高考数学新版一轮复习教程学案：第58课复数的概念及其运算

2019-2020学年高考数学一轮复习 复数教案教学内容学习指导 即时感悟 学习目标：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义 学习重点：复数的代数形式的加减乘除运算及其意义 学习难点：加、减运算的几何意义，除法运算明确目标 一．复习引入：1、虚数单位i 的性质：2、数的分类，确定复数z ＝a ＋bi 是实数、虚数、纯虚数的条件是：3、a+bi=c+di _______________________4.复习课本102-111页，画出本节的概念、知识点，在有疑问的地方作出标记。

并写出复数代数形式的运算： （1）加法：（2）减法：（3）乘法：（4）除法：二 自主合作探究：1．已知a 是实数，a ＋i1－i是纯虚数，则a 等于A ．－1B ．1 C. 2D ．－ 22．若复数z ＝2－i ，则z －＋10z＝A ．2－iB ．2＋iC ．4＋2iD ．6＋3i3．复数1＋2i 2＋i1－i2等于回顾知识了解新知引入新知A.52B ．－52C.52iD ．－52i4．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，1＋i 2i，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个三 当堂达标1.设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22 2.已知复数z ＝5i1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 3.若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.4.。

已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.5.。

计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1＋2i2＋31－i2＋i；(3)1－i 1＋i2＋1＋i 1－i2；(4)1－3i3＋i2. 6.．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点： (1)位于第四象限； (2)位于实轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．四 总结提升：五 拓展﹒延伸：1.已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．2．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( ) A ．1－2i 或－1＋2i B ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i5.设z ＝(2t 2 ＋5t －3)－(t 2＋2t ＋2)i(t ∈R)则 A. z 对应的点在第一象限 B. z 一定不为纯虚数 C. z 对应的点在实轴下方 D. z 一定为实数 6．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，则复数z =_________________.总结：除法运算的运算步骤7.已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，复数z 2的虚部为2，且z 1z 2为实数，求z 2及|z 2|.答案合作探究 BDBB当堂达标D 5 3 -2I5. -1-3I51+53I -1 -41-I 43 6.（1）-7﹤m ﹤3 (2)m=4 (3)m ≥4或m ≤-7拓展延伸1. 2﹤a ﹤6 B 3 a=-2 b=4 C -1+i 3 Z 2=4+2i知识的理解与应用：。

第58课 复数的概念及运算一、考纲要求：二、知识梳理：阅读课本（理）选修2—2第103页到第110页 （文）选修1—2第65页到第74页问题1．数系的扩充及复数的基本概念有哪些？问题2．复数的代数形式及其运算法则：问题3．你知道复数问题中哪些常用的结论？警示：1．复数(,)a bi a b R +∈的虚部是b ，不是bi 。

2．复数,(,,,)a bi c di a b c d a b c d R +=+⇔==∈中的,,,a b c d R ∈。

举例说明3．复数中易混结论。

举例说明画出本节课的知识结构图：三、诊断练习的体验与体会：1．解决复数中的参数问题时，可设出复数),(R b R a bi a z ∈∈+=代入，利用复数相等的定义求出,a b ．2．运用复数运算法则先化简整理成复数的代数形式，利用复数),(R b R a bi a z ∈∈+=有关的概念解决问题．四、例题导学例1．问题1．复数的代数形式是什么？问题2．复数),(R b R a bi a z ∈∈+=为虚数的充要条件是什么？问题3．复数),(R b R a bi a z ∈∈+=为纯虚数的充要条件又是什么？问题4．复数),(R b R a bi a z ∈∈+=的共轭复数的虚部是12，那么z 的虚部是多少？ 解题反思：运用复数运算法则先化简整理成复数的代数形式，利用复数),(R b R a bi a z ∈∈+=有关的概念解决问题．例2．问题：复数的代数形式的运算法则有哪些？虚数i 有哪些性质？2221,(1)2,(1)2,i i i i i =-+=-=-i i i i i i n n n n -=-===+++3424144,1,,1，03424144=++++++n n n i i i i解题反思：复数运算中注意选择运算步骤；思路一：先算括号里的除法，再算乘方即先平方再四次方；思路二：先乘方即分子分母分别乘方，再算除法。

