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复数的定义与四则运算法则复数是数学中的一种特殊数形式，由实部和虚部组成。
实部通常用实数表示，而虚部通常以虚数单位 i 表示。
复数的一般表示形式为 a + bi，其中 a 表示实部，b 表示虚部。
一、复数的定义复数的定义是通过引入虚数单位 i 而获得的。
虚数单位 i 的定义是i^2 = -1。
根据这个定义，我们可以得出两个重要的结论：i 的平方等于-1，而 -1 的平方根是 i。
二、虚数与实数虚数是指虚部不为零的复数。
当虚部 b 不为零时，复数 a + bi 称为虚数。
实部为零，即虚部 b 不为零时，复数 a + bi 称为纯虚数。
与实数不同的是，虚数和纯虚数在实轴上没有对应的点。
三、四则运算法则1. 加法法则：复数的加法满足交换律和结合律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的和为 (a + c) + (b + d)i。
2. 减法法则：复数的减法也满足交换律和结合律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的差为 (a - c) + (b - d)i。
3. 乘法法则：复数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的乘积为 (ac - bd) + (ad + bc)i。
4. 除法法则：复数的除法也满足交换律、结合律和分配律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di（其中 c + di 不等于 0），它们的商为 [(ac + bd)/(c^2 + d^2)] + [(bc - ad)/(c^2 + d^2)]i。
四、共轭复数对于复数 a + bi，其中 a 表示实部，b 表示虚部。
那么复数 a - bi 称为其共轭复数。
共轭复数的一个重要性质是，两个复数的乘积的虚部为零。
五、复数的绝对值复数 a + bi 的绝对值等于它的模长，记作 |a + bi|，定义为 |a + bi| = √(a^2 + b^2)。
复数的模长是一个非负实数。
高中数学中的复数运算知识点总结在高中数学学习中，复数运算是一个重要的知识点。
复数是由实数和虚数构成的数，其运算包括四则运算、乘方运算等。
下面将对高中数学中的复数运算进行总结。
一、复数的定义复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i是虚数单位。
实部和虚部都是实数，虚部的系数b前面必须加上虚数单位i。
二、复数加法和减法1. 加法复数a+bi和c+di相加，实部和虚部分别相加即可，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2. 减法复数a+bi和c+di相减，实部和虚部分别相减即可，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
三、复数乘法和除法1. 乘法复数a+bi和c+di相乘，按照分配律展开式进行计算，即(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i。
2. 除法复数a+bi除以c+di，先将被除数和除数的虚部有理化，然后根据乘法的倒数性质进行计算。
先将除数的虚部变号，得到复数的共轭复数，然后将除数乘以其共轭复数，再将结果化简为标准形式即可。
四、复数的乘方和开方1. 乘方复数的乘方可以使用二项式定理进行展开，然后根据i的幂次去化简。
2. 开方复数的开方可以先将复数化为三角形式或指数形式，然后利用根式的性质进行计算。
五、复数的模和辐角1. 模复数a+bi的模用|a+bi|表示，|a+bi|=√(a²+b²)。
2. 辐角复数a+bi的辐角用θ表示，可以通过a和b的值以及复数所在象限求得，tanθ=b/a。
六、复数的共轭与倒数1. 共轭复数复数a+bi的共轭复数记作a-bi，共轭复数的实部相同，虚部的符号相反。
2. 复数的倒数复数a+bi的倒数记作1/(a+bi)，倒数的实部和虚部由实部和虚部的比例求得。
综上所述，高中数学中的复数运算涉及到复数的加法、减法、乘法、除法，以及乘方、开方等运算。
同时，复数的模、辐角、共轭与倒数也是重要的概念。
复数的基本性质与四则运算复数是数学中的一种特殊数形式，由实数和虚数部分组成。
在实际应用中，复数广泛用于电路分析、信号处理、控制系统等领域。
本文将探讨复数的基本性质和四则运算。
一、复数的基本性质复数可以表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以用复平面上的点来表示，实数部分对应横坐标，虚数部分对应纵坐标。
复数有许多基本性质，其中最重要的是共轭性。
