麦考利久期计算公式

债券持有期收益率，久期及在险价值计算和分析作者：杨伟杰来源：《时代金融》2020年第02期摘要：债券投资最近几年慢慢引入个体投资者的视线之中。

随着中国刚性兑付制度取消，债券投资的违约组合管理变得至关重要。

而个体投资者因为债券投资专业要求而占有整体的少部分。

本文通过使用python计算机语言作为工具，提供持有到期收益率，考利久期，以及风险指标VaR（在险价值）的计算方法。

为投资者提供债券分析的简便方法。

关键词：债券YTM; 麦考利久期; VaR; Python一、持有到期收益率，麦考利久期及在险价值目前，债券投资主要以机构投资者为主，个体投资者属于少数前提，主要是由于债券投资对于专业知识的要求比较高，其收益率的计算，久期管理，VaR计算对个体投资者要求较高，其实通过python的数据处理可以处理流动性较高的债券收益率，久期和VaR的计算。

首先在通过python实现上述计算，需要了解债券的一些基本要素，分别是：债券面值，附息利率，附息频次，债券存续时长，债券现值，发行主体。

本文主要关注前五个要素。

其中假设债券持有到期，其持有到期收益率并不是附息利率，需要通过上述五个要素进行计算才能知道投资者的回报率。

而债券的现值（即债券的每日收盘价）在不断变化，因此其收益率也在不断变化。

针对折价，溢价，平价发行的债券其收益率变化也会不同。

通过python则可以完成持有到期收益率（YTM）的计算。

为投资者选择债券提供一些指导。

在完成债券的YTM计算后，则可以继续计算麦考利久期。

麦考利久期是债券投资中的重要工具，它的数值可以反映投资者的债券投资现金流平均的回流时间;其次久期很好的反映了债券价格对应利率变化的敏感度，并且通过债券的久期的管理可以對债券组合的杠杆进行很好的管理。

在本文中，可以通过python很快的进行麦考利久期的计算，从而方便投资者进行债券投资的进一步分析以及债券池的管理和存续。

最后，VaR指标的全称为Value at Risk（在险价值），由摩根大通提出，是指在一定的时间内，一定的置信度下，投资者最大的期望损失。

Yield ModDur ice ∆⨯≈∆Pr %Y MoneyDur P ∆⨯=∆久期公式总结1、麦考利久期Macaulay Durationn PV(bond)FV)PV(C PV(bond))PV(C PV(bond))PV(C YY)Δ(P ΔPMacDur n ⨯+++⨯+⨯=++= 2111212、修正久期Modified durationrMacDur Y P P ModDur +=∆∆=1/注：r 指的是periodic yield3、近似修正久期 Approximate modified duration02P y P P ur ApproxModD ⨯∆⨯-=+-注：P-：利率下降1%对应的债券的价格； P+：利率上升1%对应债券的价格4、近似麦考利久期 Approximate Macaulay duration )1(r ur ApproxModD ur ApproxMacD +⨯=注：r 指的是periodic yield5、货币久期（美元久期）Money Duration/Dollar Duration Y P ice ModDur MoneyDur ∆∆=⨯=Pr6、PVBP (Price Value of a Basis Point)2+--=P P PVBP注：P-：利率下降1bps 对应的债券的价格； P+：利率上升1bps 对应债券的价格7、有效久期 Effective duration)(2P Curve P P uration EffectiveD ⨯∆⨯-=+-注：含权债券的利率风险需使用有效久期来衡量8、债券组合久期 Bond portfolio Duration332211D W D W D W Duration Portfolio +++= 注：Wi 指的是债券组合中单个债券的市值的权重9、凸度()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⨯⨯+∆⨯-≈∆221Pr %Yield Con Yield ModDur ice注：△Y 是考虑利率变动的方向的，如果利率下跌那么△Y 小于010、近似凸度 Approximate convexity()020ield 2P Y P P P ApproxCon ⨯∆-+=+-11、货币凸度 Money convexityice Convexity M Pr ity oneyConvex ⨯=。

