北师大版高数必修二第4讲：空间图形的基本关系与公理—(1)
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空间图形的基本关系与公理
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理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；
掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；
会判断异面直线、掌握异面直线的求法；
会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系．
一、平面
1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的部形象．
平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量．
2.平面的表示方法：
(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角
画成45o，横边画成邻边的2倍长，如右图．
(2)两个相交平面：
画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）
3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言
空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示
点、线、面的基本位置关系如下表所示：
图形语言 符号语言 文字语言（读法） BAABBAAB
Aa
点A在直线a上
Aa 点A不在直线a上
A 点A在平面内
A 点A不在平面内
abAI 直线a、b交于A点
a 直线a在平面内
aI 直线a与平面无公共点
aAI 直线a与平面交于点A
lI 平面、相交于直线l
二、平面的基本性质
1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的_____都在这个平面内
推理模式：AABB． 如图示：
或者：∵,AB，∴AB
公理1的作用：①判定直线是否在平面内；
②判定点是否在平面内；
③检验面是否是平面．
2. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的______
推理模式：AAlAI 如图示：
或者：∵,AA，∴,lAlI
公理2的作用：
(1)判断两个平面是否相交及交线位置；
(2)判断点是否在线上
今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)．
(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据． (2)有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
3. 公理3
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推理模式：,,
,,,,ABCABCABC不共线与重合
或者：∵,,ABC不共线，∴存在唯一的平面，使得,,ABC.
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．
(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
三、空间两直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
相交直线 在同一平面内 有且只有一个公共点
平行直线 在同一平面内 没有公共点
异面直线 不同在任何一个平面内 没有公共点
四、平行直线
1. 公理4 平行公理
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推理模式：//,////abbcac．
(1)它是判断空间两条直线平行的依据； (2)它说明平行关系具有传递性
2.等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角_______．
由球的半径R计算球表面积的公式：S球＝4π𝑅2.即球面面积等于它的大圆面积的4倍．
五、异面直线
1. 定义：
不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
(1)异面直线既不平行，也不相交，永远不存在一个平面能同时包含这两直线；
(2)不能把异面直线误认为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线
(3)异面直线一般是对两条直线而言的，没有三条异面直线的说法．
2．异面直线的画法
画异面直线时，为了充分显示不共面的特点，常常需要以辅助平面为衬托，以加强直观性．
bababa
3．异面直线判定定理
过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线
推理模式：lABBL直线AB与直线l是异面直线
六、异面直线所成的角
1. 定义：
已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线//,//aabb，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角．
(1)异面直线所成的角与O点的位置无关．
(2)如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直，记作ab．
(3)异面直线所成角的范围是______．
2. 求异面直线所成角的步骤
（1）恰当选点，由平移构造出一个交角；
（2）证平行关系成立；
（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；
（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角．
七、直线、平面的位置关系
1．空间直线与平面的位置关系有以下三种：
(1)直线在平面内：如果一条直线a与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a⊂α.
(2)直线与平面相交：直线a与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，公共点A叫做直线a与平面α的交点．
(3)直线与平面平行：如果一条直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α.
2.两个平面的位置关系有且只有一下两种：
(1)两个平面平行---没有交点
(2)两个平面相交---有一条公共直线
3.顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．
类型一 平面及其性质
例1：(2014·邵阳一中月考)对下图的几何图形，下列表示错误的是( ) A．l∈α
B．P∉l
C．l⊂α
D．P∈α
练习1：判断下列说法是否正确，并说明理由．
（1）平面的形状是平行四边形（ ） （2）任何一个平面图形都可以表示平面（ ）
（3）平面ABCD的面积为10㎡（ ） （4）空间图形中，后引的辅助线是虚线（ ）
练习2：1、下列说法正确的个数（ ）
①铺的很平的一张纸是一个平面；②可以一个长20cm、宽30cm的平面；③通常300页的书要比10页的书厚一些，那么300个平面重合在一起时一定比10个平面重合在一起厚．
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
练习3：若点Q在直线b上，b在直线平面内，则,,Qb之间的关系可记作（ ）
A、Qb B、Qb C、Qb D、Qb
例2：如右图，已知,,,EFGH分别为空间四边形ABCD各边,,,ABADBCCD上的点，且EFGHPI，求证：,,BDP共线．
练习1：已知l与三条平行线,,abc都相交，求证：l与,,abc共面．
练习2：两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是（ ）
A、2个 B、有无数个且在一条直线上
C、一个或无数个 D、1个
练习3：下列命题：①公理1可用集合符号叙述为：若,AlBl且,AB，则必有l；②四边形的两条对角线必交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四边作为平面边界线；④梯形是平面图形．其中正确的命题个数为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
类型二 直线及其位置关系
例3：(2014·甘肃嘉峪关市一中高一期末测试)若a、b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．异面或相交
练习1：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BD和CD的中点，长方体的各棱中与EF平行的有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
练习2：空间四边形ABCD中，给出下列说法：
①直线AB与CD异面；
②对角线AC与BD相交；
③四条边不能都相等；
④四条边的中点组成一个平行四边形．
其中正确说法的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 PHGFEDCBA