对于复数z=a+bi，其共轭复数记作z*=a-bi。
共轭复数的实部相等，虚部互为相反数。
共轭性在复数的运算中具有重要作用，可以用于简化计算和证明定理。
二、复数的四则运算1. 加法和减法复数的加法和减法与实数的运算类似。
对于两个复数z1=a+bi和z2=c+di，其和为z1+z2=(a+c)+(b+d)i，差为z1-z2=(a-c)+(b-d)i。
通过实部和虚部的相加减，可以得到复数的和差。
2. 乘法复数的乘法是基于分配律和虚数单位i的平方等于-1进行计算的。
对于两个复数z1=a+bi和z2=c+di，其乘积为z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i。
在计算过程中，可以使用分配律将复数的实部和虚部分别相乘，然后将结果相加。
3. 除法复数的除法涉及到分数的运算。
对于两个复数z1=a+bi和z2=c+di，其商为z1/z2=(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i。
在计算过程中，需要将分子和分母同时乘以共轭复数，然后进行简化。
三、复数的应用举例复数的四则运算可以应用于解决实际问题。
例如，在电路分析中，复数可以用于描述电压和电流的相位关系；在信号处理中，复数可以用于频域分析和滤波器设计；在控制系统中，复数可以用于描述系统的稳定性和性能。
举个例子，假设有一个电路中的电压信号为V(t)=V0cos(ωt+φ)，其中V0为幅值，ω为角频率，φ为相位角。
复数四则运算复数是由实数和虚数相结合而成的数，它由实部和虚部构成，它可以表示出一个点在复平面上的位置，复数的书写形式有两种：一种是标准形式，即 a + bi（a 为实部 b 为虚部）；另一种是简写形式，即 z = a + bi。
实数：数就是我们所熟知的数，例如 0,1、2、3、4、5，以及无穷大或无穷小的正负数，它们的定义不仅受正数限制，也受负数制。
虚数：虚数是以“i”开头的单位，其中“i”代表负根号 -1。
虚数一般以 a + bi形式来表示，其中 a 为实部，b 为虚部，虚数的概念只在二元函数的图像中有意义，而不能在三元函数的图像中表示。
二、复数四则运算1、加法复数之间的加法运算，就是把两个复数实部和虚部分别相加，得到新的复数，例如：(3 + 5i) + (2 + 3i) = (3 + 2) + (5 + 3i) = 5 + 8i2、减法复数之间的减法运算，先把第二个复数的实部和虚部分别变成相反数，然后用加法计算出差值，例如：(3 + 5i) - (2 + 3i) = (3 -2) + (5 - 3i) = 1 + 2i3、乘法复数之间的乘法运算，是先将两个复数分别按照一定规则拆分开来，然后用公式乘出其积值，例如：(3 + 5i) (2 + 3i) = 3×2 + 3×3i + 5i×2 + 5i×3i = 6 + 15i - 10i - 15i = 6 - 15i4、除法复数之间的除法运算，首先将分母改写成乘法形式，然后将分子和分母分别按照一定规则拆分开来，最后用公式除出其商值，例如：(3 + 5i)÷ (2 + 3i) = (3 + 5i) (2 - 3i)÷ (2 + 3i) (2 - 3i) =(6 - 15i)÷ (4 - 9i) = (6 - 15i)÷ 13(2 - 3i) = 6/13 + (-15i)/13三、复数的性质1、复数可以与实数进行四则运算（加减乘除），但不能与实数求反元。
复数的基本概念与运算规则复数是数学中的一种数形式，可以表示为实部与虚部的和。
在复数中，虚部用i来表示，i为虚数单位，满足i² = -1。
复数的基本概念与运算规则是我们学习复数的基础，以下将对其进行详细介绍。
一、复数的基本概念复数由实部和虚部组成，一般表示为a + bi，其中a为实部，bi为虚部。
实部和虚部都可以是实数。
当虚部为0时，复数退化为实数。
反之，当实部为0时，复数退化为纯虚数。
二、复数的表示形式1. 笛卡尔形式：复数a + bi可以表示为有序对(a, b)，其中a表示实部，b表示虚部。
2. 楔形式：复数a + bi可以表示为模长和辐角的形式。
其中模长是复数到原点的距离，辐角是复数与实轴的夹角。
三、复数的运算规则1. 加法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其和为(a + c) + (b +d)i。
即实部相加，虚部相加。
2. 减法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其差为(a - c) + (b - d)i。
即实部相减，虚部相减。
3. 乘法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其积为(ac - bd) + (ad+ bc)i。
即实部的乘积减去虚部的乘积，然后再加上实部和虚部的乘积。
