34i +比24i +大； ②复数32i -的实部为3，虚部为2i -； ③1Z ,2Z 为复数，120Z Z ->，那么12Z Z >；④两个复数互为共轭复数，则其和为实数； ⑤两个复数相等：a bi c di a c +=+?=且(,,,)b d a b c d R =∈. 例2 已知：(1)(1),Z m m i m R =++-∈求Z 为（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数时，求m 的值。 例3 已知2226()x y i y x i +-=+-，求实数,x y 的值。 二 、复数的几何意义：,,,Z a bi a R b R =+∈∈与点(,)a b 一一对应。 1.复平面：x 轴叫实轴；y 轴叫虚轴。x 轴上点为实数，y 轴上除原点外的点为纯虚数。 2.Z a bi =+；连接点(,)a b 与原点，得到向量OZ ,点(,)Z a b ，向量OZ ，Z a bi =+之间一一对应。 3.模：2Z a bi OZ a =+== 注：Z 的几何意义：令(,)Z x yi x y R =+∈,则Z =Z 的点到原点的距离就是Z 的几何意义；12Z Z -的几何意义是复平面内表示复数1Z ，2Z 的两点之间的距离。

高中数学复数练习题百度文库

一、复数选择题 1．已知复数1z i =+，则2 1z +=（ ） A ．2 B C ．4 D ．5 2．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ??? D ．43,55?? - ??? 3．若复数1z i i ?=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 4．已知a 为正实数，复数1ai +（i 为虚数单位）的模为2，则a 的值为（ ） A B ．1 C ．2 D ．3 5．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） A B ．3 C ．5 D ．6．若复数1z i =-，则1z z =-（ ） A B ．2 C ． D ．4 7．已知复数5 12z i =+，则z =（ ） A ．1 B C D ．5 8．若 1m i i +-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D 9．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1 z z =+（ ） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i -- D ．1i - 10．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．8 11．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ．-1 B ．1 C ．i - D ．i 12．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a i b i i +=+，则复数a bi -的模等于（ ） A B C D

复数的概念 人教版

1 复数的概念 【学习目标】 1．理解复数的概念． 2．掌握一个复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件． 3．掌握复数相等的概念及其应用，了解不全是实数的两个复数不能比较大小． 【学习障碍】 1．对虚数单位i 的理解不深导致概念理解不透． 2．应用复数概念时，没有掌握好数集的结构． 3．应用复数相等，联立方程组求解变量时，没有注意变量的取值范围、取舍等问题． 【学习策略】 1．在处理复数有关判断问题时，通常采用特例法，帮助理解复数概念． 2．在应用复数相等的条件时，思维过程要严密，要保证实部、虚部有意义，充分掌握好数集结构． 对于复数f (m )＋g (m )i 有如下判断： (1)表示实数：g (m )＝0 (2)表示纯虚数：f (m )＝0且g (m )≠０ (3)虚数：g (m )≠０ 3、要注意变量取值范围，比如：对数式中应真数大于0；分式分母不为0；无理式中开偶次方根的被开方数大于等于0． 【例题分析】 ［例1］判断各式的对错． (1)若z ∈C ，则z 2≥0 (2)若a >b ，则a ＋i >b ＋i (3)若z 1，z 2∈C ，且z 1－z 2>0，则z 1>z 2 分析：虚数与实数的一个重要区别：虚数不能比较大小，因此，不等式的性质在复数集中部分不适用． 方法：特例法——除解决复数问题，在解决不等式、三角函数等有关问题，也常采用特例法． 解：(1)z 2≥0，当且仅当z ∈R 时成立．如设z ＝i ，则z 2＝－1<0，故(1)错 (2)因a >b ，故a 、b ∈R ，故a ＋i 与b ＋i 都是虚数，不能比较大小，故(2)错 (3)反例：设z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，满足z 1－z 2>0，但z 1，z 2不能比较大小，故(3)错 ［例2］已知复数z ＝(1＋i )m 2＋(5－2i )m ＋6－15i ，实数m 分别为何值时， ①z 是实数；②z 是虚数；③z 是纯虚数 分析：本题直接考查数集的分类： 复数a ＋bi (a ，b ∈R )?? ??????≠=≠=非纯虚数纯虚数虚数实数 0 0 0 0a a b b 在判断一个复数类型时，首先一定要分清所给复数的实部和虚部． 方法：如学习策略2，联立方程组或不等式组． 解：z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ∵m ∈R ，∴z 的实部m 2＋5m ＋6，虚部m 2－2m －15 (1)由m 2－2m －15＝0(m ∈R )∴m ＝5或m ＝－3，∴当m ＝5或m ＝－3时，z 为实数 (2)由m 2－2m －15≠0(m ∈R )∴m ≠5且m ≠－3， ∴当m ≠5且m ≠－3时，z 为虚数