第六章投资管理基础存货周转率1. 假设企业年初存货是20 000元，年末存货是5 000元，那么年均存货是（）元。

A.7 000B.25 000C.12 500D.3 5002. 某企业期初存货200万元，期末存货300万元，本期产品销售收入为1500万元，本期产品销售成本为1 000万元，则该存货周转率为（）。

A.3.3B.4C.5D.6销售利润率＝净利润／销售收入，指每单位销售收入所产生的利润总资产周转率＝年销售收入／年均总资产，衡量一家企业所有资产的使用效率权益乘数＝资产／所有者权益，又称杠杆比率一家企业的盈利能力综合取决于企业的销售利润率，使用资产的效率和企业的财务杠杆。

3. 某公司在2012年度，销售利润率为18%，总资产周转率为0.8，权益乘数为2，该公司的净资产收益率为（）。

A. 28.8%B. 14.4%C. 36%D. 18%4. 甲公司2015年与2014年相比，销售利润率下降10%，总资产周转率提高10%，假定其他条件与2014年相同。

则2015年与2014年相比，甲公司的净资产收益率为（）。

A.无法确定高低变化B.有所提高C.保持不变D.有所下降单利和复利i代表利息，t代表时间。

100万元，按单利10%计算，5年后可获得（）万元。

A.110B.150C.161D.1806. 将1 000元存入银行，按单利计算，5年后能取到的总额是1 250元，银行的年利率是（）。

A.5%B.6%复利：复利是利息的另一种方法。

按这种方法，7. 张先生打算在5年后获得200000元，银行年利率为12%，复利计息，张先生现在应存入银行（）元。

A.120000B.132320C.113485D.150000标准差／方差标准差和方差的大小表示某一组数据分布的离散程度。

方差和标准差越大，表示这组数据的分别越散，其波动性和不可预测性越强。

第七章权益投资可转换债券／可转换比例用于可转债的转换计算，可转债即在一段时间内，持有者有权按照约定的转换价格或转换比公式为8. 某可转换债券面值为500元，规定其转换价格为25元，则转换比例为（）。

久期利率风险和信用风险是债券面临的最主要风险，久期就是用来衡量利率风险的重要指标。

久期的概念是由弗雷德里克·麦考利（Frederic Macaulay）提出的，包括麦考利久期（Macaulay Duration）和修正久期（Modified Duration）。

久期的推导公式债券的定价公式为：P为债券价格，C为定期支付的票面利息，F为票面价格，r为到期收益率（利率），N为付息次数, T为相邻两次付息时间的间隔更完整的公式如下：m为当前距离最近一次付息日的期限（单位：年）债券的久期定义如下，即现金流的加权平均时间：修正久期定义如下：如何理解久期与修正久期的意义呢？可以从价格对到利率的偏导数入手可见债券对利率的偏导数与久期之间的关系如下：即Macauley久期的物理意义：价格变动的百分比与（1+r）变动百分比的比值，即价格的（1+r）弹性，（1+r）变动1%时，价格变化D%。

这个概念在实际使用中不是特别直观，如果有个概念能直接描述利率r变动1%时，价格的变化率为多少就更好了，所以引出了修正久期：修正久期的物理意义：价格变动的百分比与利率变动的比值，即利率变动1%（100bps），带来的价格的变化率（收益率的变化）。

举个例子假设利率 R=4%，麦考利久期 D=2。

那么如果（1+R）在自身增加了1%，（即从1.04变成了1.0504，R变成5.04%），那么价格会减少2%。

这个D有个不好的地方，1+4%在自身水平上增加了1%并不直观，这时候修正久期MD就用上了。

MD=D/（1+r）=2/(1+4%)=1.923,那么根据上面MD的定义公式，利率增加1%（即100bps，变成5%），那么价格就会减少1.923%。

所以久期和修正久期其实描述的是同一件事情，只是修正久期简化了久期的描述。

你不需要说（1+4%）在自身水平增加1%，价减少2%，而可以说利率增加了1个百分点，价格减少1.923%。

所以，久期是衡量利率风险（interest rate risk）的，久期大，利率风险高，证券价格受利率变化的影响大。

久期(Duration)的概念久期的概念最早是马考勒(Macaulay)在1938年提出来的，所以又称马考勒久期（简记为D）。

马考勒久期是使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。

它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。

具体的计算将每次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流的时间同对应的权重相乘,最终合计出整个债券的久期。