4. 除法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其商为[(ac + bd)/(c² + d²)] + [(bc - ad)/(c² +d²)]i。
即实部的乘积加上虚部的乘积除以除数的模长的平方，然后再加上虚部的乘积减去实部的乘积除以除数的模长的平方。
4. 共轭运算：对于复数a + bi，其共轭为a - bi。
即实部不变，虚部取相反数。
五、复数的基本性质1. 加法满足交换律和结合律：对于任意复数a, b和c，有a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 乘法满足交换律和结合律：对于任意复数a, b和c，有ab = ba和(ab)c = a(bc)。
复数与复数运算详细解析与归纳复数是数学中一种重要的概念，它包含了实数范围之外的数。
在本文中，我们将详细解析复数的定义、运算规则以及复数的归纳方法，旨在帮助读者更好地理解和应用复数。
一、复数的定义复数是由实数和虚数单位构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。
复数由实部和虚部两部分组成，实部是实数部分，虚部是虚数部分。
二、复数的四则运算1. 加法：对应位置的实部和虚部分别相加。
2. 减法：对应位置的实部和虚部分别相减。
3. 乘法：按照分配律展开并合并同类项，同时注意i²的取值。
4. 除法：将除数乘以共轭复数的分子和分母，然后进行简化。
三、复数的性质与归纳1. 共轭复数：将复数的虚部取负数得到的数为共轭复数，记作z'。
共轭复数具有以下性质：a. 共轭复数的实部相等，虚部的符号相反。
b. 复数与它的共轭复数的乘积等于它的模的平方。
c. 对于实数，它的共轭复数等于它本身。
2. 复数的模和辐角：复数的模是复数到原点的距离，通常用|r|表示；辐角是复数与实轴正半轴之间的夹角，通常用θ表示。
复数的性质与归纳如下：a. 复数的模等于它与共轭复数的乘积的平方根。
b. 复数的辐角等于它在坐标平面上与实轴正半轴的夹角。
c. 两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等。
3. 欧拉公式：欧拉公式将复数的辐角表示为指数形式，可以用于简化复数的运算。
欧拉公式的表达式为e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中e为自然对数的底数。
利用欧拉公式可以更方便地进行复数的乘方运算和三角函数的运算。
四、应用举例复数在物理学、工程学以及信号处理等领域有广泛的应用。
下面是一些常见的应用举例：1. 交流电路中的复数阻抗：复数可以用来表示交流电路中的电阻、电感和电容，进而分析电路中的电流和电压。
2. 复数频域分析：利用复数的欧拉公式，可以将信号在频域上进行分析和处理，例如傅里叶变换。
复数的基本运算及几何意义复数是由实部和虚部构成的数，可以用公式表示为 z = a + bi，其中a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
一、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加即可。
例如：(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减即可。
例如：(2 + 3i) - (4 + 5i) = -2 - 2i3. 复数的乘法：根据分配律展开运算，注意 i 的平方为 -1。
例如：(2 + 3i) * (4 + 5i) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i4. 复数的除法：将分子乘以分母共轭复数，并进行合并化简。
例如：(2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) * (4 - 5i) / (4^2 + 5^2) = (8 + 7i) / 41二、复数在平面几何中的意义在平面直角坐标系中，复数可以看作是复平面上的点，实部对应横轴，虚部对应纵轴。
1. 复数的模：复数 z 的模表示为 |z|，是复平面上由原点到对应点的距离。
例如：z = 3 + 4i，则|z| = √(3^2 + 4^2) = 52. 复数的辐角：复数 z 的辐角表示为 arg(z)，是复平面上由正实轴到对应位置向量的角度。
例如：z = 2 + 2i，则arg(z) = π/43. 欧拉公式：欧拉公式表示为e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位，θ 是角度。
该公式将三角函数与指数函数联系了起来，是复数运算中的重要工具。
4. 复数的乘法及除法的几何意义：复数的乘法相当于平移、旋转和伸缩，在复平面上实现了几何变换。
复数的除法相当于平移、旋转和收缩，在复平面上实现了逆向几何变换。