第58课 复数的概念及其运算1. 了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件.2. 理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算.1. 阅读：选修 22 第109～117页.2. 解悟：①数系的扩充；②复数的四则运算与共轭复数；③与加法一样，复数的乘法也是一种规定.课本114页例2还可以让学生先计算后两个复数的积，再与第一个复数相乘，从而验证复数乘法满足结合律；④根据复数相等的充要条件，应用待定系数法求复数，是常用的方法之一.3. 践习：在教材空白处，完成第118～119页习题第2、3、6、12题.基础诊断1. 若复数z ＝(1＋m i )(2－i )(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为 －2 .解析：由题意得，z ＝(1＋m i )(2－i )＝2＋m ＋(2m －1)i .因为复数z 是纯虚数，所以2＋m ＝0，且2m －1≠0，解得m ＝－2.2. 设复数z ＝m ＋3i1＋m i(m>0，i 为虚数单位)，若z ＝z ，则m 解析：z ＝m ＋3i 1＋m i ＝（m ＋3i ）（1－m i ）（1＋m i ）（1－m i ）＝4m ＋（3－m 2）i1＋m 2.因为z ＝z ，所以3－m 2＝0，解得m ＝±3.因为m>0，所以m ＝ 3.3. 已知复数z ＝11＋i，其中i 是虚数单位，则|z|＝ 2 .解析：z ＝11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，所以|z|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22.4. 设复数z 满足(1＋2i )·z ＝3(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为 35.解析：因为(1＋2i )·z ＝3，所以z ＝31＋2i ＝3（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝3－6i 5，所以复数z 的实数为35.范例导航考向❶ 复数的基本运算 例1 (1)（－1＋i ）（2＋i ）i 3；(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i（1－i ）2；(3) (－1＋3i )3；(4) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 18. 解析：(1) 原式＝(－1＋i )(2＋i )i ＝(－3＋i )i ＝－1－3i .(2) 原式＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1－i －1－i 2i ＝－2i2i＝－1.(3) 原式＝(－1＋3i )2(－1＋3i )＝－2(1＋3i )·(－1＋3i )＝－2×(－4)＝8.(4) 原式＝(－i )18＝[(－i )2]9＝－1.1. 设1＋2i ＝2i (a ＋b i )(i 为虚数单位，a ，b ∈R)，则a ＋b 的值是 12.解析：因为1＋2i ＝2i(a ＋b i)＝－2b ＋2a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝1，2a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12，a ＝1，所以a ＋b ＝1－12＝12. 2. 设1＋i 1－i ＝a ＋b i (i 为虚数单位，a ，b ∈R)，则ab 的值为 0 .解析：因为1＋i1－i ＝i ，所以a ＋b i ＝i ，所以a ＝0，b ＝1，所以ab ＝0.3. 设复数z 满足(z ＋i )(2＋i )＝5(i 为虚数单位)，则z ＝ 2－2i . 解析：因为(z ＋i )(2＋i )＝5，所以z ＝52＋i －i ＝2－i －i ＝2－2i .4. 设复数z i ＝1＋2i (i 为虚数单位)，则z ＝ 2－i . 解析：因为z i ＝1＋2i ，所以z ＝1＋2ii ＝2－i .考向❷ 复数的模与共轭复数例2 (1) 若复数z ＝1＋2i 3－i(i 为虚数单位)，则z 的模为 2 ；解析：z ＝1＋2i 3－i ＝（1＋2i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝110＋710i ，所以|z|＝⎝⎛⎭⎫1102＋⎝⎛⎭⎫7102＝22. (2) 复数z ＝a i1＋2i (a<0)，其中i 为虚数单位，|z|＝5，则a 的值为 －5 ；解析：z ＝a i 1＋2i ＝a i （1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2a 5＋a 5i .因为|z|＝5，所以⎝⎛⎭⎫2a 52＋⎝⎛⎭⎫a 52＝5，解得a ＝±5.因为a<0，所以a ＝－5.(3) 若x －1＋y i 与i －3x 是共轭复数(x ，y 是实数)，则x ＋y ＝ －34；解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＝x －1，1＝－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1，所以x ＋y ＝14－1＝－34.(4) 记复数z ＝a ＋b i (i 为虚数单位)的共轭复数为z ＝a －b i (a ，b ∈R)，已知z ＝2＋i ，则z 2＝ 3－4i .解析：因为z ＝2＋i ，所以z 2＝3＋4i ，所以z 2＝3－4i. 考向❸ 复数的实部与虚部例3 (1) 若复数z ＝(1－i )(m ＋2i )(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为 －2 ；解析：z ＝(1－i )(m ＋2i )＝m ＋2＋(2－m)i .因为复数z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＝0，2－m ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，m ≠2，故实数m 的值为－2. (2) 已知复数z ＝(a －i )(1＋2i )(a ∈R ，i 为虚数单位)，若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则实数 a ＝ 12；解析：z ＝(a －i)(1＋2i)＝(a ＋2)＋(2a －1)i.因为复数z 在复平面内对应的点在实轴上，所以2a －1＝0，即a ＝12.(3) 已知i 是虚数单位，则1－i （1＋i ）2的实部为 －12 . 解析：由题意得1－i （1＋i ）2＝1－i 2i ＝－12－12i ，所以该复数的实部为－12. 自测反馈1. 若复数z ＝i (3－2i )(i 是虚数单位)，则z 的虚部为 3 . 解析：因为z ＝i (3－2i )＝2＋3i ，所以复数z 的虚部为3.2. 已知复数z 满足i z ＝1＋3i (i 为虚数单位)，则|z|＝ 2 .解析：由题意得z ＝1＋3ii ＝3－i ，所以|z|＝（3）2＋（－1）2＝2.3. 若复数m ＋2i1－i (m ∈R ，i 是虚数单位)为实数，则m ＝ －2 .解析：由题意得m ＋2i 1－i ＝（m ＋2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝m －22＋m ＋22i.因为复数m ＋2i1－i是实数，所以m ＋22＝0，解得m ＝－2，故m 的值为－2.4. 设3＋i 1＋i＝a ＋b i (i 为虚数单位，a ，b ∈R)，则a ＋b ＝ 1 .解析：由题意得3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i ＝a ＋b i ，所以a ＝2，b ＝－1，所以a ＋b＝1.1. 复数加减法的法则可以类比多项式合并同类项法则来理解和记忆.2. 复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R)为实数的充要条件是b ＝0；它为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0.3. 你还有哪些体悟，写下来：。

