总体均值的假设检验
一、正态总体均值的检验
设nXXX，，，21为总体),(２N的一个容量为n的样本．
1．方差2已知，的检验——u检验法．
当202已知时，
假设检验问题：0100：；：HH．
选择检验统计量nXU/00，当0H成立时，)1,0(~NU．
给定显著性水平，由标准正态分布分位点的定义,
有}|{|2/uUP，
故拒绝域}{}{}|{|2/2/2/uUuUuUW，
这种利用服从正态分布的检验统计量的检验方法称为u检验法．
有时我们只关心总体的均值是否增大（或减小）．比如，经过工艺改革后，产品的质量（如材料的强度）比以前是否提高，此时我们要研究的是新工艺下总体的均值是小于等于原来的均值0，还是大于0，
即检验假设 0100：；：HH．
可以证明，在显著性水平下，上述假设检验问题和
检验假设0100：；：HH有相同的拒绝域，
因此，遇到形如00：H的检验问题，可归结为后一个假设检验问题讨论．
类似地，形如0100：；：HH的检验问题，
可归结为检验假设 0100：；：HH．
这都是单边检验问题．给定显著性水平，求得的临界值点是上分位点或上1分位点． 例1 某厂生产的某种钢索的断裂强度X服从),(２N，其中40(kg/cm2)，现从这批钢索中抽取容量为9的样本，测得断裂强度的平均值x较以往正常生产的大20(kg/cm2)，设总体方差不变，问在1.00下，能否认为这批钢索质量有显著提高？
解 依题意，检验假设0100：；：HH，
由于40已知，选择检验统计量nXU/0
因为0H中的全部都比1H中的要小，从直观上看，当0H成立时，X的取值x不应比大很多，若偏差0x过大，则拒绝0H而接受1H．
正态分布假设检验
一、概述
正态分布假设检验是统计学中常用的一种方法，用于判断一个数据集是否符合正态分布。正态分布是指在统计学中，当数据集的频率分布呈钟形曲线时，称其为正态分布。正态分布在实际应用中非常广泛，因为许多自然现象都遵循这种分布规律。对于一个数据集而言，如果它符合正态分布，则可以使用一系列的统计方法进行进一步的研究和分析。
二、检验方法
1. 假设检验
假设检验是指通过样本数据来推断总体参数的方法。在正态分布假设检验中，我们需要对总体均值和标准差进行假设检验。具体而言，我们需要提出原假设和备择假设两个假设：
原假设：样本数据符合正态分布；
备择假设：样本数据不符合正态分布。
在进行实际计算时，我们需要根据样本数据来计算出样本均值和标准差，并使用这些数据来推断总体均值和标准差是否符合正态分布。
2. 正态概率图
正态概率图是判断一个数据集是否符合正态分布的常用方法之一。它通过将数据集的分位数与正态分布的分位数进行比较，来判断数据集是否符合正态分布。具体而言，正态概率图将数据集的每个值按照从小到大的顺序排列，并计算出每个值对应的标准化值（即该值与样本均值之间的差除以样本标准差）。然后，将这些标准化值按照从小到大的顺序排列，并绘制在图表上。如果数据集符合正态分布，则这些标准化值应当近似于一个直线。
3. 偏度和峰度检验
偏度和峰度是用来描述一个数据集形态特征的指标。在正态分布中，偏度为0，峰度为3。因此，在进行正态分布假设检验时，我们可以通过计算样本偏度和峰度来判断样本是否符合正态分布。具体而言，如果样本偏度和峰度与正态分布相差不大，则可以认为样本符合正态分布。
三、实例演示
以下是一个实例演示，在Python中使用scipy库进行正态分布假设检验：
```python
import numpy as np
from scipy import stats
# 生成100个随机数 data = np.random.normal(0, 1, 100)
第２５卷第３期 河南工程学院学报（自然科学版） ２０１３年９月 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＥＮＡＮ ＩＮＳＴＩＴＵＴＥ ＯＦ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ Ｖｏ１．２５，Ｎｏ．３ Ｓｅｐｔ．２０１３
