到期收益率债券价格久期凸性计算公式

债券久期、免疫方法与凸性一、久期及其计算多年以来，专家们运用资产到期期限作为利率风险衡量指标。

例如，30年期固定利率债券比1年期债券更具有利率敏感性。

但是，人们已意识到期限只是提供的最后一笔现金流量的信息，并没有考虑到前期得到的现金流量〔例如利息归还〕。

通过计算持续期〔久期〕就可以解决这个问题。

它是一个平均的到期期限，考虑了资产寿命早期所获得的现金流量因素。

有效持续期用公式表示则为：P y tC D nt t t ∑=+=1)1( 【例1】票面利率为10%，还有3年到期的债券。

价格为95.2，当前利率为12%。

求其持续期。

持续期=年728.22.9512.1110312.110212.110132=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ 持续期是按照贴现现金流量的权重来加权的平均年数〔1年、2年、3年〕。

简单地说，持续期代表的是资产的平均到期期限。

在本例中，2.728年的持续期与3年比较接近，原因是在第3年得到一笔最大的现金流量110。

持续期与归还期不是同一概念：归还期是指金融工具的生命周期，即从其签订金融契约到契约终止的这段时间；持续期则反映了现金流量，比方利息的支付、部分本金的提前归还等因素的时间价值。

对于那些分期付息的金融工具，其持续期对于那些分期付息的金融工具，其持续期总是短于归还期。

持续期与归还期呈正相关关系，即归还期越长、持续期越长；持续期与现金流量呈负相关关系，归还期内金融工具的现金流量越大，持续期越短。

二、债券价格对利率变动的敏感程度由金融工具的理论价格公式：∑=+=nt t t y C P 1)1( 两边对利率求导，可得出金融工具现值〔理论价格〕对利率变动的敏感程度： ∑=++-=n t t t y tC dy dP 11)1(∑=++-=n t t t y tC y 1)1(11 两边同时乘以pdy 得∑=+⨯+-=n t t t y tC P dy y P dp 1)1(11=P y tC y dy nt t t ∑=+⨯+-1)1(1 =ydy D +•-1 =-D *·dy其中D *即为修正久期相应地，修正久期D *=pd d y p1⨯-，即修正久期可以看成等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格。

久期与凸性‎的理解(2010-12-22 10:43:20)最近在研究‎企业债券的‎投资，对于某些术‎语了解了一‎下，在此与大家‎共同学习一‎下,我的心得是‎，久期和凸性‎都是衡量利‎率风险的指‎标，衡量债券价‎格对利率的‎敏感程度；但久期具有‎双面性，就是在利率‎上升周期，要选择久期‎小的债券，而在利率下‎降周期，要选择久期‎大的债券；而凸性是具‎有单面性，就是凸性越‎大，债券的风险‎越小，因此需要选‎择凸性较大‎的债券。

久期描述了‎价格-收益率（利率）曲线的斜率‎，斜率大表明‎了作为Y轴‎的价格变化‎较大，而凸性描述‎了这一曲线‎的弯曲程度‎，或者是由于‎该曲线的非‎线性程度较‎大，使得衡量曲‎线斜率的这‎一工具变化‎较大，无法以统一‎的数字来判‎断，因此再次对‎斜率的变化‎进行衡量，引入凸性参‎数。

凸性就是债‎券价格对收‎益率曲线的‎二阶导数，就是对债券‎久期（受利率影响‎，对利率敏感‎性）的再度测量‎。

简单计算方‎法为：例如债券久‎期为3，那么当市场‎利率提高1‎%，那么债券价‎格就近似下‎跌3*1%=3%；凸性用于衡‎量债券久期‎对市场利率‎变化的敏感‎性，比如债券凸‎性为3，那么当市场‎利率提高1‎%，那么债券久‎期就近似上‎升3*1%=3%。

在利率变化‎很小的时候‎，传统的久期‎（是以每期现‎金流现值占‎总体现值的‎比例为权重‎计算的加权‎平均到期日‎）可以近似衡‎量债券价格‎和利率之间‎关系，但是更为精‎确的衡量则‎是修正久期‎。