综上所述，复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，可以使用公式进行计算。
在平面几何中，复数可以表示为复平面上的点，模表示距离，辐角表示角度。
【数学知识点】复数的定义和四则运算公式我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i 称为虚数单位。
接下来分享复数的定义和四则运算公式。
复数是形如a＋bi的数。
式中a，b为实数，i是一个满足i^2＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。
在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。
当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。
由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。
复数常用形式z＝a＋bi叫做代数式。
(1)加法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
(2)乘法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
(3)除法运算复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。
(1)共轭复数所对应的点关于实轴对称。
(2)两个复数：x+yi与x-yi称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。
(3)在复平面上，表示两个共轭复数的点关于X轴对称。
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2025届高考数学一轮复习——复数讲义【高考考情分析】复数是高考的必考内容，多出现在选择题中，近几年多选题、填空题形式也有考查，试题较为简单，属于送分题，主要考查复数的概念和复数的四则运算.【基础知识复习】1.复数的有关概念（1）复数相等：i i a b c d a c +=+⇔=且b d =(,,,)a b c d ∈R .（2）共轭复数：i a b +与i c d +共轭a c ⇔=且b d =-(,,,)a b c d ∈R .（3）复数的模：复数i(,)z a b a b =+∈R 对应的向量OZ 的模叫做z 的模，记作||z 或|i |a b +，即|||i |z a b =+=2.复数的几何意义（1）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应复平面内的点(,)Z a b . （2）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应平面向量((0,0),(,))OZ O Z a b . 3.复数的加、减、乘、除运算法则设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，则（1）加法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++；（2）减法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-；（3）乘法：12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅+=-++；（4）除法：122222i (i)(i)i(i 0)i (i)(i)z a b a b c d ac bd bc ad c d z c d c d c d c d c d++-+-===++≠++-++. 4.复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何123,,z z z ∈C ，有1221z z z z +=+，123123()()z z z z z z ++=++.5.复数加、减法的几何意义（1）复数加法的几何意义若复数12,z z 对应的向量12,OZ OZ 不共线，则复数12z z +是以12,OZ OZ 为两邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数.（2）复数减法的几何意义复数12z z -是1221OZ OZ Z Z -=所对应的复数.6.复数乘法的运算律：对于任意123z z z ∈C ，，，有交换律：1221z z z z =；结合律：123123()()z z z z z z =；乘法对加法的分配律：1231213()z z z z z z z +=+.【重点难点复习】1.复数的模的运算性质（1）1212z z z z ⋅=⋅；（2）()112220z z z z z =≠； （3）()11n n z z n *=∈N .2.