高考一轮复习学案《复数》 2014.12.26一.考纲要求1.理解复数的有关概念2.了解复数的几何意义。

3.掌握复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则。

4.了解从复数加减运算的几何意义。

二.命题趋势高考对于复数的考查较简单，一般只有一个选择题，以代数形式运算为主，另外还有时考查复数的有关概念，复数的几何意义基础三．知识梳理：1.复数的有关概念：（1）复数 ⎪⎩⎪⎨⎧）（纯虚数）（非纯虚数虚数（）实数（){其中i 是虚数单位，i 就是－1的一个平方根，i 2=–1，实数可以与它进行四则运算，原有的加、乘运算律仍成立；（2）若Z 111222i,当Z 12⇔ ； （3）若（∈）①则0⇔ ；②Z 的共轭复数：z ＝ （实部相等，虚部互为相反数） ③2||||||z a bi OZ a =+==Z( , )（4）1－z 2|表示在复平面内 的距离 2. 复数的运算： （1）() ±()= ；（2）()()= ； （3）()÷()= ；（4）①i 具有周期性:i 41= ；i 42= ； i 43= ； i 4；i i 1i 2i 3 = （∈）②(1)2＝ ; (1)2＝ ; ③i i-+11＝；ii=-11＝；④１的一个立方根2123;则w 2123 3=1; 题型一：复数的概念例1设复数(m 2–2m –2)+( m 2+32)i ，试求实数m 取何值时，（1）z 是纯虚数； （2）z 是实数；（3）z 对应的点位于复平面的第二象限.题型二：复数的运算例2(1) (2011·新课标全国卷)复数212ii+-的共轭复数是（ ） （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）(2) （2011·浙江卷）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n ，则复数(m ＋)(n －)为实数的概率为( )（A ）31 （B ）41 （C ）61 （D ）121 题型三：复数的几何意义例3（2010·陕西卷）复数1iz i =+在复平面上对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限四.知能升华1 了解数系的扩大， （填常用数集）2. 两个复数(不全为实数时)不能比较大小，但它们的模可以比较大小3. 复数的运算符合多项式的四则运算法则，满足加、乘的交换律、结合律、分配律，只是在运算中含有虚数单位i4. 掌握复数的有关概念，特别是纯虚数易忽视b ≠0致错。