什么是久期‎？久期（Ｄｕｒａｔ‎ｉｏｎ）——久期是衡量‎债券利率风‎险最常用的‎指标，反映的是市‎场利率变化‎引起债券价‎格变化的幅‎度。

直观地讲，就是收益率‎变化１％所引起的债‎券全价变化‎的百分比。

公式如下：久期＝价格的变化‎幅度／单位收益率‎的变化久期的分析‎方法债券的久期‎越大，利率的变化‎对该债券价‎格的影响也‎越大，因此，该债券所承‎担的利率风‎险也越大。

久期和凸性第四节债券投资收益四、利率的久期与凸性（⼀）久期久期有许多不同的形式和解释。

⼏种尤为重要的种类是麦考莱久期(Macaulay duration)、修正久期(Modified duration)、封闭式久期(Closed-form duration)和有效久期(Effective duration)。

1．麦考莱久期“久期”⼜叫“持续期”,要归功于F．R·麦考莱，他在1938年提出要通过衡量债券的平均到期期限来研究债券的时间结构。

当被运⽤于不可赎回债券时，麦考莱久期就是以年数表⽰的可⽤于弥补证券初始成本的货币加权平均时间价值。

久期对于财务经理的主要价值在于它是衡量利率风险的直接⽅法，久期越长，利率风险越⼤。

麦考莱久期有如下假设：收益率曲线是平坦的；⽤于所有未来现⾦流的贴现率是固定的。

其中：D——久期Ct——t时的现⾦流R——到期收益率(每期)P——债券的现价N——到期前的时期数；t——收到现⾦流的时期。

上述公式给出了理解麦考莱久期的⽅法。

它表明时间的权重是每期收到的现⾦流的现值。

每⼀贴现的现⾦流都代表了债券现⾦流现值的⼀部分。

如果加总债券所有的贴现现⾦流，就得到了债券的价格。

麦考莱久期也可以表达为连续复利形式：2．修正久期债券价格等于与债券相关的现⾦流的现值：我们可以将上述公式对利率R求导，得到公式：上述公式表⽰了当债券收益率发⽣很⼩变动时以美元表⽰的债券价值发⽣的变动。

将公式两边同时除以债券价格便得到了每⼀单位利率百分⽐变动时债券价格的百分⽐变动：上述公式是修正久期的表达式。

括号中的项是麦考莱久期公式的分⼦。

因⽽修正久期等于麦考莱久期除以（1+到期收益率）：修正久期显⽰了与债券到期收益率的⼩变动相关的价格百分⽐变化。

注意，按上述公式计算的久期是负值，这是因为，债券价格与利率⽔平的运动⽅向相反是⼀致的。

实际上，久期的负号常常被忽略。

3．封闭式久期这⼀⽅法的优点在于计算简便，这也是为什么⼤多数计算久期的软件程序都使⽤封闭形式的公式。

久期和凸性分析范文久期和凸性分析是在金融市场中用于评估债券投资风险和收益的重要工具。

久期是衡量债券价格变动对利率变动的敏感度的指标，而凸性则是衡量债券价格对利率波动的非线性变化。

下面我们将详细介绍久期和凸性的概念、计算方法以及其在投资决策中的应用。

首先，久期是衡量债券投资风险的关键指标。

它是一个衡量债券价格变动对利率变动的敏感度的指标。

具体来说，久期表示的是债券的平均回本期限，也就是该债券的现金流入与出的时间加权平均。

久期越长，表示债券的回本期限越长，价格受利率变动的影响越大。

反之，久期越短，表示债券的回本期限越短，价格受利率变动的影响越小。

计算久期的方法有几种，其中一种是Macaulay久期。

Macaulay久期的计算公式为：Macaulay久期=（C1*T1+ C2*T2+...+Cn*Tn）/B，其中Ci为第i期的现金流量，Ti为第i期的现金流入与出的时间，B为债券的价格。