共轭复数的相关运算（1）z z z =⇔为实数，0z z +=且0z z ≠⇔为纯虚数；（2）2222||||zz z z a b ===+；（3）2z z a +=，2i z z b -=；（4）1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，()112220z z z z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【基本方法与技能复习】求解复数相关问题的技巧（1）复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需先把所给复数化为i()a b a b +∈，R 的形式，再根据题意列方程（组）求解.（2）求复数的模时，直接根据复数的模的公式和性质进行计算.（3）复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的方法.（4）在复数的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，把含有虚数单位i 的项看作一类同类项，不含i 的项看作另一类同类项；除法运算则需要分母实数化，解题中注意要把i 的幂化成最简形式.（5）由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【典型例题复习】1i =+，则z =( ) A.1i -- B.1i -+C.1i -D.1i + 2.【2024年新课标Ⅰ卷】已知1i z =--，则||z =( )3.【2023年新课标Ⅰ卷】已知1i 22i z -=+，则z z -=( ) A.i - B.i C.0 D.14.【2023年新课标Ⅰ卷】在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.【2022年新高考Ⅰ卷】若()i 11z -=，则z z +=( )A.-2B.-1C.1D.26.【2022年新高考Ⅰ卷】(22i)(12i)+-=( )A.24i -+B.24i --C.62i +D.62i - 答案以及解析1.答案：C1i =+，所以(1)(1i)z z =-+，即1i i z z z =-+-，即i 1i z =+，所以1i (1i)(i)1i i i(i)z ++-===--，故选C.1=+=11i 11i (1i)(1i)22z --==-+-11i 22=+=所以z =21i 1i=-+，故选C. 2.答案：C解析：|||1i |z =--==3.答案：A解析：因为1i(1i)(1i)2i1i22i2(1i)(1i)42z----====-++-，所以1i2z=，即iz z-=-.故选A.4.答案：A解析：(13i)(3i)3i9i368i+-=-++=+，在复平面内对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限，故选A.5.答案：D解析：因为i(1)1z-=，所以111iiz=-=+，所以1iz=-，所以(1i)(1i)2z z+=++-=.故选D.6.答案：D解析：(22i)(12i)24i2i462i+-=-++=-，故选D.。
数据结构复数的四则运算复数是由实数和虚数构成的数，实数部分可以为任意实数，虚数部分可以表示为实数乘以一个虚数单位i（i^2=-1）。
复数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面将分别介绍这四种运算的定义和算法。
1.加法：复数的加法定义为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i其中，a、b、c、d为实数部分和虚数部分。
算法流程：-将两个复数的实部相加，得到新复数的实部。
-将两个复数的虚部相加，得到新复数的虚部。
-构建新的复数对象，实部为上一步得到的实部，虚部为上一步得到的虚部。
2.减法：复数的减法定义为：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i其中，a、b、c、d为实数部分和虚数部分。
算法流程：-将两个复数的实部相减，得到新复数的实部。
-将两个复数的虚部相减，得到新复数的虚部。
-构建新的复数对象，实部为上一步得到的实部，虚部为上一步得到的虚部。
3.乘法：复数的乘法定义为：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i其中，a、b、c、d为实数部分和虚数部分。
算法流程：-将两个复数的实部相乘，得到新复数的实部1-将两个复数的虚部相乘，得到新复数的虚部1-将一个复数的实部乘以另一个复数的虚部，得到新复数的实部2-将一个复数的虚部乘以另一个复数的实部，得到新复数的虚部2-将新复数的实部1减去虚部1，得到新复数的实部。