马考勒久期的计算公式(公式1)其中，D是马考勒久期，B是债券当前的市场价格，PV（Ct）是债券未来第t期现金流（利息或资本）的现值，T是债券的到期时间。

需要指出的是在债券发行时以及发行后，都可以计算马考勒久期。

计算发行时的马考勒久期，T（到期时间）等于债券的期限；计算发行后的马考勒久期，T（到期时间）小于债券的期限。

任一金融工具的久期公式一般可以表示为[1]：(公式2)其中：D为久期；t为该金融工具现金流量所发生的时间；C t为第t期的现金流；F为该金融工具的面值或到期日价值；n为到期期限；i是当前的市场利率。

实际上，公式(公式3)的分母正是该金融工具的市场价值，因此，久期公式又可表示为：(公式3)其中：P表示该金融工具的市场价值或价格。

[编辑]久期的计算过程举例[1]下面试举一例来说明久期的计算过程。

假设面额为1000元的3年期变通债券，每年支付一次息票，年息票率为10%，此时市场利率为12%，则该种债券的久期为：(年)如果其他条件不变，市场利率下跌至5%，此时该种债券的久期为：(年)同理，如果其他条件不变，市场利率上升至20%，此时久期为：(年)再者，如果其他条件不变，债券息票率为0，那么：(年)从上面的计算结果可以发现，久期随着市场利率的下降而上升，随着市场利率的上升而下降，这说明两者存在反比关系。

此外，在持有期间不支付利息的金融工具，其久期等于到期期限或偿还期限。

那些分期付息的金融工具，其久期总是短于偿还期限，是由于同等数量的现金流量，早兑付的比晚兑付的现值要高。

债券持有期收益率，久期及在险价值计算和分析作者：杨伟杰来源：《时代金融》2020年第02期摘要：债券投资最近几年慢慢引入个体投资者的视线之中。

随着中国刚性兑付制度取消，债券投资的违约组合管理变得至关重要。

而个体投资者因为债券投资专业要求而占有整体的少部分。

本文通过使用python计算机语言作为工具，提供持有到期收益率，考利久期，以及风险指标VaR（在险价值）的计算方法。

为投资者提供债券分析的简便方法。

关键词：债券YTM; 麦考利久期; VaR; Python一、持有到期收益率，麦考利久期及在险价值目前，债券投资主要以机构投资者为主，个体投资者属于少数前提，主要是由于债券投资对于专业知识的要求比较高，其收益率的计算，久期管理，VaR计算对个体投资者要求较高，其实通过python的数据处理可以处理流动性较高的债券收益率，久期和VaR的计算。

首先在通过python实现上述计算，需要了解债券的一些基本要素，分别是：债券面值，附息利率，附息频次，债券存续时长，债券现值，发行主体。

本文主要关注前五个要素。

其中假设债券持有到期，其持有到期收益率并不是附息利率，需要通过上述五个要素进行计算才能知道投资者的回报率。

而债券的现值（即债券的每日收盘价）在不断变化，因此其收益率也在不断变化。

针对折价，溢价，平价发行的债券其收益率变化也会不同。

通过python则可以完成持有到期收益率（YTM）的计算。

为投资者选择债券提供一些指导。

在完成债券的YTM计算后，则可以继续计算麦考利久期。

麦考利久期是债券投资中的重要工具，它的数值可以反映投资者的债券投资现金流平均的回流时间;其次久期很好的反映了债券价格对应利率变化的敏感度，并且通过债券的久期的管理可以對债券组合的杠杆进行很好的管理。