§5.5复数考试要求1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的定义：一般地，当a 与b 都是实数时，称a ＋b i 为复数．其中i 称为虚数单位，满足i 2＝－1.(2)复数的分类：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )(b ＝0)，(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 互为共轭复数⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)复数的模：向量OZ →的长度称为复数z ＝a ＋b i 的模(或绝对值)，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应复平面内的点Z (a ，b )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →.3．复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2c ＋d i ≠0)．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1—→＋OZ 2—→，Z 1Z 2—→＝OZ 2—→－OZ 1—→.常用结论1．(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i ＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)(a ，b ∈R )．3．i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．4．i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N )．5．复数z 的方程在复平面上表示的图形(1)a ≤|z |≤b 表示以原点O 为圆心，以a 和b 为半径的两圆所夹的圆环；(2)|z －(a ＋b i)|＝r (r >0)表示以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)复数z ＝a －b i(a ，b ∈R )中，虚部为b .(×)(2)复数可以比较大小．(×)(3)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．(×)(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)教材改编题1．已知复数z 满足z (1＋i)＝2＋3i ，则在复平面内z 对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案A解析因为复数z 满足z (1＋i)＝2＋3i ，所以z ＝2＋3i 1＋i ＝(2＋3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝5＋i 2＝52＋12i ，所以在复平面内z 对应的点位于第一象限．2．若z ＝(m 2＋m －6)＋(m －2)i 为纯虚数，则实数m 的值为________．答案－33．已知复数z 满足(3＋4i)·z ＝5(1－i)，则z 的虚部是________．答案－75解析因为(3＋4i)·z ＝5(1－i)，所以z ＝5(1－i )3＋4i ＝5(1－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝5(3－7i ＋4i 2)32－(4i )2＝5(－1－7i )25＝－15－75i.所以z 的虚部为－75.题型一复数的概念例1(1)(多选)(2023·潍坊模拟)已知复数z 满足|z |＝|z －1|＝1，且复数z 对应的点在第一象限，则下列结论正确的是()A ．复数z 的虚部为32B ．1z ＝12－32iC ．z 2＝z ＋1D ．复数z 的共轭复数为－12＋32i答案AB解析设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．因为|z |＝|z －1|＝1，且复数z 对应的点在第一象限，2＋b 2＝1，a －1)2＋b 2＝1，>0，b >0，＝12，＝32，即z ＝12＋32i.对于A ，复数z 的虚部为32，故A 正确；对于B ，1z 1－3i＝12－32i ，故B 正确；对于C ，因为z 2＝－12＋32i ≠z ＋1，故C 错误；对于D ，复数z 的共轭复数为12－32i ，故D 错误．(2)(2022·北京)若复数z 满足i·z ＝3－4i ，则|z |等于()A ．1B ．5C ．7D ．25答案B 解析方法一依题意可得z ＝3－4i i ＝(3－4i )ii2＝－4－3i ，所以|z |＝(－4)2＋(－3)2＝5，故选B.方法二依题意可得i 2·z ＝(3－4i)i ，所以z ＝－4－3i ，则|z |＝(－4)2＋(－3)2＝5，故选B.(3)(2022·泰安模拟)已知复数z 满足z ＋iz＝i ，则z ＝________.答案12＋12i 解析由z ＋i z＝i ，得z ＋i ＝z i ，∴z ＝－i 1－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－i 2.则z ＝12＋12i.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．跟踪训练1(1)(2023·淄博模拟)若复数z ＝2＋ia ＋i的实部与虚部相等，则实数a 的值为()A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案A解析z ＝2＋i a ＋i ＝(2＋i )(a －i )(a ＋i )(a －i )＝2a ＋1＋(a －2)i a 2＋1，因为复数z ＝2＋ia ＋i的实部与虚部相等，所以2a ＋1＝a －2，解得a ＝－3，故实数a 的值为－3.(2)(2022·全国甲卷)若z ＝1＋i ，则|i z ＋3z |等于()A ．45B ．42C ．25D ．22答案D解析因为z ＝1＋i ，所以i z ＋3z ＝i(1＋i)＋3(1－i)＝i －1＋3－3i ＝2－2i ，所以|i z ＋3z |＝|2－2i|＝22＋(－2)2＝2 2.故选D.(3)(2022·新高考全国Ⅰ)若i(1－z )＝1，则z ＋z 等于()A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案D 解析因为i(1－z )＝1，所以z ＝1－1i＝1＋i ，所以z ＝1－i ，所以z ＋z ＝(1＋i)＋(1－i)＝2.故选D.题型二复数的四则运算例2(1)(2022·全国甲卷)若z ＝－1＋3i ，则zz z －1等于()A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．－13＋33iD ．－13－33答案C 解析zz z －1＝－1＋3i (－1＋3i )(－1－3i )－1＝－1＋3i 3＝－13＋33i ，故选C.(2)(多选)(2022·福州模拟)设复数z 1，z 2，z 3满足z 3≠0，且|z 1|＝|z 2|，则下列结论错误的是()A ．z 1＝±z 2B ．z 21＝z 22C ．z 1·z 3＝z 2·z 3D ．|z 1·z 3|＝|z 2·z 3|答案ABC解析取z 1＝1－i ，z 2＝1＋i ，显然满足|z 1|＝|z 2|＝2，但z 1≠z 2，z 1≠－z 2，故A 错误；因为z 21＝－2i ，z 22＝2i ，故B 错误；再取z 3＝1，显然C 错误．思维升华(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练2(1)(2022·新高考全国Ⅱ)(2＋2i)(1－2i)等于()A ．－2＋4iB ．－2－4iC ．6＋2iD ．6－2i答案D解析(2＋2i)(1－2i)＝2－4i ＋2i ＋4＝6－2i ，故选D.(2)(2023·济宁模拟)已知复数z 满足z ·i 3＝1－2i ，则z 的虚部为()A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案B解析∵z ·i 3＝1－2i ，∴－z i ＝1－2i ，∴z ＝1－2i －i ＝(1－2i )i －i 2＝2＋i ，∴z ＝2－i ，∴z 的虚部为－1.题型三复数的几何意义例3(1)(2023·文昌模拟)棣莫弗公式(cos x ＋isin x )n ＝cos nx ＋isin nx (其中i 为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数π6＋isin 在复平面内所对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案C解析由已知得π6＋isin ＝cos 7π6＋isin 7π6＝cos π6－isin π6＝－32－12i ，∴复数π6＋isin －32，－(2)在复平面内，O 为坐标原点，复数z 1＝i(－4＋3i)，z 2＝7＋i 对应的点分别为Z 1，Z 2，则∠Z 1OZ 2的大小为()A.π3B.2π3C.3π4D.5π6答案C解析∵z 1＝i(－4＋3i)＝－3－4i ，z 2＝7＋i ，∴OZ 1—→＝(－3，－4)，OZ 2—→＝(7,1)，∴OZ 1—→·OZ 2—→＝－21－4＝－25，∴cos ∠Z 1OZ 2＝OZ 1—→·OZ 2—→|OZ 1—→||OZ 2—→|＝－255×52＝－22又∠Z 1OZ 2∈[0，π]，∴∠Z 1OZ 2＝3π4.(3)设复数z 在复平面内对应的点为Z ，原点为O ，i 为虚数单位，则下列说法正确的是()A ．若|z |＝1，则z ＝±1或z ＝±iB ．若|z ＋1|＝1，则点Z 的集合为以(1,0)为圆心，1为半径的圆C ．若1≤|z |≤2，则点Z 的集合所构成的图形的面积为πD．若|z－1|＝|z＋i|，则点Z的集合中有且只有两个元素答案C解析若|z|＝1，则点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个圆上的点与复数z 对应，故A错误；若|z＋1|＝1，则点Z的集合为以(－1,0)为圆心，1为半径的圆，故B错误；若1≤|z|≤2，则点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和2为半径的两圆所夹的圆环，所以点Z的集合所构成的图形的面积为π×(2)2－π×12＝π，故C正确；若|z－1|＝|z＋i|，则点Z的集合是以点(1,0)，(0，－1)为端点的线段的垂直平分线，集合中有无数个元素，故D错误．