数系的扩充和复数的概念

《数系的扩充和复数的概念》教学设计 1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的 分类表； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念； 4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．【教学重点】引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念． 【教学难点】复数概念的理解． 【教学过程】 1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简 明扼要的概括和总结） 自然数整数有理数无理数实数 2．提出问题 我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使 得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 3．组织讨论，研究问题 我们说，实系数一元二次方程没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？ 组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问 题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1． 4．引入新数，并给出它的两条性质 根据前面讨论结果，我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定： （1）； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．有了前面的讨论，引入新数，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是）． 5．提出复数的概念 根据虚数单位的第（2）条性质，可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成这样，数的范围又扩充了，出现了形如的数， 我们把它们叫做复数． 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有： N* N Z Q R C． 【巩固练习】 下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复 数的实部与虚部各是什么？ 例1.实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数，由复数z＝a＋bi是实、虚数、纯虚数与 零的条件可以确定实数m的值．

复数练习题(有答案)

一、复数选择题 1．复数2 1i =+（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i + 2．复数1 1z i =-，则z 的共轭复数为（ ） A ．1i - B ．1i + C ． 1122 i + D ． 1122 i - 3．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ?? ? D ．43,55?? - ?? ? 4． 212i i +=-（ ） A ．1 B ．?1 C ．i - D ．i 5．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ． 35 B ．35i - C ．15 - D ．1 5 i - 6．已知复数z 满足()3 11z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上 A ．直线12 y x =- B ．直线12 y x = C ．直线1 2 x =- D ．直线12 y 7．满足313i z i ?=-的复数z 的共扼复数是（ ） A ．3i - B ．3i -- C ．3i + D ．3i -+ 8．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．若 1m i i +-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D 10．若1i i z ，则2z z i ?-=（ ） A ． B ．4 C ． D ．8 11．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．1-

复数的基本概念与基本运算

复数的基本概念与基本运算 一、《考试说明》中复数的考试内容(1)数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；(2)复数的代数表示与向量表示；(3)复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；(4)复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。二、考试要求（1）使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念．掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换；（2）掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义；（3）掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法．（4）通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力．（5）通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育．三、学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；?(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z = r(cosθ+isinθ) , OZ(Z(a,b)) , z=a+bi (3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；复(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三

角数实数集集形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根纯虚数集ω的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）；(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。四、本章知识结构与复习要点1．知识体系表解 1 1/16页2．复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位，规定2i,,1，形如a+bi的数称为复数，其中a，b?R．(2)复数的分类(下面的a，b均为实数) (3)复数的相等设复数，那么的充要zz,zabizabiababR,，,，,,(,,,)121112221122条件是：．abab,,且1122 (4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b?R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的． 2 2/16页复数 z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b) abR,,，，向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．(7)复数与实数不同处?任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．?实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．3．有关计算：?**n4k，rrkNrN,,,nN,ii,i怎样计算？（先求n被4除所得的余数，），，，，1313?,,,，i、,,,,i