在本文中，可以通过python很快的进行麦考利久期的计算，从而方便投资者进行债券投资的进一步分析以及债券池的管理和存续。

最后，VaR指标的全称为Value at Risk（在险价值），由摩根大通提出，是指在一定的时间内，一定的置信度下，投资者最大的期望损失。

债券久期的含义及特性我们知道，债券价格变动六大定理，研究了利率变动对不同期限、不同息票率和不同到期收益率的债券价格的影响。

但是，六大定理假设期限、息票率和到期收益率，这三个因素中仅有一个因素不同，与实际中各个因素都可能变动的情况不符。

我们需要能够从期限、息票率、到期收益率等方面综合衡量利率变动对债券价格影响的量化分析工具，这就是本节课要讲的债券久期。

严格来说，久期是价格的利率弹性，是衡量债券价格利率敏感性的指标。

对定期支付固定利息、到期按面值还本、没有附加选择权的普通附息债券来说，久期是债券的有效到期时间，是每一笔现金流支付时间的加权平均数，权重是每一笔现金流现值占全部现金流现值总和的比例。

久期有时也称为麦考利久期，它的计算公式如下：这个公式看起来很复杂，其实挺简单，你看久期D就等于t乘以W，t是债券支付每一笔现金流的时间，是以年为单位的数字，W是一个权重，是一个比例，这个比例的分子是每一笔现金流以r为折现率计算的现值，分母是所有现金流的现值总和。

所有现金流的现值总和，就是债券的理论价格或合理价格，公式中用P0表示。

各个时期的权重相加等于1，下面通过一道例题来熟悉下这个久期的计算公式：例:假设票面价值为1000元的债券，期限为3年，每年付息一次，票面利率为8%，到期收益率为1 0%。

问:该债券的久期是多少?根据题目中给出的信息，该债券一共要支付三笔现金流，80 、80和1080元，我们把这3笔现金流以10%的折现率求出现值，再把这三个现值相加，就得到债券价格P0,它等于950.25元。

然后用每笔现金流的支付时间t，依次是1、2、3，去乘以各自的权重：权重等于每一笔现金流的现值，除以债券价格，最后求这三项乘积的总和，就得出久期D，它等于2.78,单位是年。

你看这个2.78，它是该债券三笔现金流支付时间，第1第2第3年的加权平均数，比该债券的名义期限3年要小些，可称之为有效期限。

从计算公式中可看出，债券久期与期限、息票率，到期收益率等因素有关。

债券久期计算例:假设债券A刚发行,其面值为1000元,市场利率(贴现率8%),票面利率为8%,期限为十年。

债券B就是5年前发行得,其面值为1000元,票面利率12%,期限为15年,还有10年到期。

计算:1债券A与债券B得价格2 计算债券A与B得久期三种方法(1)运用久期得定义:久期作为现金流支付时间得加权平均(2)将久期瞧作债券价格对贴现率得弹性(3)运用久期函数3计算债券A,B得修正久期4 如果市场利率上升10%,即从8%上升到8、8%,求债券A与债券B 得价格得变化久期(Duration)一、久期(Duration)得概念久期得概念最早就是马考勒(Macaulay)在1938年提出来得,所以又称马考勒久期(简记为D)。

马考勒久期就是使用加权平均数得形式计算债券得平均到期时间。

它就是债券在未来产生现金流得时间得加权平均,其权重就是各期现金值在债券价格中所占得比重。

具体得计算将每次债券现金流得现值除以债券价格得到每一期现金支付得权重,并将每一次现金流得时间同对应得权重相乘,最终合计出整个债券得久期。

保罗·萨缪尔森、约翰·斯克斯与瑞丁敦在随后得若干年独立地发现了久期这一理论范畴,特别就是保罗·萨缪尔森与瑞丁敦将久期用于衡量资产/负债得利率敏感性得研究,使得久期具有了第二种含义,即:资产针对利率变化得价格变化率。

久期--得第二个含义就是债券投资管理中得一个极其重要得策略----“免疫策略”得理论基础,根据该策略,当交易主体债券组合得久期与债权得持有期相等得时候,该交易主体短期内就实现了“免疫”得目标,即短期内得总财富不受利率波动得影响。

但就是运用这一策略得前提则就是,现有久期概念能否正确地衡量未来任何利率变动情景下债券价格得变动情况。

二、马考勒久期得计算公式(公式1)其中,D就是马考勒久期,B就是债券当前得市场价格,PV(Ct)就是债券未来第t期可现金流(利息或资本)得现值,T就是债券得到期时间。