思维升华由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．跟踪训练3(1)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析由z＝2i1－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－1＋i，故z在复平面内对应的点为(－1,1)，所以z在复平面内对应的点位于第二象限．(2)设复数z满足|z－1|＝2，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x－1)2＋y2＝4B．(x＋1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝4D．x2＋(y＋1)2＝4答案A解析z在复平面内对应的点为(x，y)，则复数z＝x＋y i(x，y∈R)，则|z－1|＝|(x－1)＋y i|＝2，由复数的模长公式可得(x－1)2＋y2＝4.(3)已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，则|z＋1＋2i|的最小值为()A．1B．2 C.3 D.5答案B解析设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足|z＋i|＝|z－i|，所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0，－1)和(0,1)的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为x轴，又|z＋1＋2i|表示点Z到点(－1，－2)的距离，所以问题转化为x轴上的动点Z到定点(－1，－2)距离的最小值，所以|z＋1＋2i|的最小值为2.课时精练1．(2022·浙江)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则() A．a＝1，b＝－3B．a＝－1，b＝3C．a＝－1，b＝－3D．a＝1，b＝3答案B解析(b＋i)i＝－1＋b i，则由a＋3i＝－1＋b i，得a＝－1，b＝3，故选B. 2．(2022·济南模拟)复数z＝2i＋1(i为虚数单位)的虚部是()A．－1B．1C．－i D．i答案A解析因为z＝2i＋1＝2(1－i)(i＋1)(1－i)＝2(1－i)2＝1－i.所以复数z的虚部为－1.3．(2023·烟台模拟)若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则z等于() A．－2＋i B．－2－iC．2＋i D．2－i答案C解析由(1＋2i)z＝4＋3i⇒z＝4＋3i1＋2i＝(4＋3i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝2－i，所以z＝2＋i.4．(2023·焦作模拟)复数z＝－i2＋i－i5在复平面内对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析因为z＝－i2＋i i5＝－i(2－i)(2＋i)(2－i)－i＝－1－2i5－i＝－15－75i，所以z －1 5，－5．(2022·西安模拟)已知复数z满足(1－i)2z＝2－4i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为()A．1B．－1C．i D．－i答案B解析由题意，化简得z ＝2－4i (1－i )2＝2－4i －2i＝2i ＋42＝2＋i ，则z ＝2－i ，所以复数z 的虚部为－1.6．(2022·临沂模拟)已知复数z ＝2＋6i1－i i 为虚数单位，则|z |等于()A ．22B ．23C ．25D ．26答案C解析z ＝(2＋6i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(2＋6i )(1＋i )2＝(1＋3i)(1＋i)＝－2＋4i ，|z |＝4＋16＝2 5.7．(2023·蚌埠模拟)非零复数z 满足z ＝－z i ，则复数z 在复平面内对应的点位于()A ．实轴B ．虚轴C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限答案C解析由题意，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，故z ＝－z i ⇔a －b i ＝－(a ＋b i)i ＝－a i ＋b ，故a ＝b ，－b ＝－a ，即复数z ＝a ＋a i ，在复平面内对应的点位于第一或第三象限的角平分线上．8．(2022·文昌模拟)已知复数z ＝a ＋2ii(a ∈R ，i 是虚数单位)的虚部是－3，则复数z 在复平面内对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案D解析由题意，z ＝a ＋2i i ＝a i ＋2i 2i2＝2－a i 的虚部是－3，所以z 在复平面内对应的点的坐标为(2，－3)，在第四象限．9．i 是虚数单位，设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则xy ＝________，|x ＋y i|＝________.答案12解析因为(1＋i)x ＝1＋y i ，所以x ＋x i ＝1＋y i ＝1，＝y ，所以x ＝y ＝1，所以xy ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2.10．(2022·潍坊模拟)若复数z 满足z ·i ＝2－i ，则|z |＝________.答案5解析由z ·i ＝2－i ，得z ＝2－i i ＝(2－i )(－i )－i 2＝－1－2i ，∴|z |＝(－1)2＋(－2)2＝ 5.11．欧拉公式e i θ＝cos θ＋isin θ(其中e ＝2.718…，i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，下列结论中正确的是()A ．e iπ的实部为0B ．e 2i 在复平面内对应的点在第一象限C ．|e i θ|＝1D ．e iπ的共轭复数为1答案C解析对于A ，e iπ＝cos π＋isin π＝－1，则实部为－1，A 错误；对于B ，e 2i ＝cos 2＋isin 2在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)，∵cos 2<0，sin 2>0，∴e 2i 在复平面内对应的点位于第二象限，B 错误；对于C ，|e i θ|＝|cos θ＋isin θ|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，C 正确；对于D ，e iπ＝cos π＋isin π，则其共轭复数为cos π－isin π＝－1，D 错误．12．(多选)(2022·济宁模拟)已知复数z 1＝－2＋i(i 为虚数单位)，复数z 2满足|z 2－1＋2i|＝2，z 2在复平面内对应的点为M (x ，y )，则下列说法正确的是()A ．复数z 1在复平面内对应的点位于第二象限B.1z 1＝－25－15i C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝4D ．|z 2－z 1|的最大值为32＋2答案ABD解析对于A ，复数z 1在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，该点位于第二象限，故A 正确；对于B ，1z 1＝1－2＋i ＝－2－i (－2＋i )(－2－i )＝－25－15i ，故B 正确；对于C ，z 2－1＋2i ＝(x －1)＋(y ＋2)i ，∵|z 2－1＋2i|＝2，∴(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，故C 错误；对于D ，z 1－1＋2i ＝－3＋3i ，则|z 1－1＋2i|＝(－3)2＋32＝3 2.|z 2－z 1|＝|(z 2－1＋2i)－(z 1－1＋2i)|≤|z 2－1＋2i|＋|z 1－1＋2i|＝2＋32，故D 正确．13．若复数(x －3)＋y i(x ，y ∈R )的模为2，则y x的最大值为()A.255 B.52 C.53 D.23答案A解析因为复数(x －3)＋y i(x ，y ∈R )的模为2，所以(x －3)2＋y 2＝4，表示以(3,0)为圆心，2为半径的圆，如图所示，y x 表示过原点和圆上的点(x ，y )的直线的斜率，由图可知，当直线与圆相切时，y x取得最值，设切线方程为y ＝kx ，则|3k |k 2＋1＝2，解得k ＝±255，所以y x 的最大值为255.14．在数学中，记表达式ad －bc 为由|a b c d |所确定的二阶行列式．若在复数域内，z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i 1－i ，z 3＝z 2，则当|z 1z 2z 3z 4|＝12－i 时，z 4的虚部为________．答案－2解析依题意知，|z 1z 2z 3z 4|＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2，且z 2＝2＋i 1－i＝(2＋i )(1＋i )2＝1＋3i 2，所以z 2z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ，故z 4＝3－i 1＋i＝(3－i )(1－i )2＝1－2i.所以z 4的虚部是－2.15．方程z2－4|z|＋3＝0在复数集内解的个数为()A．4B．5C．6D．8答案C解析令z＝a＋b i(a，b∈R)，则a2－b2＋2ab i－4a2＋b2＋3＝0，2ab＝0，a2－b2－4a2＋b2＋3＝0.当b＝0时，a2－4|a|＋3＝0，a＝±1或a＝±3；当a＝0时，b2＋4|b|－3＝0，|b|＝－2＋7或|b|＝－2－7(舍)，即b＝±(7－2)．综上共有6个解，z＝±1，z＝±3，z＝±(7－2)i.16．投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数m＋n in＋m i为虚数的概率为________．答案5 6解析∵复数m＋n in＋m i＝(m＋n i)(n－m i)(n＋m i)(n－m i)＝2mn＋(n2－m2)im2＋n2，故复数m＋n in＋m i为虚数需满足n2－m2≠0，即m≠n，故有6×6－6＝30(种)情况，∴复数m＋n in＋m i为虚数的概率为306×6＝56.。