(完整word版)复数的概念及其几何意义练习题

一．选择题（共10小题） 1．（2015?遵义校级一模）已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（） A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i 2．（2015?安庆校级三模）设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（） A．﹣2﹣6i B．﹣2+2i C．4+2i D．4﹣6i 3．（2015?广西校级学业考试）实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 4．（2015?泉州校级模拟）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣2 5．（2015?潍坊模拟）设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（） A．B．C．±1 D． 6．（2015?浠水县校级模拟）已知复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，则z=（） A．﹣2i B．2i C．﹣i或i D．2i或﹣2i 7．（2015?新课标II）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 8．（2015?南平模拟）已知x，y∈R，i为虚数单位，且yi﹣x=﹣1+i，则（1﹣i）x+y的值为（）A．2 B．﹣2i C．﹣4 D．2i 9．（2015?宜宾模拟）在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为（） A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i 10．（2015?上饶校级一模）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二．填空题（共5小题） 11．（2015?岳阳二模）已知z=x+yi，x，y∈R，i为虚数单位，且z=（1+i）2，则ix+y=．12．（2015春?常州期中）计算i+i2+…+i2015的值为． 13．（2015春?肇庆期末）从{0，1，2，3，4，5} 中任取2个互不相等的数a，b组成a+bi，其中虚数有个． 14．（2015?泸州模拟）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=． 15．（2014?奎文区校级模拟）设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量 对应的复数是． 三．解答题（共8小题） 17．（2015?赫章县校级模拟）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3﹣i． （1）求点C，D对应的复数； （2）求平行四边形ABCD的面积． 18．（2015春?蠡县校级期末）实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：

高中数学复数练习题.

高中数学《复数》练习题 一．基本知识：复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面： z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 二．复数的基本运算：设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 三．复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22 ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 四．例题分析 【例1】已知()14z a b i =++-，求 （1）当,a b 为何值时z 为实数（2）当,a b 为何值时z 为纯虚数 （3）当,a b 为何值时z 为虚数（4）当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。 【变式1】若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 A ．1- B ．0 C 1 D ．1-或1 【例2】已知134z i =+；()()234z a b i =-+-，求当,a b 为何值时12=z z 【例3】已知1z i =-，求z ，z z ?； 【变式1】复数z 满足21i z i -=-，则求z 的共轭z

复数的概念与运算

复数的概念与运算 【知识点精讲】 1． 虚数单位i ：i 2=–1，实数可以与它进行四则运算，原有的加、乘运算律仍成立；i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ；I 具有周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1（n ∈N ）. 2． 复数的代数形式：z=a+bi （a,b ∈R ）， a 叫实部，b 叫虚部.掌握复数（集C ）的分类： ()?? ??????+=≠==+=≠====∈+=为非纯虚数的虚数时为纯虚数时为虚数时为实数时其中为实数时复数bi a z a bi z a bi a z b ，z b a a z b R b a bi a z 000000),( NZQRC 3.复数相等：设a,b,c,d ∈R ，则a+bi=c+di ?a=c,b=d ；a+bi=0?a=b=0；利用复数相等的条件转化为实数问题是解决复数问题的常用方法； 4.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数.如：a+bi 和a –bi （a,b ∈R ）； 5．复数的模：2||||||z a bi OZ a =+==，两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小； 6．复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 7．掌握复数的和、差、积、商运算法则：z 1±z 2=(a +bi ) ±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i ；(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i ；(a +bi )÷(c +di )= 2222d c ad bc d c bd ac +-+++ i （实际上是分子分母同乘以分母的共轭复数，并化简）. 复数运算满足加、乘的交换律、结合律、分配律. 【例题选讲】 例1 计算：（1）i i -22；（2）i i 3232-+. 解：（1）i 5 452+- ；（2）i 56251+-. 例2 已知z 是复数，z+2i 、 i z -2均为实数，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围. 优化设计P222典例剖析例1，解答略。