债券相关指标计算一、名词解释在本文中，下列名词具有以下含义：（一）零息债券：债券发行人在债券期限内不支付任何利息，至到期兑付日按债券面值进行偿付的债券。

（二）固定利率债券：债券发行人按固定票面利率定期支付利息的债券。

（三）浮动利率债券: 债券发行人根据一定规则调整票面利率,并依此利率定期支付利息的债券。

（四）到期一次还本付息债券：发行时规定票面利率、但是在到期兑付日前不支付利息，全部利息至到期兑付日和本金一同偿付的债券。

（五）日计数基准：债券市场中计算应计利息天数和付息区间天数时采用的基准，如“实际天数/实际天数”、“实际天数/365”、“30/360”等。

（六）理论付息日：对零息债券和到期一次还本付息债券，债券期限内每年与到期兑付日相同的日期。

如零息债券A到期兑付日为2008年8月10日，则债券期限内每年的8月10日为债券A的理论付息日。

二、日计数基准银行间债券市场（包括债券回购交易）日计数基准为“实际天数/实际天数”，即应计利息天数按实际天数计算（算头不算尾），一年按实际天计算。

注：1，银行间债券闰年的2.29日是计算利息的，之前的版本不算利息；对于交易所债券来说2.29还是不计算利息的2，付息周期的实际天数是指下一个付息日与上一个付息日之间的实际天数，算头不算尾，含闰年的2月29日；计息年度是指发行公告中标明的第一个起息日至次一年度对应的同月同日的时间间隔为第一个计息年度，依此类推。

三、债券全价中内含应计利息的计算应计利息的计算需注意债券基础数据的准确。

涉及到债券基本信息、债券利率、债券所处时点的前后付息日期几个关键的数据。

应计利息计算公式如下：1．对固定利率债券和浮动利率债券，每百元面值的应计利息额为：（1）其中：AI:每百元面值债券的应计利息额；C：每百元面值年利息，对浮动利率债券，C根据当前付息期的票面利率确定；t：起息日或上一付息日至结算日的实际天数。

f: 年付息频率TS：当前付息周期实际天数2．对到期一次还本付息债券，每百元债券的应计利息额为：（2）其中：AI:每百元面值债券的应计利息；C：每百元面值年利息；K:债券起息日至结算日的整年数；t：起息日或上一理论付息日至结算日的实际天数。

债券久期计算例：假设债券A刚发行，其面值为1000元，市场利率（贴现率8%），票面利率为8%，期限为十年。

债券B是5年前发行的，其面值为1000元，票面利率12%，期限为15年，还有10年到期。

计算：1债券A与债券B的价格2 计算债券A和B的久期三种方法（1）运用久期的定义：久期作为现金流支付时间的加权平均（2）将久期看作债券价格对贴现率的弹性（3）运用久期函数3计算债券A，B的修正久期4 如果市场利率上升10%，即从8%上升到8.8%，求债券A与债券B 的价格的变化久期（Duration）一、久期(Duration)的概念久期的概念最早是马考勒(Macaulay)在1938年提出来的，所以又称马考勒久期（简记为D）。

马考勒久期是使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。

它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。

具体的计算将每次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流的时间同对应的权重相乘,最终合计出整个债券的久期。

保罗·萨缪尔森、约翰·斯克斯和瑞丁敦在随后的若干年独立地发现了久期这一理论范畴，特别是保罗·萨缪尔森和瑞丁敦将久期用于衡量资产/负债的利率敏感性的研究，使得久期具有了第二种含义，即：资产针对利率变化的价格变化率。

久期--的第二个含义是债券投资管理中的一个极其重要的策略----“免疫策略”的理论基础，根据该策略，当交易主体债券组合的久期与债权的持有期相等的时候，该交易主体短期内就实现了“免疫”的目标，即短期内的总财富不受利率波动的影响。

但是运用这一策略的前提则是，现有久期概念能否正确地衡量未来任何利率变动情景下债券价格的变动情况。

二、马考勒久期的计算公式(公式1)其中，D是马考勒久期，B是债券当前的市场价格，PV（Ct）是债券未来第t期可现金流（利息或资本）的现值，T是债券的到期时间。