课题：复数学校寄语：世界上没有任何东西可以取代坚持。

所以，只要你坚持，你就可以成为一个伟大的传奇！而，此刻，全世界都在等待你成为伟大传奇的成功故事！亲，我们的课程即将开始，你，准备好了吗？知识点一、复数的概念(1)复数的概念：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫复数，i 称为虚数单位,规定21i =-；其中a ，b 分别是它的________和________．特殊的：当且仅当_________，则bi a +为实数；当且仅当_________，则bi a +为虚数； 当_______且_______，则bi a +为纯虚数.(2)复数相等：bi a +＝di c +⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：bi a +与di c +共轭⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．z 为z 的共轭复数．【典型例题】【例1】已知i 是虚数单位，复数11z i i=+-，则复数z 的虚部是（ ） A ．12- B ．32 C ．32- D ．2【例2】已知复数21iz =-+，则（ ） A ．||2z =B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为﹣1D ．z 的共轭复数为1+i【例3】设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ． 【举一反三】1.设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) A.i B.3i C.i. D.3i 2.设复数z 满足11zz+-=i ，则|z|=( ) A.1 B.2 C.3 D.23.若复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）. A ．12i + B ．12i - C ．12i -+ D ．12i --知识点二、复数的集合意义1.复数的几何意义(1) 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，______叫做虚轴．实轴上的点表示________；虚轴上的点（除原点外）都表示________． (2)复数bia z +=复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．___________．(3)复数的模：向量OZ →的长度叫做复数bi a z +=的模，记作________或__________，即||||bi a z +=＝________________.【典型例题】【例1】在复平面内，复数2(2)i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【例2】设i 是虚数单位，若复数522zii，则z（ ）A B C ．3 D ．5 【例3】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）.A. 1B.【举一反三】1.设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.i 是虚数单位，复数k iz i-=在复平面内对应的点在第三象限，则实数k 的范围是（ ） A ．0k ≥ B ．0k > C ．0k ≤ D ．0k < 3．复数z 满足i z i -=+3)2(，则||z 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4知识三、复数的运算1.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=，则①加法：)()(21di c bi a z z +++=+＝______________； ②减法：)()(21di c bi a z z +-+=-＝________________； ③乘法：)()(21di c bi a z z +⋅+=⋅＝________________； ④除法：)()()()(21di c di c di c bi a di c bi a z z -⋅+-⋅+=++==_____________)0(≠+di c ． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何C z z z ∈321、、，有21z z +＝________， 321)(z z z ++＝__________________. (3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任何C z z z ∈321、、， 有=⋅21z z _______,()=⋅⋅321z z z __________,()=+321z z z ____________.【典型例题】【例1】设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 【例2】若12i z =+，则4i1zz =-（ ）.A.1B.1-C.iD.i -【例3】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若()()1i 1i b a +-=，则a b的值为_______.【举一反三】1.如果复数()()221mi m i i +++为纯虚数，则实数m 的值为（ ）A.0B.1C.－１D.0或１ 2.设复数a +bi （a ，b ∈R ）的模为3，则（a +bi ）（abi ）=________. 3.若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【课堂巩固】1. 已知复数z 满足()1323i z i +=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限,,a b ad bc c d=-，若21,2,z i i =，则复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 若复数z 满足(1)z i i =-，则||z =（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3 4. 若复数z 满足()122z i +=，则z 的虚部为（ ）A ．45-B ．45C ．45i -D ．45i5. 设复数1z i =+（i 为虚数单位），则22i z+=（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -- D ．1i -+ 6. 设复数21z i=--（i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则i z ⋅在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7. 知复数i1i a +-为纯虚数，那么实数a =（ ）A.1-B.12-C.1D.128. 已知复数z 的共轭复数有z ，且满足()()2232z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．613-B ．613C ．1713-D ．1713 9. 已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a b += .【课后练习】正确率：1．已知复数z 满足()25i z -=,则z =（ ）A ．2i +B ．2i -C ．2i --D ．2i -+ 2．复数2z i =-在复平面对应的点在第几象限 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知i 为虚数单位，则复数=+ii12（ ） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --14．已知2a ib i i+=+（,a b R ∈），其中i 为虚数单位，则a b +=（ ） A ．1 B ．1 C ．2 D ．35．设复数z 满足()()2i 2i 5z --=，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．12i +D ．12i - 6．若复数z 满足(1)z i i =-，则||z =（ ） A ．1 B 2 C ．2 D 37．设复数1z i =+（i 为虚数单位），则22i z+=（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -- D ．1i -+8．已知复数i1i a +-为纯虚数，那么实数a =（ ）A.1-B.12-C.1D.129．已知复数21a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．2 10．已知复数142iz i i+=-+，则复数的模z 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．711．在复平面内，复数2iz i -=对应的点位于（ ） 12．i 是虚数单位，复数)(1R a iia ∈+-的实部与虚部相等，则a 等于（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．213．设i 是虚数单位，若复数()621ia a R i ++∈-是纯虚数，则a =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．设复数2(2)z i =-，则z 的共轭复数为（ ）A ．34i +B ．34i -C ．54i -D ．54i + 15．若复数z 满足（33+i ）z=3i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A ．i 2323- B ．i 2323+ C ．i 4343- D ．i 4343+ 16．复数122ii+-=（ ） A ．1i - B ．1i + C ．i - D ．i17．设i 是虚数单位，则11ii+=-（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -18．若复数2()12bib R i-∈+的实部与虚部互为相反数，则b =（ ）B. 23C. 23- D. 219．已知复数z 满足(3)13z i i -=-，则z =（ ） A ．3i -- B ．3i -+ C ．6i -- D ．6i +20．若复数z 满足111z i i=-+-，则z 的虚部为（ ） A ．12i - B ．12- C ．12i D ．。