用Ｅｘｃｅｌ实现单个正态总体均值的假设检验
刘忠广
（河南工程学院工商管理学院，河南郑州４５１１９１）
摘要：单个正态总体均值的检验是假设检验中最基础的内容．通过证明两个总体均值之差假设检验的特殊情形和单个
正态总体均值检验的一致性，提供了用Ｅｘｃｅｌ进行单个正态总体均值的检验的一种便捷方法．
关键词：正态总体；假设检验；ｔ统计量
中图分类号：０２１２．１ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７４—３３０Ｘ（２０１３）０３—００７７—０４
单个正态总体均值的假设检验可以用ＳＰＳＳ等专业统计软件来实现，但这些专业统计软件的普及性不
够．Ｅｘｃｅｌ软件具有极强的普及性并且易于操作，其所带的数据分析工具能满足大多数数据处理的要求，但在
进行假设检验时，Ｅｘｃｅｌ的数据分析工具只提供了两个总体参数检验的方法，而没有专门的对单个总体均值
进行检验的现成工具，所以很有必要探讨用Ｅｘｃｅｌ进行单个正态总体均值检验的便捷方法．
１ 单个正态总体均值检验的传统方法
对于总体均值的检验按照以下步骤来进行：（１）提出假设；（２）构造检验统计量并计算统计量的值；（３）
根据给定的显著水平确定临界值和拒绝域；（４）将统计量的值与临界值进行比较，做出决策．下面以实例来
说明．
例某医生调查了２０个难产婴儿的出生体重，数据如下（单位为ｋｇ）：３．８８，３．３ｌ，３．３４，３．８２，３．３Ｏ，
３．１６，３．８４，３．１０，３．９０，３．１８，３．０５，３．２２，３．２８，３．３４，３．６２，３．２８，３．３０，３．２２，３．５４，３．３０．已知一般婴儿的平
均出生体重为３．２５ ｋｇ，能否认为难产婴儿的出生体重显著大于一般婴儿（给定显著水平 ＝０．０５）．
正态总体参数的假设检验
正态总体中有两个参数：正态均值 与正态⽅差 。有关这两个参数的假设检验问题经常出现，现逐⼀叙述如下。
(⼀) 正态均值 的假设检验 ( 已知情形)
建⽴⼀个检验法则，关键在于前三步l，2，3。
5.判断(同前)
注：这个检验法称为u检验。
(⼆) 正态均值 的假设检验 ( 未知情形)
在 未知场合，可⽤样本标准差s去替代总体标准差 ，这样⼀来，u统计量变为t统计量，具体操作如下：
1.关于正态均值 常⽤的三对假设为
5.判断 (同前)
注：这个检验法称为t检验。
(三)正态⽅差 的假设检验
检验正态⽅差 有关命题成⽴与否，⾸先想到要⽤样本⽅差 。在 基础上依据抽样分布特点可构造 统计量作为检验之⽤。具体操作如下：
1.关于正态⽅差 常⽤的三对假设为
5.判断(同前)
注：这个检验法称为 检验。
注：关于正态标准差 的假设与上述三对假设等价，不另作讨论。
(四) ⼩结与例⼦
上述三组有关正态总体参数的假设检验可综合在表1.5-1上，以供⽐较和查阅。
续表
[例1.5-2] 某电⼯器材⼚⽣产⼀种云母带，其厚度在正常⽣产下服从N(0.13，0.0152)。某⽇在⽣产的产品中抽查了10次，发现平均厚度为0.136，如果标准差不变，试问⽣产是否正常?(取 =0.05)来源:考试通
解：①⽴假设： ②由于 已知，故选⽤u检验。
③~④根据显著性⽔平 =0.05及备择假设可确定拒绝域为{ >1.96}。
⑤由样本观测值，求得检验统计量：
由于u未落在拒绝域中，所以不能拒绝原假设，可以认为该天⽣产正常。
[例1.5-3] 根据某地环境保护法规定，倾⼊河流的废⽔中⼀种有毒化学物质的平均含量不得超过3ppm。已知废⽔中该有毒化学物质的含量X服从正态分布。该地区环保组织对沿河的⼀个⼯⼚进⾏检查，测定每⽇倾⼊河流的废⽔中该物质的含量，15天的记录如下(单位：ppm)
3.2，3.2，3.3，2.9，3.5，3.4，2.5，4.3，2.9，3.6，3.2，3.0，2.7，3.5，2.9