高中数学选修2-2复数的概念练习题

高中数学选修2-2复数的概念练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

一．选择题（共10小题） 1．（2015?遵义校级一模）已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（） A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i 2．（2015?安庆校级三模）设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（） A．﹣2﹣6i B．﹣2+2i C．4+2i D．4﹣6i 3．（2015?广西校级学业考试）实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是 （） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 4．（2015?泉州校级模拟）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（） A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣2 5．（2015?潍坊模拟）设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（） A． B．C．±1 D． 6．（2015?浠水县校级模拟）已知复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，则z=（） A．﹣2i B．2i C．﹣i或i D．2i或﹣2i 7．（2015?新课标II）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 8．（2015?南平模拟）已知x，y∈R，i为虚数单位，且yi﹣x=﹣1+i，则（1﹣i）x+y的值为（） A．2 B．﹣2i C．﹣4 D．2i 9．（2015?宜宾模拟）在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为（） A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i 10．（2015?上饶校级一模）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 二．填空题（共5小题） 11．（2015?岳阳二模）已知z=x+yi，x，y∈R，i为虚数单位，且z=（1+i）2，则 i x+y=． 12．（2015春?常州期中）计算i+i2+…+i2015的值为．

复数的概念、几何意义及运算

高考数学一轮复习专题训练(40) 复数的概念、几何意义及运算 班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日 一、填空题 1. 复数z＝ 1 1－i 的虚部是________． 2. 设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________． 3. 若复数a＋i 1＋i 为纯虚数，则实数a的值是________． 4. 若复数z＝2－i 3－4i ，则z的共轭复数为z＝________． 5. 在复平面内，复数1－i 2＋i ＋i2 019对应的点位于第 ________象限． 6. 若复数z＝ 1 a－2 ＋(a2－4)i(a∈R)是实数，则a＝ ________．

7. 已知i是虚数单位，则满足z－i＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点在第________象限． 8. 满足条件|z－i|＝|z＋3|的复数z在复平面上对应点的轨迹是________． 9. 已知i是虚数单位，a、b∈R，则“a＝b＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 10. 若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m＋6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值为________． 11. 设a∈R，若复数a＋i 1＋i (i为虚数单位)的实部和虚部相 等，则a＝________． 12. 已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋a i＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋b i，则复数z＝________． 13. 若复数(x－2)＋y i(x，y∈R)的模为3，则y x的最大值

1.1 数系的扩充和复数的概念

第三章数系的扩充与复数的引入 本章概览 教材分析 复数在数学、力学、电学等其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础． 本章内容分为两节：3.1数系的扩充和复数的概念，3.2复数代数形式的四则运算． 教材通过问题情境：“方程x2＋1＝0在实数集中无解，如何设想一种方法使该方程有解？”引出扩充数系的必要性，从而引入虚数、复数的概念．复数实际上是一对有序数对，即a＋bi (a，b)，类比实数可以用数轴上的点表示，复数就可以在直角坐标系中用点或向量表示，从而有了复数的几何意义，使数和形得到了有机的结合． 复数代数形式的四则运算可以类比代数式运算中的“合并同类项”“分母有理化”等，利用i2＝－1，将复数代数形式的四则运算归结为实数的四则运算，体现了化虚为实的化归思想． 复数的加法、减法运算还可以通过向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来进行，这不仅又一次看到了向量这一工具的功能，也把复数及其加、减运算与向量及其加、减运算完美地统一起来． 教材每节设置了“思考”“探究”，让学生通过类比思想，并借助于具体实例对数系进行了扩充，研究了复数代数形式的几何意义和复数加、减法的运算及几何意义，体现了《课标》以学生为主体的教学理念，有利于培养学生的思想素质和激发学习数学的兴趣和欲望．本章的重点是复数的概念及复数代数形式的四则运算，本章的难点是复数的引入和复数加、减法的几何意义． 课标要求 (1)在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． (2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件． (3)了解复数的代数表示法及其几何意义． (4)能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 教学建议 (1)数的概念的发展与数系的扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需求．建议教学时详细介绍从自然数系逐步扩充到实数系的过程，使数系的扩充与复数的引入更为自然，让学生充分领略数系扩充过程中所蕴涵的数学思想和科学发展思想． (2)在讲解复数的相关概念时，在“复数相等”环节，可以类比“相反数”的概念． (3)学习复数代数形式时的加、减、乘等运算时，可设置研究问题：用第二章“类比推理”思想，将多项式的运算法则与之进行类比． (4)删减的内容不必再补．对于弱化的部分，建议也只是在其出现的地方作适当延伸，不必重点讲解． 课时分配 本章教学时间大约需5课时，具体分配如下(仅供参考)