除了久期，凸性也是衡量债券投资风险的重要指标。

凸性描述了债券价格对利率波动的非线性响应。

凸性可以帮助投资者更好地了解债券价格的波动性以及在不同市场环境下债券的价格变化趋势。

凸性大的债券价格波动幅度相对较大，而凸性小的债券价格波动幅度相对较小。

计算凸性的方法有几种，其中一种是麦堪昆凸性。

麦堪昆凸性的计算公式为：麦堪昆凸性=（C1*T1^2+C2*T2^2+...+Cn*Tn^2）/（B*(1+r)^2），其中Ci为第i期的现金流量，Ti为第i期的现金流入与出的时间，B为债券的价格，r为债券的到期收益率。

久期和凸性分析在投资决策中有着重要的应用。

首先，久期和凸性可以帮助投资者衡量债券投资的风险。

通过计算久期和凸性，投资者可以了解债券价格对利率变动的响应程度，从而判断债券投资的风险水平。

其次，久期和凸性可以帮助投资者优化投资组合。

久期和凸性可以作为评估不同债券的工具，投资者可以在不同债券之间做出选择，以实现投资组合的风险和收益平衡。

债券凸性的计算公式：
对于总期限为Ｔ的付息债券而言，其价格的变化主要取决于收益率y ,如果第t 年所得的现金流为C ，它的现值为，那么债
券的理论价格就是各期现金流的现值和
下面我们来求
的泰勒级数前三项展开式．
的一阶导数为
1
11(1)T t
t
t t CF y y =⨯=-++∑ 的二阶导数为
2
1
(1)1(1)(1)T
t
t
t t t CF y y =+=
++∑
根据泰勒级数公式，债券价格的近似计算公式为
将一阶导数和二阶导数代入上式，有：
或者
令
令1111
(1)(1)(1)
T T
t t t t
t t t CF CF dP D P dy y y y ==⨯=-=÷+++∑∑ 是债券现金流的加权平均期限，被称为久期，表示不同的现金流支付的时间加权平均，其中的权数是该时间所支付的现金流的
现值占整个现金流的百分比，修正值D*=D*
，经济含义
是债券产生的现金流的平均回收期，反映了债券价格对收益率的弹性，是研究债券特性和进行债券组合的重要指标．
令222
11
(1)11
(1)(1)(1)T
T t t
t t
t t t t CF CF d P C P dy y y y ==+=
=÷+++∑∑ 被称为债券的凸性，债券凸性是时间乘积的加权修正
值，权数是现金流的现值占整个现金流的百分比，不同于久期的
是，其修正值为
．
因此，债券价格的近似公式简化为：
=。

债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。

很多人把久期简单地视为债券的到期期限，其实是对久期的一种片面的理解，而对凸性的概念更是模糊。

在债券市场投资行为不断规范，利率风险逐渐显现的今天，如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。

久期久期（也称持续期）是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。

它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。

其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息，y=到期收益率，n=到期期数,M=到期支付的面值。

可见久期是一个时间概念，是到期收益率的减函数，到期收益率越高，久期越小，债券的利率风险越小。

久期较准确地表达了债券的到期时间，但无法说明当利率发生变动时，债券价格的变动程度，因此引入了修正久期的概念。

修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。

由于债券的现值对P 求导并加以变形，得到：我们将的绝对值称作修正久期，它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。

这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。

由公式1和公式2我们可以得到：在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到：由于P0是理论现值，为常数，因此，债券价格曲线 P与P /P 0有相同的形状。

由公式7, 在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期，而债券价格曲线 P的斜率为P0 X（修正久期）。

稳定性。

修正久期越大，斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大，y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。

可见，同等要素条件下，修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强，但抗利率下降风险能力较弱。

但修正久期度量的是一种近似线性关系，这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。

如下图，对于债券B '，当收益率分别从y上升到y1或下降到y2, 由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1 'P1"和P2 'P2"的误差。

债券到期收益率久期凸性公式债券相关指标计算一、名词解释在本文中，下列名词具有以下含义：（一）零息债券：债券发行人在债券期限内不支付任何利息，至到期兑付日按债券面值进行偿付的债券。