2013年高考数学一轮复习精品教学案13.2 复数的概念及运算（新课标人教版，学生版）【考纲解读】 1．复数的概念① 理解复数的基本概念．② 理解复数相等的充要条件． ③ 了解复数的代数表示法及其几何意义． 2．复数的四则运算① 会进行复数代数形式的四则运算．② 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.复数是历年来高考重点内容之一,经常以选择题与填空题形式考查,难度不大，在考查复数的概念及运算的同时，又考查转化与化归思想等数学思想，以及分析问题与解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持复数的相关概念及其运算,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1.复数的有关概念 (1)复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ；b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的四则运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋bc －dc ＋d c －d＝ac ＋bd ＋bc －adc 2＋d 2(c ＋d i≠0)．【例题精析】考点一 复数的有关概念例1. (2012年高考陕西卷文科4)设,R a b ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数iba +为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件 B 。

第58课 复数的概念及其运算一、教学目标1．了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件。

2．理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算。

二、基础知识回顾与梳理补充小练习1、若复数i x x z )1()1(2-+-=为纯虚数，则实数x 值为 。

【教学建议】本题主要是复习纯虚数的概念。

总结并让学生形成记忆：复数),(R b R a bi a z ∈∈+=，当0=a 且0≠b 时，z 为纯虚数。

2、10032i i i i •••• = 。

【教学建议】本题主要复习虚数i 的性质。

3、已知复数z 满足i i z +=-1)2(，求复数z 的模。

【教学建议】本题目的是复习复数的四则运算和模的运算公式及运算性质。

可提问：如何求复数z 从而求模？如何表示出复数z 从而利用模的性质求解？可将运算过程写给学生看，加深理解。

三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。

课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。

将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。

点评时要简洁，要点击要害。

2、诊断练习点评题1：设复数z 满足2)1(=+z i ，其中i 是虚数单位，则z= 。

【分析与点评】（1）教学时，可让学生设出复数),(R b R a bi a z ∈∈+=代入，利用复数相等的定义求出a 、b;（2）也可直接运用复数除法法则，解关于z 的方程。

题2．若复数(1bi)(2i)++是纯虚数，则实数______b =【分析与点评】（1）运用复数乘法先化简整理成复数的代数形式；（2）利用复数),(R b R a bi a z ∈∈+=为纯虚数的充要条件0=a 且0≠b ，突出强调纯虚数的概念题3．已知复数3,()2i z i i-=+为虚数单位，则z = .【分析与点评】检查学生是先化简z ，还是直接求模。