复数概念(学案)

复数概念和复数的几何意义 编写：王向东 校对：高二数学组 姓名________班级_______ 一·学习目标 （1）理解复数的基本概念（2）理解复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示 方法（4）实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解．(5)复数几何意义和 复平面内两点间距离公式的应用 。 二、自主探究、合作学习 1.复数的概念： ⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质： (1)它的平方等于-1，即 _____ =-1; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. ⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的 集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示． ⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做 复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数． (4)对于复数a+bi(a,b ∈R), 当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数; 当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0; 当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做虚数; 当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做纯虚数; (5)两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也 即a+bi=c+di ?_______________________。由此容易出：a+bi=0?_____________ （6）共轭复数：复数z =a+bi 的共轭复数为z =a bi -.特别的，若z R z z ∈?= 2 复数的几何意义 复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点 Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________， x 轴叫做_______，y 轴叫做______.实轴上的点都表示实数, 虚轴上的点除了________外都表示纯虚数 问题1：复数z 的几何意义？ 两种几何意义: a+bi a+bi OZ =(__,__) Z Z → =--→=--→一一对应 一一对应 复数复平面内的点_____复数平面向量 问题2：∣z ∣的几何意义？ 问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？ 四·复数概念部分测试题： 1.设集合C =｛复数｝，A=｛实数｝，B =｛纯虚数｝，若全集S=C ，则下列结论正确的是( ) A.A ∪B =C B. S C A =B C.A ∩S C B =? D.B ∪S C B =C 2.复数(2x 2+5x +2)+(x 2 + x －2)i 为虚数，则实数x 满足( ) A.x =－ 21 B.x =－2或－2 1 C.x ≠－2 D.x ≠1且x ≠－2 3.已知集合M =｛1，2，(m 2 －3m －1)+(m 2 －5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝， 则实数m 的值为( ) A.－1 B.－1或4 C.6 D.6或－1 4.若?? ? ??∈ππθ45,43，则复数i )cos (sin )sin (cos θθθθ-++在复平面内所对应的点在（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 5.虚数z=a+bi,且a 、b ∈{0,1,2,3,4},则z 的个数是( ) (A)25 (B) 20 (C)18 (D) 16 6.在命题:“①复数a+b i (a,b ∈R)的实部是a, 虚部是bi ”;“ ②复数a+b i (a,b ∈R)的实部是a, 虚部是b ”；③任何两个复数不能比较大小；④任何两个虚数都不能比较大小中,正确的命题的个数是( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3. 7.（2009江西卷理）若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．1-或1 8、（2008广东卷1）已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ） A ．(15)， B ．(13)， C ． D ． 9.满足方程x 2 －2x －3+(9y 2 －6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______. 10.复数z 1=a +｜b ｜i ，z 2=c +｜d ｜i (a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1=z 2的充要条件是______. 11.已知关于x 的方程x 2 -(2i -1)x+3m -i=0有实数根，求m 的值_________ 12.已知m ∈R ，复数z = 1 ) 2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时， (1) z ∈R ; (2) z 是虚数；(3) z 是纯虚数；(4) z =2 1 +4i .