高中数学北师大版2019必修第二册空间图形基本位置关系的认识

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空间图形基本位置关系的认识

【教学目标】

能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系.

【教学重难点】

点、线、面的位置关系.

【教学过程】

一、基础铺垫

1．点、线、面之间的关系及符号表示

A是点，l，m是直线，α，β是平面．

文字语言 符号语言

图形语言

A在l上 A∈l

A在l外 A∉l

A在α内 A∈α

A在α外 A∉α

l在α内 l⊂α

l在α外 l⊄α

l，m相交于A l∩m＝A

l，α相交于A l∩α＝A

α，β相交于l α∩β＝l

名师点拨：

从集合的角度理解点、线、面之间的关系

（1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉ ”表示．

（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉ ”表示．

（3）直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．

2．空间中直线与平面的位置关系 2 / 7

位置关系 直线a在

平面α内 直线a在平面α外

直线a与平

面α相交 直线a与

平面α平行

公共点 无数个公共点 有且只有

一个公共点 没有公共点

符号表示

a⊂α a∩α＝A a∥α

图形表示

名师点拨：

一般地，直线a在平面α内时，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a与平面α相交时，应画成直线a与平面α有且只有一个公共点，被平面α遮住的部分画成虚线或不画；直线a与平面α平行时，应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行，并画在表示平面α的平行四边形外．

3．空间中平面与平面的位置关系

位置关系 两个平面平行 两个平面相交

公共点 没有公共点 有无数个公共点（在一条直线上）

符号表示 α∥β α∩β＝l

图形表示

名师点拨：

（1）画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．

（2）以后我们说到“两条直线”均指不重合的两条直线，“两个平面”均指不重合的两个平面．

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《空间图形基本关系的认识》教学设计

本节课为北师大版《必修2》第一章4。2节的第一课时，是在学习了简单几何体、直观图、三视图和空间图形基本关系的基础上，来进一步学习对空间图形基本关系的认识。

【知识与能力目标】

学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形的有关概念；【过程与方法目标】

培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法；

【情感态度价值观目标】

培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度。

【教学重点】

掌握点、线、面之间的关系的符号语言表示。

【教学难点】

三种数学语言的转换与翻译。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、复习导入部分

观察：长方体模型认识空间图形基本元素导入新课 ◆ 教材分析

◆ 教学目标

◆ 教学重难点

◆ 课前准备

◆ 教学过程

G

F H

E

B C D

A 2 / 5

二、探究新知：

空间图形的基本关系

阅读教材P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题。

位置关系 图形表示 符号表示

点与线的位置关系 点A不在直线a上

A∉a

点B在直线a上 B∈a

点与面的位置关系 点A在平面α内

A∈α

点B在平面α外 B∉α

直线与直线的位置关系 平行

a∥b

相交

a∩b＝O

异面

a与b异面

(不同在任何一个平面内的两条直线。)

直线与平面的位置关系 线在面内

aα

线面相交

a∩α＝A

线面平行

a∥α

平面与平面的位置关系 面面平行 α∥β 3 / 5 面面相交

α∩β＝a

自测训练：

(1)不平行的两条直线的位置关系为相交。( )

(2)两个平面的交线可以是一条线段。( )

(3)直线l在平面α内，可以表示为“lα”。( )

构成空间几何体的基本元素

【学习目标】 【核心素养】

1．以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系．（重点）

2．理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法．（难点） 通过认识构成几何体的基本元素的学习，体现了数学抽象的核心素养．

【学习过程】

一、初试身手

1．下列说法：

①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；

②一个几何体可以没有顶点；

③一个几何体可以没有棱；

④一个几何体可以没有面．

其中正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．下列关于长方体的叙述不正确的是（ ）

A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体

B．长方体中相对的面都相互平行

C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离

D．两底面之间的棱互相平行且等长

3．下列说法正确的是________．

（1）长方体是由六个平面围成的几何体；

（2）长方体可以看作一个矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所围成的几何体；

（3）长方体一个面上的任一点到对面的距离相等．

二、新知探究

1.平面概念的理解

【例1】下列判断正确的是________．

①平面是无限延展的； ②一个平面长3 cm，宽4 cm；

③两个平面重叠在一起，比一个平面厚；

④通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内．

2.长方体中基本元素之间的关系

[探究问题]

（1）射线运动后的轨迹是什么？

（2）如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．

【例3】在长方体ABCDABCD中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，

（1）与直线BC平行的平面有哪几个？

（2）与平面BC平行的平面有哪几个？

【学习小结】

1．几何体

如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．

- 1 - 新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：

第2课时 平面与平面垂直的判定

学

习 任 务 核 心 素 养

1．掌握平面与平面垂直的判定定理．(重点)

2．掌握空间中线、面垂直关系的相互转化关系．(难点) 1．通过发现平面与平面垂直的判定定理，培养学生数学抽象素养．

2．通过利用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直，培养学生逻辑推理素养．

在日常生活中，我们对平面与平面垂直有很多感性认识，比如墙面与地面、长方体纸箱的侧面与底面，门打开时，门面始终与地面垂直等都给我们以平面与平面垂直的形象．

阅读教材，结合上述情境回答下列问题：

问题1：你能举出平面与平面垂直的实例吗？

问题2：如何判断两个平面垂直？

知识点 平面与平面垂直的判定定理

文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直

图形语言

符号语言 l⊂α，l⊥β⇒α⊥β

1.若两个平面所成的二面角为90°，这两个平面有什么位置关系？

提示：垂直

2．过已知平面的垂线，有几个平面和已知平面垂直？

提示：有无数多个．

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化． ( ) - 2 - (2)已知α，β，γ是平面，且α⊥β，若α⊥γ，则β⊥γ. ( )

(3)已知α，β，γ是平面，且α∥β，若α⊥γ，则β⊥γ. ( )

[提示] (1)正确．

(2)错误．β和γ可能平行，也可能相交．

(3)正确．

[答案] (1)√ (2)× (3)√

类型1 平面与平面垂直的判定

【例1】 (教材北师版P234例8改编)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

证明：平面AEC⊥平面AFC.

[证明] 如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝3.