第十五章 复数(理)网络体系总览考点目标定位1.复数的概念.2.复数的加法和减法.3.复数的乘法和除法.4.数系的扩充.复习方略指南本章主要内容是复数的有关概念、代数形式、向量表示以及复数的运算法则.从近几年的高考试题看，对复数的要求呈下降趋势，试题考查的重点仍是基本概念和运算,为此建议复习中注意以下几点:1.在复习中，应注意理解和掌握复数的基本概念，特别是虚数、纯虚数、共轭复数、两复数相等及复数的模等.2.应重视数形结合的思想方法在解题中的应用.3.所选习题应突出概念、运算，以中、低档难度的选择题和解答题为主，并注意转化思想的应用.复数问题常转化为实数问题处理.15.1 复数的概念与运算巩固·夯实基础一、自主梳理1.i 叫虚数单位,满足(1)i 2=-1;(2)实数可以与i 进行四则运算,原有的加、乘运算律仍然成立,它具有周期性,表现为i 4n =1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i(n ∈Z).2.形如a+bi(a 、b ∈R)叫复数,a 叫实部,b 叫虚部,当b=0时,a+bi(a 、b ∈R)是实数;当b ≠0时,a+bi 是虚数;当a=0,b ≠0时,a+bi(a 、b ∈R)是纯虚数.3.复数可以用向量表示.用点Z(a,b)表示复数z=a+bi(a 、b ∈R),复数与复平面上的点一一对应,这是复数的几何意义.4.a 、b 、c 、d ∈R 时,a+bi=c+di ⇔a=c 且b=d,两个虚数不能比较大小.5.两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,用z 表示,当z ∈R ⇔z=z ;当z ≠0时,z 为纯虚数⇔z+z =0;对于任意复数z 均有z+z ∈R,|z|2=|z |2=z ·z .利用这些结论,往往可以使问题得到简洁明快的解决.6.z=a+bi(a 、b ∈R),则|z|=22b a +叫复数的模.它的几何意义是复数z 对应的点到原点的距离.二、点击双基1.(2005北京春季高考)i-2的共轭复数是( )A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i解析:由共轭复数的定义知选D.答案:D2.(2005全国高考卷Ⅰ)复数ii 2123--等于( ) A.i B.-i C.22-i D.-22+i 解析:原式=i i 212-+=i. 答案:A3.(2005天津高考,理)若复数ii a 213++(a ∈R)是纯虚数,则实数a 的值为（ ） A.-2 B.4 C.-6 D.6解析:i i a 213++=41)21)(3(+-+i i a =51(a+6)+51(3-2a)i. ∵i i a 213++是纯虚数, ∴⎩⎨⎧≠-=+.023,06a a ∴a=-6.答案:C4.在复平面内,z=(m 2-m-2)+(m 2-3m+2)i 所对应的点在实轴负半轴上,则实数m 的取值为______ _____________.解析:由题意知z ∈R 且z<0,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-<--.023,0222m m m m ∴m=1. 答案:15.下列命题中:①任意两个确定的复数都不能比较大小；②若｜z ｜≤1，则-1≤z ≤1；③若z 12+z 22=0,则z 1=z 2=0；④z+z =0⇔z 为纯虚数；⑤z=z ⇔z ∈R.其中正确的命题是_________________________.解析:①中的两个实数可比较大小，②中的z 可为虚数，③中的z 1=i,z 2=1,④中的z=0. 答案:⑤诱思·实例点拨【例1】 设关于x 的方程是x 2-(tan θ+i)x-(2+i)=0.(1)若方程有实数根,求锐角θ和实数根;(2)证明对任意θ≠k π+2π(k ∈Z),方程无纯虚数根. 剖析:(1)对于复数方程存在实根的问题,一般可先设出实根,然后再利用复数相等的条件求解.(2)直接证明有困难时,可用反证法.(1)解:设实数根为α,则α2-(tan θ+i)α-2(2+i)=0,即α2-tan θ·α-2-(α+1)i=0.∴⎩⎨⎧=-=.1tan ,1θα 又θ∈(0,2π),∴θ=4π,α=-1. (2)证明:若方程有纯虚数根βi(β∈R,β≠0),则(βi)2-(tan θ+i)·(βi)-(2+i)=0.∴⎩⎨⎧=-•-=-+-.01tan ,022θβββ此方程组无解,∴原方程没有纯虚数根.讲评:对于虚系数一元二次方程,不可用判别式Δ来判断方程根的实虚,而应该用复数相等的条件转化为实数方程进行讨论.【例2】设复数ｚ=l ｇ(ｍ2-2ｍ-2)+(ｍ2+3ｍ+2)ｉ，试求实数m 取何值时，(1)z 是纯虚数；(2)z 是实数；(3)z 对应的点位于复平面的第二象限?剖析:利用复数的有关概念易求得.解:(1)由⎪⎩⎪⎨⎧≠++=--,023,0)22lg(22m m m m 得ｍ=3. (2)由ｍ2+3ｍ+2=0,得ｍ=-1或ｍ=-2．(3)由⎪⎩⎪⎨⎧>++<--,023,0)22lg(22m m m m 得-1＜ｍ＜1-3或1+3＜ｍ＜3.讲评:对复数的分类条件要注意其充要性,对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样． 链接·聚焦若复数z 对应的向量OZ ，逆时针旋转90°是纯虚数，求实数m 的值.提示:设复数z 对应的点为Z 1(lg(m 2-2m-2),m 2+3m+2)，向量1OZ 逆时针旋转90°对应的点为Z 2,易知Z 2(-(m 2+3m+2),lg(m 2-2m-2)).由题意得⎪⎩⎪⎨⎧≠--=++-.0)22lg(,0)23(22m m m m解得m=-2.【例3】设z ∈C,求满足z+z1∈R 且|z-2|=2的复数z. 剖析:设z=a+bi(a 、b ∈R),代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a 、b 的两个方程. 解法一:设z=a+bi,则z+z 1=a+bi+bi a +1=a+bi+22b a bi a +- =a+22b a a ++(b-22b a b +)i ∈R. ∴b=22b a b +. ∴b=0或a 2+b 2=1.当b=0时，z=a,∴|a-2|=2.∴a=0或4.a=0不合题意舍去，∴z=4.当b ≠0时，a 2+b 2=1.又∵|z-2|=2,∴(a-2)2+b 2=4.解得a=41,b=±415, ∴z=41±415i. 综上，z=4或z=41±415i. 解法二:∵z+z1∈R, ∴z+z 1=z +z 1. ∴(z-z )-zz z z -=0,(z-z )·22||1||z z -=0. ∴z=z 或|z|=1,下同解法一.讲评:解法一设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究；解法二利用复数是实数的条件复数问题实数化.这些都是解决复数问题的常用方法.链接·提示试探究z ∈C,z+z 1是实数的充要条件. 提示:z+z1是实数的充要条件是|z|=1且z ≠0.【例4】已知z 1=x 2+12+x i,z 2=(x 2+a)i 对于任意x ∈R 均有|z 1|>|z 2|成立，试求实数a 的取值范围.剖析:求出|z 1|及|z 2|，利用|z 1|>|z 2|问题转化为x ∈R 时不等式恒成立问题.解:∵|z 1|>|z 2|,∴x 4+x 2+1>(x 2+a)2.∴(1-2a)x 2+(1-a 2)>0对x ∈R 恒成立.当1-2a=0，即a=21时，不等式成立； 当1-2a ≠0时,⎩⎨⎧<--->-0)1)(21(40212a a a ⇒-1<a<21. 综上,a ∈(-1,21］. 讲评:本题利用复数的性质求模之后，转化为求含参数的二次不等式的参数取值范围.。