高中数学 1.2.2 空间两条直线的位置关系2教案 北师大版必修2
- 格式：doc
- 大小：246.00 KB
- 文档页数：3
.
.专业. CBADCBADCBADababbaaba'b'aba'OO1.2.2 空间两条直线的位置关系(2)
教学目标：
1．掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面
2．掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角
3．体会空间问题化归为平面问题求解的策略
教学重点：
异面直线的判定、异面直线所成角的寻求及其计算
教学难点：
异面直线概念的理解
教学过程：
1．问题情境
(1) 垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？(三种：平行、相交、异面)
(2) 已知,ab是异面直线，,ac是异面直线，那么,bc也是异面直线吗？
(不一定，可以相交、平行或异面)
(3) 长方体ABCDABCD中，直线AB与1AC具有怎样的位置关系？为什么？(异面)
学生尝试证明直线AB与1AC是异面直线．
教师引导：用反证法．
2．异面直线的判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．
推理模式：,,,ABlBlAB与l是异面直线．(两内两外)
证明 ：假设 直线AB与l共面，
∵,,BlBl，∴点B和l确定的平面为，
∴直线AB与l共面于，∴A，与A矛盾，
所以，AB与l是异面直线．
3．异面直线的画法
4．异面直线所成角
设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线//aa，//bb，我们把直线a和b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角．
说明：○1为了简便，点O通常取在异面直线的一条上；
○2异面直线所成角的范围(0,90]．
5．例题讲解
例1．判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)空间两条直线可以确定一个平面．(不正确)
(2)垂直于两条异面直线的直线只有一条．(不正确)
(3)垂直于同一条直线的两条直线平行．(不正确) .
.专业. cbOaQNPMADBCA'D'B'C'(4)直线a与b平行，b与c平行，则a与c平行．(正确)
(5)直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交．(不正确)
(6)直线a与b异面，b与c异面，则a与c异面．(不正确)
(7)一条直线于两条平行线中的一条垂直，必和另一条也垂直．(正确)
注：与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线有且只有一条．
例2．如图，已知不共面的直线,,abc相交于O点，,MP是直线a上的两点，
,NQ分别是,bc上的一点．
求证：MN和PQ是异面直线．
证：(法一)假设MN和PQ不是异面直线，
则MN与PQ在同一平面内，设为，
∵,,,MPaMP，∴a，又Oa，∴O，
∵,,NObNb，∴b，
同理c，∴,,abc共面于，与已知,,abc不共面相矛盾，
所以，MN和PQ是异面直线．
(法二)：∵acO，∴直线,ac确定一平面设为，
∵,PaQc，∴,PQ，
∴PQ且,MMPQ，
又,,abc不共面，Nb，∴N，
所以，MN与PQ为异面直线．
例3．正方体ABCDABCD中．
(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC是异面直线？
(2)求异面直线AA与BC所成的角．
(3)求异面直线BA与CC所成的角．
(4)求异面直线BC与AC所成的角．
(5)已知,EF分别为,CCAD的中点，求异面直线
AF与BE所成角．
(6)已知,,,MNPQ分别为,,,ADABABBB的中点，
求异面直线MN与PQ所成角．
解：(1)正方体的12条棱中，除去与BC相交的
6条棱，其余6条棱：,,,,,AAABADDADCDD
都与直线BC是异面直线．
(2) 90；
说明一：
○1若两条异面直线所成角是直角，则称这两条异面直线互相垂直，用符号表示为ab．
○2还有哪些棱所在的直线与直线AA垂直呢？
(答案：还有直线,,,,,,ABCDDAABBCCDDA与直线AA垂直)
(3)45；(4)60；(5) 90；(6) 60．
说明二：
○1作异面直线所成角时，点O的选取的原则是尽量要使求角方便．
○2求异面直线所成角的一般步骤是：“作—证—算—答”．
.
.专业. BCADEGF例4．空间四边形ABCD中，2ADBC，,EF分别是,ABCD的中点，1EF，
求异面直线,ADBC所成的角．
解：取BD中点G，连结,,EGFGEF，∵,EF分别是,ABCD的中点，
∴//,//,EGADFGBC且1212,2222EGADFGBC，
∴异面直线,ADBC所成的角即为,EGFG所成的角，
在EGF中，222EGFGEF，
∴90EGF，异面直线,ADBC所成的角为90．
思考：EF与12ADBC的大小关系是什么？
答：12EFADBCEGFG
练习：
(1)空间四边形ABCD中，边长与对角线的长都相等，,EF分别是,ABCD的中点，，
求异面直线,EFAD所成的角．(45)
(2)在空间四边形ABCD中，8ABCD，,MN分别是,BCAD的中点，如异面直线AB与CD成60角，求MN的长．(60MPN或120，4MN或43)
6．课堂小结
(1)判断两直线是否异面的一般方法是：○1利用反证法；○2用判定定理．
(2)求异面直线所成角的一般步骤是：“作—证—算—答”．