（二）固定利率债券：债券发行人按固定票面利率定期支付利息的债券。

（三）浮动利率债券:债券发行人根据一定规则调整票面利率,并依此利率定期支付利息的债券。

（四）到期一次还本付息债券：发行时规定票面利率、但是在到期兑付日前不支付利息，全部利息至到期兑付日和本金一同偿付的债券。

（五）日计数基准：债券市场中计算应计利息天数和付息区间天数时采用的基准，如“实际天数/实际天数”、“实际天数/365”、“30/360”等。

（六）理论付息日：对零息债券和到期一次还本付息债券，债券期限内每年与到期兑付日相同的日期。

如零息债券A到期兑付日为2022年8月10日，则债券期限内每年的8月10日为债券A的理论付息日。

二、日计数基准银行间债券市场（包括债券回购交易）日计数基准为“实际天数/实际天数”，即应计利息天数按实际天数计算（算头不算尾），一年按实际天计算。

注：1，银行间债券闰年的2.29日是计算利息的，之前的版本不算利息；对于交易所债券来说2.29还是不计算利息的2，付息周期的实际天数是指下一个付息日与上一个付息日之间的实际天数，算头不算尾，含闰年的2月29日；计息年度是指发行公告中标明的第一个起息日至次一年度对应的同月同日的时间间隔为第一个计息年度，依此类推。

三、债券全价中内含应计利息的计算应计利息的计算需注意债券基础数据的准确。

涉及到债券基本信息、债券利率、债券所处时点的前后付息日期几个关键的数据。

应计利息计算公式如下：1．对固定利率债券和浮动利率债券，每百元面值的应计利息额为：AICftTS（1）其中：AI:每百元面值债券的应计利息额；C：每百元面值年利息，对浮动利率债券，C根据当前付息期的票面利率确定；：起息日或上一付息日至结算日的实际天数。

债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。

很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。

在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。

久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。

它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。

其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。

可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。

久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。

修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。

由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到:我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。

这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。

由公式1和公式2我们可以得到:在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到:由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。

由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。

修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。

修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。

可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。

但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。

如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。

久期、凸度的定义及数学推导目录1久期D (1)1.1久期定义 (1)1.2久期表达式 (2)1.3久期作用 (2)1.3.1 衡量加权平均期限 (2)1.3.2 测度利率敏感性 (3)2 凸度C (5)2.1凸度定义 (5)2.2表达式 (5)2.3数学原理 (5)1久期D1.1久期定义久期是债券价格相对于债券收益率的敏感性（一）麦考利久期Dm：最早的久期衡量指标，其本质是通过计算债券偿还现金流的加权平均年限，来衡量债券价格变化敏感度。

（二）修正久期D *：对麦考林久期进行了修正，加入考虑了到期收益率r 。

比如到期收益率是5%，那么修正久期就要在麦考林久期的基础上，除以1.05。

（三）美元久期D **：对修正久期进一步修正，加入了债券价格P ，比如债券价格95，那么美元久期就要在修正久期的基础上，乘以95。

1.2久期表达式 麦考利久期：t P r t ∑==+=n t 1t t )1/(CF Dm 公式（1） 修正久期： D * =Dm/(1+r) 公式（2）美元久期： D ** =D *P 公式（3）【CFt ：债券每期现金流】；【r ：到期收益率或市场利率】；【t ：债券期数】。

1.3久期作用1.3.1 衡量加权平均期限麦考利久期Dm 是对债券实际平均期限的一个简单概括统计，使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间,其权重是各期现值在债券价格中所占的比重；1.3.1.1 数学原理从公式（1）t P r t ∑==+=nt 1t t )1/(CF Dm 出发： Dm 是时间t 的加权平均值，第t 期的权重为P r t t )1/(CF +； 比如t=2时第二期的权重为P r 22)1/(CF +；求证：权重加总求和∑==+n t 1t t )1/(CF P r t =∑==+n t 1t t )1/(CF p 1t r （带入债券定价公式： P )1/(CF n t 1t t =+∑==t r ） =P p1 =11.3.2 测度利率敏感性当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价值变化作出大致的估计。