-将新复数的实部2与虚部2相加，得到新复数的虚部。
-构建新的复数对象，实部为上一步得到的实部，虚部为上一步得到的虚部。
4.除法：复数的除法定义为：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i其中，a、b、c、d为实数部分和虚数部分。
算法流程：-将两个复数的实部分别相乘，得到实部分子式1-将两个复数的虚部分别相乘，得到虚部分子式1-将一个复数的实部乘以另一个复数的虚部，得到实部分子式2-将一个复数的虚部乘以另一个复数的实部，得到虚部分子式2-将实部分子式1与虚部分子式1相加，得到分子的实部。
复数基础知识及其运算规律一、复数的概念1.复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。
2.复数的分类：a)纯虚数：实部为0的复数，如i、-i等；b)实数：虚部为0的复数，如2、-3等；c)混合数：实部和虚部都不为0的复数，如1+2i、-3-4i等。
二、复数的表示方法1.代数表示法：用a+bi的形式表示复数；2.极坐标表示法：用r(cosθ+isinθ)的形式表示复数，其中r为模长，θ为辐角。
三、复数的运算规律1.加减法：a)(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i；b)(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
c)(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i；d)特殊情形：两个纯虚数相乘，结果为实数；e)单位根的乘法：i^k，其中k为整数。
f)(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c2+d2)] + [(bc-ad)/(c2+d2)]i。
g)(a+bi)^2 = (a2-b2) + 2abi；h)(a+bi)3、(a+bi)4等，可以利用乘方公式进行展开。
2.共轭复数：a)若复数为a+bi，则它的共轭复数为a-bi；b)共轭复数具有以下性质：两数相加为实数，两数相乘为实数。
四、复数的性质1.模长：表示复数在复平面上的长度，公式为|a+bi| = √(a2+b2)；2.辐角：表示复数在复平面上与实轴的夹角，公式为θ = arctan(b/a)，其中a≠0；3.复数的平方等于1的解：i、-1、1+i、1-i等；4.复数的平方等于-1的解：i、-i等；5.复数的平方等于k（k为非零实数）的解：±√k、±i√k等。
五、复数在实际应用中的例子1.信号处理：在通信系统中，信号往往可以表示为复数形式，如调制解调器中的正弦波信号；2.物理学：在电磁学、量子力学等领域，复数用于描述物理量，如电流、电压、波函数等；3.工程学：在电子工程、控制理论等领域，复数用于分析电路、系统稳定性等。
第一节复数一、复数
例1：求 X2 + 1 = 0的根
例2：求 X 2 + 9 = 0的根
例3：求 X 2 - 2X + 5 = 0的根
结论结论：j =1-称为虚数的单位，j b 称为虚数。
由实数和虚数的代数和组成的数称为复数A = a + j b
二、复数的表示形式
1．代数形式
A = a + j b
2．极坐标形式
A = r ∠ α
式中，r －复数A 的模；α－复数A 的辐角。
3．指数形式
A = r e j α
4．三角形式
A = r cos α + j r sin α
三、各种表示形式之间的相互转换
1．代数形式→其它形式
r =22b a +；α = arctan
a
b 2．其它形式→代数形式
a = r cos α ；
b = r sin α
例：例3、例4
四、共轭复数和复数的相等
1．若A = a + j b = r ∠ α，则它的共轭复数A * = a - j b = r ∠ -α。
2．若两复数实部与实部相等，虚部与虚部相等（在代数表示式中）或两复数的模和辐角分别都相等（在极坐标或指数表示式中）则两个复数就相等。
第二节 复数的四则运算
一、加减法
1． 原则：一定要用代数形式进行加减，其它形式不能进行加减运算。
2． 方法：先将复数化成代数表示式，然后实部和实部相加或相减，虚部和虚部相加或
相减。
例：例1
二、乘除法
1．原则：一定要在同一表示形式中才能进行运算，用极坐标形式进
行运算比较简单。
2．方法：
乘法：将两复数的模相乘作为乘积的模，两辐角相加作为乘积的辐角；
除法：将两复数的模相除作为商的模，两辐角相减作为商的辐角。
三、举例
例：例2、例3、例4、例5、例6
练习：（1）将下列复数分别化成另一种形式
3 + j 3；3 - j 3；-3 + j 3；- 3 - j 3；6∠30︒；6∠120︒；
6∠- 120︒
小结：1、虚数、复数的概念。
2、复数的几种表示方法。
3、复数的代数表示式和极坐标表示式之间的相互转换关系。
4、复数的四则运算遵循的原则。
